第01讲 有理数与数轴（4个模块5个知识点8个考点）-【暑假预习】2025-2026学年新七年级数学暑假精品课讲义（浙教版2024）

第01讲 有理数与数轴（4个模块5个知识点8个考点） 模块导航 · 模块一 正数与负数 · 模块二 有理数的概念 · 模块三 数轴 · 模块四 课后作业 模块一 正数与负数 知识点1 正数和负数的概念 1、正数和负数的定义 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫作正数.有时为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”(读作“正”) 3，1.5%，3.5，等都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“ — ”的数叫作 负数 -3，-1.5%，-3.5，- 等都是正数 负数前的“-”不可以省略不写 注意： 1）、“+”“-”号的双重意义：①作为运算符号是加、减号;②作为数的性质符号是正、负号。 2）、带“+”号的数不一定是正数,带“-”号的数也不一定是负数. 3）、一个数前面的“+”“-”号叫作它的符号.正数前面的“+”号可以省略不写. 2、 0 既不是 正数 ，也不是 负数 。 3、0的意义 (1)0是正负数的分界； (2)0可以表示“没有”； (3)0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示。 知识点2 具有相反意义的量 1、在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有 相反意义 的量。 2、一般地，对于具有 相反意义 的量，我们可以把其中一种意义的量规定为 正的 ，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为 负的 ，并用 负数 来表示。 例如:若规定海平面的海拔高度为0 m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m，记作+8848.86m。 注意：具有相反意义的量应满足的条件: ①必须是同类量，而且是成对出现的； ②只要求意义相反,不要求数量一定相等。 考点专训 考点1 正数与负数的概念 【例1】在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2可记作（   ） A． B． C． D． 【变式2】在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 【变式3】在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 【变式4】在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 考点2 0的意义 【例1】下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【变式2】在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【变式3】 既不是正数，也不是负数，但它是整数． 【变式4】有下列各数：，，，，，．其中，正数有 个，负数有 个， 既不是正数，也不是负数． 考点3 具有相反意义的量及表示方法 【例1】下列具有相反意义的两个量是（    ） A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上和零下 D．支出30元和标价30元 【变式1】《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（   ） A．50元 B．元 C．30元 D．元 【变式2】2月27日至3月25日，“深海一号”船携“蛟龙”号载人潜水器完成2025年技术升级后的首次装备试验任务．若“蛟龙”号上浮记作，则“蛟龙”号下潜记作（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法中错误的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．是自然数，也是整数，也是有理数 C．若仓库运进货物记作，那么运出货物记作 D．一个有理数不是正数，那它一定是负数 【变式4】萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 模块二 有理数的概念 知识点1 有理数 1、 正整数 、 0 和 负整数 统称为整数； 正分数 和 负分数 统称为分数；整数可以写成 分数 的形式；可以写成 分数 形式的数称为有理数。 2、有理数的分类 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 拓展：小数的分类 注意： (1)0既不是正数也不是负数，但它是整数。 (2)因为有限小数与无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是分数。 (3)在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的形式也不同，分类时要弄清分类标准，做到不重不漏不混淆。 3、常见分类标准 非负数：正数和零； 非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零； 非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零； 非正有理数：负有理数和零．考点专训 考点1 有理数概念 【例1】在下列数中：0，，，，3.14，，负分数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】下列关于的说法正确的个数是（   ） ①是分数；        ②是小数；        ③是负数；        ④是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】最大的负整数是 ；最小的自然数是 ． 考点2 有理数的分类 【例1】把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【变式1】把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，，． 正数集合： __________________ 负数集合： __________________ 整数集合： __________________ 正分数集合： __________________． 【变式2】将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【变式3】把下列各数填在相应的大括号内： ，0.01，，0，，，4.01，22，，， 正数：{                                               }； 整数：{                                               }； 分数：{                                               }； 有理数：{                                               } ． 【变式4】把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 模块三 数轴 知识点1 数轴 定义:规定了 原点 、 单位长度 和 正方向 的直线叫作数轴，它满足以下条件: (1)在直线上任取一个点表示数 0 ，这个点叫作 原点 。 (2)通常规定直线上从原点 向右（或向上） 为正方向，从原点 向左（或向下） 为负方向； (3)选取适当的长度为 单位长度 直线上从原点向右，每隔一个 单位长度 取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…； 注意： (1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸，不能画成射线和线段。 (2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可。 (3)原点位置的选取,单位长度的大小都是根据实际而定的。 (4)同一数轴中的单位长度一定要统一。 (5)数轴上有无数个点,每一个点都表示一个数,不同的点表示的数不同。 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1、每个有理数都可以用数轴上的 一点 来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的 一点 2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 正半轴 与原点的距离是 a 个单位长度；表示数-a的点在数轴的 负半轴 上，与原点的距离是 a 个单位长度。 3、在数轴上表示有理数的方法： 注意： (1)数轴上的点表示的数不一定是有理数. (2)表示数的点一定要画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点, 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 4．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数．考点专训 考点1 数轴的概念及画法 【例1】数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 【变式1】如图所画的数轴正确的有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】如图所画数轴正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】图中表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 考点2 用数轴上的点表示有理数 【例1】如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【变式1】如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ． 【变式2】如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ． 【变式3】给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【变式4】画出数轴并标出表示下列各数的点． 考点3 数轴上两点间的距离 【例1】到原点的距离是（    ） A． B． C．3 D． 【变式1】数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【变式2】在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【变式3】点A，B在数轴上的位置如图所示，则A，B两点之间的距离为 ． 【变式4】如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 模块四 课后作业 1．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在数中，负分数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如果电梯上升8层记作层，那么下降2层记作______层． 4．在数轴上距原点7个单位的点表示的数是______. 5．杜甫出生于公元712年，表示为年，则孔子出生于公元前551年，表示为_____年． 6．长为2021个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖__ 个整数点． 7．在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______. 8．有理数，，0，，，，，2003中，负分数有_______个． 9．在分数，，，中，不能化成有限小数的是____________． 10．在，，，，，，，中，非负数的个数为______． 11．点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，这时点表示的数是______． 12．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度． 13．某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ 14．把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，， (1)正数集合：{________________ …}； (2)负数集合：{________________…}； (3)整数集合：{________________…}； (4)分数集合：{________________…}； 15．已知下列有理数：－4，2，－3.5，0，－2，3，－0.5 （1）在数轴上标出这些有理数表示的点； （2）设表示－0.5的点为A，那么与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 有理数与数轴（4个模块5个知识点8个考点） 模块导航 · 模块一 正数与负数 · 模块二 有理数的概念 · 模块三 数轴 · 模块四 课后作业 模块一 正数与负数 知识点1 正数和负数的概念 1、正数和负数的定义 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫作正数.有时为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”(读作“正”) 3，1.5%，3.5，等都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“ — ”的数叫作 负数 -3，-1.5%，-3.5，- 等都是正数 负数前的“-”不可以省略不写 注意： 1）、“+”“-”号的双重意义：①作为运算符号是加、减号;②作为数的性质符号是正、负号。 2）、带“+”号的数不一定是正数,带“-”号的数也不一定是负数. 3）、一个数前面的“+”“-”号叫作它的符号.正数前面的“+”号可以省略不写. 2、 0 既不是 正数 ，也不是 负数 。 3、0的意义 (1)0是正负数的分界； (2)0可以表示“没有”； (3)0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示。 知识点2 具有相反意义的量 1、在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有 相反意义 的量。 2、一般地，对于具有 相反意义 的量，我们可以把其中一种意义的量规定为 正的 ，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为 负的 ，并用 负数 来表示。 例如:若规定海平面的海拔高度为0 m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m，记作+8848.86m。 注意：具有相反意义的量应满足的条件: ①必须是同类量，而且是成对出现的； ②只要求意义相反,不要求数量一定相等。 考点专训 考点1 正数与负数的概念 【例1】在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题． 【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个， 故选：B． 【变式1】魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2可记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正负数的意义，根据“正放表示正数，斜放表示负数”，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：图2应记作， 故选：B． 【变式2】在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 【变式3】在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 【答案】 ，，， ，， 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数都大于0，负数都小于0即可得解，熟练掌握正负数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：正数有：，，，；负数有：，，； 故答案为：，，，；，，． 【变式4】在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5：2． 考点2 0的意义 【例1】下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【答案】D 【分析】本题考查了0的归类及性质．根据0在有理数中的归类性质，逐项做出判断即可． 【详解】A、0是整数，∴A正确； B、0既不是正数，也不是负数，∴B正确； C、0乘任何有理数仍得0，∴C正确； D、0除以0，没有意义，∴D不正确． 故选：D． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 【变式3】 既不是正数，也不是负数，但它是整数． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识． 根据有理数的分类可求解． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数，但它是整数． 故答案为：0． 【变式4】有下列各数：，，，，，．其中，正数有 个，负数有 个， 既不是正数，也不是负数． 【答案】 2 3 0 【分析】本题主要就是考查了对正、负数的相关知识的理解掌握与运用的情况，对正数、负数、零的概念的理解是解本题的关键； 根据大于零的数是正数，小于零的数是负数，即不是正数也不是负数求解即可． 【详解】解：下列各数中，，，，，， 其中，正数有、，共2个，负数有、、，共3个，0既不是正数，也不是负数． 故答案为：2；3；0． 考点3 具有相反意义的量及表示方法 【例1】下列具有相反意义的两个量是（    ） A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上和零下 D．支出30元和标价30元 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的量． 根据相反意义的量依次进行判断即可得． 【详解】解：A、向东和向西具有相反意义，该选项错误，不符合题意； B、盈利和亏损具有相反意义，该选项错误，不符合题意； C、零上和零下是具有相反意义的量，该选项正确，符合题意； D、 支出和收入具有相反意义，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（   ） A．50元 B．元 C．30元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负数的意义是关键． 根据题意，收入用正数表示，则支出用负数表示，由此即可求解． 【详解】解：“收入80元”记作“元”， ∴“支出50元”记作， 故选：B ． 【变式2】2月27日至3月25日，“深海一号”船携“蛟龙”号载人潜水器完成2025年技术升级后的首次装备试验任务．若“蛟龙”号上浮记作，则“蛟龙”号下潜记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵“蛟龙”号上浮记作， ∴“蛟龙”号下潜记作， 故选：B． 【变式3】下列说法中错误的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．是自然数，也是整数，也是有理数 C．若仓库运进货物记作，那么运出货物记作 D．一个有理数不是正数，那它一定是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了“0”的意义，正负数的应用，有理数的分类，根据0的意义可判断A、B；根据正负数的意义可判断C；根据有理数分为正有理数和负有理数以及0即可判断D． 【详解】解：A、既不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意； B、是自然数，也是整数，也是有理数，原说法正确，不符合题意； C、若仓库运进货物记作，那么运出货物记作，原说法正确，不符合题意； D、一个有理数不是正有理数，那它一定是负有理数数或者0，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式4】萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 【答案】(1)一月份支出最大 (2)总收入：（万元）；总支出：（万元） (3)（万元） 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，利用了有理数的加法运算． （1）根据有理数的大小比较，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得答案 （3）根据有理数的加法运算，可得总支出，根据有理数的除法，可得平均支出． 【详解】（1）， 故一月份支出最大； （2）总收入为：（万元）， 总支出为：（万元） （3）平均支出：（万元）． 模块二 有理数的概念 知识点1 有理数 1、 正整数 、 0 和 负整数 统称为整数； 正分数 和 负分数 统称为分数；整数可以写成 分数 的形式；可以写成 分数 形式的数称为有理数。 2、有理数的分类 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 拓展：小数的分类 注意： (1)0既不是正数也不是负数，但它是整数。 (2)因为有限小数与无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是分数。 (3)在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的形式也不同，分类时要弄清分类标准，做到不重不漏不混淆。 3、常见分类标准 非负数：正数和零； 非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零； 非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零； 非正有理数：负有理数和零．考点专训 考点1 有理数概念 【例1】在下列数中：0，，，，3.14，，负分数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义与分类，根据负分数数以及有理数的定义即可确定，根据既是负数又是分数的数是负分数即可作答． 【详解】解： ∵， 在0，，，，3.14，中，负有理数有，，共2个， 故选：B． 【变式1】在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个， 故选：C． 【变式2】下列关于的说法正确的个数是（   ） ①是分数；        ②是小数；        ③是负数；        ④是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数，熟练掌握有理数的相关定义是解题的关键． 根据有理数的相关定义判断即可求解． 【详解】解：∵是分数，是小数，是负数，也是有理数， ∴四个都正确， 故选D． 【变式3】下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数是包括分数、有限小数与无限循环小数；据此判断即可． 【详解】解：，0，，都是有理数； 故选：D． 【变式4】最大的负整数是 ；最小的自然数是 ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了有理数，根据有理数的分类和性质逐项分析即可； 【详解】解：最大的负整数为，最小的自然数为． 故答案为 考点2 有理数的分类 【例1】把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧ ； 负分数集合③，⑤，⑦ ； 正有理数集合②0.2，⑧ ， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 【变式1】把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，，． 正数集合： __________________ 负数集合： __________________ 整数集合： __________________ 正分数集合： __________________． 【答案】，，，，，； ，，，； ，，，，； ，，． 【分析】本题考查了正数概念，以及有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类进行求解，即可解题． 【详解】解：正数集合：，，，，，； 负数集合：，，，； 整数集合：，，，，； 正分数集合：，，． 故答案为：，，，，，；，，，；，，，，；，，． 【变式2】将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类方法是关键． 整数包括正整数、0、负整数；负有理数包括：负分数，负整数；正分数就是大于0的分数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：，，，，，，，，，， 整数集合： ，，， ； 负有理数集合： ，， ； 正分数集合： ， ； 非负整数集合： ，， ． 【变式3】把下列各数填在相应的大括号内： ，0.01，，0，，，4.01，22，，， 正数：{                                               }； 整数：{                                               }； 分数：{                                               }； 有理数：{                                               } ． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键：根据正数是大于0的数，整数包括正整数，负整数和0，分数包括有限小数和无限循环小数，整数和分数统称为有理数，进行作答即可． 【详解】解：正数：{0.01，4.01，22，}； 整数：{ 0，，22，}； 分数：{，0.01，，， 4.01，， }； 有理数：{，0.01，，0，，，4.01，22，，} ． 【变式4】把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 模块三 数轴 知识点1 数轴 定义:规定了 原点 、 单位长度 和 正方向 的直线叫作数轴，它满足以下条件: (1)在直线上任取一个点表示数 0 ，这个点叫作 原点 。 (2)通常规定直线上从原点 向右（或向上） 为正方向，从原点 向左（或向下） 为负方向； (3)选取适当的长度为 单位长度 直线上从原点向右，每隔一个 单位长度 取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…； 注意： (1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸，不能画成射线和线段。 (2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可。 (3)原点位置的选取,单位长度的大小都是根据实际而定的。 (4)同一数轴中的单位长度一定要统一。 (5)数轴上有无数个点,每一个点都表示一个数,不同的点表示的数不同。 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1、每个有理数都可以用数轴上的 一点 来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的 一点 2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 正半轴 与原点的距离是 a 个单位长度；表示数-a的点在数轴的 负半轴 上，与原点的距离是 a 个单位长度。 3、在数轴上表示有理数的方法： 注意： (1)数轴上的点表示的数不一定是有理数. (2)表示数的点一定要画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点, 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 4．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数．考点专训 考点1 数轴的概念及画法 【例1】数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的定义，掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线成为解题的关键．根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【变式1】如图所画的数轴正确的有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可． 【详解】解：第一条数轴的单位刻度不正确， 第二条数轴，符合数轴的三要素，正确， 第三条数轴没有正方向，不正确， 第四条数轴上单位长度不均匀，不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴的画法，明确数轴的三要素，并数形结合进行识别是解题的关键． 【变式2】如图所画数轴正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键．根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：①单位长度不统一，故本选项错误； ②不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； ③不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； ④没有正方向，不符合数轴的特点，故本选项错误． ⑤不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； ⑥规定了原点，正方向，单位长度，符合数轴的特点，故本选项正确； ⑦没有原点，故本选项错误； 故选：A． 【变式3】下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案． 【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意； B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意； D、是数轴，符合题意； 故选：D． 【变式4】图中表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的定义进行解答即可． 【详解】解：A、没有正方向，故选项错误； B、单位长度没有统一，故选项错误； C、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故选项错误； D、符合数轴的特点，故选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的画法，掌握数轴的三要素和数轴的特点是解题的关键． 考点2 用数轴上的点表示有理数 【例1】如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点表示的数为2，则其相反数为； 故选：C． 【变式1】如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用有理数表示数轴上的点，原点左边为负数，右边为正数，且每一小格表示，根据数轴写出答案即可． 【详解】根据题意得 点表示的数是， 点表示的数写成小数是， 点表示的数写成分数是， 故答案为：，，． 【变式2】如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数与数轴，相反数，利用相反数的性质确定原点的位置，再利用原点的位置解答即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点A表示的数字为，点B表示的数字为3， ∴原点距离点一个单位长度，点在原点的右侧， ∴点C表示的数字为1． 故答案为：1． 【变式3】给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． 先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：将表示上面各数的点在数轴上表示如下： 【变式4】画出数轴并标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：， 如图，在数轴上表示各数如下： 考点3 数轴上两点间的距离 【例1】到原点的距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上一点到原点的距离为该点表示的数的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：到原点的距离是， 故选：A． 【变式1】数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和点B距离相等，列式计算，即可作答．即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为6， ∴点B表示的数是：和6， ∵数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B， ∴或 ∴点A表示的数是2或， ∵点C到点A和点B距离相等， ∴或， ∴点C表示的数是或10 故选：B． 【变式2】在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 【变式3】点A，B在数轴上的位置如图所示，则A，B两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是掌握两点间的距离公式，解为右边的数减去左边的数，或者是两个数的差的绝对值．直接利用右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 模块四 课后作业 1．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】没有最小的整数，故①错误； 有理数包括正数、0、负数，故②错误； 非负数就是正数和0，故③正确； 整数和分数统称有理数，故④正确； 故选：C 【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键． 2．在数中，负分数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负分数的定义可以得到答案，要注意负小数也可以化为负分数． 【详解】解：在数中，负分数有，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义，要注意很容易将负小数漏掉，出现错误． 3．如果电梯上升8层记作层，那么下降2层记作______层． 【答案】 【分析】具有相反意义的量，就是规定一个为正，另一个即为负，加上符号即可． 【详解】解：根据题意，上升8层记作层， 则下降2层记作． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反意义的量，掌握规定一个量为正数，则另一个相反意义的量就是负数是关键． 4．在数轴上距原点7个单位的点表示的数是______. 【答案】/7或/或7 【分析】根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：设该点表示的数为：，由数轴上两点间的距离公式可得： ，即：，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离公式．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 5．杜甫出生于公元712年，表示为年，则孔子出生于公元前551年，表示为_____年． 【答案】 【分析】根据年表示李白出生于公元712年，可以表示出孔子出生于公元前551年，从而可以解答本题． 【详解】∵用年表示李白出生于公元712年， ∴孔子出生于公元前551年表示为：年， 故答案为． 【点睛】此题考查正数和负数，解题关键在于掌握正数和负数的实际意义． 6．长为2021个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖__个整数点． 【答案】2022 【分析】当木条从整数点开始覆盖时，覆盖的整数点最多． 【详解】解：由数轴上一个单位长度有两个整数点，可得： 当木条的端点放在数轴的整数点上时，此时最多可以覆盖住比木条长度多一个整数点， 则可得：2021+1=2022． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了数轴的知识，牢固掌握数轴相关概念是解题的关键． 7．在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______. 【答案】或1 【分析】根据数轴上两点间距离关系及有理数加减法即可得到答案． 【详解】解：表示左边的点，比小2的数时，这个数是； 表示右边的点，比大2的数时，这个数是； 故答案为或1． 【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系及有理数加减法计算，解题的关键是分类讨论． 8．有理数，，0，，，，，2003中，负分数有_______个． 【答案】4 【分析】根据“比0小的分数为负分数，小数可以化为分数”即可得出答案． 【详解】解：负分数有：，，，，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义． 9．在分数，，，中，不能化成有限小数的是____________． 【答案】， 【分析】分数化成有限小数指的是分子能整除分母，由此即可求解． 【详解】解：，是无限循环小数，，是无限循环小数， ∴不能化成有限小数的是，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查分数与小数的转化，理解有限小数，无限小数的概念是解题的关键． 10．在，，，，，，，中，非负数的个数为______． 【答案】 【分析】根据非负数包括正数和判断即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，非负数有，，，，，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的分类．正确掌握有理数的分类标准是解题的关键． 11．点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，这时点表示的数是______． 【答案】 【分析】由数轴的概念，即可解决问题． 【详解】解：∵点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧， ∴点表示的数是， ∴将点向右移动个单位长度后表示的数是， ∴再向左移动个单位长度后点表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴的概念，用数轴上的点表示数．解题的关键是掌握数轴的三要素． 12．一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度． 【答案】 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可． 【详解】解： ； 故答案为． 【点睛】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左加右减”，在学习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键． 13．某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ 【答案】(1)92分 (2)70分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2）根据正负数的意义，可得答案； 【详解】（1）最高分是分； （2）最低分是分； 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 14．把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，， (1)正数集合：{________________ …}； (2)负数集合：{________________…}； (3)整数集合：{________________…}； (4)分数集合：{________________…}； 【答案】(1)2，， (2)，， (3)2， (4)， 【分析】根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】（1）解：正数有：2，，， 故答案为：2，，； （2）解：负数有：，，； 故答案为：，，； （3）解：整数有：2，； 故答案为：2，； （4）解：分数有：，； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 15．已知下列有理数：－4，2，－3.5，0，－2，3，－0.5 （1）在数轴上标出这些有理数表示的点； （2）设表示－0.5的点为A，那么与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2）3.5或−4.5． 【分析】（1）根据所给有理数画出数轴标出各数据即可． （2）直接利用数轴结合与A点的距离相差4个单位长度，即可得出答案． 【详解】（1）如图所示： ； （2）设表示−0.5的点为A， 则与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是：−0.5+4=3.5或−0.5−4=−4.5. 【点睛】本题考查数轴，根据题意正确的在数轴上表示出各数据是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$