精品解析：2025年河南省安阳中考二模数学试题

2025年中考模拟考试试题（二） 数学2 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 6 2. “一片甲骨惊天下”，安阳殷墟出土的甲骨文是我国目前发现最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《2025年国务院政府工作报告》指出国家奖助学金提标扩面、助学贷款提额降息，惠及学生3400多万人次．将数据“3400万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，适宜用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查 C. 了解某班学生视力情况 D. 调查市面上预制菜的卫生情况 6. 一木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力方向与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 8. 某校九（1）班级部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间．如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍．设宿舍有间，学生有y人，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式______________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____________． 13. 造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是________ 14. 如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为________ 15. 如图，在正方形中，点A，点在轴上，点坐标为，是平面内任意一点，且始终满足，连接，则线段的最大值为________，最小值为________ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 中招体育考试前，某校对九年级进行了一次体育模拟测试，为了解该年级学生体育模拟测试情况，随机抽取了50名男生和50名女生的体育测试成绩，并将数据进行整理分析，得到如下信息： 信息一：将抽取学生成绩x（单位：分）分为A，B，C，D四个等级： A： B： C： D： 其中男生成绩在B等级前10名考生的分数为： 65，65，65，64，64，64，63.5，63.5，63，63． 信息二：抽取的50名男生成绩和50名女生成绩统计信息如下． 男生成绩统计图 女生成绩统计图 男生、女生成绩统计表 平均数／分 中位数／分 众数／分 男生 64 a 66.5 女生 64 64 66 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，并补全条形统计图． （2）在这次模拟测试中，你觉得男生与女生成绩哪个更好一点？试说明理由． （3）若该年级有400名男生，350名女生，请估计该年级所有参加体育模拟测试的考生中，成绩为A等级的考生人数． 18. 如图，A，B，D都在格点(网格线的交点)上，是的中位线，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象． （3）将点A向左平移，当平移距离等于________时，点A恰好落在这个反比例函数图象上． 19. 如图，在四边形中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，证明四边形是菱形． 20. 菱里城又称文王庙，是周易文化发祥地．羑美里城遗址内耷立着一尊花岗岩文王雕像（如图1）．某数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量文王雕像的高度．如图2，在M处用测角仪测得雕像底部B的仰角，沿方向前进到达点N处，又测得雕像顶端A的仰角．已知雕像底部B距离水平地面的高度为，若测角仪和的高度均为，测量点，与点在同一水平线上，求文王雕像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，）． 21. 本学期开始，我省义务教育阶段学校需每天开展两小时综合体育活动．为更好地满足学生体育活动需要，某中学计划购进一批足球和排球．据了解，某体育用品店每个足球比排球贵30元，若用1600元购买足球的数量与用1000元购买排球的数量相等． （1）求每个足球和每个排球各多少元？ （2）该学校计划购进足球和排球共120个，且购买足球的数量不少于排球数量的，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用． 22. 某小型汽车刹车后行驶的距离关于行驶时间的函数解析式为．是刹车前的行驶速度（假设刹车前小型汽车匀速行驶）． （1）汽车完全停下来所用的时间为________．（用含的式子表示） （2）若汽车刹车后前进停下，求刹车前汽车的行驶速度． （3）某段公路对小型汽车限速为，驾驶员发现前方有交通事故后紧急刹车，汽车行驶完全停下，从紧急刹车到汽车完全停下所用时间为（其他因素忽略不计）．请判断该车是否超速，并说明理由． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究． 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． （1）观察思考 如图，在双直四边形中，，若，则的值为________． （2）初步探究 如图，在双直四边形中，，过点作交于点．若，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． （3）类比探究 如图，在（）的基础上，若、、，求的长（用含，，的代数式表示）． （4）拓展应用 如图，在双直四边形中，．，，为线段上一动点，且（，连接，作点关于直线的对称点，连接．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考模拟考试试题（二） 数学2 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，掌握实数的大小比较方法成为解题的关键． 先求出每个数的绝对值的大小，然后根据实数大小比较的法则比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是0． 故选：A． 2. “一片甲骨惊天下”，安阳殷墟出土的甲骨文是我国目前发现最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A. ，不是轴对称图形； B. ，是轴对称图形； C. ，不是轴对称图形； D. ，不是轴对称图形． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，单项式除以单项式的法则分别进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可合并，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 4. 《2025年国务院政府工作报告》指出国家奖助学金提标扩面、助学贷款提额降息，惠及学生3400多万人次．将数据“3400万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中为比原数的整数位数少 1 的正整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此即可获得答案． 【详解】解：3400万， 故选：A． 5. 下列调查中，适宜用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查 C. 了解某班学生的视力情况 D. 调查市面上预制菜的卫生情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此即可求解． 【详解】解：A. 企业招聘，对应聘人员进行面试，适宜用全面调查，故该选项不符合题意； B. 神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适宜用全面调查，故该选项不符合题意； C. 了解某班学生的视力情况，适宜用全面调查，故该选项不符合题意； D. 调查市面上预制菜的卫生情况, 适宜用抽样调查，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 一木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力方向与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，三角形的外角和定理等．根据外角和定理及平行线性质可列等式即，代入数值计算即可． 【详解】解：如图， ∵摩擦力的方向与斜面平行 ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， 故选：C． 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过移项、合并同类项、系数化为求解不等式的解集，再依据解集判断其在数轴上的正确表示．本题主要考查一元一次不等式的解法（移项、合并同类项、系数化为 ）及解集在数轴上的表示（实心点表示包含该点，折线方向体现不等号方向 ）．熟练掌握不等式变形规则和数轴表示解集的方法是解题关键，同时要留意题目可能存在的输入误差，结合选项合理分析． 【详解】解： ： ； ； ． 把表示在数轴上为 故选：B． 8. 某校九（1）班级部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间．如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍．设宿舍有间，学生有y人，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两种住宿安排的描述，分别找出宿舍间数、学生人数的等量关系，从而列出方程组．本题主要考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，熟练掌握从实际情境中提取等量关系，并用方程表示等量关系是解题的关键． 【详解】解：设宿舍有间，学生有y人，可列方程组 ， 故选： ． 9. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形性质确定点坐标，进而得出中点坐标，设出点坐标，利用，结合两点间距离公式列方程求解．本题主要考查平行四边形的性质、中点坐标公式及两点间距离公式，熟练掌握这些知识并灵活运用方程思想是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ）， ∴， ∵为中点，，， ∴． 设 ∵， ∴， 解方程得， ∴， 故选：D． 10. 阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先分别分析、的构成并计算，再根据面积相等推导结论．本题主要考查勾股定理的验证，利用图形割补后面积不变建立等式是解题的关键． 【详解】解： 是由边长为的正方形、边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积分别为、，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故①错误． 是由边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积为，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故②错误． ∵操作过程只是裁剪、翻转、拼接，面积不变， ∴，即， 化简可得，故③④正确 ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式______________． 【答案】（答案不唯一，符合要求即可） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式即可得出结论． 【详解】解：写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式， 故答案为：（答案不唯一） 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 13. 造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示， 根据题意画图如下： 由图可知，共有 12 种等可能结果，其中恰好是“指南针”和“印刷术”的有 2 种， 则抽到的两张卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是． 故答案为：． 14. 如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，连接，过点作，结合弦，证出四边形是矩形，得出，垂径定理得出，勾股定理求出，得出，勾股定理求出，垂径定理得出． 【详解】解：连接，过点作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的长为8，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 15. 如图，在正方形中，点A，点在轴上，点坐标为，是平面内任意一点，且始终满足，连接，则线段的最大值为________，最小值为________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，取中点P，连接，根据正方形性质，得，，，得， 得，得，，，得，当点P在线段上时，取得最大值，为；当点O在线段上时，取得最小值，为． 【详解】解：连接，取中点P，连接， ∵四边形正方形， ∴，， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， 取得最大值， 为； 当点O在线段上时， 取得最小值， 为． 故答案：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，中点坐标，两点间的距离，分类讨论，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂为正整数（，为正整数）、绝对值的化简、化简二次根式、分式的通分与约分等知识，熟练掌握各运算法则及公式，准确进行式子变形与运算，是解题的关键． （1）依次运用零指数幂、绝对值、负整数指数幂的性质，逐步化简计算； （2）先对括号内分式通分、因式分解，再将除法变乘法，通过约分完成化简． 【详解】解：（1） （2） 17. 中招体育考试前，某校对九年级进行了一次体育模拟测试，为了解该年级学生体育模拟测试情况，随机抽取了50名男生和50名女生的体育测试成绩，并将数据进行整理分析，得到如下信息： 信息一：将抽取的学生成绩x（单位：分）分为A，B，C，D四个等级： A： B： C： D： 其中男生成绩在B等级前10名考生的分数为： 65，65，65，64，64，64，63.5，63.5，63，63． 信息二：抽取的50名男生成绩和50名女生成绩统计信息如下． 男生成绩统计图 女生成绩统计图 男生、女生成绩统计表 平均数／分 中位数／分 众数／分 男生 64 a 66.5 女生 64 64 66 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，并补全条形统计图． （2）在这次模拟测试中，你觉得男生与女生成绩哪个更好一点？试说明理由． （3）若该年级有400名男生，350名女生，请估计该年级所有参加体育模拟测试的考生中，成绩为A等级的考生人数． 【答案】（1）64.5，44，见解析 （2）男生的成绩好．因为男生女生成绩的平均数相同，男生成绩的中位数与众数都高于女生．（注：答案不唯一，解释合理即可） （3）成绩为A等级的考生人数是316人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，中位数求解，样本估计总体等知识点，读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数的定义即可求解，B所占百分比为1减去的百分比以及的百分比，而的百分比用圆心角除以求解；求出男生中C等级的人数，即可补全条形统计图； （2）根据平均数和中位数分析即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：50名男生的中位数为第25，26人成绩的平均数， 由条形统计图可得：第25，26人成绩为65，64， ∴中位数， 由扇形统计图可得：B所占百分比为：， ∴， 故答案为：64.5，44； 男生中C等级的人数为：，则补全条形统计图为： 【小问2详解】 解：男生的成绩好．因为男生女生成绩的平均数相同，男生成绩的中位数与众数都高于女生．（注：答案不唯一，解释合理即可）； 【小问3详解】 解：，（人） 答：成绩为A等级的考生人数是316人． 18. 如图，A，B，D都在格点(网格线的交点)上，是的中位线，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象． （3）将点A向左平移，当平移距离等于________时，点A恰好落在这个反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2）1 （3）6 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数解析式，画反比例函数图象，平移等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）将点C代入反比例函数解析式求出k，即可得解； （2）根据8的约数可分别取，列表求出函数值，从而描点连线即可； （3）求出点A的坐标，找出反比例函数图象上与点A的纵坐标相等的点，根据两点间的距离回答即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 列表格如下： x 1 2 8 y 8 4 1 描点连线得： 【小问3详解】 ∵是的中位线，， ∴点C是的中点， 又∵反比例函数的图象经过点， ∴点A向左平移6个单位长度，则可使得点A恰好落在这个反比例函数的图象上， 故答案为：6． 19. 如图，在四边形中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，证明四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】考查了尺规作图（作一个角等于已知角 ）、平行四边形的判定与性质、菱形的判定 ．熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理，以及利用尺规作等角的方法是解题的关键． （1）利用尺规作图中作一个角等于已知角的方法，以 为顶点， 为一边作 ，从而确定点 位置 ． （2）先通过角的关系证明 ，结合 证四边形 是平行四边形，得出 ；再结合 推导 ，证四边形 是平行四边形，最后由 证其为菱形 ． 【小问1详解】 解：如图． 小问2详解】 证明：由（1），得． ， ． ． ． 四边形是平行四边形． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形． ， 是菱形 20. 菱里城又称文王庙，是周易文化发祥地．羑美里城遗址内耷立着一尊花岗岩文王雕像（如图1）．某数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量文王雕像的高度．如图2，在M处用测角仪测得雕像底部B的仰角，沿方向前进到达点N处，又测得雕像顶端A的仰角．已知雕像底部B距离水平地面的高度为，若测角仪和的高度均为，测量点，与点在同一水平线上，求文王雕像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，）． 【答案】文王雕像的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，运用解直角三角形求得所需线段的长度成为解题的关键． 由题意得，，，，易得，在中解直角三角形可得，易得；在中，解直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意得，，，， ， 在中，，． ∴． ， 在中，，， ， ． 答：文王雕像的高度约为6m． 21. 本学期开始，我省义务教育阶段学校需每天开展两小时综合体育活动．为更好地满足学生体育活动需要，某中学计划购进一批足球和排球．据了解，某体育用品店每个足球比排球贵30元，若用1600元购买足球的数量与用1000元购买排球的数量相等． （1）求每个足球和每个排球各多少元？ （2）该学校计划购进足球和排球共120个，且购买足球的数量不少于排球数量的，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）每个足球的价格是80元，每个排球的价格是50元． （2）当购买足球30个，排球90个时，总费用最少，最少总费用为6900元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，熟练掌握分式方程的解法、不等式的求解和一次函数增减性分析是解题的关键． （1）通过设足球价格为未知数，利用“1600元购买足球数量与1000元购买排球数量相等”这一关系列分式方程求解单价； （2）设足球购买数量，根据条件列不等式确定数量范围，再构建总费用函数，依据函数单调性求最值． 【小问1详解】 解：设每个足球的价格是元，则每个排球的价格是元，依题意得 解得 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ． 答：每个足球的价格是80元，每个排球的价格是50元． 【小问2详解】 解：设购进足球个，则购进排球个，购买总费用是元，依题意得 解得． ． ， 随的增大而增大，当时，取得最小值6900元． 此时，． 答：当购买足球30个，排球90个时，总费用最少，最少总费用为6900元． 22. 某小型汽车刹车后行驶的距离关于行驶时间的函数解析式为．是刹车前的行驶速度（假设刹车前小型汽车匀速行驶）． （1）汽车完全停下来所用的时间为________．（用含的式子表示） （2）若汽车刹车后前进停下，求刹车前汽车的行驶速度． （3）某段公路对小型汽车限速为，驾驶员发现前方有交通事故后紧急刹车，汽车行驶完全停下，从紧急刹车到汽车完全停下所用时间为（其他因素忽略不计）．请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】（1） （2）刹车前小型汽车的行驶速度为 （3）超速，理由见解析 【解析】 【分析】（）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）由（）得汽车完全停下来的距离为，把代入计算即可求解； （）把代入计算求出即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，取得最大值， ∴汽车完全停下来所用的时间为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得，汽车完全停下来的距离为， 当时，， ， 即刹车前小型汽车的行驶速度为； 【小问3详解】 解：超速，理由如下： 由题意得，， 解得 ， ∴该车超速． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究． 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． （1）观察思考 如图，在双直四边形中，，若，则的值为________． （2）初步探究 如图，在双直四边形中，，过点作交于点．若，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． （3）类比探究 如图，在（）的基础上，若、、，求的长（用含，，的代数式表示）． （4）拓展应用 如图，在双直四边形中，．，，为线段上一动点，且（，连接，作点关于直线的对称点，连接．若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（）由已知可得，进而根据锐角三角函数即可求解； （）证明即可求解； （）证明，可得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解； （）分点的对应点在的下方和上方两种情况，分别画出图形，利用正方形和相似三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：分两种情况：①如图，当点对应点在的下方时， 如图，过点作于点， 由（）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可得，， ∴， 由折叠的性质可知四边形为正方形， 连接，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当点的对应点在的上方时， 同理可得； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，运用分类讨论思想并正确作出辅助线解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$