精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

高一数学5月试卷 (120分钟　150分) 考试范围: 《必修第二册》第六章(20%)+第七章(10%)+第八章(25%)+第九章(45%) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则|z|=（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 某校高一、高二、高三年级学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 50 4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 5. 在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（ ） A. + B. + C. + D. - 6. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为3，与底面所成角正切值为，则该直四棱柱的侧棱长为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图，样本数据分组为.若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（ ） A. 110 B. 140 C. 150 D. 90 8. 已知球O的半径R为2，一母线长与圆锥底面直径相等的圆锥位于球内，圆锥顶点在球面上，底面与球面相接，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 不共面的四点中，任意三点不共线 B. 若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则 C. 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D. 依次首尾相接的四条线段必共面 10. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 30 30 20 10 10 A. 这100人的成绩的平均数为3.4 B. 这100人的成绩的平均数为3.6 C. 这100人成绩的方差为1.61 D. 这100人的成绩的方差为1.64 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若复数满足，则的最大值为3 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等腰中，，则____. 13. 如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角大小为____. 14. 若，则集合中共有____个元素. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若的夹角为，求; （2）若，求与的夹角θ. 16. 已知复数， ，其中 . （1）若为纯虚数，求b的值; （2）若与互为共轭复数，求的值. 17. 已知向量，，，其中A是的内角，. （1）求角A的大小； （2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围. 18. 某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. （1）求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; （2）求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 19. 如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为，，是上的一点，且，是上靠近点的三等分点. （1）求直线与直线所成角的余弦值; （2）求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学5月试卷 (120分钟　150分) 考试范围: 《必修第二册》第六章(20%)+第七章(10%)+第八章(25%)+第九章(45%) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则|z|=（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数的模的计算公式求出. 【详解】已知，可得.  因为，所以.  . 故选：C. 2. 若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据投影向量的计算公式求出向量在向量上的投影，再结合投影向量的定义求出投影向量. 【详解】已知，. 可得.  可得  根据向量在向量上的投影向量为，将，，代入可得： .  向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 3. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的特点，先求出高一年级学生人数在总人数中的占比，再用样本容量乘以该占比，即可得到从高一年级抽取的学生人数. 【详解】已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为，那么高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为： 现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为$200$的样本，根据分层抽样的计算方法，从高一年级抽取的学生人数为： （人） 从高一年级抽取的学生人数为60人. 故选：A. 4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 【答案】C 【解析】 【分析】判断直线与所成角不是直角，利用异面直线判定定理判定其为异面关系. 【详解】 取中点R， 连接，则容易得到，，则， 知道四边形为平行四边形，则，则是直线AM与BN夹角或其补角. 设正方体棱长为，则，，，则， 则为锐角，不是直角，则直线AM与BN不垂直. 因为平面，平面，平面，， 所以为异面直线， 综上所得，与异面且不垂直. 故选：C. 5. 在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（ ） A. + B. + C + D. - 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量基本定理得到. 【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故， 所以. 故选：A 6. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为3，与底面所成角的正切值为，则该直四棱柱的侧棱长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到底面，得到为直线与平面所成的角，在直角，列出方程，即可求解. 【详解】在直四棱柱中，可得底面， 所以为直线与平面所成的角，所以， 设直四棱柱的侧棱长为， 因为底面四边形是边长为的正方形，可得， 在直角，可得，解得， 所以直四棱柱的侧棱长为. 故选：D. 7. 某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图，样本数据分组为.若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（ ） A. 110 B. 140 C. 150 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中的数据，求得净重大于或等于80克的频率为，进而的得到答案. 【详解】由频率分布直方图，可得净重大于或等于80克的频率为， 所以净重大于或等于80克的个数为个. 故选：B. 8. 已知球O的半径R为2，一母线长与圆锥底面直径相等的圆锥位于球内，圆锥顶点在球面上，底面与球面相接，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得，由圆锥的体积公式可求体积. 【详解】如图，设圆锥的底面半径为，由题意知圆锥轴截面为正三角形，则圆锥的高为， 则，即，解得， 则圆锥的体积为. 故选：C． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 不共面的四点中，任意三点不共线 B. 若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则 C. 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D. 依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，假设四个点中有三点共线，则这条直线与另外一个点必共面，即这四个点必共面，所以不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A正确； 对于B，在平面α内有1条直线与平面β垂直，可得，故B正确； 对于C，如下图，直线a，b共面，直线a，c共面，但b，c异面，故C错误； 对于D，如下图，四条线段a，b，c，d首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误. 故选：AB. 10. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 30 30 20 10 10 A. 这100人的成绩的平均数为3.4 B. 这100人的成绩的平均数为3.6 C. 这100人的成绩的方差为1.61 D. 这100人的成绩的方差为1.64 【答案】BD 【解析】 【分析】根据统计图表中的数据，利用平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由统计图表中的数据，可得： 这100人的成绩的平均数为； 方差为. 故选：BD. 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若复数满足，则的最大值为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的概念与性质，结合反例和复数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如：复数，可得，所以A错误； 对于B中，例如：复数，因为虚数不能比较大小，所以B错误； 对于C中，例如：复数，可得，但，所以C错误； 对于D中，由复数满足，可得在复平面内复数表示以原点为圆心，半径为1的圆， 又由表示圆上的点到点的距离， 如图所示，可得的最大值为，所以D正确. 故选：ABC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等腰中，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，取的中点，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，因为，可得， 在等腰中，由， 可得. 故答案为： 13. 如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为____. 【答案】 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得，，所以是二面角的平面角，最后由余弦定理得到二面角的大小. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，所以是二面角的平面角. 又，则，即二面角大小是. 故答案为：. 14. 若，则集合中共有____个元素. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，利用利用的乘方的周期性求得，从而可得结论. 【详解】因为，，所以， 利用的乘方的周期性可以求出或， 所以集合中共有共有2个元素. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若的夹角为，求; （2）若，求与的夹角θ. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的定义可求得，利用可求解. （2）利用，可求得，可求得. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以 ， 所以，又因，所以. 16. 已知复数， ，其中 . （1）若为纯虚数，求b的值; （2）若与互为共轭复数，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据纯虚数的定义求出的值，再将化简， （2）结合共轭复数的性质求出的值，进而求出的值. 【小问1详解】 已知为纯虚数，则可得 解，可得，此时，满足条件. 所以. 【小问2详解】 对进行化简， ， 因为与互为共轭复数，且， 所以解得，则. 17. 已知向量，，，其中A是的内角，. （1）求角A的大小； （2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由可得，由可得B为钝角，由此可求结论； （2）根据正弦定理证明，，化简可得，根据在上单调递减即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，由，得B为钝角， 则A为锐角，故，所以，故； 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 所以，， 则， 因为函数，在上单调递减， 所以在上单调递减， 代入值计算得， 故的取值范围为. 18. 某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. （1）求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; （2）求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为，根据题意，列出方程求得，求得的值； （2）由（1）可得高三学生所占的比例分别为，进而求得高三年级应抽取的人数. 【小问1详解】 解：设登山看日出组的人数为x，在海边看日落组中， 设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为， 则，解得， 所以. 故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为. 【小问2详解】 解：由（1）可得高三学生所占的比例分别为， 所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为人. 19. 如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为，，是上的一点，且，是上靠近点的三等分点. （1）求直线与直线所成角的余弦值; （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，证得，又由，证得平面，得到，得到为二面角的平面角，求得，设异面直线与所成的角为，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由，得到点到平面的距离等于点到平面的距离的，过点作，证得平面，得到为点到平面的距离，在直角中，求得，得到，再由，结合锥体的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由底面，且底面，所以， 又由，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，所以， 在直角中，由，可得， 在直角中，由，所以， 在直角中，由，可得， 则， 设异面直线与所成的角为， 则 【小问2详解】 解：因为，可得点到平面的距离等于点到平面的距离的， 过点作， 因为底面，且底面，所以， 因为，且平面，所以平面， 即为点到平面的距离， 在直角中，可得，所以， 又由是上靠近点的三等分点，可得， 所以三棱锥的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $