精品解析：江苏省南京、镇江、徐州联盟校2024-2025学年高二下学期5月学情调研数学试题

2024-2025学年高二下学期5月学情调研 数学试题 命题单位：徐州市第三中学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：，. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，黑球个数X服从超几何分布，再借助超几何分布的期望公式计算作答. 【详解】依题意，取出3球中黑球个数X为随机变量，，X服从超几何分布， 所以黑球个数的数学期望是. 故选：C 2. 已知的分布列如下表所示，设，则（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分布列性质求参数，利用期望公式求，再利用线性关系求，即可求出答案. 【详解】利用概率和为，可得 则根据题意得：， 因为，所以， 故选：D. 3. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 【答案】C 【解析】 【分析】求得样本中心点，得到，即可求解. 【详解】由， 可得数据可得样本中心点为： 代入回归方程，解得：， 所以当时，． 故选：C 4. 将5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分法共有（ ）种. A. 54 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将5本不同的书分给3个同学，则不同的分法有和，利用分类加法计数原理即可求解. 【详解】由题意有：将5本不同的书分给3个同学，则不同的分法有和， 所以按分则有，按分则有， 根据分类加法计数原理有， 故选：D. 5. 已知，则的值为（ ） A. 64 B. C. 63 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，令得到，再令得到，即可求值. 【详解】令，， 再令，， 所以. 故选：D. 6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，也叫赵爽弦图，现用5种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ） A. 180 B. 240 C. 360 D. 420 【答案】D 【解析】 【分析】根据需要颜色的种数分类讨论，利用排列组合分别求出即可. 【详解】由题意至少需要3种不同的颜色， 第一种：只要3种颜色时，则有种选法，先涂则有， 颜色相同则有，剩下一种涂， 根据分步乘法计数原理得种涂法， 第二种：需要4种颜色时，则有，先涂则有， 当颜色相同则有，则颜色不同有， 当颜色相同有，则颜色不同有， 所以共有种涂法， 第三种：需要5种颜色时，则全排列共有， 根据分类加法计数原理有. 故选：D. 7. 不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，的可能取值为1，2，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当时，η可取1，2，3，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得. 【详解】当时，ξ的可能取值为1，2， ，， 因此，； 当时，的可能取值为1，2，3， ，，， 因此，， 所以，. 故选：A 8. 如图所示，函数及其导函数的图象有且仅有一个公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象特征，确定曲线为函数的图象，为函数的图象，再根据选项中的函数，利用求导判断函数的单调性，即可推得函数的极值情况. 【详解】如图，曲线为函数的图象，为函数的图象. （因如果是函数的图象，则因曲线有升有降，故导函数的图象上点的纵坐标应是正负相间，显然不符合） 由图可得，当时，，当时，，且. 对于A，B，由 求导得，无法根据图形判断的正负情况，故A，B错误； 对于C，D，由求导得， 因为函数及其导函数的图象有且仅有一个公共点，即， 由上分析，当时，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极大值，也是最大值，为，即C正确，D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去掉点后，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大 C. 回归系数变大 D. 回归截距变大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线性回归分析中的相关系数、残差平方和、回归系数以及回归截距等概念.分析去掉点后，这些量的变化情况判断. 【详解】对于A，从图中可以看出，点相对偏离其他点所呈现的线性趋势.去掉点后，剩下的点的线性相关性会增强，即更接近，因为原本的线性关系被点有所干扰，去掉它后数据更符合线性规律，又因为整体数据呈现正相关，所以相关系数变大，A选项正确. 对于B，残差平方和是衡量回归模型拟合效果的指标，残差是指观测值与回归值的差.点相对偏离回归直线，去掉它后，数据整体更贴近回归直线，即观测值与回归值的差异变小，所以残差平方和变小，B选项错误. 对于C，回归系数. 设原来五个点，，，，，计算可得，. 去掉点后，新的，. 原来 . . 去掉点后， . . 原来，去掉点后，所以回归系数变大，C选项正确. 对于D，由，原来. 去掉点后，，所以回归截距变小，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（ ） A. 事件与事件相互对立 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式判断A；利用条件概率公式与对立事件的概率公式求得，从而利用独立事件的概率公式判断B；利用事件的概率公式判断C；利用条件概率公式判断D. 【详解】对A，因为，不满足， 所以事件与事件不是相互对立事件，故A错误； 对B，根据题意可得， 由条件概率公式可得，， 又，，所以， 又易知，所以； 即满足，所以事件与事件相互独立，故B正确； 对C，易知，故C正确； 对D，由条件概率公式可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，若，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的性质，结合导数的几何意义、函数单调性等知识，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】表示函数图象上两点与连线的斜率. 对求导，可得. 当取值不同时，的值也不同，其取值范围是，并不一定大于，所以不一定大于，选项错误.  ，不妨设，，则，. 因为，但这只是特殊情况，不能代表一般情况. 令，对求导得，在上单调递增. ，其正负性不确定，所以不一定大于，选项错误.  设，对求导，可得. 当时，，则，所以在上单调递增. 因为且，所以，即，选项正确.  若，令，对求导，可得. 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减. 所以当时，与的大小关系不确定，即与的大小关系不确定，那么与的大小关系也不确定，选项错误.  故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则二项式展开式中常数项为________.（结果用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】解组合方程可得，再根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以 ，则 二项式为，通项公式为： 即， 由 所以常数项为：. 故答案为：240. 13. 已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，要使正面至少出现一次的概率超过0.99，则至少需要抛掷硬币________次. 【答案】7 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率公式结合对立事件概率公式及指数函数单调性计算求解. 【详解】若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上概率为，要使正面至少出现一次的概率超过0.99， 所以，所以，单调递减，且， 则至少需要抛掷硬币次. 故答案为：7. 14. 已知函数满足，，分别是函数极大、极小值点，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得即可求解，利用导数研究极值即可求解. 【详解】由题意有，所以，解得， 所以，所以， 令，得或，由有或，有， 所以单调减区间为，曾区间为， 所以的极大值点为，极小值点为，所以， 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，为实数. （1）若函数在处的切线经过点，求的值； （2）若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算，，得切线方程，由切线经过即可求解； （2）先求导得，根据的情况分类讨论求出极小值，利用极小值大于2即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又， 所以函数在处的切线方程为， 因为切线经过点，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，函数的定义域为， 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，无极值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，极小值为， 由，所以，所以的取值范围为. 16. 2025年5月6日凌晨，我国斯诺克球员赵心童以业余选手身份参赛，连过九轮，最终取得25年斯诺克世界锦标赛的冠军，成为了我国乃至亚洲在这一赛事上的第一人，这必将在青少年中掀起一股新的台球热.某调研机构为了解青少年对台球的喜爱程度进行问卷调查（评价结果仅有“喜爱”、“不喜爱”），从所有参与评价的对象中抽取100人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）： 喜欢 不喜欢 合计 男生 40 50 女生 30 合计 100 （1）请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对台球运动的喜爱与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从所有“喜欢”的青少年中随机选取30人，记被选中的人中恰有个男生的概率为，当取何值时，取得最大值. 附：，，. 【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为对台球运动的喜爱与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）先补充列联表计算卡方与临界值比较即可判断相关性； （2）根据二项分布的概率公式列不等式组计算求参即可. 【小问1详解】 提出假设：青少年对台球的喜爱与性别无关 填表得：，，，，， 所以. 因为当成立时， 的概率约为0.001，所以我们有99.9%的把握认为对台球运动的喜爱与性别有关. 【小问2详解】 记从喜爱打台球的青少年中选中男生为事件，由频率可知， ， 则，所以 ， 则，即 解得 ， 因为，所以. 故当时，取得最大值 . 17. 为庆祝五一国际劳动节，某科技企业开展人工智能知识竞赛活动，竞赛试题有甲、乙、丙三类，每类题有若干道，各类试题的每题分值及选手小李答题情况如下：甲类题答对一题得10分，小李能答对甲类题的概率为，乙类题答对一题得20分，小李能答对乙类题的概率为、丙类题答对一题得30分，小李能答对丙类题的概率为，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分.竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束各轮得分之和即为选手最终得分。竞赛规则为：第一轮先回答一道甲类题，若正确进入第二轮答题，若错误继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则退出比赛。第二轮在乙类题中选择一道作答，若正确进入第三轮答题，否则退出比赛，第三轮在丙类题中选择一道作答. （1）求小李答题次数恰好为2次的概率； （2）求小李最终得分的数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件与互斥事件的概率公式求解. （2）求出小李最终得分的所有可能值及对应的概率，再求出数学期望. 【小问1详解】 记事件“小李先答对一道甲类试题”，事件“小李继续答对另一道甲类试题”， 事件“小李答对乙类试题”，事件“小李答对丙类试题”， 则，，， 记事件“小李答题次数恰好为两次”，则， 所以 . 【小问2详解】 设小李最终得分为，则的可能取值为0，10，30，60 ， 则， ， ， 分布表如下： 0 10 30 60 所以 . 18. 某学校有两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为，前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为，如此往复．已知他第1天选择餐厅的概率为，第2天选择餐厅的概率为． （1）求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐的概率； （2）求王同学第天选择餐厅用餐的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设“王同学第天选择餐厅”，利用全概率公式求出p=0.5，再设设“王同学第天恰好有两天在餐厅用餐”，再利用全概率公式从而可求解. （2）利用全概率公式可得，化简得到，从而可证为等比数列，从而可求解. 【小问1详解】 设“王同学第天选择餐厅”． ． 由全概率公式，得，解得． 设“王同学第天恰好有两天在餐厅用餐”，则， 因此． 【小问2详解】 设“王同学第天选择餐厅”，则， 由题与（1）可得． 由全概率公式，得． 则，又因为， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 因此，即． 19. 若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界. （1）求函数的下界的取值范围： （2）若1是函数的一个下界，求的取值集合； （3）若是函数的一个下界，求证：的最大值为0. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而可求的最小值； （2）依题意可知恒成立，利用导数研究恒成立问题即可； （3）依题意可知即证的最小值为0，利用导数研究函数的单调性，进而可求最值. 【小问1详解】 由函数，得， 令，得， 所以为增函数； 又， 所以当时，，当时，， 所以，故； 【小问2详解】 函数，得， 若，则，函数在为减函数， 因为，所以当时，，不合题意，舍去， 若，令，得， 故当时，，当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以， 由题知， 令，， 故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以，所以，所以的取值集合为. 【小问3详解】 ， 即证的最小值为0， ， 令，则， 故函数单调递增，又，， 故在上存在唯一零点，即， 故当，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 由得， 下面证明：； 因为， 所以，即， 令，则上式等式可化为 因为，所以在单调递增， 故，即， 故的最小值为0； 即的最大值为0，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二下学期5月学情调研 数学试题 命题单位：徐州市第三中学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：，. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的分布列如下表所示，设，则（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 3. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 4. 将5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分法共有（ ）种. A. 54 B. 60 C. 120 D. 150 5. 已知，则的值为（ ） A. 64 B. C. 63 D. 6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，也叫赵爽弦图，现用5种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ） A. 180 B. 240 C. 360 D. 420 7. 不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，函数及其导函数的图象有且仅有一个公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去掉点后，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大 C. 回归系数变大 D. 回归截距变大 10. 已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（ ） A. 事件与事件相互对立 B. 事件与事件相互独立 C. D. 11. 已知函数，若，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则二项式展开式中常数项为________.（结果用数字作答） 13. 已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，要使正面至少出现一次的概率超过0.99，则至少需要抛掷硬币________次. 14. 已知函数满足，，分别是函数极大、极小值点，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，为实数. （1）若函数在处的切线经过点，求的值； （2）若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围. 16. 2025年5月6日凌晨，我国斯诺克球员赵心童以业余选手身份参赛，连过九轮，最终取得25年斯诺克世界锦标赛的冠军，成为了我国乃至亚洲在这一赛事上的第一人，这必将在青少年中掀起一股新的台球热.某调研机构为了解青少年对台球的喜爱程度进行问卷调查（评价结果仅有“喜爱”、“不喜爱”），从所有参与评价的对象中抽取100人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）： 喜欢 不喜欢 合计 男生 40 50 女生 30 合计 100 （1）请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对台球运动的喜爱与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从所有“喜欢”的青少年中随机选取30人，记被选中的人中恰有个男生的概率为，当取何值时，取得最大值. 附：，，. 17. 为庆祝五一国际劳动节，某科技企业开展人工智能知识竞赛活动，竞赛试题有甲、乙、丙三类，每类题有若干道，各类试题的每题分值及选手小李答题情况如下：甲类题答对一题得10分，小李能答对甲类题的概率为，乙类题答对一题得20分，小李能答对乙类题的概率为、丙类题答对一题得30分，小李能答对丙类题的概率为，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分.竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束各轮得分之和即为选手最终得分。竞赛规则为：第一轮先回答一道甲类题，若正确进入第二轮答题，若错误继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则退出比赛。第二轮在乙类题中选择一道作答，若正确进入第三轮答题，否则退出比赛，第三轮在丙类题中选择一道作答. （1）求小李答题次数恰好为2次的概率； （2）求小李最终得分的数学期望. 18. 某学校有两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为，前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为，如此往复．已知他第1天选择餐厅的概率为，第2天选择餐厅的概率为． （1）求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐的概率； （2）求王同学第天选择餐厅用餐的概率． 19. 若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界. （1）求函数的下界的取值范围： （2）若1是函数的一个下界，求的取值集合； （3）若是函数的一个下界，求证：的最大值为0. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $