精品解析：宁夏回族自治区银川市贺兰县第一中学2025届高三第四次模拟考试数学试题

贺兰一中2025届高三年级第四次模拟考试试卷 数 学 命题教师：刘爱红 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若与均为实数，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 3. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 4. 中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 已知直线l：，圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 方程的所有实根之和为1 D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若线性回归方程为，则样本数据的残差为0.2 B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较弱 C. 已知随机变量，满足，若，，则， D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数166，方差为120，则总体样本方差为120 10. 函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱、上的动点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角取值范围是 B. 平面与正方体的截面为梯形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当E、F分别是棱、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为___________. 13. 已知数列满足，则数列的通项公式为________. 14. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． （1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． （3）经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 18. 已知函数 （1）若，讨论的单调性； （2）若，且关于x的方程恰有两个不等实根，求b的取值范围； （3）若，数列的前项和为，且证明： 19. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． （1）求的方程； （2）过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺兰一中2025届高三年级第四次模拟考试试卷 数 学 命题教师：刘爱红 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定集合，再求交集即可. 【详解】集合，，则 故选：B. 2. 若与均为实数，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等的条件，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以, 则． 故选：C． 3. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直得到，即可表示出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且，所以，即， 所以，又，所以. 故选：B 4. 中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的定义求出通项公式，再由前项和公式计算即可. 【详解】设出每一秒钟的路程为数列， 由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以， 由求和公式有，解得， 故选：C． 5. 已知直线l：，圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线l与圆C相切，可得，利用包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 若直线l与圆C相切，则，解得， 显然是的真子集，所以“”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可. 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】这道题考查的是椭圆的离心率.抓住已知角，设，先在中用一次余弦定理解出与的关系，然后在中再用一次余弦定理求出与的关系，最后得出结论即可. 【详解】设，由，得，由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理得，解得或（舍去）， 在中，， ，解得离心率. 故选：D. 8. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 方程的所有实根之和为1 D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式，结合分式型函数的性质判断、的值域判断A；首先得到，再对其求和判断B；由、都关于对称即可判断C；根据函数的单调性有恒成立，再应用基本不等式求左侧最小值，即可求参数范围判断D. 【详解】对于A，因为， 所以在上为增函数，且的值域为， 又，所以，故正确； 对于B，因为， 所以，故正确； 对于C，因为，所以， 由B知图象关于点对称，又图象也关于点对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， 则方程的所有实根之和为0，故错误； 对于D，易知为增函数， 由题得， 即，而，当且仅当时等号成立， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是，故正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据函数的图象和的图象关于点对称进行求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若线性回归方程为，则样本数据的残差为0.2 B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较弱 C. 已知随机变量，满足，若，，则， D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数166，方差为120，则总体样本方差为120 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算实际值与预测值之差可得A，由相关系数的性质可得B，结合数学期望与方差的性质求解即可判断C；对选项D，利用分层抽样样本方差的计算公式计算即可判断. 【详解】对于A，当时，，则， 所以样本数据的残差为，故A错误； 对于B，由，则组数据比组数据的相关性较弱，故B正确； 对于C，已知随机变量，满足，根据期望的性质（为常数），可得. 因为，所以. 再根据方差的性质（为常数），可得. 因为，所以，故C选项错误. 对于D选项，设男生样本为，平均数为，方差为；女生样本为，平均数为，方差为. 总体样本平均数. 根据分层抽样样本方差公式（其中、分别是男生、女生的样本数量），可得： ，所以D选项错误. 故选：ACD. 10. 函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简得出，求出变化后得解析式，即，然后根据正弦函数的性质分别判断每个选项的正误. 【详解】对于选项A，因为，其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以的最小正周期为,故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C,当时，，则在区间上单调递增是不正确的,故C错误； 对于选项D, ，函数的图象关于点对称，故D正确, 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是先化简得出，再求出. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱、上的动点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角取值范围是 B. 平面与正方体的截面为梯形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当E、F分别是棱、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，设，，设与的夹角为，利用向量夹角公式，结合二次函数的性质求解；对于B，当与重合，与重合时，平面与正方体的截面为；对于C，计算三棱锥的体积；对于D，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为，则由列方程组，求解可得，进而得外接球的表面积. 【详解】对于A，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，，则， ， 设与的夹角为，，则， 令，则， 当时，，则； 当时，， ∵，∴，∴，当时取等号， ∴，则， 综上，，故A正确； 对于B，当与重合，与重合时，平面与正方体的截面为，如图，故B错误； 对于C，∵面, ∴三棱锥的体积,故C正确； 对于D，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又E、F分别是棱、的中点，则， 设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为， 则由，得 ， 即，解得， ∴，， ∴三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将乘积展开为，再分别利用二项展开式计算和中含的项，即求得的展开式含的项，即得结果. 【详解】， 其中的展开式通项为，，故时，得含的项为； 的展开式通项为，，故时，得含的项为. 因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为 . 故答案为： 13. 已知数列满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【解析】 【分析】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 14. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，计算可得为奇函数且在上单调递增，则由可得，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】令，所以， 又定义域为，所以为奇函数，又，都在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 16. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 17. 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． （1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． （3）经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 数学期望为 （3）6 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算； （2）求出分布列，然后根据定义计算期望值； （3）先利用正态分布的性质计算的概率，然后利用二项分布计算概率. 【小问1详解】 设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级” ， 由全概率公式： ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2 ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 ， ， ，， ∴的数学期望约为6人. 18. 已知函数 （1）若，讨论的单调性； （2）若，且关于x的方程恰有两个不等实根，求b的取值范围； （3）若，数列的前项和为，且证明： 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 当时，， 令， 则， 令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以，且， 所以， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，对分类讨论可求得函数的单调区间； （2）由题意分离变量可得，令，通过导数，利用函灵数的变化情况可求得的取值范围； （3）令，求导可得，进而可得，进而计算可得结论. 【小问1详解】 若，则， 所以， 当时，， 则在上单调递增； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 若，则， 由，得 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 且当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于0， 且时，, 因为关于的方程恰有两个不等实根， 所以直线与的图象有两个交点， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． （1）求的方程； （2）过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】（1）的方程为；的方程为 （2）证明：设，不妨设为渐近线为渐近线，直线的方程为， 联立方程，解得，所以， 同理可得，所以， 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $