精品解析：2025年3月河南省平顶山市鲁山县部分中学九年级联考数学试卷

名校之约——2025河南省中招考试模拟试卷 数学（一） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 用电量被视为经济运行的“风向标”之一．国家能源局最新公布的数据显示，今年前三季度，全社会用电量累计约亿千瓦时，同比增长．传统产业转型升级，新兴产业蓬勃发展，新兴生产力加快形成，多项电力指标折射出经济运行的新动能、新趋势．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以下关于中国元素的图片中，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用一个平面去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（ ） A. 长方体 B. 直三棱柱 C. 圆柱 D. 正方体 6. 如图，，点是上一点，且平分，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 已知点都在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 10. 如图，在菱形中，，，点分别是线段上的动点（两点均与端点不重合），且始终满足，连接与相交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 12. 如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为______（结果保留根号）． 13. 一个不透明的袋子里装有一个红球、一个白球和一个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个白球的概率是______． 14. 秋风萧瑟，一片片金黄的银杏叶从树上飘落下来，同学们纷纷捡起漂亮的银杏叶来作树叶画，如图是一片银杏叶的示意图，可以将这片银杏叶看作一个扇形，经测量发现这个扇形的弧长，圆心角为，则这片银杏叶的面积为______． 15. 如图，在中，，过点作于点，点是延长线上一点，线段，的延长线交于点，若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 一年一度“校园科技节”活动再次拉开帷幕，光明中学的同学们兴趣高涨，积极参与，学校最后从七、八两个年级中各选出8名同学的作品进入决赛（参赛作品的满分是分），如图是两个年级1到8号参赛同学的作品得分． 为了更好的了解两个年级同学参赛作品的情况，九年级的小李同学对这两个年级的作品成绩进行了如下分析（规定9分及以上为优秀）： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 七年级 a 7 八年级 7 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____，_______； （2）小王同学认为七、八年级成绩的平均数相等，因此两个年级作品成绩一样好．但是小李认为小王的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小李说明理由（写出两条即可）． 18. 全国消防安全宣传教育日设定于每年11月9日．在今年的11月9日，学校为加强校园消防安全，决定对校园的50个灭火器进行更新，现有A，B两种型号的灭火器可供选择，已知购买2个A型灭火器和3个B型灭火器需要2220元，购买3个A型灭火器和2个B型灭火器需要2380元． （1）求每个A型和B型灭火器的价格； （2）若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买A型灭火器多少个？ 19. 人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！人民英雄纪念碑位于中华人民共和国北京市天安门广场，碑身正面镌刻毛泽东同志题词“人民英雄永垂不朽”八个镏金大字；背面是毛泽东主席起草、周恩来总理题写的碑文“勿忘历史，勿忘先烈”，在了解相关历史背景后，数学研学小组的同学们决定利用所学知识来测量人民英雄纪念碑的高度，方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．同学们在点处测得点的仰角；然后沿方向走米到点处，此时测得点的仰角．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，）． 20. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，点O为圆心、长为半径作半圆交的延长线于点A，过点C作，且．连接，分别交于点E，F，与交于点G． （1）求证：①； ②是的切线． （2）若，求长． 21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，将直线沿轴向上平移得到直线，与轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，，当的面积为12，直接写出直线向上平移的距离． 22. 郑州植物园的金缕梅园，里面种植了枫香、蚊母、金缕梅等8种植物，这个园区主要展示了春秋季节变化带来的不同观赏效果，早春时节，金缕梅等植物先叶开放，具有芳香，宛如金缕，缀满枝头，十分惹人喜爱，到了秋季，枫香等植物的叶色开始变黄变红，和常绿植物相映成趣，显得格外美丽．由于规划需求，植物园空出来一部分准备引进几种新的梅花品种，其中空地部分可以近似看成如图2所示的抛物线的一部分与线段组成的封闭图形．现要对该区域种植区域划分，以种植不同品种梅花，已知米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．工作人员进行了如下的设计：将该区域按如图2所示的方式用篱笆（线段，，，需要篱笆）分开为四部分以种植不同品种的梅花，其中点，在线段上，，在抛物线上，且，与平行．在方案实施的过程中，工作人员发现，在完成区域的分隔后，发现仅剩米篱笆材料．若要在剩余分隔中恰好用完12米材料，需确定与的长．为此，工作人员在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照他们的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求米材料恰好用完时与的长． （3）种植区域分隔完成后，工作人员又想用灯带给该区域进行装饰，他们计划将灯带围成一个矩形．请尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 23. 在中，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． 【问题发现】（1）如图（1），当点是中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________． 【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名校之约——2025河南省中招考试模拟试卷 数学（一） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数的定义． 根据相反数的定义即可得解． 【详解】解：结合相反数的定义可得，的相反数是． 故选：． 2. 用电量被视为经济运行的“风向标”之一．国家能源局最新公布的数据显示，今年前三季度，全社会用电量累计约亿千瓦时，同比增长．传统产业转型升级，新兴产业蓬勃发展，新兴生产力加快形成，多项电力指标折射出经济运行的新动能、新趋势．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：C． 3. 以下关于中国元素的图片中，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，如果折线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：A、轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂相乘，根据以上运算法则进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 5. 用一个平面去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（ ） A. 长方体 B. 直三棱柱 C. 圆柱 D. 正方体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形． 【详解】解：A.长方体沿经过3个面的截面能截出三角形，故该选项不符合题意； B.直三棱柱能截出三角形，故该选项不符合题意． C．圆柱，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形，故该选项符合题意；       D．正方体沿经过3个面的截面能截出三角形，故该选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，，点是上一点，且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 结合两直线平行，内错角相等和角平分线的定义即可得解． 【详解】解：，平分，， ，， ． 故选：． 7. 已知点都在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比较一次函数值的大小，由一次函数可得出随的增大而减小．又根据即可得出． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小． 又∵， ∴． 故选A． 8. 如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由圆周角定理可得出，再由圆的切线定理可得出，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：B． 9. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 【答案】B 【解析】 【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意， ∵是一元二次方程的一个根， 把代入，则 ， 解得：； ∴， ∴， ∴，， ∴方程的另一个根是； 故选：B 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算． 10. 如图，在菱形中，，，点分别是线段上的动点（两点均与端点不重合），且始终满足，连接与相交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的性质证明是等边三角形，进而证出，得出，可判断A选项；通过证明，得到，利用三角形内角和定理和等量代换得到，可判断B选项；通过证明得到，利用等量代换可得，可判断C选项；作的外接圆，连接、、、，利用圆周角定理得到，进而得出，解得到、的长，再利用求出的最小值，可判断D选项，即可得出答案． 【详解】解：菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， 又， ， ，故A选项正确，不符合题意； 菱形， ，， 又， ， ， ， ， ， ，故B选项正确，不符合题意； ， ， ， 又， ， ， ， ，， ，即， ，故C选项正确，不符合题意； 作的外接圆，连接、、、， 的外接圆， ， ， ， ，，， ， ， 在中，，， ，， ， ，即， ， 的最小值为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、圆周角定理、求三角形外接圆的半径，熟练掌握相关知识点，结合图形找出全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，构造辅助线有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的比较大小．先估算出，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ，即， ，即， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为______（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，作的角平分线交于D，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义得到，据此可证明，，则，证明，可推出，则点是线段的黄金分割点，可得． 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子里装有一个红球、一个白球和一个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 红 白 黑 红 （红，白） （红，黑） 白 （白，红） （白，黑） 黑 （黑，红） （黑，白） 共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个白球的结果共4种， ∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为． 故答案为：． 14. 秋风萧瑟，一片片金黄的银杏叶从树上飘落下来，同学们纷纷捡起漂亮的银杏叶来作树叶画，如图是一片银杏叶的示意图，可以将这片银杏叶看作一个扇形，经测量发现这个扇形的弧长，圆心角为，则这片银杏叶的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的弧长，面积公式，掌握知识点是解题的关键． 根据扇形的弧长，面积公式，即可解答． 【详解】由题意知，， 解得， ∴银杏叶的面积为． 故答案为． 15. 如图，在中，，过点作于点，点是延长线上一点，线段，的延长线交于点，若，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足为，在中利用正切的定义得到，利用勾股定理列出方程，求出，，得到，利用勾股定理求出，通过证明得到，由得，则，得到，根据列出方程，求出，再利用勾股定理以及线段的和差即可求出的长． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足为， ， ， 中，， ， ， ， 解得：或（负值舍去）， ， ， ， ， ，， 是的高，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、勾股定理、等边对等角、二次根式的混合运算，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 一年一度“校园科技节”活动再次拉开帷幕，光明中学的同学们兴趣高涨，积极参与，学校最后从七、八两个年级中各选出8名同学的作品进入决赛（参赛作品的满分是分），如图是两个年级1到8号参赛同学的作品得分． 为了更好的了解两个年级同学参赛作品的情况，九年级的小李同学对这两个年级的作品成绩进行了如下分析（规定9分及以上为优秀）： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 七年级 a 7 八年级 7 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____，_______； （2）小王同学认为七、八年级成绩的平均数相等，因此两个年级作品成绩一样好．但是小李认为小王的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小李说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1）；；； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是方差，平均数，中位数和众数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：（分），（分），， 故答案为；；． 【小问2详解】 解：小王的观点比较片面． 理由不唯一，例如：①七年级作品成绩的优秀率为，高于八年级作品成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，七年级作品成绩比八年级好； ②七年级作品成绩的中位数为，高于八年级乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，七年级成绩比八年级好． 七年级的优秀率高于八年级的优秀率，七年级成绩比八年级好． 综上所述：不能仅从平均数的角度说明两年级成绩一样好，可见，小王的观点比较片面． 18. 全国消防安全宣传教育日设定于每年的11月9日．在今年的11月9日，学校为加强校园消防安全，决定对校园的50个灭火器进行更新，现有A，B两种型号的灭火器可供选择，已知购买2个A型灭火器和3个B型灭火器需要2220元，购买3个A型灭火器和2个B型灭火器需要2380元． （1）求每个A型和B型灭火器价格； （2）若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买A型灭火器多少个？ 【答案】（1）每个A型和B型灭火器的单价分别为540元和380元； （2）最多可购买A型灭火器12个． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：熟练掌握总价与单价和数量的关系正确列出二元一次方程组，正确列出一元一次不等式． （1）设每个A型和B型灭火器的价格分别为x元和y元，根据“2个A型灭火器和3个B型灭火器需要2220元，3个A型灭火器和2个B型灭火器需要2 380元”可列出二元一次方程组，解之可得解； （2）设可购买A型灭火器个，则购买B型灭火器个，根据两种灭火器的总价不超过21 000元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每个A型和B型灭火器的价格分别为x元和y元， 根据题意得， 解得， 答：每个A型和B型灭火器的单价分别为540元和380元． 小问2详解】 解：设可购买A型灭火器个，根据题意， 得， 解得， ∵为整数， ∴取最大值为12， 答：最多可购买A型灭火器12个． 19. 人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！人民英雄纪念碑位于中华人民共和国北京市天安门广场，碑身正面镌刻毛泽东同志题词“人民英雄永垂不朽”八个镏金大字；背面是毛泽东主席起草、周恩来总理题写的碑文“勿忘历史，勿忘先烈”，在了解相关历史背景后，数学研学小组的同学们决定利用所学知识来测量人民英雄纪念碑的高度，方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．同学们在点处测得点的仰角；然后沿方向走米到点处，此时测得点的仰角．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，）． 【答案】纪念碑顶部点到地面距离的长约为38米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 设定未知量，表示线段长度，列方程求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵米， ∴ 设米，则， ∴， 答：纪念碑顶部点到地面的距离的长约为38米． 20. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，点O为圆心、长为半径作半圆交的延长线于点A，过点C作，且．连接，分别交于点E，F，与交于点G． （1）求证：①； ②是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； ②利用等腰直角三角形的性质，平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点作交于，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点作交于，如图： ∵，，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和条件适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，将直线沿轴向上平移得到直线，与轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，，当的面积为12，直接写出直线向上平移的距离． 【答案】（1），； （2）； （3）直线向上平移的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数的平移问题，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）设直线沿轴向上平移个单位长度，可求出，如图所示，连接，由平移的性质可得，则，根据三角形面积计算公式得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， ∴， 在的图象上， ， ， 将点代入，， 解得， ． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，． 【小问3详解】 解：在中，令，则， ． 设直线沿轴向上平移个单位长度， 直线的解析式为， 在中，当时， 点坐标为， ∴， 如图所示，连接， 由平移的性质可得， ∴， ∴，即， ∴， 故直线向上平移的距离为． 22. 郑州植物园的金缕梅园，里面种植了枫香、蚊母、金缕梅等8种植物，这个园区主要展示了春秋季节变化带来的不同观赏效果，早春时节，金缕梅等植物先叶开放，具有芳香，宛如金缕，缀满枝头，十分惹人喜爱，到了秋季，枫香等植物的叶色开始变黄变红，和常绿植物相映成趣，显得格外美丽．由于规划需求，植物园空出来一部分准备引进几种新的梅花品种，其中空地部分可以近似看成如图2所示的抛物线的一部分与线段组成的封闭图形．现要对该区域种植区域划分，以种植不同品种梅花，已知米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．工作人员进行了如下的设计：将该区域按如图2所示的方式用篱笆（线段，，，需要篱笆）分开为四部分以种植不同品种的梅花，其中点，在线段上，，在抛物线上，且，与平行．在方案实施的过程中，工作人员发现，在完成区域的分隔后，发现仅剩米篱笆材料．若要在剩余分隔中恰好用完12米材料，需确定与的长．为此，工作人员在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照他们的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求米材料恰好用完时与的长． （3）种植区域分隔完成后，工作人员又想用灯带给该区域进行装饰，他们计划将灯带围成一个矩形．请尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1）坐标系见解析， （2）的长为8米，的长为4米 （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）在中， ，则 得到，由列出方程解出m的值即可求解； （3）由矩形周长， 【小问1详解】 解：解：建立如图所示的平面直角坐标系， 所在直线是的垂直平分线，且米， 米， ， 米， ∴点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点在抛物线上， 设点的坐标为， ，交轴于点， ， ， ， 在中，， 米， ，， 根据题意，得， ， 解得（不合题意，舍去）， ， ， 答：的长为8米，的长为4米； 【小问3详解】 解：如图，矩形灯带为， ∵， 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的表达式分别为， 设点，，， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，求一次函数解析式，求二次函数的解析式，二次函数的最值，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． 23. 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． 【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________． 【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积． 【答案】（1），（2）结论仍然成立，见详解（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意知，，是等腰直角三角形，由是等腰直角三角形可知为中点，进而可知是的中位线，根据中位线的性质证明即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，可得，，证明，可得，． （3）分两种情况求解：①如图3，作，垂足为，，垂足为，由题意知，，，，，由 ，由（2）知，求解的值，进而由计算求解即可； ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，由题意知，，，可得，根据，求的值，进而得到的值，由证明，有，求解的值，由（2）知求出的值，根据计算求解即可． 【详解】解：（1）∵点D是的中点 ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵是等腰直角三角形 ∴为中点 ∵点H是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ （2）结论仍然成立． 理由如下： 如图2，延长到，使，连接，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ，． （3）分两种情况求解： ①如图3，作，垂足为，，垂足为 由题意知，，， ∴ ∴， ∴ ∴ 由（2）知 ∴ ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为， 由题意知 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 解得， 由（2）知， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了中位线，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$