精品解析：2025年山东省聊城市中考三模数学试题

二〇二五年初中学生学业水平考试模拟试题（三） 数学 本试卷共8页，满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个符合题目要求． 1. 如果在数轴上标出表示的点，则数轴上与点最接近的整数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 下列图形均为正多边形，恰有3条对称轴的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点和点分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地，地在地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离（的长）为．当太阳光线在地直射时，同一时刻在地测量太阳光线偏离直射方向的角为，实际测得是．由此估算地球周长用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ） A. 只有可以 B. 只有可以 C. ，都可以 D. ，都不可以 6. 如图是凸透镜成像原理图，已知物和像都与主光轴垂直，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（ ） A. 传 B. 化 C. 文 D. 色 8. 如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（ ） A. 点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B. 点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C. 点A，B，D均在圆C外 D. 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 9. 如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数满足．下列四个结论，其中正确的是（　　） A. 若二次函数图象经过点，则； B. 若，则方程的根为； C. 二次函数图象与轴一定有两个交点； D. 点，在函数图象上，若，则当时，． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______． 12. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球． 13. 如图，网格中的点都在小正方形顶点上，连接交于点，则的正切值是_______． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为______． 15. 如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________． 16. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕．若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为______. 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 19. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为______名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______； （3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数； （4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C两类书籍中随机选择一种请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （1）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小； （2）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径． 21. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 22. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索上，，且，，求的长． 23. 综合与实践背景阅读： “旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形中，点是线段上的一个动点，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．设旋转角为（）． 操作猜想： （1）如图1，若点是中点，在正方形绕点旋转过程中，连接，，，则线段与的数量关系是_______；线段与的数量关系是________． 探究验证： （2）如图2，在（1）的条件下，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，，．判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，若，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，设直线交线段于点．连接，并过点作于点．请你补全图形，并直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中学生学业水平考试模拟试题（三） 数学 本试卷共8页，满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个符合题目要求． 1. 如果在数轴上标出表示的点，则数轴上与点最接近的整数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，求出的取值范围，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴离更近， ∴数轴上与点最接近的整数是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求无理数的整数部分，解题的关键是熟练掌握求二次根式整数部分的方法以及数轴上两点之间的距离求法． 2. 下列图形均为正多边形，恰有3条对称轴的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的性质确定各图形对称轴的条数即可解答． 【详解】解：A、正三角形有3条对称轴，故此选项正确； B、正方形有4条对称轴，故此选项错误； C、正五边形有5条对称轴，故此选项错误； D、正六边形有6条对称轴，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 3. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案． 【详解】解：由题意画出草图，如图， 平台上至还需再放这样的正方体2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三视图，正确掌握观察角度是解题关键． 4. 古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点和点分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地，地在地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离（的长）为．当太阳光线在地直射时，同一时刻在地测量太阳光线偏离直射方向的角为，实际测得是．由此估算地球周长用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，圆的周长和科学记数法，设地球的半径是r，由弧长公式得到：的长，求出，即可得到地球周长，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：设地球的半径是r， ∵太阳的光线是平行的， ∴， ∴的长， ∴， ∴， ∴地球周长约是， 用科学记数法表示为： 故选：A． 5. 若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ） A. 只有可以 B. 只有可以 C. ，都可以 D. ，都不可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．依此即可求解． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截． 理由：，满足两边之和大于第三边． 故选：A． 6. 如图是凸透镜成像原理图，已知物和像都与主光轴垂直，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 先根据题意得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵已知物和像都与主光轴垂直，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（ ） A. 传 B. 化 C. 文 D. 色 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图形，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形求解即可． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“承”字相对的面上的汉字是“色”． 故选：D． 8. 如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（ ） A. 点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B. 点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C. 点A，B，D均在圆C外 D. 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含有角的直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系．由题干条件得出两个直角三角形中含角所对的直角边等于斜边的一半，即与，利用勾股定理即可求解出，再根据点与圆的位置关系判断即可 【详解】在中，，则， ∵， ∴． ∴． 圆C是以点C为圆心，2为半径的圆， ， 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 故选：D． 9. 如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 连接交于O，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 10. 若二次函数满足．下列四个结论，其中正确的是（　　） A. 若二次函数图象经过点，则； B. 若，则方程的根为； C. 二次函数图象与轴一定有两个交点； D. 点，在函数图象上，若，则当时，． 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的基本性质再结合其经过的点，即可求解 【详解】根据满足， 得：，，对称轴为， A．函数经过点(3,0)，将该坐标代入，得：， 将代入，得：b=-2a，故A项错误； B．将a=c代入，得：b=2a，则有， 当y=0，可知方程的两个根相等均为-1，B项正确； C．令y=0，则有方程，结合，可知方程的判别式， 当a=c时，，此时方程有一个根，即函数与x轴只有一个交点，故C项错误； D．根据可知且二次函数的图象开口向上，对称轴， 则有当时，y值随x的增大而减小，当时，y值随x的增大而增大，此处无法确定在的范围内，继而也无法判断，故D项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数中系数与函数图象位置的关系． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，先把代入方程，整理得，再用根与系数的关系求得，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球． 【答案】6 【解析】 【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为20×=14（个）， 白球的数量为20-14=6（个）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 13. 如图，网格中的点都在小正方形顶点上，连接交于点，则的正切值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值几何意义是关键． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点， ， 点，关于原点对称， ， ． 故答案为：3． 15. 如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________． 【答案】8 【解析】 【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形， 从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则， 在中，∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 16. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕．若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设AD=2a，AB=2b，由折叠的性质得BG =3b，BC= 2a，CG=b，根据勾股定理，即可得到a=b，进而即可求解． 【详解】设AD=2a，AB=2b， 由折叠的性质得：AE=EO=ED=a，CG=GO=GD=b，BO=AB=2b， ∴BG=BO+OG=2b+b=3b， ∵BC=AD=2a，∠C=90°， ∴BC2+CG2=BG2， ∴(2a)2+b2=(3b)2，即：a2=2b2（a＞0，b＞0）， ∴a=b， ∴==． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质以及勾股定理，根据勾股定理，列方程，是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，x为不等式组的整数解和分式可以确定x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 解不等式组： 得： 所以，不等式组的整数解为. 当时，原式 【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】（1） 如图1，即为所作； （2） 证明：如图2，作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为______名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______； （3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数； （4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C两类书籍中随机选择一种请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如图所示： （2） （3）估计最喜欢阅读文学类书籍的学生有人 （4） 【解析】 【分析】（）根据的人数及所占比值求出总人数，总人数减去的人数，可求人数，再补全统计图即可； （）乘以所占总人数的比值，即可求出“科技类”所对应的圆心角度数； （）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读文学类书籍的学生人数所占的比例即可； （）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有种，再由概率公式求解即可； 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 【小问1详解】 被调查的学生总人数为：（名）， ∴：艺术类人数为（名）， 【小问2详解】 “科技类”所对应的圆心角度数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵（人）， ∴估计最喜欢阅读文学类书籍的学生有人； 【小问4详解】 画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有种，即，， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （1）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小； （2）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，先由切线的性质得的度数，求出，进而得，则可求出答案； （2）连接，由等腰三角形的性质求出，根据含解的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：连接． ∵切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 连接， 设 是的切线， 即 在中， 即 解得 在中， 即的半径为2； 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质． 21. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 22. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】（1）； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 23. 综合与实践背景阅读： “旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形中，点是线段上的一个动点，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．设旋转角为（）． 操作猜想： （1）如图1，若点是中点，在正方形绕点旋转过程中，连接，，，则线段与的数量关系是_______；线段与的数量关系是________． 探究验证： （2）如图2，在（1）的条件下，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，，．判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，若，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，设直线交线段于点．连接，并过点作于点．请你补全图形，并直接写出的值． 【答案】（1）；； （2）矩形，理由如下： ∵正方形绕点顺时针旋转得到正方形， ∴，，， ∵点是中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）如图，补全图形如下：连接，作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据旋转的性质可得，，，利用可证明，根据全等三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，根据可得，根据相似三角形的性质即可得答案； （2）根据旋转的性质可得，，，根据点是中点即可得出，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形即可证明四边形是矩形； （3）根据题意，补全图形，连接，作于M，于N，根据勾股定理可得，根据平角的定义及直角三角形两锐角互余的性质可得，利用可证明，可得，利用可证明，可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，根据角的和差关系可得，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】（1）如图，连接 ∵将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，旋转角为， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，旋转角为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定定理，并正确作出辅助线构造全等三角形及相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $