精品解析：2025年福建省厦门市翔安区中考二模数学试题

厦门市翔安区2025年九年级适应性考试 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有9题，每题4分，共36分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 下面四个立体图形中，从正面观察是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 3. 如图，，是数轴上的两个数，则可能是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 1 4. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是小明学习“三线八角”时制作的模具，木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是（ ） A. B. C. D. 6. 小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为份意大利面，杯饮料，份沙拉，则他们点了几份餐？（　　） A. B. C. D. 7. 在2021年全民读书月活动期间，小亮网购了一本《数学家的眼光》，同学们想知道书的价格，小亮让他们猜，甲说：“至多14元，”乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，”小亮说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）的范围为（　　） A. 10＜x＜14 B. 11＜x＜14 C. 14＜x＜15 D. x＞15 8. 如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，的顶点和边的中点都在反比例函数的图象上，若的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 10. ﹣3的相反数是__________． 11. 计算： _________． 12. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______． 13. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有________棵树木可以成活． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为__________． 15. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点，，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为__________． 16. 已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 计算： 18. 已知：如图，在平行四边形中，点E、F在AC上，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，． （1）在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）已知，，在所作的图形中，求的半径． 21. 某校为了培养学生的劳动意识，开展了系列宣讲活动．为了解本次宣讲活动效果，现从八年级随机抽取若干名学生，调查他们宣讲前后平均每周劳动时间情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表： 宣讲前平均每周劳动时间频数分布表 组别 平均每周劳动时间t/min 频数 频率 10 16 11 6 2 合计 1 宣讲后平均每周劳动时间频数分布直方图 注：每组数据含左端点值，不含右端点值 请根据图表中的信息，解答下列问题 （1）宣讲前频数分布表中，______，平均每周劳动时间的中位数落在______组； （2）求宣讲后平均每周劳动时间的平均数（每组中各个数据用该组的中间值代替，如90~120的中间值为105）； （3）教育部规定中学生每周劳动时间不低于3小时，若该校八年级共有600名学生，则宣讲后八年级约有多少名学生达到要求？ 22. 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 23. 在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． （1）在活动1中，求证：； （2）在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 24. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 25. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市翔安区2025年九年级适应性考试 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有9题，每题4分，共36分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 下面四个立体图形中，从正面观察是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图，逐一进行判断即可． 【详解】解： A、主视图是正方形，不符合题意； B、主视图是圆形，不符合题意； C、主视图是三角形，符合题意； D、主视图是长方形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解． 【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意； B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意； C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意； D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，，是数轴上的两个数，则可能是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，有理数的减法运算，根据数轴可知，进而可得出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴， 故符合题意， 故选：A 4. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B． 【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 5. 如图是小明学习“三线八角”时制作的模具，木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：要使木条a与b平行， 旋转后的度数等于的度数，即旋转后的度数为， 木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是． 故选：A． 6. 小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为份意大利面，杯饮料，份沙拉，则他们点了几份餐？（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的饮料能确定在和餐中点了份意大利面，根据题意可得点餐. 【详解】解：杯饮料则在和餐中点了份意大利面，份沙拉则在餐中点了份意大利面， ∴点餐为； 故选A． 【点睛】本题考查列代数式；能够根据题意，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键． 7. 在2021年全民读书月活动期间，小亮网购了一本《数学家的眼光》，同学们想知道书的价格，小亮让他们猜，甲说：“至多14元，”乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，”小亮说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）的范围为（　　） A. 10＜x＜14 B. 11＜x＜14 C. 14＜x＜15 D. x＞15 【答案】C 【解析】 【分析】设这本书的价格为x元，根据三人的说法得到关于x的不等式，然后根据三人的说法都是错误的求解即可得到答案. 【详解】解：设这本书的价格为x元 ∵甲说：“至多14元，乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，这三种说法都是错误的 ∴ 解得 故选C. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出不等式求解. 8. 如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， ，E是的中点， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，的顶点和边的中点都在反比例函数的图象上，若的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、相似三角形的判定与性质，利用条件求出，，由得到，进而有，从而确定， 再根据的面积是，列方程求解即可得到答案，理解并掌握反比例函数值的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，如图所示： ， ， ， ，则， 点是边的中点， ，即，， 点、都在反比例函数图象上， ，则， ，则， ， ， ，则， 的面积是， ，解得， 故选：D． 二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 10. ﹣3的相反数是__________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 所以﹣（﹣3）=3， 故答案为：3． 11. 计算： _________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知45度角的正弦值和余弦值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，写出函数图象在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，直线经过点，则关于x的不等式的解集是 故答案为：． 13. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有________棵树木可以成活． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用大量试验得出的频率去估计事件的概率，用到的知识点是概率所求情况数与总情况数之比； 先计算出移栽100棵、1000棵、10000棵、100000棵树成活的概率； 再计算三次概率之和与4的商即为所估计的概率，再计算220000棵树木可以成活的数量． 【详解】解：根据抽样的意义可得幼树成活的概率为：， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可推出，则可得到，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点，，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为__________． 【答案】 ##厘米 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为，连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设鼓面圆的圆心为，连接、，则， ，， ， 是等边三角形， ， 的半径为， 的直径为， 故答案为：． 16. 已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而根据 ，可得比离对称轴更近，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，都在该抛物线上，且 ， ∴ 解得： 故答案为：． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据绝对值的意义，算术平方根的定义，负整数指数幂的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 已知：如图，在平行四边形中，点E、F在AC上，且．求证：． 【答案】 证明：如图，连接与对角线交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．连接与对角线交于点O．根据平行四边形的性质以及可得，即可求证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在中，． （1）在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）已知，，在所作的图形中，求的半径． 【答案】（1）如图：为所作． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，只需作的平分线，与的交点就是所求作的圆心O． （2）根据勾股定理，切线的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在中，，，， ， ，且点在上， 为的切线， 与相切于， ， ， 设的半径为， 在中， ， 解得：，即的半径为． 21. 某校为了培养学生的劳动意识，开展了系列宣讲活动．为了解本次宣讲活动效果，现从八年级随机抽取若干名学生，调查他们宣讲前后平均每周劳动时间情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表： 宣讲前平均每周劳动时间频数分布表 组别 平均每周劳动时间t/min 频数 频率 10 16 11 6 2 合计 1 宣讲后平均每周劳动时间频数分布直方图 注：每组数据含左端点值，不含右端点值 请根据图表中的信息，解答下列问题 （1）宣讲前频数分布表中，______，平均每周劳动时间的中位数落在______组； （2）求宣讲后平均每周劳动时间的平均数（每组中各个数据用该组的中间值代替，如90~120的中间值为105）； （3）教育部规定中学生每周劳动时间不低于3小时，若该校八年级共有600名学生，则宣讲后八年级约有多少名学生达到要求？ 【答案】（1）5，B （2） （3）384名 【解析】 【分析】（1）由A组人数除以其占比可得总人数，再由总人数乘以E组的占比可得a的值，再根据中位数的含义可得中位数的答案； （2）利用加权平均数公式进行计算即可； （3）由600乘以学生每周劳动时间不低于3小时的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）， ∴（人）； 50个按照从小到大排序后第25个，第26个数据落在B组， ∴中位数落在B组内． 【小问2详解】 答：宣讲后平均每周劳动时间的平均数是． 【小问3详解】 （名）， 答：宣讲后该校八年级约有384名学生达到要求． 【点睛】本题考查的是频数分布表与频数直方图，平均数的含义，中位数的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 22. 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3） 有3种方案，理由： 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． 【小问2详解】 解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． 【小问3详解】 略 23. 在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． （1）在活动1中，求证：； （2）在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 24. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】（1）1 （2） 证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ； （3） 解：，证明如下： 如图，连接， ， ， 直径垂直弦， ，， 又， ， ， 设，， 则， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【小问1详解】 解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 25. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， （2）的长为4米，的长为2米 （3）矩形周长的最大值为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． 【小问3详解】 解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $