精品解析：2025年福建省厦门市翔安区中考二模数学试题

厦门市翔安区2025年九年级适应性考试 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有9题，每题4分，共36分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 下面四个立体图形中，从正面观察是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 3. 如图， ， 是数轴上的两个数，则可能是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 1 4. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是小明学习“三线八角”时制作的模具，木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是（ ） A. B. C. D. 6. 小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为份意大利面， 杯饮料， 份沙拉，则他们点了几份 餐？（　　） A. B. C. D. 7. 在2021年全民读书月活动期间，小亮网购了一本《数学家的眼光》，同学们想知道书的价格，小亮让他们猜，甲说：“至多14元，”乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，”小亮说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）的范围为（　　） A. 10＜x＜14 B. 11＜x＜14 C. 14＜x＜15 D. x＞15 8. 如图，已知 是等边三角形， ， 是 边上的高，E是 的中点，P是 上一动点．则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，的顶点 和边 的中点 都在反比例函数的图象上，若的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 10. ﹣3的相反数是__________． 11. 计算： _________． 12. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______． 13. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有________棵树木可以成活． 14. 如图，在 中，， 的垂直平分线 交 于点 ，垂足为点 ，连接 ，若 平分， ，则的长为__________． 15. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点 ，三角板的两边分别交圆于点 ， ，若测量得到弦 的长为，则鼓面圆的直径为__________． 16. 已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 计算： 18. 已知：如图，在平行四边形 中，点E、F在AC上，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在 中，． （1）在 边上确定一点O，以O为圆心，为半径作 ，使得 与 边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）已知， ，在所作的图形中，求 的半径． 21. 某校为了培养学生的劳动意识，开展了系列宣讲活动．为了解本次宣讲活动效果，现从八年级随机抽取若干名学生，调查他们宣讲前后平均每周劳动时间情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表： 宣讲前平均每周劳动时间频数分布表 组别 平均每周劳动时间t/min 频数 频率 10 16 11 6 2 合计 1 宣讲后平均每周劳动时间频数分布直方图 注：每组数据含左端点值，不含右端点值 请根据图表中的信息，解答下列问题 （1）宣讲前频数分布表中， ______，平均每周劳动时间的中位数落在______组； （2）求宣讲后平均每周劳动时间的平均数（每组中各个数据用该组的中间值代替，如90~120的中间值为105）； （3）教育部规定中学生每周劳动时间不低于3小时，若该校八年级共有600名学生，则宣讲后八年级约有多少名学生达到要求？ 22. 数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 23. 在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片 对折，使 与 重合，折痕为 ，把纸片展平； 第二步：点 在 上，再次沿折叠纸片，使点 落在 上的点 处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片 对折，使 与 重合，折痕为 ，把纸片展平； 第二步：点 在 上（不与点 ， 重合），再次沿折叠纸片，使点 落在 下方的点 处，延长交 于点 ． （1）在活动1中，求证：； （2）在活动2中，若正方形 的边长为8，，求的长． 24. 如图，在 中，直径 垂直弦 于点 ，连接，作于点 ，交线段于点 （不与点重合），连接 ． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 25. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与 交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使 ，用篱笆沿线段分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作 的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定 与 的长．为此，欣欣在图2中以 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时 与 的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市翔安区2025年九年级适应性考试 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有9题，每题4分，共36分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 下面四个立体图形中，从正面观察是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图，逐一进行判断即可． 【详解】解： A、主视图是正方形，不符合题意； B、主视图是圆形，不符合题意； C、主视图是三角形，符合题意； D、主视图是长方形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解． 【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意； B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意； C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意； D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意； 故选：B． 3. 如图， ，是数轴上的两个数，则可能是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，有理数的减法运算，根据数轴可知，进而可得出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴， 故符合题意， 故选：A 4. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B． 【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 5. 如图是小明学习“三线八角”时制作的模具，木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解： 要使木条a与b平行， 旋转后的度数等于的度数，即旋转后的度数为 ， 木条a绕点A按顺时针旋转的度数至少是． 故选：A． 6. 小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为份意大利面， 杯饮料， 份沙拉，则他们点了几份 餐？（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的饮料能确定在 和 餐中点了 份意大利面，根据题意可得点 餐. 【详解】解： 杯饮料则在 和 餐中点了 份意大利面， 份沙拉则在 餐中点了 份意大利面， ∴点 餐为； 故选A． 【点睛】本题考查列代数式；能够根据题意，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键． 7. 在2021年全民读书月活动期间，小亮网购了一本《数学家的眼光》，同学们想知道书的价格，小亮让他们猜，甲说：“至多14元，”乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，”小亮说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）的范围为（　　） A. 10＜x＜14 B. 11＜x＜14 C. 14＜x＜15 D. x＞15 【答案】C 【解析】 【分析】设这本书的价格为x元，根据三人的说法得到关于x的不等式，然后根据三人的说法都是错误的求解即可得到答案. 【详解】解：设这本书的价格为x元 ∵甲说：“至多14元，乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，这三种说法都是错误的 ∴ 解得 故选C. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出不等式求解. 8. 如图，已知 是等边三角形， ，是 边上的高，E是 的中点，P是上一动点．则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点 ， ∵ 是等边三角形， 是 边上的高， ∴，，即垂直平分 ， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， ，E是 的中点， ， ， ， 故选：C． 9. 如图， 的顶点 和边 的中点 都在反比例函数的图象上，若 的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、相似三角形的判定与性质，利用条件求出，，由得到，进而有，从而确定， 再根据 的面积是，列方程求解即可得到答案，理解并掌握反比例函数值的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：作轴，垂足为 ，轴，垂足为 ，连接 ，如图所示： ， ， ， ，则， 点 是边 的中点， ，即，， 点 、 都在反比例函数图象上， ，则， ，则， ， ， ，则， 的面积是， ，解得， 故选：D． 二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 10. ﹣3的相反数是__________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 所以﹣（﹣3）=3， 故答案为：3． 11. 计算： _________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知45度角的正弦值和余弦值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，写出函数图象在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，直线经过点，则关于x的不等式的解集是 故答案为：． 13. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有________棵树木可以成活． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用大量试验得出的频率去估计事件的概率，用到的知识点是概率 所求情况数与总情况数之比； 先计算出移栽100棵、1000棵、10000棵、100000棵树成活的概率； 再计算三次概率之和与4的商即为所估计的概率，再计算220000棵树木可以成活的数量． 【详解】解：根据抽样的意义可得幼树成活的概率为：， ， 故答案为：． 14. 如图，在 中，， 的垂直平分线交 于点 ，垂足为点 ，连接，若平分，，则 的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可推出，则可得到，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵ 的垂直平分线交 于点 ，垂足为点 ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点 ，三角板的两边分别交圆于点 ， ，若测量得到弦 的长为，则鼓面圆的直径为__________． 【答案】 ##厘米 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为 ，连接 、 ，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设鼓面圆的圆心为 ，连接 、 ，则， ，， ， 是等边三角形， ， 的半径为， 的直径为， 故答案为：． 16. 已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而根据 ，可得比离对称轴更近，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，都在该抛物线上，且 ， ∴ 解得： 故答案为：． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据绝对值的意义，算术平方根的定义，负整数指数幂的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 已知：如图，在平行四边形 中，点E、F在AC上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．连接 与对角线 交于点O．根据平行四边形的性质以及可得，即可求证． 【详解】证明：如图，连接 与对角线 交于点O． ∵四边形 是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在 中，． （1）在 边上确定一点O，以O为圆心， 为半径作，使得与 边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）已知， ，在所作的图形中，求的半径． 【答案】（1）如图：为所作． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，只需作的平分线，与 的交点就是所求作的圆心O． （2）根据勾股定理，切线的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在 中，，， ， ， ，且点 在 上， 为的切线， 与相切于 ， ， ， 设的半径为， 在中， ， 解得：，即的半径为． 21. 某校为了培养学生的劳动意识，开展了系列宣讲活动．为了解本次宣讲活动效果，现从八年级随机抽取若干名学生，调查他们宣讲前后平均每周劳动时间情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表： 宣讲前平均每周劳动时间频数分布表 组别 平均每周劳动时间t/min 频数 频率 10 16 11 6 2 合计 1 宣讲后平均每周劳动时间频数分布直方图 注：每组数据含左端点值，不含右端点值 请根据图表中的信息，解答下列问题 （1）宣讲前频数分布表中， ______，平均每周劳动时间的中位数落在______组； （2）求宣讲后平均每周劳动时间的平均数（每组中各个数据用该组的中间值代替，如90~120的中间值为105）； （3）教育部规定中学生每周劳动时间不低于3小时，若该校八年级共有600名学生，则宣讲后八年级约有多少名学生达到要求？ 【答案】（1）5，B （2） （3）384名 【解析】 【分析】（1）由A组人数除以其占比可得总人数，再由总人数乘以E组的占比可得a的值，再根据中位数的含义可得中位数的答案； （2）利用加权平均数公式进行计算即可； （3）由600乘以学生每周劳动时间不低于3小时的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）， ∴（人）； 50个按照从小到大排序后第25个，第26个数据落在B组， ∴中位数落在B组内． 【小问2详解】 答：宣讲后平均每周劳动时间的平均数是． 【小问3详解】 （名）， 答：宣讲后该校八年级约有384名学生达到要求． 【点睛】本题考查的是频数分布表与频数直方图，平均数的含义，中位数的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 22. 数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】（1）； （2）直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）共有 种运输方案， 设用扶手电梯运输 次，直立电梯运输次， 由（ ）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ， 解得：， ∴ 为正整数， ∴ ， ，， ∴共有 种运输方案： 扶手电梯运 次，直立电梯运 次； 扶手电梯运 次，直立电梯运 次； 扶手电梯运次． 【解析】 【分析】（ ）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （ ）把代入解析式，求出 的值即可； （ ）设用扶手电梯运输 次，直立电梯运输次，根据题意得 ，求出 的取值范围即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴车身总长 与购物车辆数 的表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； 【小问3详解】 略 23. 在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片 对折，使与 重合，折痕为 ，把纸片展平； 第二步：点 在上，再次沿折叠纸片，使点 落在 上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片 对折，使与 重合，折痕为 ，把纸片展平； 第二步：点 在上（不与点 ， 重合），再次沿折叠纸片，使点 落在 下方的点处，延长 交于点 ． （1）在活动1中，求证：； （2）在活动2中，若正方形 的边长为8，，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴ 是线段 的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论； （2）连接 ．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 24. 如图，在中，直径 垂直弦 于点 ，连接，作 于点 ，交线段 于点（不与点重合），连接 ． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】（1）1 （2） 证明： 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又 ， ； （3） 解：，证明如下： 如图，连接 ， ， ， 直径 垂直弦 ， ，， 又 ， ， ， 设，， 则， ， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和 中， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，结合 可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【小问1详解】 解： 直径 垂直弦 ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 25. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 组成的封闭图形，点A，B在矩形的边 上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与 交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段 上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段 上取点F（不与C，P重合），过点F作 的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， （2）的长为4米，的长为2米 （3）矩形周长的最大值为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据 垂直平分 ，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 所在直线是 的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在 中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． 【小问3详解】 解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线 解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线 解析式为， 同理可得，直线 的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $