2024-2025学年人教版八年级下册数学期末素养检测卷

2024-2025学年人教版八年级下册数学期末素养检测卷 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列函数：；；；；；中，是一次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学每天的锻炼时间，并统计如下： 每天锻炼时间（分钟） 学生数（人） 则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法正确的是（　　） A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．抽查了个同学 5．估计的运算结果在(     ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 7．如图，直线（是常数，且）与直线相交于点，已知点的纵坐标为1，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G，作射线交于点H，则的长为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 9．甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发，如图是甲、乙行驶路程（km），（km）与时间x（h）变化的图象，下列说法不正确的是（    ） A．乙车开始行驶时，甲车在乙车前处 B．乙车的平均速度是 C．在距离A城处，乙车追上甲车 D．乙车比甲车早到B城 10．如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．计算的结果等于 ． 12．航天事业可分为三大领域：空间技术、空间应用、空间科学，某校为了解学生掌握航天知识的情况，进行了相关竞赛，并统计了所有学生的竞赛成绩，绘制成如图所示的扇形统计图：    则该班学生航天知识竞赛成绩的平均数是 分． 13．将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为 ． 14．如图，在菱形中，对角线，交于点，，．则菱形的面积是 ． 15．如图，在数轴上，点表示的数为，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数为 ． 16．某种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每多挂物体，弹簧伸长.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为____________，的取值范围为________. 17．如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为 ． 18．如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．（6分）计算： （1）； （2）． 20．（6分）已知与成正比例，当时，. （1） 求与之间的函数表达式； （2） 当时，求的值. 21．（8分）某校举办数学文化知识问答活动．数学兴趣小组从全校八、九年级学生中随机各抽取20名学生的问答成绩（共10题，每题10分，满分100分）．并对问答成绩进行整理和分析，形成如下不完整的报告： 环节一：数据收集 八年级学生问答成绩 九年级学生问答成绩 ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，． ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，． 环节二：数据的整理 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 请根据题目中所给信息，回答如下问题： （1）补全条形统计图； （2）填空：__________，__________； （3）如果该校九年级学生有1500人，请你估计该年级不低于80分的人数． 22．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 23．（8分）某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价20元，售价25元．乙商品每件进价30元，售价40元． （1）若甲、乙两种商品共购进100件，设购进甲商品x件，销售完此两种商品的总利润为y元，求出y与x的函数关系式． （2）该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品． （3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？ 24．（8分）如图，四边形为矩形，，，点为上的一点（不与点、重合），连接． （1）尺规作图：求作，使，且边与交于点（保留作图痕迹，不写作法），判断四边形的形状，并说明理由； （2）根据以上信息，若四边形为菱形，求的长． 25．（8分）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 26．（9分）在平面直角坐标系中，已知直线：过点，直线：； （1）直接写出k的值______． （2）过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D， ①当时，若，求b的值； ②当时，在点B运动的过程中，的长度满足：，请直接写出b的取值范围． 27．（10分）【问题背景】（1）点，分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． 小茗同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述三条线段的数量关系为 ． 【变式迁移】（2）如图2，在平行四边形中，，，点，分别在，上．若，，． ①直接写出的长为 ； ②连接，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 参考答案 1．【答案】B 【分析】由二次根式的被开方数为非负数可得，从而可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选B． 2．【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可；如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可； 【详解】A、，此三角形不是直角三角形，符合题意； B、，此三角形是直角三角形，不符合题意； C、，此三角形是直角三角形，不符合题意； D、，此三角形是直角三角形，不符合题意； 故选A． 3．【答案】C 【详解】①②④是一次函数，③的分母含自变量，不是一次函数，⑤需要添加这个条件才是一次函数，⑥的自变量的次数是2，不是一次函数.故选. 【上分技巧】 判断一个函数是否为一次函数的方法 （1）系数；（2）自变量的次数为1；（3）等式右边是关于自变量的整式. 4．【答案】D 【详解】解：、∵每天锻炼时间为分钟的人数最多， ∴众数是，该选项说法错误，不合题意； 、∵共抽取了名同学每天的锻炼时间， ∴中位数是第个同学和第个同学每天锻炼时间的平均数， ∴中位数是，该选项说法错误，不合题意； 、由表可得，平均数，该选项说法错误，不合题意； 、由表可得，抽取的学生数为，该选项说法正确，符合题意； 故选． 5．【答案】C 【分析】先化简，再合并同类二次根式，估算结果即可. 【详解】=， ∵， ∴的运算结果在3和4之间， 故选C. 6．【答案】C 【分析】首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选C． 7．【答案】C 【分析】根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式组成的方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴直线（是常数，且）与直线的交点坐标为：； ∴关于，的方程组，即的解为：； 故选C． 8．【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质求出，进而求出，据此解答． 【详解】解：由作图方法可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． 故选A． 9．【答案】D 【分析】先分别确定函数解析式，利用解析式，结合函数图象判断即可． 【详解】设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故甲的解析式为， ∴甲车的速度为， ∵甲先出发， ∴乙车开始行驶时，甲车在乙车前处， 故A正确，不符合题意； 当时，， 故乙车的速度为， 故B正确，不符合题意； 根据图象，得到乙车出发3小时追上甲车， 故在距离A城处，乙车追上甲车正确， 故C正确，不符合题意； 根据图象，乙车到达目的地， 故乙车比甲车早到B城 故D错误，符合题意； 故选D． 10．【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴.， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选B． 11．【答案】2 【分析】直接利用平方差公式求解即可． 【详解】解：; 12．【答案】 【分析】用对应的得分对应的权重，然后求和即可得到答案． 【详解】解： 分， ∴该班学生航天知识竞赛成绩的平均数是分. 13．【答案】5 【分析】直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案． 【详解】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为， 再将点代入， 得， 解得. 14．【答案】24 【分析】先由菱形的性质得，运用勾股定理算出，故结合对角线的乘积的一半即为菱形的面积，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴在中，， 则， ∴菱形的面积是. 15．【答案】 【分析】根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，， ， 点所表示的数为． 16．【答案】； 【详解】根据题意，得，的取值范围为.故答案为，. 17．【答案】 【分析】由四个全等的直角三角形可知，，利用勾股定理可求得大正方形的边长，由此即可求解． 【详解】解：∵中间的小正方形的周长为4， ∴， ∵， ∴， 根据题意得，在中，，， ∴， ∴大正方形的周长为 18．【答案】 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小，结合梯形面积、三角形面积求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小， 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 19．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据二次根式乘法法则及零指数幂计算即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】 解：（1） ＝＋2＋1 ＝＋3； （2） ＝3－2－2， ＝－2． 【点睛】 此题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算；注意乘法运算公式的运用． 20．【答案】 （1） 【解】根据题意设. 把，代入得， ， 与之间的函数表达式为. （2） 当时，. 21．【答案】（1）见详解 （2）， （3）1050人 【分析】（1）根据八年级学生问答成绩数据可得，分数为的有人，进而补全统计图，即可求解； （2）根据分数为的有人，求得占比即可得出的值，根据中位数的定义求得的值，即可求解． （3）用样本估计总体，用乘以不低于80分的人数的占比，即可求解． 【详解】（1）根据八年级学生问答成绩数据可得，分数为的有人 补全统计图如图所示； （2）根据九年级学生问答成绩可得，分数为的有人 ∴， 九年级成绩从小到大排列为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 中位数为： ∴. （3）（人） 即该校九年级不低于80分的人数约为1050人． 22．【答案】见详解 【分析】连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．【答案】（1）y＝﹣5x+1000 （2）至少购进甲种商品20件 （3）若售完这些商品，商家可获得最大利润是900元 【分析】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品（100﹣x）件，根据“总利润＝甲商品的利润+乙商品的利润”即可得出y关于x的函数关系式； （2）设至少购进甲种商品x件，根据该商家计划最多投入2800元用于购进此两种商品共100件，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围； （3）根据一次函数的性质找出一次函数的单调性，结合x的取值范围即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品（100﹣x）件， ∴y＝（25﹣20）x+（40﹣30）（100﹣x）＝﹣5x+1000． （2）解：设至少购进甲种商品x件， 依题意得：20x+30（100﹣x）≤2800， 解得：x≥20． 答：至少购进甲种商品20件． （3）解：对于y＝﹣5x+1000， ∵k＝﹣5＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，y取最大值，最大值为900． 答：若售完这些商品，商家可获得最大利润是900元． 24．【答案】（1）见详解，四边形为平行四边形，理由见详解 （2）的长为． 【分析】（1）先根据题意作，根据矩形的性质可得，根据作图可得，即可得证； （2）根据菱形的性质得出，在中，由勾股定理得：，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示； 四边形为平行四边形，理由如下： 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为平行四边形． （2）四边形为矩形， ， 四边形为菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：的长为． 25．【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）根据分母有理化的方法进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：. （2）. （3） ． 26．【答案】（1）2 （2）①或；② 【分析】（1）把点代入，即可求解； （2）①把分别代入，，可得点C，D的坐标，再由，即可求解；②把和分别代入，，可得点C，D的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：过点， ∴， 解得：. （2）解：①由（1）得直线：， 根据题意得：点， 对于， 当时，， 对于：， 当时，， ∵过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D， ∴， ∵， ∴， 解得：或； ②把分别代入，，得： 点， ∴， ∵， ∴， 解得：； 把分别代入，，得： 点， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，b的取值范围为． 27．【答案】[问题背景]；[变式迁移]①3；②；[拓展应用]； 【分析】[问题背景]根据证明，得出，，根据证明，得出，然后根据线段的和差关系即可得出结论； [变式迁移] ①连，先证明为等边三角形，进而证明 ，得到， ， ②过点A作于点．再求出，根据勾股定理分别求出，，最后证明为等边三角形，即可求解； [拓展应用] 过B作，并截取，连接，则证明，得出，，证明，得出，即可求解． 【详解】解：[问题背景] ， 理由：过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴； [变式迁移] ①如图2，连， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴，， ∴ ， 故答案为：3； ②过点A作于点， 又， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴； [拓展应用] ， 理由：过B作，并截取，连接，则 ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$