精品解析：2025年甘肃省酒泉市中考第三次适应性检测数学试卷

2025年中考第三次适应性检测 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 3. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 根据下列表格对应值：判断关于方程的一个解的范围是（ ） 3.24 3.25 3.26 0.01 0.03 A. B. C. D. 5. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的弦，，交于点是上一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到万辆．若设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（ ） 组别 参赛者成绩 频数 A 4 B m C 12 D 12 E 7 A. 抽样数据的样本容量是60 B. E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C. 抽样数据的中位数落在B组 D. m的值为15 9. 如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B′），若，则折痕AE的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，，则______． 12. 定义新运算：，则的运算结果是______． 13. 如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，则的周长为_______． 14. 如图，平行四边形中，E是延长线上一点，与交于点．若的面积为3，则的面积为_______． 15. 坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为_______． 16. 如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 问题情境：在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程解． （1）上述解方程过程中，从第 步开始错误； （2）写出正确的解答过程． 20. 欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，则，是的切线． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹． （2）上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是 ． 21. 甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜． （1）用画树状图法列出所有可能的结果． （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 22. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 23. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： 　　分， 　　分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． （1）求k，m，n的值； （2）点P在x轴上，，轴，交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 25. 如图，内接于是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点与的延长线相交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求圆O的半径． 26. 【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，求出使得长度取得最大值时P的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考第三次适应性检测 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是无理数，故符合题意； B．是分数，属于有理数，故不符合题意； C．是整数，属于有理数，故不符合题意； D．是小数，属于有理数，故不符合题意． 故选：A． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例， ∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例， ∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例， ∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例， 故选C． 3. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选A． 4. 根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 3.24 3.25 3.26 0.01 0.03 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在和之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围． 【详解】解：时，； 时，， ∴当时，的值可以等于0， ∴方程的一个解的范围是． 故选：B． 5. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，结合角的和差关系得到，即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 6. 如图，是的弦，，交于点是上一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知圆周角定理及垂径定理是解题的关键． 由得到，根据题意得到，继而得到，最后利用等边对等角即可解决问题． 【详解】解：， ， 是的弦，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到万辆．若设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），即可得出关于的一元二次方程，即可得解． 【详解】解：设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程：； 故选：A． 8. 为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（ ） 组别 参赛者成绩 频数 A 4 B m C 12 D 12 E 7 A. 抽样数据的样本容量是60 B. E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C. 抽样数据的中位数落在B组 D. m的值为15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与频数分布表，从图表中获取信息是关键；根据图表中C百分比及频数，可求得抽取的总人数，从而可判定A；由E的频数及样本数，求得其百分比，即可求得扇形统计图的圆心角，从而可判定B；根据中位数的意义可判定C；利用运用总数分别减去其他组的频数，即可判定D，最后获利问题的答案． 【详解】解：抽取的总人数为：， 即样本容量为50，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ∵样本容量为50， ∴排在中间位置的数为第位， 则， 故中位数落在C组， 故选项C不符合题意； 依题意，，故选项D符合题意； 故选：D． 9. 如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B′），若，则折痕AE的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作辅助线，然后根据折叠的性质和解直角三角形计算． 【详解】解：延长EB′与AD交于点F， ∵∠AB′E=∠B=90°，MN是对折折痕， ∴EB′=FB′，∠AB′E=∠AB′F， 在△AEB′和△AFB′中，， ∴△AEB′≌△AFB′， ∴AE=AF， ∴∠B′AE=∠B′AD， ∵∠BAE=∠B′AE=∠B′AD； ∴∠EAB=30°， ∴EB=EA， 设EB=x，AE=2x， ∴（2x）2=x2+AB2，x=1， ∴AE=2， 则折痕AE=2， 故选C． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 10. 如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先因式分解为，再整体代入即可求解． 【详解】解：， 将，代入，得： 原式， 故答案为：6． 12. 定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据新定义，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 13. 如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，则的周长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长公式即可解答． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 故答案为：10． 14. 如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点．若的面积为3，则的面积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据， ，即可判定，根据，得，即可求得的面积．本题考查了相似三角形的判定与性质． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ， ， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴ 又的面积为3 ， ∴的面积为， 故答案为：12 15. 坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故答案为：8． 16. 如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．计算二次根式的乘法和除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图： ． 19. 问题情境：在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． （1）在上述解方程过程中，从第 步开始错误； （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）第一步 （2）方程无解，见解析 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可． （1）根据去分母的步骤进行解答即可； （2）按照正确的步骤去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了． 故答案为：一； 【小问2详解】 方程两边都乘，得． 解这个方程，得． 经检验，为增根，原分式方程无解． 20. 欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，则，是的切线． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹． （2）上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是 ． 【答案】（1）见解析 （2）直径所对的圆周角等于 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂直平分线等基本作图等知识，熟练掌握切线的判定是关键． （1）按照步骤作图即可； （2）根据（1）的证明过程写出答案即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 由作图可知，，连接， ∵是的直径， ∴， ∵是的半径 ∴，是的切线． 【小问2详解】 由（1）可知，作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是直径所对的圆周角等于． 21. 甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜． （1）用画树状图法列出所有可能的结果． （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）这个游戏公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率． （1）画树状图即可展示所有16种等可能的结果数； （2）根据树状图得到结果为奇数或偶数的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：画树状图： ∴16种等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，； 【小问2详解】 解：这个游戏公平，理由： 由图知共有16种等可能结果，其中为奇数的可能有8种，为偶数也有8种可能， 故结果为奇数或偶数的概率都是， 甲乙获胜的概率相同，故这个游戏公平． 22. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 【答案】电池板离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长交于点，根据题意可得：米，米，设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， （米）， 电池板离地面的高度约为米． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 23. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： 　　分， 　　分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 【答案】（1）8.5，8 （2）丙 （3）乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数， 由条形统计图可知甲的得分的最多的是8分，故众数； 故答案为：8.5，8； 【小问2详解】 由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波动，所以评委对丙同学的评价更一致； 故答案为：丙； 【小问3详解】 甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， ， 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为：乙． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． （1）求k，m，n的值； （2）点P在x轴上，，轴，交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过作轴于点，首先得到，求出，利用三线合一得到，然后求出，然后理由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，将代入得， 解得 ∴一次函数 将代入得，； ∴ ∴将代入得， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过作轴于点， ∵ ∴ ∵， ∴ 将代入 ∴ ∴ ． 25. 如图，内接于是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点与的延长线相交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求圆O的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）根据圆周角定理得出，证明，得出，证明，即可得，求出，，，，即可求解． 该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【小问1详解】 解：连接， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， 则， 26. 【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 【答案】（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）， 【解析】 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求出的最大值，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ， ∴， ， 即； （2）解：成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，为定值， ∴当有最大值时，有最小值． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B左侧），抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，求出使得长度取得最大值时P的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，结合抛物线对称轴为直线，且，得，再运用待定系数法进行求出二次函数的解析式，即可作答． （2）先求出直线的解析式为，设（），则，所以，运用二次函数的图象性质，即可作答． （3）由（2）得最大时，证明四边形是矩形，得，故得出四边形是平行四边形，所以，，当共线时，取最小值，即取最小值，结合点为线段的中点，得，运用勾股定理算出，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线，与y轴交于点C， ∴令，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，且 ∴ ， 将和代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图 由（1）得， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（）， 则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴． 此时， 【小问3详解】 解：由（2）得最大时， ∵过点P作轴，垂足为E， ∴， ∵ 则， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点，且， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的综合，二次函数的图象性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $