专题提优5 一元二次方程复习两大模块七个提分点2025-2026学年九年级数学上册（人教版）【提优专题+重点题型 】典例剖析及举一反三训练

专题提优5 一元二次方程复习两大模块七个提分点（原卷版） 模块一 对点提分（类提推送） 提分点1 一元二次方程的定义及解 1．（2024秋•秦淮区校级月考）将方程2x2+7＝9x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，﹣9 B．2，7 C．2，9 D．2x2，﹣9x 2．（2024秋•晋江市校级月考）已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定 3．（2024秋•仙桃校级月考）关于x的方程ax2+bx+c＝0两根分别为﹣3，7，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为（　　） A．﹣4，6 B．﹣2，8 C．3，﹣7 D．﹣3，7 4．（2025•芜湖一模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 5．（2024秋•武威月考）若m是方程x2+3x﹣1＝0的解，则式子2m2+6m+2024的值为 　 　 ． 提分点2 解一元二次方程 6．（2024秋•武侯区校级期中）解方程： （1）4（2x﹣3）2＝（3x﹣1）2； （2）2x2﹣5x﹣1＝0． 7．（2022秋•新乡县月考）解方程： （1）3x2+5x﹣1＝0． （2）3y（y﹣2）＝4y﹣8； （3）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）． 8．（2024秋•五莲县校级月考）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 9．（2024秋•濠江区期末）在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝mn+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗3； （2）若（﹣y）⊗2的值为4，求y的值． 提分点3 一元二次方程的应用 10．（2023春•鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 11．（2023•河南二模）定义运算：m&n＝m2﹣mn+2．例如1&2＝12﹣1×2+2＝1，则方程x&3＝0的根的情况为 　 ． 12．（2023秋•乐山期末）已知A＝2x2+7x﹣1，B＝4x+1，若2A的值比3B的值大1，求满足条件的x值． 提分点4 实际问题与一元二次方程 13．（2024•龙岗区三模）“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm，宽50cm的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　） A．（50+x）（80+x）＝5400 B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400 C．（50+2x）（80+2x）＝5400 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400 14．（2023•运城一模）运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区．某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为（　　） A．10% B．10.5% C．11% D．21% 15．（2024秋•莲湖区期中）随着“十一”黄金周的到来，某一网红打卡地聚满了人．小赵根据市场需求，从某批发市场购进了进价为每个15元的纪念品，第一天以每个25元的价格售出了30个．为了让更多的消费者拥有该种纪念品，从第二天起降价销售，根据市场调查，售价每降低1元，可多售出3个．如果前两天共获利525元，则第二天每个纪念品的销售价格为多少元？ 模块二 提分专题根的判别式或根与系数的关系的应用 类型1 求方程中字母参数的值 【典例1】（2024•德城区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值． 【变式训练】 1．【直接代入】（2023秋•叙州区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． （3）方程的一个根大于1，另一个根小于1，求k的取值范围． 2．【涉及两个方程】（2024秋•高密市期末）已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n＝0（n＜0）的两个实数根，y1、y2是关于y的方程y2+5my+7＝0的两个实数根，且x1﹣y1＝2，x2﹣y2＝2，求m的值． 3．【与绝对值结合】（2021•海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 类型2 解存在性问题 【典例2】（2024秋•黄州区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x）有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值． 1．【绝对值问题】（黑龙江中考）已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x﹣3＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在这样的实数k，使2x1+2x22成立，k若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 2．【倒数问题】（2022春•鄞州区校级期中）已知关于x的方程kx2+（k+1）x0有实根． （1）当k＝4时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 类型3 解决几何图形问题 【典例3】（2024•沧州模拟）若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根． （1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值． （2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 1．【与矩形结合】（2024秋•江阴市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线为4，求实数m的值． 2．【与菱形结合】（2023秋•广州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）． （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值； （2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优5 一元二次方程复习两大模块七个提分点（原卷版） 模块一 对点提分（类提推送） 提分点1 一元二次方程的定义及解 1．（2024秋•秦淮区校级月考）将方程2x2+7＝9x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，﹣9 B．2，7 C．2，9 D．2x2，﹣9x 【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项，由此即可得． 【解析】解：将方程2x2+7＝9x化成一般形式为2x2﹣9x+7＝0， 所以二次项系数为2，一次项系数为﹣9， 故选：A． 【详解】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 2．（2024秋•晋江市校级月考）已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定 【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于k的不等式及方程，解之即可得出k的值． 【解析】解：∵关于x的方程（k﹣3）x2+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程， ∴， 解得：k＝﹣3， ∴k的值应为﹣3． 故选：C． 【详解】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 3．（2024秋•仙桃校级月考）关于x的方程ax2+bx+c＝0两根分别为﹣3，7，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为（　　） A．﹣4，6 B．﹣2，8 C．3，﹣7 D．﹣3，7 【分析】由关于x的方程ax2+bx+c＝0两根分别为﹣3，7，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为x+1＝﹣3或x+1＝7，然后解方程即可． 【解析】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0两根分别为﹣3，7， ∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为x+1＝﹣3或x+1＝7， 解得x1＝﹣4，x2＝6， 故选：A． 【详解】本题考查了一元二次方程的解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 4．（2025•芜湖一模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【分析】由题意常数项为0，可得m2﹣4＝0，根据一元二次方程的定义得出m≠2，即可求解． 【解析】解：由条件可知m2﹣4＝0且m≠2， ∴m＝﹣2． 故选：A． 【详解】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是关键． 5．（2024秋•武威月考）若m是方程x2+3x﹣1＝0的解，则式子2m2+6m+2024的值为 　2026　 ． 【分析】根据题意，m是方程x2+3x﹣1＝0的解，得m2+3m﹣1＝0，化简代入计算即可． 【解析】解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的解， ∴2m2+6m+2024＝2（m2+3m）+2024＝2026， ∴m2+3m﹣1＝0， ∴m2+3m＝1， 故答案为：2026． 【详解】本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 提分点2 解一元二次方程 6．（2024秋•武侯区校级期中）解方程： （1）4（2x﹣3）2＝（3x﹣1）2； （2）2x2﹣5x﹣1＝0． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解析】解：（1）4（2x﹣3）2＝（3x﹣1）2， （4x﹣6）2﹣（3x﹣1）2＝0， （4x﹣6+3x﹣1）（4x﹣6﹣3x+1）＝0， （7x﹣7）（x﹣5）＝0， 则7x﹣7＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝1，x2＝5． （2）2x2﹣5x﹣1＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0， 则x， 所以． 【详解】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣公式法，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 7．（2022秋•新乡县校级月考）（1）3x2+5x﹣1＝0． （2）3y（y﹣2）＝4y﹣8； （3）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）． 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：（1）3x2+5x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝52﹣4×3×（﹣1）＝37＞0， ∴， ∴，； （2）3y（y﹣2）＝4y﹣8， 3y（y﹣2）＝4（y﹣2）， 3y（y﹣2）﹣4（y﹣2）＝0， （3y﹣4）（y﹣2）＝0， ∴3y﹣4＝0或y﹣2＝0， ∴，y2＝2； （3）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）， 2（3﹣x）2+x（3﹣x）＝0， （3﹣x）[2（3﹣x）+x]＝0 （3﹣x）（6﹣x）＝0， ∴3﹣x＝0，6﹣x＝0， ∴x1＝3，x2＝6． 【详解】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 8．（2024秋•五莲县校级月考）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【分析】依题意，设x2﹣2x＝t，则原式为t2﹣5t﹣6＝0，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【解析】解：设x2﹣2x＝t， 则原方程为：t2﹣5t﹣6＝0， ∴（t﹣6）（t+1）＝0， 解得t1＝6，t2＝﹣1， 则x2﹣2x＝6或x2﹣2x＝﹣1， ∴x2﹣2x﹣6＝0， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝28， ∴， ∴； 当x2﹣2x＝﹣1时， ∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝0， ∴x＝1， 综上：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0的解是． 【详解】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程，熟练掌握以上解一元二次方程的方法是关键． 9．（2024秋•濠江区期末）在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝mn+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗3； （2）若（﹣y）⊗2的值为4，求y的值． 【分析】（1）根据题意得出（﹣2）3+（﹣2）×3﹣3，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据题意得出关于y的方程，利用求根公式解方程即可． 【解析】解：（1）（﹣2）⊗3 ＝（﹣2）3+（﹣2）×3﹣3 ＝﹣8+（﹣6）﹣3 ＝﹣14﹣3 ＝﹣17； （2）由题意得（﹣y）⊗2＝4， ∴（﹣y）2+2•（﹣y）﹣3＝4， 整理得，y2﹣2y﹣7＝0， 解得，． 【详解】本题考查了解一元二次方程，实数的运算，熟练掌握公式法解方程以及有理数的混合运算法则是解题的关键． 提分点3 一元二次方程的应用 10．（2023春•鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【分析】设点P运动的时间为t s，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间． 【解析】解：设点P运动的时间为t s，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝5， 整理得：t2﹣6t+5＝0， 解得：t1＝1，t2＝5， ∵当Q到达点C时两点同时停止运动， ∴2t≤8， ∴t≤4， ∴t＝1． 故选：A． 【详解】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．（2023•河南二模）定义运算：m&n＝m2﹣mn+2．例如1&2＝12﹣1×2+2＝1，则方程x&3＝0的根的情况为 　两个不相等的实数根　 ． 【分析】根据m&n＝m2﹣mn+2，可以将x&3＝0转化为x2﹣3x+2＝0，然后计算Δ的值，即可判断该方程根的情况． 【解析】解：∵m&n＝m2﹣mn+2，x&3＝0， ∴x2﹣3x+2＝0， Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程x&3＝0有两个不相等的实数根， 故答案为：两个不相等的实数根． 【详解】本题考查一元二次方程的应用、根的判别式，新定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程． 12．（2023秋•乐山期末）已知A＝2x2+7x﹣1，B＝4x+1，若2A的值比3B的值大1，求满足条件的x值． 【分析】根据题意列方程得2（2x2+7x﹣1）＝3（4x+1）+1，先把方程化为一般式为2x2+x﹣3＝0，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式解方程即可． 【解析】解：根据题意得2（2x2+7x﹣1）＝3（4x+1）+1， 整理得2x2+x﹣3＝0， ∵a＝2，b＝1，c＝﹣3， ∴Δ＝12﹣4×2×（﹣3）＝25＞0， ∴x， ∴x1＝1，x2， 即满足条件的x值为1或． 【详解】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 提分点4 实际问题与一元二次方程 13．（2024•龙岗区三模）“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm，宽50cm的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　） A．（50+x）（80+x）＝5400 B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400 C．（50+2x）（80+2x）＝5400 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400 【分析】设金色纸边的宽度为x cm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程． 【解析】解：设金色纸边的宽度为x cm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm， 根据题意得（50+2x）（80+2x）＝5400． 故选：C． 【详解】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键． 14．（2023•运城一模）运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区．某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为（　　） A．10% B．10.5% C．11% D．21% 【分析】设这两年苹果的储存量的年平均增长率为x，根据2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，列出方程，解方程即可． 【解析】解：设这两年苹果的储存量的年平均增长率为x，根据题意得：350（1+x）2＝423.5， 解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去）， 即这两年苹果的储存量的年平均增长率为10%，故A正确． 故选：A． 【详解】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程． 15．（2024秋•莲湖区期中）随着“十一”黄金周的到来，某一网红打卡地聚满了人．小赵根据市场需求，从某批发市场购进了进价为每个15元的纪念品，第一天以每个25元的价格售出了30个．为了让更多的消费者拥有该种纪念品，从第二天起降价销售，根据市场调查，售价每降低1元，可多售出3个．如果前两天共获利525元，则第二天每个纪念品的销售价格为多少元？ 【分析】设第二天每个纪念品的销售价格为x元，根据前两天共获利525元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解析】解：设第二天每个纪念品的销售价格为x元， 根据题意得：（25﹣15）×30+（x﹣15）[30+（25﹣x）×3]＝525， 整理得：x2﹣50x+600＝0， 解得：x1＝20，x2＝30（不合题意，舍去）， 答：第二天每个纪念品的销售价格为20元． 【详解】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 模块二 提分专题根的判别式或根与系数的关系的应用 类型1 求方程中字母参数的值 【典例1】（2024•德城区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值． 【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可； （2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值． 【解析】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0， 解得m， 所以m的最小整数值为﹣2； （2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2， ∵（x1﹣x2）2+m2＝21， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21， ∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21， 整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6， ∵m， ∴m的值为2． 【详解】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 【变式训练】 1．【直接代入】（2023秋•叙州区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． （3）方程的一个根大于1，另一个根小于1，求k的取值范围． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根可得Δ≥0，利用一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0，Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0即可求解； （2）利用根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝k﹣2，代入即可求解； （3）根据一个根大于1，另一个根小于1，可得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，将x1+x2＝﹣3，x1•x2＝k﹣2代入即可得出k的取值范围． 【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0， 整理得：17﹣4k≥0， 解得： ∴实数k的取值范围是； （2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝k﹣2， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1， 即：k﹣2﹣3+1＝﹣1， 解得：k＝3， ∴k的值为3； （3）∵方程的一个根大于1，另一个根小于1， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， 即：x1x2﹣（x1+x2）+1＜0， 将x1+x2＝﹣3，x1•x2＝k﹣2代入， k﹣2+3+1＜0， 解得：k＜﹣2 ∴k的取值范围是k＜﹣2． 【详解】本题考查了解一元一次不等式组，根的判别式，根语系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解决本题的关键． 2．【涉及两个方程】（2024秋•高密市期末）已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n＝0（n＜0）的两个实数根，y1、y2是关于y的方程y2+5my+7＝0的两个实数根，且x1﹣y1＝2，x2﹣y2＝2，求m的值． 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣m2y1+y2＝﹣5m，再把x1﹣y1＝2和x2﹣y2＝2相加得到x1+x2﹣（y1+y2）＝4，所以﹣m2+5m＝4，解方程得到m＝4或m＝1，然后根据判别式的意义判断满足条件的m的值． 【解析】解：根据题意得x1+x2＝﹣m2y1+y2＝﹣5m， ∵x1﹣y1＝2，x2﹣y2＝2， ∴x1+x2﹣（y1+y2）＝4， ∴﹣m2+5m＝4， 整理得m2﹣5m+4＝0，解得m＝4或m＝1， 而m＝1时，方程y2+5y+7＝0没有实数根，故m＝1舍去． ∴m的值为4． 【详解】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 3．【与绝对值结合】（2021•海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到Δ＝（m﹣4）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论． （2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3． 【解析】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4） ＝m2﹣8m+16 ＝（m﹣4）2≥0， ∴此方程总有两个实数根． （2）解：∵Δ＝（m﹣4）2≥0， ∴x． ∴x1＝m﹣2，x2＝2． ∵此方程有一个根小于1． ∴m﹣2＜1． ∴m＜3． 【详解】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键． 类型2 解存在性问题 【典例2】（2024秋•黄州区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x）有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值． 【分析】（1）先把方程化为一般式得到x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0，根据根的判别式的意义得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2，则|2（k﹣1）|＝k2﹣22，利用（1）的k的范围去绝对值后解方程得到k＝4或k＝﹣6，然后根据（1）中k的范围确定k的值． 【解析】解：x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x）， 整理得x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0． （1）∵方程有两个实数根x1，x2． ∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0， 解得k； （2）由根与系数关系知： x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2， 又|x1+x2|＝x1x2﹣22，代入得， |2k﹣2|＝k2﹣22， ∵k， ∴2k﹣2＜0， ∴|2k﹣2|＝k2﹣22可化简为：k2+2k﹣24＝0． 解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6， ∴k＝﹣6． 【详解】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程根的判别式． 1．【绝对值问题】（黑龙江中考）已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x﹣3＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在这样的实数k，使2x1+2x22成立，k若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． （2）根据一元二次方程的根与系数的关系式化简2x1+2x22，求得k的值，看是否符合（1）中k的取值范围． 【解析】解：（1）由题意知，k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣3）＞0 ∴且k≠0． （2）存在． ∵x1+x2， x1•x2， 又∵2x1+2x22， ∴k＝2． 解得k1＝4，k2＝﹣2（不符合题意，舍去）． ∴存在满足条件的k值，即k＝4． 【详解】（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系： ①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； ②Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； ③Δ＜0⇔方程没有实数根． （2）一元二次方程的两根之和等于，两个之积等于． 2．【倒数问题】（2022春•鄞州区校级期中）已知关于x的方程kx2+（k+1）x0有实根． （1）当k＝4时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程，有实数解；当k≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（k+1）2﹣4k0，此时满足k且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围； （3）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b，ab，再利用1得到，解得k，然后利用k且k≠0可判断不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【解析】解：（1）k＝4，方程化为：4x2+5x+1＝0， （4x+1）（x+1）＝0， 4x+1＝0或x+1＝0， 所以x1，x2＝﹣1； （2）当k＝0时，方程化为x＝0，方程有实数解； 当k≠0时，根据题意得Δ＝（k+1）2﹣4k0， 解得k且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k； （3）不存在． 理由如下： 设方程的两根分别为a、b， 根据根与系数的关系得a+b，ab， ∵1， 即1， ∴a+b＝ab， ∴， 解得k， ∵k且k≠0， ∴不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【详解】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 类型3 解决几何图形问题 【典例3】（2024•沧州模拟）若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根． （1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值． （2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【分析】（1）根据韦达定理得x1+x2、x1x2，再代入到（x1﹣1）（x2﹣1）＝28即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28中解方程可得m的值，两个值根据方程有解考虑取舍； （2）将x＝7代入方程求出m的值，将m的两个值分别代回原方程，分别解每一个方程求出x的值，根据三角形三边关系取舍，最后三边相加可得周长． 【解析】解：（1）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28， ∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，解得：m＝﹣4或m＝6， 当m＝﹣4时原方程无解， ∴m＝6； （2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7， 将x＝7代入原方程得：49﹣14（m+1）+m2+5＝0， 解得：m＝10或m＝4， 当m＝10时，方程为x2﹣22x+105＝0，解得：x＝7或x＝15， ∵7+7＜15，不能组成三角形； 当m＝4时，方程为x2﹣10x+21＝0，解得：x＝3或x＝7； 此时三角形的周长为：7+7+3＝17． 【详解】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、解方程、等腰三角形性质等知识点，根据韦达定理得到此方程的两根和与两根积是解题的根本，熟悉方程的解及三角形三边关系是第2题的关键． 1．【与矩形结合】（2024秋•江阴市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线为4，求实数m的值． 【分析】（1）根据题意可得Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0，据此求解即可； （2）设该方程的两个实数根为x1，x2，则由根与系数的关系得到x1+x2＝2m+2，，再由矩形的性质和勾股定理计算，则由完全平方公式的变形得到，即（2m+2）2﹣2m2＝16，解方程即可得到答案． 【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0， ∴4m2+8m+4﹣4m2＞0， ∴； （2）设该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2（m+1）＝2m+2，， ∵该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线为4， ∴由矩形的性质和勾股定理可得：42， ∴， ∴4m2+8m+4﹣2m2＝16， ∴m2+4m﹣6＝0， 解得或（舍去）． 【详解】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，矩形的性质，勾股定理等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 2．【与菱形结合】（2023秋•广州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）． （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值； （2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得Δ＝0，求出k； （2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k． 【解析】解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0， 4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0， 4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0， 4k﹣8＝0， k＝2， （2）不存在，理由如下： ∵该方程的两解是菱形的两对角线长， ∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3， 设菱形的两对角线长a，b． ∵菱形的两对角线互相垂直平分， ∴由勾股定理得，4， 4， b2+a2＝16， ∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16， （a+b）2﹣2ab＝16， [2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16， 解得k， ∵Δ＝4k﹣8， ∴4k﹣8≥0． ∴k≥2， ∵k2， ∴不存在满足条件的常数k． 【详解】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意4k﹣8≥0这个知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$