天津市第二中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024-2025 (二)天津二中高一年级第二次月考 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共100分，考试用时90分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 设 是平面内两个不共线的向量，则向量，可作为基底的是( ) 2.设直线a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若α∥β, a⊂α,b⊂β,则a∥b B. 若a∥b,α∥β,a⊥α,则b⊥β C. 若α⊥β, a⊂α,b⊂β,则a⊥b D. 若α∩β=a,b∥a,则b∥α 3. 已知复数z满足： 其中i为虚数单位，则z的共轭复数z的虚部为( C. i D. 4.在△ABC中, 角A, B, C对边分别为a, b, c, 若 则实数a的值为( ) A. 6 B. 3 C. 高一数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 5. 如图, O是△ABC的重心, D是边BC上一点，且 则( ) 6.直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, 若AB⊥BC, AB=6, BC=8,AA₁=6,则该直三棱柱外接球的表面积为( ) A. 72π B. 114π C. 136π D. 144π 7.如图，一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'为矩形，其中 ，则原平面图形的周长为( ) B. 8 D. 14 8.已知△ABC的外接圆圆心为0，且 则向量 在向量 上的投影向量为( ) 9.如图，正四棱锥P-ABCD的每个顶点都在球M 的球面上，侧面PAB 是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M 的体积的比值为( ) 高一数学 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第II卷(非选择题 共64分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上. 10.已知i 是虚数单位，复数 . 11.2022年8月16日，航天员的出舱主通道—问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人. 12.已知圆锥底面半径为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则此圆锥的母线长为 . 13. 设 是两个不共线的空间向量，若且A，C， D三点共线，则实数k的值为 . 14.如图，在正方体 中，E是棱BC的中点，G是棱 的中点，则异面直线 GB与B'E成的角为 . 15. 在菱形ABCD中, 已知点M在线段EF上，且 则 ，若点N为线段BD上一个动点， 则 的最小值为 . 高一数学 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题：本大题共4小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题卡上。 16. (本小题满分10分) 已知向量a和b，若 求: (1) a·b的值; 的值;(3) 2a+b与b的夹角θ的余弦值. 17. (本小题满分10分) 在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, (1)求sinC的值; (2)求 的值； (3)若△ABC的面积为 求c的值. 18. (本小题满分10分) 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, A₁A⊥底面ABC,且△ABC为正三角形, D为AC的中点. (1)求证: 直线AB₁//平面BC₁D (2)求证：平面BC₁D⊥平面A₁ACC₁ (3)求BC₁与平面A₁ACC₁所成的角的正切值. 19. (本小题满分10分) 在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若平面向量⊥, 其中 = (1)求角B的大小； (2)若b=3, 求 的最大值. 高一数学 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025(二)天津二中高一年级第二次月考 数学试卷答案 一、选择题;本大题共9小题,每小题4分,共36分 2 3。 题号 7 8 9 6 答案 C C B D A C D A 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 2_ 11. 3600; 10. 12. 3V2: 5 5 13. 14.90o; 三、解答题:本大题共4小题,共40分. (2):(2+6){}-4a+4a-+6=16+8+4=28,: +6-2、7; ($3) ·(2ā+6)-6-2+-4+4=8 (2ā+)-6 -8-27 ..cosθ-cos2+5.6= #2^2、#7#7 1$7.(本题10分)解:(1)因为2sinA=3sinB,所以2a=3b,而c=2b. .cosC= 2ab cos2C=2cos2C-1--3. 4' 则ab-62,又2a=3,则b=2, 天津市第二中学高一年级阶段性检测 数学答案 第1页(共3页) 又c=2b,则c=4. 18.(本题10分)解:(1)设BC~CB=O,连接DO. B. ·在三校柱ABC-A.BC中, A.A1底面ABC,且VABC为正三角形, .三校柱ABC-ABC为正三梭柱,侧面C.CBB.为正方形 .O为BC的中点,又:D为AC的中点,i.在ACB.中有DO//AB .AB平面BC.D,DOc平面BC.D,.AB//平面BC.D; (2)连接BD, ·A.A1底面ABC,BD一平面ABC,:A.A1BD, 又:VABC为正三角形,D为AC的中点,:.AC1.BD 又4AAC=A,又:AAc平面AACC,ACc平面A.ACC, .BD1平面A.ACC,又9BD一平面BC.D,..平面BCD1平面A.ACC (3)由(2)可知BD/平面A.ACC...DC即为BC.在平面A.ACC.内的射影 :.乙BC.D即为BC.与平面A.ACC.所成的角. .三校柱ABC-A.B.C为正三 柱:且AA三AB=6; BD3315 . tan乙BC.D=- DC3 19.(本题10分)解:(1)因为1n,则.=0,又=(V3a,sin4),n=(cosB,-b), 所以:i=3gcosB-bsinA=0,由正弦定理得3sinAcosB-sinBsin4=0, 即3sin.AcosB=sinBsinA,又A是VABC内角,则sinA=0,所以3cosB=sinB,即tanB=3. 天津市第二中学高一年级阶段性检测 数学答案 第2页(共3页) 又Be(0.n),所以B-" (2) 由余弦定理得b^}=a^}+c-2accosB,即a^}+c^-ac=(a+c){}-3ac=9 .(at)-9-3a=}(ate) (当且仅当a=c=3时取等号),.a+c$6, (a+c)-9 又a+c>b=3,:3<a+cs6:所以ac atc atc 3atc a+c2 a+c 天津市第二中学高一年级阶段性检测 数学答案 第3页(共3页)