精品解析：四川仁寿一中北校区2027届高三上学期九月月考数学试题

仁寿一中北校区高三上学期九月月考 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下： （十万元） 5 6 7 8 9 （十万元） 55 60 70 75 80 由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（ ） A. 85.5 B. 86.5 C. 87.5 D. 88.5 7. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 用表示次伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有： D. 已知随机变量的分布列为，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 关于的不等式的解集为，且. 若，则 D. 若函数在上单调递增，则的取值范围为 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. . C. 当时， D. 函数恰有7个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________. 13. 某高中运动会设有5个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有______. 14. 若函数，满足，且，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 设函数，其中，且． （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极值点，且对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据． 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 45 60 105 不喜欢网络文学 55 40 95 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？ （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜． （i）在进行了3次挑战赛后，求甲组获胜次数X的分布列与数学期望； （ii）若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式. 附 ，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）若的图象在点和处的切线互相垂直，求实数的值． （2）若函数有两个不同的正零点． ①求实数的取值范围； ②已知当时，关于的不等式恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高三上学期九月月考 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，可求交集，进而可得结论. 【详解】由，可得， 所以. 故的元素个数为3. 故选：B. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得. 【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以命题的否定为“”. 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 6. 某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下： （十万元） 5 6 7 8 9 （十万元） 55 60 70 75 80 由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（ ） A. 85.5 B. 86.5 C. 87.5 D. 88.5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点求出回归方程，再利用回归方程进行计算估计. 【详解】因为：，. 由线性回归方程经过点且得：. 所以. 当时，. 故选：C 7. 是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期性与奇函数性质求的值. 【详解】因为是定义在上周期为的奇函数， 所以. 故选：C. 8. 已知为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】先利用指数运算得，然后利用基本不等式求解判断A；利用二次函数性质求解判断B；利用基本不等式的常数代换技巧求解判断C；先利用已知得，然后利用基本不等式求解判断D. 【详解】因为，所以，又为正实数， A：由基本不等式：， 两边平方得，即，当且仅当等号成立， 即，因此的最大值为，故A正确； B：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，故B错误； C：， 得到的最小值为8，当且仅当等号成立，故C正确； D：， 由（1）知，所以，即， 当且仅当等号成立，符合条件， 因此的最小值为，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 用表示次伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有： D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项分布的数字特征、正态分布对称性、独立事件的条件概率、离散型随机变量分布列的性质，逐一判断选项即可 【详解】对于A：由题意，则，， 两式联立消去，可得，解得，故A正确； 对于B：正态分布的对称轴为，则， 故，即B错误； 对于C：因两枚硬币的抛掷结果互不影响，则事件相互独立，故，即C正确； 对于D：因，因分布列的概率总和为1， 则有，解得，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 关于的不等式的解集为，且. 若，则 D. 若函数在上单调递增，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数值域不同判断A；根据复合函数定义域的求法判断B；分情况讨论，根据集合间的关系求参数的取值范围，判断C；利用分段函数单调性列不等式组求解可判断D. 【详解】对A：因为函数的值域为，函数的值域为， 所以两个函数不是同一个函数，故A错误； 对B：因为函数的定义域为，所以， 由得，所以函数的定义域为，故B正确； 对C：当时，由得或， 所以或； 当时，无解，所以； 当时，由得，所以. 又，，所以，故C错误； 对D：因为函数在上单调递增， 所以，解得，故D正确. 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. . C. 当时， D. 函数恰有7个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件可得关于轴，对称，且，根据可判断A，由函数的周期性即可判断B，由函数的对称性即可判断C，结合函数的图像，即可判断D. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以关于轴， 因为对任意的，都有，所以关于中心对称， 又由可得， 又函数为偶函数，所以，所以， 所以函数的周期， 令，代入得，所以， 对于A，当时，，且，故，A错误 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，因为关于轴和对称，且， 所以函数的对称中心为， 所以函数在和上的图像关于点对称， 当时，，C正确； 对于D，由上面分析，作出和的图像， 又， 由图像可知，函数与恰有7个交点， 所以恰有7个零点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和. 【详解】因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得， 因此，二项式系数之和为. 故答案为：. 13. 某高中运动会设有5个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有______. 【答案】70 【解析】 【分析】根据题意，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同，第二种情况所选取的3个项目完全相同，结合分步乘法计数原理与分类加法计数原理，代入计算，即可求解. 【详解】由题意知可分为两种情况， 第一种情况所选取的3个项目恰有2个相同： 第一步，在5个项目中选取2项，共有种， 第二步，甲在剩下的3个项目中选取1项，共有种， 第三步，乙在剩下的2个项目中选取1项，共有种， 由分步乘法计数原理可知，共有种； 第二种情况所选取的3个项目完全相同，则有种. 由分类加法计数原理可知，总情况共有种. 14. 若函数，满足，且，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】先求，再对两边求导后令可求的值. 【详解】因为函数，满足，且， 所以，则，对两边求导， 可得，所以，因此. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知等式用等比数列通项公式转化为关于公比的一元二次方程，结合正项条件求得，即可得到的通项公式； （2）先化简得到为等差数列，利用分组求和法，分别计算等比数列和等差数列的前项和，相加得到. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，得 ，即 ， 解得（舍去​） . 所以数列的通项公式为： . 【小问2详解】  由(1)得， 当时，， 又，故是首项为，公差为的等差数列. 设等比数列的前项和为，等差数列的前项和为， 由分组求和得. 计算：， 计算：， 因此. 16. 设函数，其中，且． （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极值点，且对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，求出函数的导函数，在解导函数的不等式，即可得到函数的单调区间； （2）首先求出函数的导函数，依题意，即可求出参数的值，参变分离得到在上恒成立，构造函数利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解； 【详解】（1）当时，定义域为． 所以．当时，；当时，． 因此的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）因为，所以，即解得． 于是就是，即在上恒成立． 令，则． 当时，，所以，在上单增． 因此，．故实数的取值范围是． 17. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又，所以两两垂直， 以为原点，分别以射线方向为轴正方向建立空间直角坐标系. 由已知可得，，，. 由于是的中点，得，由是的中点，得， 由，得，因此. 易知平面的法向量. 因为，且平面，因此平面. （2） 【解析】 【分析】第一小问建系求出向量，利用它与底面法向量垂直，直接证线面平行. 第二小问建立坐标系求出两个平面的法向量，套用夹角公式，取绝对值计算面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 在第一小问建系的基础上，设平面的法向量为. 已知，， 由得，令，得，即. 因为平面的法向量， 故. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据． 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 45 60 105 不喜欢网络文学 55 40 95 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？ （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜． （i）在进行了3次挑战赛后，求甲组获胜次数X的分布列与数学期望； （ii）若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式. 附 ，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）不能认为喜欢网络文学与性别有关联. （2）（i）所以的分布列为： ； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）（i）求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望； （ii）求出的递推公式，利用构造法求出通项公式. 【小问1详解】 根据列联表中的数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，不能认为喜欢网络文学与性别有关联. 【小问2详解】 （i）X的可能取值为， ， 所以的分布列为： 所以； （ii）依题意，， 则，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 19. 已知函数． （1）若的图象在点和处的切线互相垂直，求实数的值． （2）若函数有两个不同的正零点． ①求实数的取值范围； ②已知当时，关于的不等式恒成立，证明：． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：由时，关于的不等式恒成立， 所以在上的两个零点，也是的两个零点， 令，由①知，又，即，，， 要证，即证，由，而， 由， 令且，所以， 令，则，即在上单调递增， 所以，即，即在上单调递减， 所以，即，而在上单调递增， 所以，即，故，得证； 要证，即证，即证， 由， 令且，则， 所以在上单调递增，则，即， 而在上单调递增，则，故，得证， 综上，. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义及切线垂直有，即可求参数值； （2）①问题化为在上有两个不同的根，应用导数研究右侧的区间单调性及值域，即可得范围；②根据已知在上的两个零点，也是的两个零点，令，得，，，应用分析法化为证明、，构造函数，应用导数研究函数的单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 由题设，则，， 所以，可得； 【小问2详解】 ①由题设在上有两个不同的零点， 所以在上有两个不同的根，令， 所以，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，趋向0或时，所以； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $