广东省湛江市赤坎区湛江市第一中学2024-2025学年上学期第三次综合素质评价八年级数学试卷 （期末考）

湛江市第一中学2024-2025学年度第一学期第三次综合素质评价 初二级数学科试卷 学校： 班级： 姓名： 考号： 密 封 线 内 不 要 答 题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，下载一部高清电影只需要1秒．将0.00076用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（    ） A．75° B．55° C．40° D．35° 5．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，已知点D、E分别是、的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．1 C．2 D． 8．若的计算结果中不含x的一次项，则a的值是　　 A． B． C．2 D． 9．如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 10．如图，是的中线，，下列说法： ； ； 和面积相等； ； ． 其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2． 填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11．代数式有意义的条件为 ． 12．若，，则 为 ． 13．分解因式： ． 14．如图，在中，若，，，则 ．    15．若，则分式的值为 ． 三、解答题（本大题8小题，共75分） 16．（7分）（1）计算： （2）解方程． 17．（7分）先化简，再代入求值：，其中． 18．（7分）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为______． (2)在（1）问条件下，求的面积． 19．（9分）如图，点、在上，，，．求证：． 20．（9分）如图，于点，于点，，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 21．（9分）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． (1)求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 22．（13分）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）代数式的最小值为 ； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 23．（14分）在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB (1)如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC； (2)如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB： (3)如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB、OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由． 湛江市第一中学2024-2025学年度第一学期第三次综合素质评价 初二级数学科试卷参考答案 学校： 班级： 姓名： 考号： 密 封 线 内 不 要 答 题 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．D 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】A、B、C均为轴对称图形， D为中心对称图形，不是轴对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，理解概念是解题关键． 2．B 【分析】根据题意依据绝对值小于1的正数利用科学记数法表示为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定进行分析即可． 【详解】解：0.00076=. 故选：B. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，注意掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 3．D 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义 ∴， 解得， 故选：D． 4．C 【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠4=75°，然后根据三角形的外角等于不相邻两内角的和，可知∠4=∠2+∠3，据此求解即可得． 【详解】解：标定角度如图所示： ∵， ∴∠1=∠4=75°， ∵∠4=∠2+∠3， ∴∠3=75°-35°=40°． 故选C． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 5．B 【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果． 【详解】A选项，故不是最简分式； B选项不能再化简，故是最简分式； C选项，故不是最简分式； D选项，故不是最简分式． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式． 6．D 【分析】本题主要考查二次根式的加法，减法，乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意； B.，选项错误，不符合题意； C.，选项错误，不符合题意； D. ，选项正确，符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了三角形的中线，根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：，，，依此即可求解． 【详解】解：∵点D为边的中点，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴，， ∴， 即阴影部分的面积等于． 故选：A． 8．C 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解： 由题意得，， 解得，， 故选C． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 9．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 10．B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，由三角形中线的性质可判断；证明，可判断；由全等三角形的性质得，从而可判断熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴和面积相等；故正确； 在和中， ， ∴，故正确； ∴，，正确； ∴，故正确； ∵是的中线， ∴与不一定相等，故错误； 综上可知：说法正确的有正确，共个， 故选：． 2、 填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11．且 【分析】由()，分式() 进行求解即可． 【详解】解：由题意得 ， 解得：且． 故答案：且． 【点睛】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，理解条件是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．将变形为求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 13． 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 直接用平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14． 【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 15． 【分析】根据分式基本性质，分子和分母同时除以xy可得． 【详解】 若 则 故答案为： 【点睛】考核知识点：分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键． 三、解答题（本大题8小题，共75分） 16．（1） 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质、零指数幂的意义以及绝对值的性质化简各项，再计算即可求出答案． 【详解】解： ． （2） 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解：原方程化为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程一定要检验． 17．， 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．(1)画图见解答； (2) (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）由题意可得，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． （2）解：的面积为． 19．证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．先利用线段的和差得出，再利用“边角边”判定定理证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴． 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由于点，于点，得，由，，推导出，而，可根据“”证明，得，即可证明平分； （）由，，根据“”证明，得，则，据此即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）解：由（）得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 21．(1)甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元 (2)120个 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，根据“购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个”列出方程求解即可； （2） 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，根据“总金额不超过1300元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元． （2）设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个， 依题意得：， 解得：， 答：最多购进120个甲种月饼． 22．（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）32平方米 【分析】本题考查了完全平方式的应用，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式的特点、偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方公式的特征添加即可得解； （2）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （3）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （4）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：（1）由题意得， ， 故答案为：4． （2）， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：； （3），理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （4）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是32平方米． 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF；当点G在线段OB上时，OB＝BG+AF；当点G在B点下方y轴上时，AF＝OB＋BG；理由见解析 【分析】(1)要证明△AOP≌△BOC已经有一边，一角相等，只要证明∠HAC=∠OBC即可． (2)如下图②中，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，由△COM≌△PON(AAS)，推出OM=ON．因为OM⊥CB，ON⊥HA，推出HO平分∠CHA，由此即可证明． (3)分点G在y轴的正半轴上、点G在线段OB上、点G在B点下方y轴上时三种情况画出图形讨论即可． 【详解】（1）证明：如图①中， ∵AH⊥BC，即∠AHC＝90°，∠COB＝90° ∴∠HAC＋∠ACH＝∠OBC＋∠OCB＝90°， ∴∠HAC＝∠OBC． 在△OAP与△OBC中:， ∴△OAP≌△OBC（ASA）， （2）解：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②． 在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°， ∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP． 又由(1)可知：△OAP≌△OBC， ∴OP＝OC. 在△COM与△PON中：， ∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM＝ON． ∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴OH平分∠CHA， ∴∠OHP＝∠CHA＝45°， ∵∠AHB＝90°， ∴2∠OHP＝∠AHB． （3）解：GB、OB、AF三条线段之间的数量关系如下： 情况一：当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF； 情况二：当点G在线段OB上时，OB＝BG＋AF； 情况三：当点G在线段OB的延长线上时，AF＝OB＋BG； 下面逐个证明： 情况一：当点G在y轴的正半轴上时，连接OE，作EF⊥EG，如图． ∵∠AOB＝90°，OA＝OB，E为AB的中点， ∴OE⊥AB，∠BOE＝∠AOE＝45°，OE＝EA＝BE， ∴∠OAB＝45°，∠GOE＝∠GOA+∠AOE =90°＋45°＝135°， ∴∠EAF＝135°＝∠GOE． ∵GE⊥EF，即∠GEF＝90°， ∴∠OEG＝∠AEF， 在△GOE与△FAE中：， ∴△GOE≌△FAE（ASA）， ∴OG＝AF， ∴BG﹣BO＝GO＝AF， ∴BG﹣BO＝AF． 情况二：当点G在线段OB上时，连接OE，作EF⊥EG，如图： ∵∠OEG=∠FEG-∠FEO=90°-∠FEO，∠AEF=∠AEO-∠FEO=90°-∠FEO， ∴∠OEG=∠AEF， 结合情况一中已经证明的EO=EA，∠EOG=∠EAF=45°， ∴△GOE≌△FAE(ASA)， ∴GO＝AF． ∴OB＝BG+GO=BG＋AF． 情况三：当点G在B点下方y轴上时，连接OE，作EF⊥EG，如图： ∵∠BEG=∠FEG-∠FEB=90°-∠FEB，∠OEF=∠OEB-∠FEB=90°-∠FEB， ∴∠BEG=∠OEF， 且∠FOE=∠FOB+∠BOE=90°+45°=135°，∠GBE=180°-∠OBE=180°-45°=135°， ∴∠FOE=∠BGE=135°， 又OE=BE， 易证△GOE≌△FAE(ASA)， ∴GO＝FA． ∴AF＝AO+OF=OB＋BG． 【点睛】本题属于三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质及判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 第7页（/共4页） 第8页/（共10页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 第11页/（共20页） 第12页/（共20页） 知人善教 激发兴趣 塑造能力 学科网（北京）股份有限公司 $$