精品解析：四川省南充市南部县振兴初级中学2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试卷

初二阶段性学习水平诊断（二） 数 学 试 题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 2. 对于一次函数，下列结论错误的是（       ） A. 函数值随自变量增大而增大 B. 函数图象与轴正方向成角 C. 函数图象与轴交点坐标是 D. 函数图象不经过第四象限 3. 一棵树在一次强台风中，从离地面处折断，量得倒下部分树尖与树根的距离是，这棵树在折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 4. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 5. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长和面积分别是（ ） A. 20和20 B. 20和24 C. 24和28 D. 32和24 6. 如图，ABCD中，AB＝4，AD＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长为（　　） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（　　） A. 10 B. 14 C. D. 8. 如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为　　 A. 3 B. C. 4 D. 9. A、B两地相距20 km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则下列选项错误的是（ ） A. 乙比甲先到1小时 B. 甲的速度为4 km/h C. 乙提速后速度为9 km/h D. 乙出发两小时后追上甲 10. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若，则x+y的值是________________________． 12. 若函数y=（m+1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第______象限． 13. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______． 14. 已知，.则的值为__________. 15. 如图，矩形ABCD中，E为BC中点，将△ABE沿直线AE折叠，使得点B落在点F处，连接FC．若∠DAF＝18°，则∠DCF＝__________ ° 16. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____． 三、解答题（共86分） 17 计算： （1） （2）． 18. 已知：如图，的对角线，相交于点O，E，F是直线上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形． 19. 某校组织学生到距学校6千米的光明科技馆参观，学生王红因故没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车收费标准如下： 里程/千米 收费/元 3千米以下（含3千米） 8.00 3千米以上，每增加1千米 1.80 （1）写出出租车的收费y（元）与行驶的里程x（千米）之间的函数关系式； （2）王红同学身上仅有14元钱，则她乘出租车到科技馆的车费够不够用？请说明理由． 20. 先化简﹐再求值：，其中． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形，且恰好经过点D． （1）线段DC′长度； （2）求ADE的面积． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 已知一次函数图象经过两点，且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求该一次函数表达式； （2）求的面积． 24. 在平面直角坐标系中，有点、、．已知点从点出发沿着路线向点运动，点从点出发沿路线向点运动，运动速度都是每秒2个单位长度，运动时间为秒． （1）当秒时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）当四边形是矩形时，求的值． （3）是否存在某一时刻，使四边形是菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF与CD相交于点G. （1）如图1，当∠AEC = ，AE=4时，求FG的长； （2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，DH与AF、AE分别交于点M、N，求证：AE=AH+DG 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二阶段性学习水平诊断（二） 数 学 试 题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分式的分母不等于0是解题的关键． 2. 对于一次函数，下列结论错误的是（       ） A. 函数值随自变量增大而增大 B. 函数图象与轴正方向成角 C. 函数图象与轴交点坐标是 D. 函数图象不经过第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质逐一进行判定即可． 【详解】解：A． ，函数值随自变量增大而增大，故该选项正确； B． 由一次函数的图象与函数的图象平行，则函数图象与x轴正方向成角，故该选项正确； C． 函数图象与x轴交点坐标是，故该选项错误； D． 函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故该选项正确； 故选：C 3. 一棵树在一次强台风中，从离地面处折断，量得倒下部分树尖与树根的距离是，这棵树在折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图利用勾股定理求得AB的长，然后加上BC的长即可得到答案. 【详解】如图，由题意得：BC=5m，AC=12m， ∴m， 则这棵树在折断前的高度=AB+BC=13+5=18m. 故选D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出AB的长度，再根据大树的高度=AB+BC进行解答． 4. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 5. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长和面积分别是（ ） A. 20和20 B. 20和24 C. 24和28 D. 32和24 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得两条对角线互相垂直，利用勾股定理即可求出菱形的边长，进而求得菱形周长，根据菱形面积等于对角线之积的一半即可求得菱形面积． 【详解】解：如图所示： 四边形ABCD为菱形，AC=8，BD=6， AB=BC=CD=AD，OA=AC=4，OB=BD=3，， ， 此菱形的周长=4×5=20 菱形面积=×6×8=24． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形四条边长相等，对角线互相垂直平分，勾股定理．熟练掌握菱形性质，利用勾股定理求出菱形边长是解题关键． 6. 如图，ABCD中，AB＝4，AD＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长为（　　） A 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用DE平分∠ABC，可求得AB=AE=4，DE=3，利用，即可求得DF． 【详解】解：∵DE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=4， ∴DE=3， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 即， 解得：DF=3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质的应用，以及相似三角形的应用，找出对应的相似三角形是解题的关键． 7. 如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（　　） A. 10 B. 14 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG，根据勾股定理，即可求出AG长度； 【详解】把长方体展开有三种情况： 当蜘蛛从A 出发到EF上再到G时，如下图所示 ， ， ， 在中，； 当蜘蛛从A 出发到BF上再到G时，如下图所示 ，， ， ， ， 在中，， 当蜘蛛从A 出发到EH上再到G时，如下图所示 ， ， ∴AF=9cm， 在中，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 8. 如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为　　 A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E， △ABC的面积=×BC×AE=， 由勾股定理得，AC==5，则×5×BD=， 解得BD=3, 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 9. A、B两地相距20 km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则下列选项错误的是（ ） A. 乙比甲先到1小时 B. 甲的速度为4 km/h C. 乙提速后速度为9 km/h D. 乙出发两小时后追上甲 【答案】D 【解析】 【分析】分析甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）关系的图象，分别进行判断即可． 【详解】解：A．从图象上看，甲5个小时后到达，乙4个小时后到达，故选项正确，不符合题意； B．甲的速度为：（km/h），故选项正确，不符合题意； C．乙提速后的速度为（km/h），故选项正确，不符合题意； D．设乙出发后，x小时追上甲， 由题意得： 解得x＝ 故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是由图象得到信息进行解答． 10. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB△OEB得△EOB△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可． 【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC△EOA， ∴FO=EO， ∴OB⊥EF， ∴△FOB≌△OEB， ∴△EOB与△CMB不全等，故②错误； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE ∴S△AOE：S△BCM=2∶3 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若，则x+y的值是________________________． 【答案】0 【解析】 【分析】结合题意，根据二次根式的性质，可分别得到x和y的方程，经计算从而完成求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次根式、一元一次方程、等式等知识；解题的关键是熟练掌握平方根、一元一次方程、等式的性质，从而完成求解． 12. 若函数y=（m+1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第______象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】根据正比例函数即是一次函数，再由一次函数定义可得：|m|=1，且m+1≠0，计算出m的值，再根据一次函数的性质进而可得答案． 【详解】解：由函数y=（m+1）x|m|是正比例函数得：|m|=1，且m+1≠0， 解得：m=1， 则m+1=2＞0， 得到该函数的图象经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和性质，关键是掌握正比例函数是一次函数，因此自变量的指数为1，做题时要灵活运用知识点． 13. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______． 【答案】## 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是正方形，其边长为4，BD是其对角线， ∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=， 又∵∠BAE=22.5°， ∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°， ∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DAE， ∴DE=AD=4， ∴BE=， ∵EF⊥AB于点F，∠ABD=45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF=． 故答案为． 14. 已知，.则的值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由于x+y=，xy=1方便运算，故可考虑将代数式化为含（x+y）和xy的项，再整体代入（x+y）和xy的值，进行代数式的求值运算． 【详解】解： ∵，. ∴x+y=，xy=1， ∵=， ∴原式==5, 故答案为5. 【点睛】本题考查了代数式求值和二次根式的运算．由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入， 15. 如图，矩形ABCD中，E为BC中点，将△ABE沿直线AE折叠，使得点B落在点F处，连接FC．若∠DAF＝18°，则∠DCF＝__________ ° 【答案】36 【解析】 【分析】由折叠的性质得：，，，求出，由直角三角形的性质得出，求出，求出，由等腰三角形的性质求出，即可得出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ； 故答案为：36． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出的度数． 16. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据题意作A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q，再根据三角函数计算即可. 【详解】 解：作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴DQ⊥AE， ∵DE＝AD， ∴QE＝QA， ∴QA+QP＝QE+QP＝EP， ∴此时QA+QP最短（垂线段最短）， ∵∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°， 在RT△APE中，∵∠APE＝90°，AE＝2AD＝12， ∴EP＝AE•sin60°＝12× ＝6 ． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查最短线段问题和三角函数的计算，关键在于做辅助线,构造直角三角形. 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的加减计算，负整数指数幂和零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算立方根，负整数指数幂和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，的对角线，相交于点O，E，F是直线上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，则可由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：∵四边形平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 19. 某校组织学生到距学校6千米的光明科技馆参观，学生王红因故没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车收费标准如下： 里程/千米 收费/元 3千米以下（含3千米） 8.00 3千米以上，每增加1千米 1.80 （1）写出出租车的收费y（元）与行驶的里程x（千米）之间的函数关系式； （2）王红同学身上仅有14元钱，则她乘出租车到科技馆的车费够不够用？请说明理由． 【答案】(1) （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据3千米以内收费8元，超过3千米，每增加1千米收费1.8元，列代数式即可； （2）求出到达科技馆所需的钱数，然后判断14元钱是否能够到达科技馆． 详解】解：（1）根据题意，当时，， 当时，， 故y与x之间的函数关系式为． （2）王红同学乘出租车到科技馆的车费够用．理由如下： 把代入， 得， 所以王红乘出租车到科技馆的车费够用． 【点睛】本题考查了列函数关系式和求函数值，关键是读懂题意，根据题意列出函数关系式． 20. 先化简﹐再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】运用分式的加减乘除法则对原式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】原式， 当时，代入可得： 原式． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，熟练掌握分式加减乘除运算法则是解题关键． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形，且恰好经过点D． （1）线段DC′的长度； （2）求ADE的面积． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠C=90°，由折叠的性质可得AB=AB'=6，CE=C'E，B'C'=BC=10，∠B'=∠B=90°，∠C=∠C'=90°，由勾股定理可求B'D的长，可得C'D的长； （2）设DE=x，则EC′=6-x，利用勾股定理列方程求解，从而可求三角形面积． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠C=90° ∵将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E， ∴AB=AB'=6，CE=C'E，B'C'=BC=10，∠B'=∠B=90°，∠C=∠C'=90° ∵B'D= ∴C'D=B'C'-B'D=2， （2）设DE=x，则EC′=6-x， 由（1）可知∠C'=90°，C'D=2 ∴在Rt△C′DE中，，解得： ∴△ADE的面积为． 【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 23. 已知一次函数的图象经过两点，且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求该一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）先把A点和点坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式； （2）先求出直线与坐标轴交点，再根据三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：把，代入得 ，解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 点的坐标分别为； 当时，， 解得：， 点的坐标分别为； 的面积为． 24. 在平面直角坐标系中，有点、、．已知点从点出发沿着路线向点运动，点从点出发沿路线向点运动，运动速度都是每秒2个单位长度，运动时间为秒． （1）当秒时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）当四边形是矩形时，求的值． （3）是否存在某一时刻，使四边形是菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）四边形AQCB是平行四边形，证明见解析； （2）t＝1.5s； （3）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）结论：四边形AQCB是平行四边形．只要证明AB＝CQ即可解决问题； （2）当四边形AOQB是矩形时，有AB＝OQ，即9＝12﹣2t，解方程即可解决问题； （3）当PB＝CQ时，四边形PQCB是平行四边形，即9﹣2t＝2t，可得t，此时CQ＝2t＝4.5，如图作BD⊥OC，垂足为D，由BC5，推出BC≠CQ，由此即可判断，四边形PQCB不是菱形，即不存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形． 【小问1详解】 结论：四边形AQCB是平行四边形，证明如下： 理由：∵A（0，4），B（9，4）， ∴AB∥OC，AB＝9， 当t＝4.5秒时，CQ＝2t＝9， ∴AB＝CQ， ∴四边形AQCB是平行四边形． 【小问2详解】 当四边形AOQB是矩形时，有AB＝OQ， 即9＝12﹣2t， ∴t＝1.5． ∴t＝1.5s时，四边形AOQB是矩形． 【小问3详解】 当PB＝CQ时，四边形PQCB是平行四边形， 即9﹣2t＝2t， ∴t， 此时CQ＝2t＝4.5，如图作BD⊥OC，垂足为D， ∵B（9，4），C（12，0）， ， ∴BC， ∴BC≠CQ， ∴四边形PQCB不是菱形， 即不存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形． 【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 25. 如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF与CD相交于点G. （1）如图1，当∠AEC = ，AE=4时，求FG的长； （2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，DH与AF、AE分别交于点M、N，求证：AE=AH+DG 【答案】（1）FG＝2；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性质可得出∠DAF=∠F=30°，进一步可求得∠GDF=∠F=30°，从而得出FG=DG，利用勾股定理可求出DG=2，故FG=2. （2）根据已知条件可证得AE=DH且AE⊥DH，从而证得∠MAH=∠AMH,∠DMG=∠DGM,从而证得AH=MH，DM=DG，而AE=DH=DM+MH即AE=AH+DG. 详解】（1）当∠AEC＝120°，即∠DAE＝60°， 即∠BAE＝∠EAG＝∠DAG＝30°， 在三角形ABE中， AE＝4， 所以，BE＝2，AB＝2， 所以，AD＝AB＝2， 又DF∥AE，所以，∠F＝∠EAG＝30°， 所以，∠F＝∠DAG＝30°， 又所以，∠AGD＝60°，所以，∠CDG＝30°， 所以　FG＝DG 在△ADG中，AD＝2，所以，DG＝2，FG＝2 （2）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAH=∠ABE=90°，AD=AB, 在Rt△ADH和Rt△BAE中 ∴Rt△ADH≌Rt△BAE， ∴∠ADH=∠BAE, ∵∠BAE+∠DAE=90°， ∴∠ADH+∠DAE=90°， ∴∠AND=90°. ∵AF平分∠DAE， ∴∠DAG=∠EAG, ∵∠ADH=∠BAE, ∴∠DAG+∠ADH=∠EAG+∠BAE. 即∠MAH=∠AMH. ∴AH=MH. ∵AE∥DF, ∴∠MDF=∠AND=90°,∠DAF=∠F ∴∠GDF=∠ADM, ∴∠ADM+∠DAF=∠GDF+∠F 即∠DMG=∠DGM. ∴DM=DG. ∵DH=DM+HM, ∴AE=AH+DG. 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质等腰三角形的判定，线段的各差关系．正确理解和运用相关知识是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$