数学(九)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（九） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.设数列{an}满足：a1=1,a2=3,且2an=(n-1)a.-1+(n十1)a.+1,则an的值是( 塑 A4号 R4号 C.4 D.4 2.在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，S,=5,S=20,则a,= ( A.-3 B.-5 C.3 D.5 3.已知在等比数列{a,)中，a=2,a,a。=16,则二a1的值为 as-as 金 A.2 B.22 C.士22 D.±8 4.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×10°m/s2,枪弹从枪口 射出时所用时间为1.6×103s,则枪弹射出枪口时的瞬时速度为 A.800m/s B.600m/s C.200m/s D.400m/s 5.下列求导运算正确的是 动 A(ax+2}-+9 都 B.(x2e)'=2xe' C.(3"cos 2x)=3"(In3.cos 2x-2sin 2x) D.(n+logx'=2+1-in配 6.函数f(x)=x3一3x2+2在区间[一1,1]上的最大值是 () 翻 A.-2 B.0 C.2 D.4 7.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若Ss=16,a。=1,则数列{a}的公差为 A. c号 8.函数f(x)是定义在(1，十o)上的可导函数，f(x)为其导函数，若f(x)十(x一1)f(x) =x(x-2),且f(e)=0,则不等式f(e)<0的解集为 ( A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,+co) 9-1 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.下列函数中，存在极值点的是 A.y=r-- B.y=2 C.y=-2x3-x D.y=xIn x 10.定义在区间[一4]上的函数f(x)的导函数∫(x)的图象如图所示，则下列结论正确 的是 A.函数f(x)在区间(0,4)单调递增 B.函数f(x)在区间（一2,0单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极小值 11.如果a1,a2,…,ag为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则 A.asas>aas B.asaaas C.a3十a6=a十as D.asas=aas 12.若函数f(x)=3x一x3在区间(a一12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是( A.0 B.1 C.2 D.3 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若等差数列1a,和等比数列么，清足a,=6=-1a,=6=8,则会 14.设函数)=千。若f1)=号则a= 15.设定义域为R的函数f(x)满足f(x)>f(x),则不等式e一If(x)<f(2x一1)的解集为 16.已知函数f(x)=x一ln(x十a),若a=2,则f'(0)= ;又若f(x)的最小值为0， 其中a>0,则a的值为 ·(第一空2分，第二空3分) 9-2 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知数列 9n2-9n+2 9n2-11… (1)求这个数列的第10项； (2)器是不是该数列中的项？为什么？ 9-3 (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内. 18.(本小题满分12分)设曲线y=x+(n∈N)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标 为x令a,=lg去i计算a,十a十a十十a 9-4 19.(本小题满分12分)已知在等比数列{an}中，a,=1,且a1,a2,a,一1成等差数列. (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若数列{bn}满足b.=2n一1十a.(n∈N),数列{b}的前n项和为Sm,试比较S。与n2 十2"的大小. 9-5 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e-ax一a(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点x1,x2,求实数a的取值范围，并证明x1十x2>0. 9-6 21.(本小题满分12分)设数列{an}满足a1=3,am+1=3am一4n. (1)计算a2,a,猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2"a.}的前n项和S. 9-7 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=axe,g(x)=x2+2x十b,若曲线y=f(x)与曲线 y=g(x)都过点P1,c).且在点P(1,c)处有相同的切线L. (1)求切线l的方程： (2)若关于x的不等式k[cf(x)]>g(x)对任意x∈[一1，十∞)恒成立，求实数k的取值 范围. 9-8(1)等比数列(。)的公比a-3 b393. 19.[解] 22.[解](1)/(x)-3(x-2),令/(x)-0. 得x=-v2,-2. b2-1,b:-b3q-27. 所以一 当x(-,-②)U(②,+o)时,/(x)0. 07 当x(-②2)时,f(x)<0. 设等差数列a。)的公差为d. 因为a=b=1,ì=b-27, 因此x=-②,x-\②分别为f(x)的极大值点、极 所以1+13d-27,即d-2. 小值点。 所以a.-2n-1(n-1.2,3,..). (2)由(1)的分析可知v一f(工)图象的大致形状及走 (2)由(1)知,an-2n-1,b。-3”-1. 向如图所示,要使直线y一a与y一f(x)的图象有3 因此cn-a.+b.-2n-1+3”-1. 个不同交点需5-4②=f(②)<a<f(-2)=5+ 从而数列c)的前n项和 4V2.则方程/(x)一a有3个不同实根时,所求实数 $.=1+3+..+(2n-1)+1+3十..+3“-1 a的取值范围为(5-4/2,5+4②). n(1+2n-1).1-3” y 1y-f) 2 1-3 =23-1 2. 20.[解](1)因为g(x)=/'(c)-2ax十a-2e^②*. 所以g'(c)-2a-4e2r--2(2e2--a). ①当a0时,g'(x)C0,g(x)在R上单调递减. (3)f(x)二k(x-1). 即(r-1)(r+r-5)>(x-1). 因为x>1,所以k<r2十r-5在(1,+o)上恒成立。 令g(x)=r^{②}十x-5,由二次函数的性质得g(x)在 十)上单调递减. (1,+)上是增函数,所以g(x)>g(1)=-3,所以 综上所述,当a 0时,g(x)在R上单调递减 所求的取值范围是(一,一3. 当a→o时,g(x)在(-~,ln)上单调递增,在 高二下学期期末综合冲刺卷·数学(九) 1.D[2na=(n-1)a-1+(n+1)a+,',数列 {na 是以a-1为首项,2a-a-5为公差的等差 数列,.20a20-1+5×19-96,解得a20-20 (2)因为f(x)=ar?+ax十1-e②,可知f(0)=0. ) f'()=2ar+a-2e{r=a(2x+1)-2e②-(2x+1) 故选D.] 2.C [方法一 设等差数列a的公差为d..S一5 令/'(c)-0,得a-2x1' 2e^2 2(a2+as),S-20-9a.1.ag-20 -18..·a7-as+2d-3.故选C. 5d.联立两式得d一 7。 2.2 设h(x)一 8re2. 2,则'()- (21)当x0时, 方法二.S -S-a+a+a+a+a=(a+a) h'(x)0,在(0,十o)上单调递增; +a+(a+a)-5a7-20-5-15.',a -3.故选 所以h(x)在(0,十o)上的值域是(2,十oo),即 C.] 2^2 3.C[等比数列(a)中,a③-2,aa-16 2212 .:/2 当a2时,f(x)-0没有实根,且f(x) 0. la1q{}a15-16' 在(0,十oo)上单调递减,f(x)f(0)-0,符合题意. 当a2时,h(0)-2<a. 解得a-1,q=士②, .-1_10-_ 22 所以h(x)一 --士2v2.故选C.] 2-a有唯一实根x。, a6-a8a1q-a1g{ 4.A [位移公式为s-at2,':△s- 当x(0,xo)时,f'(x)0,f(x)在(0,xo)上单调递 -a(to十△)2- 1. 增, f(x)>f(0)一0,不符合题意. 综上,a2,即a的取值范围为(一o,2]. 21.[解](1)设数列{a.)的公差为d,由a2+as=2a=18 则a-9. 7(a.十ay) o)0 又由S一 -7a.-49,a.-7. 2 'd-a-a-2. 知-5.0×10m/s2,t-1.610-s.at-800m/s. 又a=a+3d-7,所以a-1,.,a-2n-1 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.故选A.] $5.C (1n+)- --3A错;(r2e)'-(c2)'。 +r(e)'-2xe+r2e,B错;(3cos 2x)'-(3)'cos 2x +3(cos 2x)'-3rln 3cos 2x-2·3sin 2r-3(ln3· ”n1=1-- n十1 D错,故选C.] 6.C[./()=3-6x,令/(x)-0,得x-0或-2 由此得a2-12<-1<a. '.f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函 解得一1<a<vT. 数。'.f(x)max=f(x)机大值=f(o)-2.] 又当x(1,十oo)时,f(x)单调递减,且当x-2时; 7.D [设数列a.的公差为d,:等差数列a的前” 综上,-1<a<2.故选ABC.] 项和为S. 13.1 [设等差数列的公差和等比数列的公比为d和q; S-16,a6-1, 13 --16. ,解得a1一 -1+3-1.] 3. a-a+5d-1. 2 2 #,故数列(a)的公差为一 一- 14.1 [/(x)-(x+a-1 (1十a)2 8.C [函数/(x)是定义在(1,十oo)上的可导函数, f'(x)为其导函数, 令(x)=(x-1)f(x),则 '(x)=(x-1)·f(x) 15.(1,+oo)[设/(x)-f(x). er f(x)-r^{②}(x-2),可知当x(1,2)时,q(x)是单调减 则#'()-f(#c)-f(): 函数, _r 并且0·/(1)+f1)=1(1-2)--10,即f1) 0 “/(x)>f(x),'f(x)>o,即画数f(x)在定义域 x(1,十o)时,函数是单调增函数,/(e{})-0. 上单调递增. 则q(e)-(e?-1)f(e②)-0. 'er-f(c)<f(2x-1)..f(x)f(2-1) 则不等式f(e)0的解集就是(e-1)f(e)<0的 e2-1一. 解集,即c(e)<co(e{②). 即F(r)<F(2x-1). '.x2x-1,即x1..不等式e1f(x) f(2x-1)的 故不等式的解集为:xl1 x2,故选C.1 解为(1,十oo).] 16.2。 1 1 [/(x)的定义域为(一a,十). 所以函数y-x--在(-oo,0)和(0,十oo)内单调递 #()=1-+-1.当a=2时,r(c)=1- r十 十a 增,没有极值点,故A错误; 11 (2.x0 &数y-2xl- 2-<o根据指数函数的图象与 又由f(x)-0,解得x-1-a-a. 性质可得,当x0时,函数y-2单调递减,当x 当-a r1-a时,f(x) 0,f(x)在(-a,1-a)上单 时,函数y-2单调递增,所以函数y-2rl在x-0 调递减;当x>1-a时,f(x)>0,f(x)在(1-a,+o) 上单调递增. 处取得极小值,故B正确; 因此,f(x)在x一1一a处取得最小值, 函数y=-2-x,则y=-6r-1 0,所以函数$ 由题意知/(1-a)-1-a-0,故a-1.] y=-2r-x在R上单调递减,没有极值点,故C错误; 17.[解] 设/(n)9n2-9n+2 画数y=xlnx,则y'=1+lnx,当xe(o.)时, 92-1 (3n-1)(3n-2)3n-2 (时,→0,茁 (3n-1)(3n+1)3n+1 y'<0,函数单调递减,当x . (1)令n-10,得第10项a1o-f(10)= (2)令398 $398,得 9n300. 确。故选BD] 此方程无正整数解,所以 10.ABD [根据题中导函数图象可知,f(x)在区间(一,0) 101 不是该数列中的项. 上,f(x)<0.f(x)单调递减,在区间(0,4)上,f(x)>0. (3)证明::'a一 3n十1 3n十1 3n十1' f(x)单调递增,所以f(x)在x一0处取得极小值,没 又nN, 有极大值,所以A、B、D选项正确,C选项错误.故选 :03 ABD.] 3u十1 <1..0<a.<1. [由通项公式,得a=a+2d,a-a;+5d,那 11.BC 即数列中的各项都在区间(0,1)内 么a+a-2a+7d,aa-(a+2d)(a+5d)- 18.[解] 因为y=x”+1,所以y'一(n十1)x”,所以曲线 在(1,1)处的切线斜率为k一”十1, a+7a d+1od{},同理a+a-2a+7d. 切线方程为y-1-(n+1)(x-1). a$-a}+7a d+12d?,显然a3a-aa=-2d}<0,故 选B、C.] 所以-1g 12.ABC [由/(x)-3-3x=0,得x=士1. 1-lg(n+1)-lgn. 当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表: 所以a+a2+aa+.十a2o1s (-1.1) 1(1.十) r (-0,-1) -lg 2-lg 1+lg 3-lg2+lg 4-lg 3+...+lg2020 -lg2019-lg2020-1+lg202. P(x) 0 士 19.[解](1)设等比数列a.)的公比为q, :a,a2,a3-1成等差数列, /(x) 17 a3-2. 那么n-+1时,a+1-3a-4k-3(2k+1)-4k 2+3-2(+1)+1也成立。 '-a"-1-2“-1(nN*). 则对任意的nN*,都有a.-2n十1成立; (2)由(1)知b.=2n-1+a-2n-1+2”-1. (2)由(1)可知,a·2”=(2n十1)·2” '$=(1+1)+(3+2)+(5+22)+.+(2n-1+ $=3×2+5×2^+7×23+.+(2n-1)×2“-1 (2n十1)·2”. 2“)-[1+3+5+..+(2n-1)]+(1+2+2+.. $$ -3×2+5×2+7×2 +..+(2n-1)×2”+$ (2n十1)×2”+1. 2 ② .S-(n+2”)--1<0,$<n+2”. 由①-②得:-S.=6+2×(2+2+..+2”)-(2n 20.[解](1)由题意得/(x)=e-a(xR). +1)×2+1 ①当a<o时,f(x)0,所以f(x)在B上单调递 -6+2×2 2×(1-2-1) 增; -(2n+1)×2”+1-(1- 1-2 ②当a>0时,由/'(x)=0,得x-lna. 2n)×2m+1-2. 当xlna时,f(x)<0,/(x)在(-oo,lna)上单调 递减: 即$.-(2n-1)·2“+1+2. 当x>lna时,/(x)0,f(x)在(lna,十oo)上单调 22.[解](1)”f(c)=ae(x+1),g’(x)-2x+2,由 递增。 已知可得/ #(1)-(1)#( (2)由于f(x)有两个零点x1,x2,不妨设xi x?. /(1)-g(1)=c. (2ae-4. 由(1)可知,当a0时,/(x)在R上单调递增,不符 解得a-2,b--1,c-2. 即 合题意: e-3+b-c. e 当o时,xER,f(x)min-f(lna)=a-a(lna+1) '切线的斜率g'(1)-4. =-a·lna0,即lna>0,解得a>1. '.切线/的方程为y-2-4(x-1),即4x-y-2-0. 此时有f(-1)-1→0./(0)=1-a<o,所以存在 (2)由(1)可得f(x)=2xe1,g(x)=x{②+2x-1. 设(x)=k[ef(x)]-g(x)=2kxe-(r*+2x-1), rE(-1,0),使得f(x)-0. 即h(x)二0,对任意x[-1,十o)恒成立,从而 由于y=e-r-lnx-1(x>1),所以y'=e-1 h(x)mn0. -在(1,十o)上单调递增, ','(r)-2k(x+1)e-2(+1)-2(+1D)(ke-1). ①当<0时,h'(x)<0,h(x)在[-1,十oo)上单调 所以当x1时,y'>e-20,所以y=e-x-lnx 递减,又h(1)-2ke-2<0,显然h(x)0不恒成立, -1在(1,十oo)上单调递增; ②当>0时,h'(x)=0,解得x=-1,x=-lnk 所以当x>1时,y=e-x-lnx-1>e-2>0; (l)当-ln<-l时,即k>e时,h'(x)0,h(x)单 所以f(a+lna)-e“+lna-a(a+lna+1)-a(e"-a 调递增, -lna-1)>0. 所以存在x2(lna,a十lna),使得f(x)=0. e 综上,当a>1时,/(x)有两个零点x1,x2. 显然h(x)二0不恒成立, 证明:由于ei=a(x+1),e:=a(x+1),且-1 (lì)当-lnk=-l时,即k=e时,h'(x)0,h(x)单 xri<0 lna x2,则0<xi+1<x2+1. 调递增: 所以x=lna+ln(x+1),x-lna+ln(x+1). .(r)mn=h(-1)-2+2-2(e-) 2一0.即 e 所以x-1n1 十' e h(r)→0恒成立, (x2+1 {+1-n 1 (lì)当-ln -1时,即0 k e时, 设271 _(),有{## 则 当xE[-1.-lnk)时,h'(x) 0,h(x)单调递减,当 2+1n1 x-xi-lnt. x(-lnk,+oo)时,h'(x)0,h(x)单调递增, 7-1 要证+x2>0,只需证(1+1)ln1-20. '.()min-h(-ln )--2ln -(\ln^{②}k-2lnk-$$ -1-ln{} o,解得<<c. 1-1 即证ln2(1-1) .1he. 7十1 设h(t)-1n2(1-1)(>1), 十1 (-1)2 则h’(t)-1 高二下学期期末综合冲刺卷·数学(十) 1.D [若数列(a.的最大项为第n项,则 aan-1: 所以h(t)在(1,十oo)上单调递增 a.a十. 所以当t>1时,h(t)>h(1)=0,即ln 2(1-1). 8+2-7→8+2(n-1)-7. r1 “a-827. 2 故x十x0. 2-1 21.[解](1)由题意可得a-3a -4-9-4-5,a- 2 2 3-8-15-8-7. 由数列(a。)的前三项可猜想数列(a。)是以3为首项, 2为公差的等差数列; 解得 即a-2n+1. 证明如下: 当n-1时,a1-3成立; 25为数列(an)的最大项,当n .nN'..'n-5,a 259 假设n-k时,a-2k十1成立. 18