数学(六)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（六） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 超 1.在数列{a,中，已知a=1,a+1= a,中记S为数列{a,的前n项和，则Ss= 1 ( 如 A.2015 B.- 2015 2 2 C.2017 2 D.- 2017 2 2.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数 球 列的项数为 () A.13 B.12 C.11 D.10 长 玉已知数列a,满足a,-10=3a,(a>2mEN).其前n项和为S,则满足S≥g的 区 n的最小值为 ( 那 A.6 B.5 C.8 D.7 数 4.已知函数f(x)=2ln(3.x)十8.x,则lim f1-2△)-fD的值为 Ar0 △x A.10 B.-10 C.-20 D.20 安 5.已知曲线y=ae+xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y=2.x+b,则 毁 A.a=e,b=-1 B.a=e,6=1 C.a=e1,b=1 D.a=e1,b=-1 6.当x∈[一2,1]时，不等式a.x3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( A.[-5,-3] B[-6,-8] C.[-6,-2] D.[-4,-3] 融 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2十a2十a1o=9,则S,= A.3 B.9 C.18 D.27 6-1 8.已知函数f(x)=a+lnx一1有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为 A.(-∞，0]U{1} B.[0,1] C.(-∞，0]U{2 D.[0,2] 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.设等比数列{a,}的公比为q,则下列结论正确的是 A.数列{aa+1}是公比为g的等比数列 B.数列{an十an+i}是公比为g的等比数列 C.数列{an一aw+i}是公比为q的等比数列 D.数列是公比为的等比数列 10.对于函数(x)=二，下列说法正确的有 A.f代x在x=1处取得极大值。 B.f(x)有两个不同的零点 C.f(4)<f(π)<f(3) D.e>>2e" 11.等差数列{an}是递增数列，满足a,=3a,前n项和为Sm,下列选项正确的是 A.d>0 B.a1<0 C.当n=5时S,最小 D.Sn>0时n的最小值为8 12.定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是() Y=f(x) A.一3是f(x)的一个极小值点 B.一2和一1都是f(x)的极大值点 C.f(x)的单调递增区间是（一3，十∞）D.f(x)的单调递减区间是（一∞，一3） 6-2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1总等差数列a.的前项和分别为8和工，若产-知2则心女= 67+61s 14.已知函数f(x)=a.xnx,x∈(0，十o),其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.若f(1)=3,则 a的值为 15.已知函数()=2x-1的图像上一点(1，D及其附近一点1+4,1十△x),则公 等于 16.已知{a.}是等差数列，S。是其前n项和.若a1+a:=一3，S=10,则a的值是 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知等差数列{an}的各项均为正数，其公差为2，a2a,=4a3十1. (1)求{a.}的通项公式； 6-3 (2)求a1+a3+ag+…十ag. 18.(本小题满分12分)已知二次函数h(x)=a.x2十bx十2，其导函数 /h' y=h(x)的图象如图所示，f(x)=6lnr十h(x). /4,0 (1)求函数f(x)的解析式； ,-) 6-4 (2)若函数fx)在区间(1，m十)上是单调函数，求实数m的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知等差数列{am}的前n项和为S。,a1=1,S,=4S2. (1)求数列{a.}的通项公式： 6-5 (2)若am十am+1十am+2十…十am+g=180(m∈N”),求m的值. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e十a.x2一x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当x≥0时fx)>2r+1,求a的取值范围. 6-6 21.（本小题满分12分)数列{a,}满足a1=1,a.是一1与am+1的等差中项. (1)证明：数列{a。十1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式： (2)求数列{a,十2n}的前n项和Su· 6-7 22.(本小题满分12分)某旅游景点预计2022年1月份起前x个月的旅游人数的和 p(x(单位：万人)与x的关系近似地满足p()=号x(x+1)(39-2x)(x∈N,且 x≤12).已知第x个月的人均消费额g(x)(单位：元)与x的近似关系是 35-2x(x∈N,且1≤x6), g(x)= 160(x∈N,且7≤x≤12). (1)写出2022年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式. (2)问2022年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 6-8故)的极大值是f0)=2:极小值是f(2）=2-音 得n≥5(n∈N").故选B.] ②当2≥1，即0<u≤2时， 4.C[:fx)=2n(3a)+8,f)-是+8=8+ f(x)在（一1,0）上单调递增，在(0,1)上单调递减， 据导数定义知im=2△ △x 所以f(x)的极大值为f(0)=2,无极小值. 21.[解]设h(x)=f(x)-2.x-c, 5m1=24f0①=-2f1)=-20.故选C.] -2△.r 则h(.x)=2lnx-2x+1-c, 其定义城为(0，十∞)，h'()=2-2 5.D [y'=ae"+In x+1, k=y'lr-1=ae+1, (1)当0<x<1时，h'(x)>0;当x>1时，h'(x)<0. .切线方程为y-ae=(ae十1)(.x-1), 所以h(x)在区间(0,1)单调递增， 即y=(e十1)x一1. 在区间(1，十∞)单调递减.从而当x=1时， 又：切线方程为y=2x十b, h(x)取得最大值，最大值为h(1)=一1一c. 故当且仅当一1一c≤0，即c≥-1时，f(x)≤2.r十c. ÷8.2即a=e6-1故选D] 所以c的取值范围为[一1，十©∞). (2)g(r)=f(z)-f(a)_2(In x-In a) 6.C[当x=0时，a.x3-x2+4x十3≥0变为3>0恒成 立，即a∈R. r-a x-a x∈(0，a)U(a,+∞). 当xe(0,1门时ar>r2-4r-3,0≥-4-3 2(4+In a-In r)2(1-4+In 4) g'(x)= (x-a)2 (x-a)2 ≥「231.设g6x)=2-43. 取c=-1得h(x)=21nx-2.x+2.h(1)=0, 则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0,即1一x+lnx<0. 9'(x)=2-4).x3-(r2-4x-3)3x2 x 故当x∈(0，a)U(a,十e∞)时，1-4+ln4<0, -x2-8x-9=-(x-9)(x+1D0. 从而g(x)<0. x x 所以g(x)在区间(0，a),(a,十o∞)单调递减. ∴.g(.x)在(0,1门上递增，g(x)mx=g(1)=-6..a≥-6. 22.[解](1)由2Sm=3am-1(n∈N+)得，2Sm-1= 3am-1-1(n≥2). 当x∈[-2.0)时a≤2-4r-3 两式相减并整理得，an=3am-1(n≥2). 令n=1,由2Sm=3am-1(n∈N+)得，a1=1. a≤ x2-4x-31 故{am}是以1为首项，公比为3的等比数列，因此 Jmin am=3m-1(n∈N+). 仍设g(r)=c2-4r-3 (2)由bm=log3an+1,结合an=3m-1得，bn=. x3,9'(x)=-r-9)(x+1) 1 111 当x∈[-2，-1)时，g'(x)<0, 则6h+n(n十1)方n中' 当r∈(-1,0)时，g'(x)>0. 故Tm一bzbabs 1 .当x=一1时，g(x)有极小值，即为最小值. =(-）+(合)++日 1 而g(x)m=g(-1D)=1+43=-2.a≤-2. 综上知-6≤a≤-2.] 高二下学期期未综合冲刺卷·数学（六） 7.D[设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 1.B[a=1,a2=-1+1=-2a= a2十a3十a1o=9,.3a1+12d=9,即a1+4d=3, ag=3S=9X(a,+a_9X2ai=27.故造选D.] 2 2 -2,a4=一-2+1 =1,…,数列{am}的周期为3， 8.A[:画数fx)=4+lnx-1. .S2018=S2o16+ago17+a2o18= 672×(-7-2+1)+1()）=-25,找选] f=是+是>0 2.A[因为a1十a2十a3=34,am-2十am-1十am=146, 当a≤0时，f(x)=I二“0恒成立，f(x)是增画数， a1十a2+a8十am-2十am-1+am=34+146=180, 2 又因为a1十am=ag十aw-1=u3十aw-2: x→+∞时，f(x)→+o∞，f(1)=a-1<0, 所以3(a1十am)=180,从而a1十am=60, 所以S,-a1十a）-”…60=390,即1=13.故选A] 函数f(x)=日+lnx-1有且仅有一个零点： 2 当a>0时，令f'(x)>0,解得：x>a 3B[由a1=3a,(a≥2)可得。，=号(m≥2.可得 令f'(x)<0,解得：xr<a, an-1 故(x)在(0，a)递减，在(a,十∞)递增 数列{@，}是首项为a1=1,公比为q=3的等比数列， 故只需f(x）min=f(a)=lna=0,解得：a=1, 综上：实数a的取值范围为（一∞，0]U{1. 所以Sn 1-() 故选：A.] 1-3 引1-()门由s>可 9.AD[对于A,由n+=g2(n≥2)知数列{a,Am+1} an-lan 是公比为g2的等比数列：对于B,当q=一1时，数列 得引-()门-()”≥器 {am十am+1}的项中有0，不是等比数列：对于C,当q=1 时，数列{am一4m+1}的项中有0，不是等比数列：对于 10 1 D.a=a=1,所以教列 =2X1-30+1 是公比为】的等 1-3-(n十1) =3"+1-0-2. an 18.[解](1)由已知，h'(x)=2ax十b, 比数列.故选AD.] 其图象为直线，且过(0，一8)，(4,0)两点，把两点坐 标代入h'(.x)=2a.x十b, 10.AC[由画数f()=名，可得画数f(x)的导数为 信e+0…解释低8 了)=号.当x>1时)<0，)单洞适减： h(x)=x2-8x+2,h'(x)=2.x-8, .f(x)=6lnx+x2-8.x+2. 当x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增.可得函数f(x) (2):f(x)=6+2x-8 在=1处取得极大值。，且为最大值，所以A正确。 -2x=1Dx-32(x>0). 因为f(:x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单 调递减，且f(0)=0,当x>0时，f(x)>0恒成立，所 当x变化时，了(x),f(x)的变化情况如下表： 以函数f(x)只有一个零点，所以B错误.由f(x)在 (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) (1,十∞)上单调递减，且4>π>3>1，可得f(4)< f(x) 0 0 f(π)<f(3),所以C正确.由f(x)在(1，十o∞)上单调 递减，且心2>1.可得要<号，即<20，所以D f(x) 由表可知f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，十o∞)， 错误.故选AC.] f(x)的单洞递减区间为(1,3). 11.ABD[设等差数列{an}的公差为d,因为a7=3a5, 要使画数f)在区间(1，m十号)上是单调画数， 可得a1+6d=3(a1十4d),解得a1=一3d,又由等差 数列{am}是递增数列，可知>0，则a1<0,故A、B 5 正确：周为S=号+(a-号m=号-受，由 1 m+ 23, 7d 2 7 即实数m的取位范因为（合，名] d =2可知，当n=3或n=4时Sn最小，故 19.[解](1)设等差数列{am}的公差为d, C错误：◆S=号r-受>0，解得<0我>7，中 由S4=4S2得4a1+6d=8a1十4d,整理得d=2a1. 又a1=1,.d=2, Sw>0时n的最小值为8，故D正确，故选A、BD.] ∴.am=a1十(n-1)d=2n-1(n∈N). 12.ACD[由题图可知，当x<一3时，f(x)<0,x∈ (2)am十am+1+am+2+…+am+9=180 可化为10am十45d=20m+80=180, (一3，十∞)时，(x)≥0，.一3是极小值点，无极大 解得m=5. 值点，增区间是（一3.十o∞），减区间是（一∞，一3）， 20.[解](1)当a=1时，f(.r)=e十x2-x,f(x)=e+ 故选A、C,D.] 2x-1, 器原式器号·织是·公品 由于(x)=e十2>0，故(x)单调递增，注意到 2 (0)=0, S4=3.2×21+1129] 故当x∈（一o,0)时，f(.x)0,f(x)单调递减， T2123×21+2130 当x∈(0，十o)时，f(x)>0,f(x)单调递增. 14.3[:f(x)=alnx+a,.f(1)=aln1+a=3, （2)由fx)>2+1得e+ar2-≥号2+1，共 解得a=3.] 中x≥0， 15.4+2△x[△y=f1+△x)-f(1)=2(1+△x)2-1 ①当x=0时，不等式为1≥1，显然成立，a∈R: ②当x>0时，分离参数a,得a≥ -(2×12-1)=4Ax+2(△x)2,Ay=2△x+4.] △r --r1 16.20[设等差数列{an}的公差为d,则a1+a号=a1+ (a1十d)2=-3,S5=5a1+10d=10,解得a1=-4, d=3,则ag=a1+8d=-4+24=20.] 记g(x)=- --- 17.[解](1)依题意知，an=a1十2(n-1),am>0. 因为a2a4=4a3十1，所以(a1+2)(a1十6)=4(a1十4) +1, g'(x)= -2e-2-x-D 所以ai十4a1-5=0,解得a1=1,或a1=-5(舍去)， 所以am=2n-1. 令A)=e-22--1x≥0 (2)a1十d3+ag+…ag 则h'(x)=e-x-1,h"(x)=e-1≥0， =(2×1-1)+(2×3-1)+(2×32-1)+…+(2× 故h(x)单调递增， h(.x)≥h(0)=0, 30-1) 故函数h(x)单调递增 =2×(1十3+32+…+3)-(n+1) h(x)≥h(0)=0, 由h(x>0可得：e-2-x-1≥0恒成立， f(x)=x-2+4=2-2x+a x 故当x∈(0,2)时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 若函数f(x)有两个不同的极值点， 当x∈(2，十o∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减： 则g(x)=x2-2r十a在(0，十co)有2个不同的实数根， 因此[g(o)]nx=g(2)=7- 4· 故/A=4-4a>0. 解得0<a<l.故选D.] 除上可得，实教a的取值花国是[一，十四) 1a>0, 6.C[y'=3(2020-8.x)2×(2020-8.x) 21.[解](1)由已知可得am+1-1=2an, =3(2020-8x)2×(-8)=-24(2020-8.x)2.] 即am+1=2am十1， 7.B[,数列{am}的首项为1，公差为d(d∈N)的等 可化为am+1十1=2(am十1)， 故数列{am十1}是以a1十1=2为首项，2为公比的等比数列. 差数列，am=1十(n一1)d, 即有am十1=(a1+1)·2”-1=2", :81是该数列中的一项，∴.81=1+(n一1)d, 所以am=2”一1. (2)由(1)知，数列(am十2n}的通项为：4m十2=2”+21一1， n=9+1d,n∈Nd是80的因型 ∴.Sm=(21+22+23+…+2")+(1+3+5+…+2m 故d不可能是3.故选B.] -10=21-20)+n2=2+1+m2-2 8.C[设切点为(m,n),函数f(x)=lnx一a的导数为 1-2 故Sn=2"+1十n2-2. f)=子 22.[解](1)当x=1时，f(1)=p(1)=37, 当2≤x≤12，且x∈N时， f(x)=p(x)-p(x-1) 则切线的斜率为=品m>0, zrr+1D(39-2)-2x-10r(41-2r) lnm一a=kn一1， 解得a=lnm, =一3.x2+40.x,验证x=1也满足此式， 1 所以f(x)=-3.x2+40.x(x∈N·,且1≤x≤12). 则k十a=lnm十 m (2)第工个月旅游消费总额（单位：万元）为 (-3.x2+40x)(35-2x)(x∈N,且1≤x≤6)， g(x)= 设g(n)nm十m, (-32+40).160(x∈N,且7≤r≤12. g(m)=1-1=m-1 即g(x)= /6.x3-185.x2+1400x(x∈N",且1≤x6), m m2 m2 -480r+6400(x∈N,且7≤≤12). (1)当1≤x≤6，且x∈N*时， 当m>1时，g(m)递增： g'(x)=18.x2-370.x十1400， 当0<m<1时，g(m)递减. 令g'(x)=0,解得x=5或x= 9会. 则g(1)取得极小值，且为最小值0十1=1. 故选C.] 当1≤x<5时，g(x)>0: 当5<x≤6时，g(x)<0: 9.AC[第一次着地时，共经过了100m,第二次着地 当.x=5时，g(.x)max=g(5)=3125. (i)当7≤x≤12，且x∈N*时， 时，共经过了(10+100×号×2）m,第三次着地时， g(x)=一480.x十6400是减函数， ∴当x=7时，g(x)max=g(7)=3040. 共经过7[10+100×号×2+10×（号）×2]m, 综上，2022年5月份的旅游消货总颜最大，最大旅游 …,以此类推，第n次着地时，共经过了 消费总颜为3125万元. 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（七） [100+10o×号×2+100×（号）广×2++10m×(号）'x3]m 1.B[设等差数列{am}的公差为d,由3S3=Sg十S,得 3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.将 9-() a1=2代入上式，解得d=一3，故as=a1十(5-1)d= 所以Sm=100十 =100+ 2+4×(-3)=-10.] 1一3 2 2.C[,数列{an)为等差数列，且前n项和为Sm,.数 列倍}也为等差戴到“号+器-分，即 400[1-(学)]期5，是关于n的增函数，所以当 一2+3 m-1m十1=0，所以m=5.故选C.] ≥2时，S,的最小值为S2且5=79又S,=10十 3.B[由等比数列的性质可知，Sm,S2m一Sm·S3m一S2n Sm一S3m仍为等比数列，故2，S2m一2,14一S2m成等比 40[1-(号)]<100+40=0u,故选AC] 数列，则有(S2m-2)2=2(14-S2m),∴.S2n=6或S2m 10.AC[因为Sm为数列{am}的前n项和，且Sm= 一4，由于{am}的各项均为正数，故S2m=6,则Sm, S2m-Sm,S3m-S2m,Sm一Sm,即2,4,8,16为等比数 2aw十1(n∈N·), 列，.S4n一S3m=16,.Sn=30.故选B.] 所以S1=2a1十1，因此a1=一1， 4.B[,f(x)=a.x3+3.r2+2, 当n≥2时，am=Sm-Sm-1=2am-2am-1,即am= ∴.f(.x)=3a.x2+6.x, 又f(-D=3a-6=4a=9故选民] 2am-1· 所以数列{am}是以一1为首项，以2为公比的等比 5.D[f(x)的定义域是(0，十o), 数列，故C正确： 因此a5=一1×24=一16，故A正确： 12