数学(五)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学(五) (满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.数列(a.)满足:a=1,a=-1,a=-2,a。=a.)-a.(nN),则数列(a.)的前2019 。 项的和为 _ A.1 B.-2 C.-1514 D.-1516 知 2.已知等差数列(a.)的前n项和为S。,且a.+a=-14,S。=一27,则使得S.取最小值的n 为 ( ) 拉 用 C.7 A.1 B.6 D.6或7 1 ,则数列log。a.的前 。 10项和为 _ E 告 A.58 B.56 C.50 D.45 #7#()一 4.已知/(x)一 ( ) A.-2-ln2 B.-2+ln2 & C.2-ln2 D.2+ln2 5.若存在过点(1,0)的直线与曲线y-x*和y-ax*+15. ) 将 B.-1 C.-7或# D.-7或7# 6.若函数f(x)一kx-lnx在区间(1,十co)单调递增,则的取值范围是 ( ) A.(-,-2] B(-o,-1 C.[2,) D.[1,十o) 5-1 7.等差数列log.(2x),log。(3x),log(4x+2),...的第四项等于 ) B.4 A.3 C.log18 D. log24 8.函数f(x)=x一x②十x的图象在点(1,f(x))处的切线为l,则/在y轴上的截距为 ( ) B.1 A.-1 C.-2 D. 2 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) ( 9.下列说法错误的有 ) A.若a,b,c成等差数列,则a},{,c^{}成等差数列 B.若a,b,c成等差数列,则loga,log;b,log。c成等差数列 C.若a,b,c成等差数列,则a十2,十2,c十2成等差数列 D.若a,b,c成等差数列,则2,2,2{成等差数列 10.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f(x)的大致图象如图所 -) ( 示,则下列说法正确的是 ) A.f(a)>f(e)>f(d B.函数f(x)在[a,b]上递增,在[b,d]上递减 C.f(x)的极值点为c,e D.f(x)的极大值为f(c) 11.若S. 为数列(a.的前n项和,且S.一2a.十1(nEN),则下列说法正确的是 ~ A.a--16 B.S.一-63 C.数列a.)的等比数列 D.数列/S.士1是等比数列 正确的是 C __ A.xf(x)在(0,十oo)单调递增 B.xf(x)在(0,十oo)单调递减 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 777 14.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=e -1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线 方程是 5-2 四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分10分)已知等比数列{a.)满足条件a+a=3(a.+a),a=3a^{},nN*. (1)求数列a的通项公式; a2 d 5-3 18.(本小题满分12分)已知f(x)=ax+br{十cx(a0)在x=士1处取得极值,且f(1)=-1. (1)试求常数a,,c的值 (2)试判断x三士1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由 5-4 19.(本小题满分12分)已知数列a.),)满足a,一a.=b,.+2)为等比数列,且a=2 a-4,a-10. (1)试判断数列2 是否为等比数列,并说明理由; (2)求a. 5-5 20.(本小题满分12分)已知a>0,函数f(x)=a{}x-3ax^{}+2,g(x)=-3ax+3. (1)若a三1,求函数f(x)的图象在点(1,f(x))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间(一1,1)上的极值 5-6 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2lnx+1 (1)若f(x)<2x十c,求c的取值范围; f(x)一f(a) (2)设a>0,讨论函数g(x)= 的单调性. x-a 5-7 22.(本小题满分12分)已知数列a.)的前n项和为S.,且2S.一3a。-1. (1)求数列a的通项公式 {1) (2)若数列b满足b.一log。a。,求数列 {.D1{ 的前n项和T. 5-8所以{am}的通项公式为am=2·2-l=2" 即y=3.x6.x-2.x8. (2)S=20-29)+m×1+nn2D×2=2+1+ 又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0=0或 1-2 2 3 n2-2. x0=21 22.[解](1)由已知可得h(x)=f(x)-3x=lnx十 当x0=0时，直线方程为y=0. x2-3x, ()=22-3+(x>0. 南=0与ya+只-9相切可得a= 64 令=2-=0，可得x=号或= 当0=号时，直线方程为y识一7 则当x∈(0,2)U1,+∞)时'(x)>0, 由y=华一平与y=a2+只一9相切可得a=-1门 当xe(2l)时，kx)0. 6.D[由于f()=-上fx)=kr-nx在区间 (1,十o0)单调递增一∫(x)=k-1≥0在(1，+00)上 “h(x)在(0，）小(1，十∞)上为增函数，在 (分1)上为减画数， 恒成立.由于≥子而0<<1，所以>1.即k的 取值范围为[1，十o∞).] 则h(x)板小谁=h(1)=一2， 7.A[:log3(2.x),log3(3.x),log3(4x+2)成等差数列， AC)太接=hA(合） -ln2. .log3(2.x)+log3(4x+2)=2log3(3x), .log3[2x(4x+2)]=log3(3x)2, (2)g(.x)=f(.x)-a.x=lnx+x2-a.x, 2x(4x十2)=(3.x)2, g)=+2x-ax>0 2x>0, 4x+2>0, 解得x=4. 由题意可知g'(x)≥0(x>0)恒成立， 3.x>0. 即<(2r+）m ∴.等差数列的前三项为log38,log312,log318, 0时，2x十≥22，当且仅当x=号时等多 :公差d=log12-logg8=log3之 3 立 “载列的第回项为kg18+l6g号=lkg:27=,选L] 2x+)=22. 8.A[f(x)=3x2-2x十1，故f(1)=2.所以切线l的 方程为y=2(x-1)+f(1)=2.x-1.令x=0.则y a≤22，即实数a的取值范围为(-∞，22]. 一1，故切线的纵截距为一1.故选A.] 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（五） 9.ABD[由等差数列的定义可知A,B,D均错误，只有 1.B[因为a1=1,a2=-1,ag=-2,代入依次求得 选项C正确.] a4=一1，a5=1,a6=2,a7=1,a8=一1，…，可知，数列 10.CD[由导数与函数单调性的关系知，当f(.x)>0 {am}是T=6的周期数列，每个周期内的和为0,2019 时，f(x)单调递增： =6×336十3，所以数列{am)的前2019项的和等于 当(x)<0时，f(x)单调递减。 a1十a2十a3=一2.故选B.] 结合所给图象知，当x∈(a,c)时，f(x)>0, 2.B[由等差数列(am}的性质，可得a1十a5=2a3= f(x)在(a,c)上单调递增： -14,所以ag=-7.又S=96a十a0)=-27,所以 当x∈(c,e)时，f(x)<0, 2 ∴.f(x)在(c,e)上单调递减： a1十ag=2a5=一6，所以a5=一3，所以公差 当x∈(e,十o∞)时，f(x)>0, d=5二a=2,所以数列{an}的通项公式4m=一7十 .f(x)在(e,十o∞)上单调递增. 5-3 .函数f(x)在x=c处取得极大值f(c),在x=e处 (n-3)×2=2n-13.令am≤0，得2n-13≤0，解得 取得极小值f(e), ≤号，所以数列{，的前6项为负数，从第7项开始 f(x)的极值点为c,e.故选CD.] 11.AC[因为Sm为数列{am}的前n项和，且Sm=2an 为正数，所以使得S取最小值时的n为6.故选B.] 十1(n∈N), 3.A[设数列{an}的公比为q,根据题意知S一S 所以S1=2a1+1,因此a1=一1， 当n≥2时，am=Sn-Sm-1=2an一2am-1,即am 1 1 61=g,所以q=,从而有a=32· 2an-1: 所以数列{am}是以一1为首项，以2为公比的等比数 27-2m,所以1og2an=7-2n,所以|log2aa|=|2n-7: 列，故C正确； 所以数列|log2am}的前10项和等于5+3+1+1+3 因此a5=一1×24=-16，故A正确： +5+7+9+1+13=3X5+D+7×,+132-58. 又Sw=2am十1=-2"+1，所以S5=-25+1=-31, 2 2 故B错误： 故选A.] 因为S1十1=0，所以数列(Snm十1}不是等比数列，故 1·2x-21nx D错误.故选AC.] 2 12.ABC[由x2f(x)+xf(x)=lnx得x>0. 4.D[依题意有f(x)= 2x 故f(号分)=2h2=2+1n2.故选D] 则f+)脚[zx'- 1 设g()=xfx),即g'(x)=n2>0得x>1, 5.A[设过点(1.0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0x8), 则切线方程为y一x=3.(xxo), 由g'(x)<0得0<x<1,即xf(x)在(1，十∞)上单 8 调递增，在(0,1)上单调递减，即当x=1时，函数 Tm=1+(n-1)3". gx)=fx)取得极小值g1)=f1)=子，故选A 18.[解]f(x)=3a.x2+2b.x+c. (1)法一：，x=士1是函数的极值点， B.C.] .x=士1是方程3a.x2+2hx+c=0的两根. 1 13.2015 [am-20m+(m-1)d= 由根与系数的关系知 na,-2015+ (m-md=1-d= 2边=0 (n-1Dd=1 3a ① n m mn w0亦5+(a-1d。解得d-20n中 ② 1 1 =-1 3a 又f(1)=-1.∴.a+b+c=-1, ③ d-20J 由0@③解得a=号6=0.c= 3 2 14.y=2x[解法一：当x>0时，-x<0,f(-x)=e1+ 法二：由广(1)=f(-1)=0,得3a+2b+c=0, ① x,而f(-x)=f（x),所以f(x)=e-1十x(x>0),点(1， 3a-2b+c=0, 2)在曲线y=f(x)上，易知∫(1)=2，故曲线y=f(x)在 又f(1)=-1,.a+b+c=-1, ③ 点(1,2)处的切线方程是y-2=∫(1)·(x一1). 由①②③解得a三2，b=0三-， 即y=2x. 2 解法二：因为f(x)为偶函数，所以y=f(x)图象上的点 2f)=- A(1,2)关于y轴的对称点A'(一1,2)也在函数y=(x) 2x, 的图象上，且在A,A'处的切线斜率互为相反数.又当 fw)=号r2-是-是-1+D. x≤0时.f(x)=-e-1-1,f(-1)=-2,所以∫(1) 当x<-1或x>1时，f(x)>0, =2,则可求得切线方程是y=2x.] 当-1<x<1时，f(x)<0. 15v3-1[fx)=ta-22=a-r2 （2+a)z=2+a)2 ∴.函数f(x)在（一o,一1）和(1，十o)上是增函数， 在（一1,1）上是减函数. 令f(x)=0,得x=va(.x=一√a含去)， ,当x=一1时，函数取得极大值，x=一1为极大值 若一心承最大位，时汽- 点；当x=1时，函敏取得极小值，x=1为极小值，点， 19.[解](1)数列{bm}不是等比数列. 理由如下： 后=号<1，不特合题意： 由am+1一am=ba,且a1=2,a2=4,a3=10得 b1=a2-a1=2.b2=d3-a2=6, 若==中。-得制a一原-1井合题客] 又因为数列{bm十2}为等比数列， 所以可知其首项为4，公比为2 a以2aeN)[在4+a+…+ 所以b3+2=4×22=16, .b3=14, 2t+5中，用一1代换n得24十0十… 1 显然b2=36≠b1b3=28 29了4w-1 故数列(bm}不是等比数列. (2)结合(1)知，等比数列(bm十2}的首项为4，公比为2， =2(m-1D+5(m≥2)，两式相减得0an=2,an=2+1,又 故bn十2=4·21=2m+1, 1 14.n=1, 所以bn=2m+1-2, 4=7.即a4=14.故a。-{21,n2>26meN*刀 因为aw+1一am一bm, 17.[解](1)设{an}的通项公式为a,=a1, am-am-1=2m-2(n>2) n∈N°. 令n=2.…,(n-1) 由已知a2十a=3(a1十ag),a1q+a1q3=3(a1+a1g), 累加得am-2=(22+23+…+2")-2(n-1), 9=3. ∴am=(2+22+23+…十2")-2n+2 由已知a2n=3a2,a1g2-1=3(a1g12,g=3d1, =2(2-D-2m+2=2m+1-2m 2-1 a1=1. {am}的道项公式为an=3”-1 又a1=2满足上式， .an=2m+1-2n (2)当n=1时，么=1,6=1. 20.[解](1)由f(x)=a2x3-3a.x2+2.得厂(.x)= 当≥2时.么十红十…十 3a2x2-6u.x =,0 当a=1时，f(1)=-3,f(1)=0, al a2 an 所以f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程是y= 血+血+…+b。1=m-1)2.@ -3x+3. a a2 an-1 由①-②得到2=2m-1,b=(2m-1D3°-1，≥2. (2)令f(x)=0,得x1=0,x2= 2 a 综上，bn=(2n-1)m-l,n∈N°， ①当0<2<1，即a>2时，x变化时，f(x),f(x)的 T.=1×39+3×31+…+(2n-3)3-2+(2m-1)3-1,① 变化情况如下表： 3T.=1×31+3×32+…+(2n-3)3m-1+(2n-1) (-1,0) 2) 2 2 ,1) 3",② (0 由①-②得到-2Tm=1×30十2(31+32+…十3m”-1) f(x) + 0 0 -(21-1)3", -2T,=1X39+2X3×321-(2-13, f(x) 极大值 极小值 3-1 9 故)的极大值是f0)=2:极小值是f(2）=2-音 得n≥5(n∈N").故选B.] ②当2≥1，即0<u≤2时， 4.C[:fx)=2n(3a)+8,f)-是+8=8+ f(x)在（一1,0）上单调递增，在(0,1)上单调递减， 据导数定义知im=2△ △x 所以f(x)的极大值为f(0)=2,无极小值. 21.[解]设h(x)=f(x)-2.x-c, 5m1=24f0①=-2f1)=-20.故选C.] -2△.r 则h(.x)=2lnx-2x+1-c, 其定义城为(0，十∞)，h'()=2-2 5.D [y'=ae"+In x+1, k=y'lr-1=ae+1, (1)当0<x<1时，h'(x)>0;当x>1时，h'(x)<0. .切线方程为y-ae=(ae十1)(.x-1), 所以h(x)在区间(0,1)单调递增， 即y=(e十1)x一1. 在区间(1，十∞)单调递减.从而当x=1时， 又：切线方程为y=2x十b, h(x)取得最大值，最大值为h(1)=一1一c. 故当且仅当一1一c≤0，即c≥-1时，f(x)≤2.r十c. ÷8.2即a=e6-1故选D] 所以c的取值范围为[一1，十©∞). (2)g(r)=f(z)-f(a)_2(In x-In a) 6.C[当x=0时，a.x3-x2+4x十3≥0变为3>0恒成 立，即a∈R. r-a x-a x∈(0，a)U(a,+∞). 当xe(0,1门时ar>r2-4r-3,0≥-4-3 2(4+In a-In r)2(1-4+In 4) g'(x)= (x-a)2 (x-a)2 ≥「231.设g6x)=2-43. 取c=-1得h(x)=21nx-2.x+2.h(1)=0, 则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0,即1一x+lnx<0. 9'(x)=2-4).x3-(r2-4x-3)3x2 x 故当x∈(0，a)U(a,十e∞)时，1-4+ln4<0, -x2-8x-9=-(x-9)(x+1D0. 从而g(x)<0. x x 所以g(x)在区间(0，a),(a,十o∞)单调递减. ∴.g(.x)在(0,1门上递增，g(x)mx=g(1)=-6..a≥-6. 22.[解](1)由2Sm=3am-1(n∈N+)得，2Sm-1= 3am-1-1(n≥2). 当x∈[-2.0)时a≤2-4r-3 两式相减并整理得，an=3am-1(n≥2). 令n=1,由2Sm=3am-1(n∈N+)得，a1=1. a≤ x2-4x-31 故{am}是以1为首项，公比为3的等比数列，因此 Jmin am=3m-1(n∈N+). 仍设g(r)=c2-4r-3 (2)由bm=log3an+1,结合an=3m-1得，bn=. x3,9'(x)=-r-9)(x+1) 1 111 当x∈[-2，-1)时，g'(x)<0, 则6h+n(n十1)方n中' 当r∈(-1,0)时，g'(x)>0. 故Tm一bzbabs 1 .当x=一1时，g(x)有极小值，即为最小值. =(-）+(合)++日 1 而g(x)m=g(-1D)=1+43=-2.a≤-2. 综上知-6≤a≤-2.] 高二下学期期未综合冲刺卷·数学（六） 7.D[设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 1.B[a=1,a2=-1+1=-2a= a2十a3十a1o=9,.3a1+12d=9,即a1+4d=3, ag=3S=9X(a,+a_9X2ai=27.故造选D.] 2 2 -2,a4=一-2+1 =1,…,数列{am}的周期为3， 8.A[:画数fx)=4+lnx-1. .S2018=S2o16+ago17+a2o18= 672×(-7-2+1)+1()）=-25,找选] f=是+是>0 2.A[因为a1十a2十a3=34,am-2十am-1十am=146, 当a≤0时，f(x)=I二“0恒成立，f(x)是增画数， a1十a2+a8十am-2十am-1+am=34+146=180, 2 又因为a1十am=ag十aw-1=u3十aw-2: x→+∞时，f(x)→+o∞，f(1)=a-1<0, 所以3(a1十am)=180,从而a1十am=60, 所以S,-a1十a）-”…60=390,即1=13.故选A] 函数f(x)=日+lnx-1有且仅有一个零点： 2 当a>0时，令f'(x)>0,解得：x>a 3B[由a1=3a,(a≥2)可得。，=号(m≥2.可得 令f'(x)<0,解得：xr<a, an-1 故(x)在(0，a)递减，在(a,十∞)递增 数列{@，}是首项为a1=1,公比为q=3的等比数列， 故只需f(x）min=f(a)=lna=0,解得：a=1, 综上：实数a的取值范围为（一∞，0]U{1. 所以Sn 1-() 故选：A.] 1-3 引1-()门由s>可 9.AD[对于A,由n+=g2(n≥2)知数列{a,Am+1} an-lan 是公比为g2的等比数列：对于B,当q=一1时，数列 得引-()门-()”≥器 {am十am+1}的项中有0，不是等比数列：对于C,当q=1 时，数列{am一4m+1}的项中有0，不是等比数列：对于 10