数学(四)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学(四) (满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.已知数列(a.)的前n项和为S.,若3S.-2a.-3n,则a2os= ( - A.2018-1 。 B.32018-6 ##(2)) D.)2) 10 2.数列(a。)的首项为3,(6.)为等差数列,且6.=a。,-a.(nN),若=-2,b。=12,则 a等于 ) A.0 B.3 C.8 D.11 3.已知a,a。,a,a:依次成等比数列,且公比a不为1.将此数列删去一个数后得到的数列 ( (按原来的顺序)是等差数列,则正数。的值是 __ A.1-5 士15 C.1 B. D.-13 2 4.下面说法正确的是 。_ _ A.若f(x)不存在,则曲线y三f(x)在点(x,f(x。))处没有切线 B.若曲线三f(x)在点(x。,f(x))处有切线,则f(x。)必存在 C.若f'(x。)不存在,则曲线y一f(x)在点(x。,f(x。))处的切线斜率不存在 D.若曲线y一f(x)在点(x。,f(x。))处没有切线,则f(x。)有可能存在 ,。_ ) 1 & A.y--2x十4 B--2:-4 C.-2x-4 D.-2x十4 6.已知函数f(x)=(x^*}十x-1)e,则曲线y三f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ~ A.y-3ex-2e B.y-3ex-4e 将 C.y-4ex-5e D.y-4er-3e 7.已知数列(a.)满足a-0,a,=a.+2a.十I十1,则a= ( ) A.143 B.156 C.168 D.195 8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)一f'(x)<1,f(1)=2,则不等式 f(x)一1>e的解集为 ( _ A.(-,1) C.(1,十) B.(-.2) D.(2,十) 4-1 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.在公比a为整数的等比数列a)中,S.是数列a.的前n项和,若a·a.三32,a十a三12,则 ,_ 下列说法正确的是 _~ A.-2 B.数列/S.十2是等比数列 C.S-510 D.数列/lga.是公差为2的等差数列 ( 10.函数y-2x-3x-12x+5在[-2,1]上的最值情况为 ) A.最大值为12 B.最大值为5 C.最小值为一8 D.最小值为-15 11.若数列a。)满足:对任意正整数n,a一a.为递减数列,则称数列(a.为“差递减数 ( 列”,给出下列数列a(nCN),其中是“差递减数列”的有 ) A.a-3n B.a.-n{2十1 C.d-n 12.下列结论中不正确的是 ( ) B.若y-sinx,则y'-2xcosx② C.若y-cos5x,则y'--sin5x 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.等差数列(a.的前11项和S-88,则a十a。= 14.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y十1=0,则点P的坐标是 16.在数列a.中,a=1,对于所有的n2,nEN,都有a·a·a·.·a.=n{,则a十 4-2 四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知等比数列(a.)的前n项和为S.,若a.,a。.a:成等差数列,且 S.-33,S,--63. (1)求及a。; (2)求数列n。的前n项和 4-3 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)三x-3ax十2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 为3r十y十n-0. (1)求实数a,n的值 (2)求f(x)在区间1,2上的最值。 4-4 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-x+^{} (1)讨论f(x)的单调性 (2)若f(x)有三个零点,求人的取值范围 4-5 20.(本小题满分12分)在数列a.中,设f(n)=a,且f(n)满足f(n+1)-2f(n)=2(nEN ) 且a.-1. (2)求数列a的前n项和S。. 4-6 21.(本小题满分12分)设a.)是公比为正数的等比数列,a.=2,a。=a+4. (1)求a。的通项公式; (2)设(.)是首项为1,公差为2的等差数列,求数列(a.十b)的前n项和S。 4-7 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx十x②. (1)求h(x)三f(x)一3x的极值 (2)若函数g(x)三f(x)一ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围 4-8所以切点为(1,11)， 则教列{am十1}是首项为一2.公比为一2的等比数列， 切线方程为y-11=-2(x-1),即2x十y-13=0. (2)二次函数f(x)=12一x2为偶函数，其图象是开 据此有：a2018+1=(-2)×(-2)2017=22018, 口向下的抛物线，且关于y轴对称，故只需考虑一侧 ∴a2018=22018-1.故选A] 的情影即可， 2.B[设{bm}的公差为d, 不妨考虑x>0时的情形， ,b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴.d=2. 设切点为(t,12一t),t>0,可求得切线方程为 y-(12-t2)=-2t(x-t), :b3=-2.∴.b1=b3-2d=-2-4=-6. 得y=-2tx+t2+12, 所以切线与坐标轴的交点分别为A(0,t十12)， 6++…+=7%+2d 2) =7×(-6)+21×2=0. 又b+b2+…+br=(a2-a1)+(a3-a2)+…+ s0=号10A1·0B=号..r+12)= (a8-u7)=a8-a1=a8-3=0. 2t +242+144 .a8=3.故选B.] 3.B[因为公比q不为1，所以删去的数不是a1,a,若 S(0=3+24r2-144_32+12)(2-4) 刷去a2,则由2a3=a1十a得2a19=a1十a193,又a1≠0，所 42 以2=1+g,整理得g(g-1)=(g-1D(g十1).又q≠1， t,S(t),S(t)的变化情况如下表所示： t (0,2) 2 (2,十o∞) 所以=g十1.又>0：得9=1之5若周去剥由 S'(t) 0 2a2=a1十a1得2a1q=a1十a1g3.又a1≠0，所以2q=1 S(D) 极小值 习 +q,整理得q(g十1)(g-1)=q一1.又q≠1，则可得 故当t=2时，S(t)取得最小值，为S(2)=32. qg十1D=1,又g>0,得g=1+E综上所速，g 21.[解](1)当n=1时，4S=4a1=a7+2a1+1,整理 2 得(a1-1)2=0,.41=1. :4Sm=a2+2an+1,∴.4Sw+1=a7+1+2aw+1+1, 士1十5，故选B.] 2 两式相减得4aw+1=a员+1一a后十2an+1一2am· 4.C[f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0: 即a7+1-a2-2aw+1一2an=0, f(x0)处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的 即(am+1十au)(aw+1-aw一2)=0， ,数列{an}各项均为正数，am+1十au>0, 斜率不存在，但存在切线.] '*an+1-am=2, ∴.数列{am}是首项为1，公差为2的等差数列， [坐-品+2 2 5.C 故am=1+2(n-1)=2n-1. △x △x 1十Ax,所以当△x小0时， (2)b1=a1=1,.bn=bg-1=g"-1 2m+5=1+ f(1)=2,即k=2.所以直线方程为y十2=2(x-1). 依随本释仔2””相除释g一织当 即y=2x-4.故选C.] 6.D[因为f(x)=(x2+x-1)e,所以f(.x)=(x2+ 2m-7N, 3x)e,f(1)=e,则f'(1)=4e. 2m-1=1或2m-1=3,所以m引·或m=2, 1g=7 因此，切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4e.x-3e. g=3, 当m=1时，bn=7”-1；当m=2时，bw=30-1. 故选D.] 综上所述，bn=7n-1或bn=3”-1 7.C[由an+1=an十2/an+1+1得am+1+1=(W/an+门 22.[解]盛数f(x)的定义城为{xx≠a. (1)当x>a时，e>0,x-a>0,.f(x)>0, 十1)2，所以√/an+1+-√/an十=1，又a1=0,则√an+I 即f(x)在(a,十o∞)上无零点. =n,am=n2-1,则a13=132-1=168.] (2)当x<a时，f(x)=e(x-)十1 x-a 令g(x)=e(x-a)+1,则g'(x)=e(x-a+1). &C[物连函数)=，则g()- 由g'(x)=0得x=a-1. 当x<a-1时，g'(x)<0: ()-f)+1>0,函教g(x)在R上单调递增. er-1 当x>a-1时，g'(x)>0, 又f(x)-1>e-1,g(1)=1, ∴g(x)在(-o∞，a-1)上单调递减，在(a一1，十o∞) 上单调递增， .原不等式等价于g(x)>g(1), ..g(r)min=g(a-1)=1-e"-1. .原不等式的解集为(1，十∞).故选C.] .当a=1时，g(a-1)=0,∴.x=a-1是f(x)的唯 9.ABC[因为数列{am}为等比数列，又a1·a1=32,所 一零，点： 当a<1时，g(a一1)=1一e-1>0,.fx)没有零点； 以a2·a3=32,文a2十a3=12, 当a>1时，g(a-1D=1-e-1<0.∴.fx)有两个零点。 a2=4, a2=8, 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（四） a2=4, 1.A[由题意可得：3Sm=2am一31,3Sm+1=2an+1 所以ag=8,或a=·又公比q为整教，尉ag=8, -3(十1)， 1 q=2, q=2, 两式作差可得：3an+1=2aw+1一2aw一3，即au+1 q=2 -2an-3,aw+1+1=-2(am+1), 结合3S1=2a1-3=3a1可得：a1=-3,a1+1=-2, 即a,=2.S,-2X0,22=2+1-2. 1-2 6 对于选项A,由上可得q=2,即选项八正确： 18.[解](1)f(x)=3x2-3a, 对于选项B,S十2=2+1，S+1十2_2”+2 :曲线f(x)=x3-3ax十2在x=1处的切线方程为 ,S+2=20可=2，则教 3x+y十m=0, 列{S,十2}是等比数列，即选项B正确： 对于选项C,S8=2”一2=510，即选项C正确： g0”n年得a=3m=0 对于选项D,lgam+1一lgam=(n+1)lg2-lg2=lg2,即 (2)由(1)知，fx)=x3-6x十2，则f(x)=3.x2-6, 效列{lgam}是公差为lg2的等差数列，即选项D错 令f'(x)=0,解得x=士√2， 误.故选ABC. ∴f(x)在[1，W2)上单调递减，在(2,2]上单调递增， 10.AC[y'=6.x2-6.x-12, 又f(1)=1-6+2=-3,f(2)=23-6×2+2=-2, 由y'=0→x=一1或x=2(舍去). x=-2时，y=1:x=一1时，y=12:x=1时，y=一8. f(2)=(2)3-6×√2+2=2-4√2. ·ymax=12,ymm=-8.故选AC.] .f(x)在区间[1,2]上的最大值为一2，最小值为 11.CD[对Λ，若am=3n,则a+1-an=3(n十1)-3n 2-4√2. =3,所以{am+1一an}不为递减数列，故A错误： 19.[解](1)f(x)=3.x2-k. 对B,若an=12+1,则am+1-an=(n十1)2一n2=2n 当k=0时，f(x)=x3,故f(x)在（一∞，十o∞）单调 十1，所以{am+1一am}为递增数列，故B错误。 递增. 对C,若am=n,则an+1一an=√n十T一n= 当k<0时，f(x)=3x2-k>0,故f(x)在(-，十∞) n+后所以{a1一a,为逅减数列，故C正确 单调递增. 当>0时，令f(x)=0,得x=士 对D,若a=h升则a1-aw=n 3 1+2 当x∈ 3k 时，f(x)>0: n-n=h(++》 n十2n 当x∈（ 由画鼓y=lh+十2)在(0，十∞)通减，所以数 3巫，k)时，f(x)<0: 3 列{an+一an}为递减效列，故D正确.故选C、D.] 当x(+∞)时，f>0, 12.ACD 13.16[:等差数列{am》的前11项和S11=88, 故f(x)在-o0, (+ 单调递增， ÷S1=11a+a=88a1十a1=16. 2 在（巫，巫）单调逅减 根据等差数列性质：a3十a4=a1十a1=16.] 3 3 14.(e,e)[令f(x)=xlnx,则f(x)=lnx+1,设 (2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在（一o∞，十∞）单调递 P(zo,yo),f(o)=In xo+1=2, 增，f(x)不可能有三个零点. .xo=e,此时yo=roln zo=elne=e, 点P的坐标为(e,e).] 当k>0时，x=一 巫为f(x)的极大值点， 3 15.[片十o）[fx)=2-r十，要使fx)无极 =匹为)的瓶小值点。 值，则方程f(x)=x2一x十c=0没有变号的实数 此时，一k-1<一 33k 解，从而4=1-4c<0∴c>子] 3 3 <k+1 1 16.16 [由题意知a1·a2·a%·…·an-1=(n-1)2, 且f(-k-1)<0,f(k+1)>0,f 3 ∴.an= ) (n≥2)，.a3+as= ()+() 根据)的单调性，当里红当f(） <0. 即k2 2k巫<0时f()有三个零点，解得7 9 17.[解](1)2a3=a1+a5→2=g+g2→(g+2)(g-1) =0→q=-2或q=1, 国此k的取值范国为(0，)： ①当q=1时：a+1=Sk+1-Sk=-96,这与Sk=33 20.[解析](1)证明：由已知得a+1=2am十2”， 矛盾： ②当g=2时：S+1=11-与 得bn1=“旦20"t2=240十1=b十1， 2N 1-q =-63→a1=3: 所以b+1一bn=1, ak+1=a1·q=-96 又am=1,所以b1=1, k=5→am=3×(-2)"-1 所以{bn}是首项为1，公差为1的等差效列. (2)bn=nan=3n×(-2)”-1,则有： Tm-b1+b2+bg+…+bw-1+bm=3×[(-2)°+2X (2)由1)知b。=20白=，所以am=1·2”, (-2)+…+(n-1)×(-2)”-2+n×(-2)”-1], 所以S,=1+2·21+3·22+…十n·2"-1, (-2)Tm=3×[(-2)1+2×(-2)2++(n-1)× 两边乘以2，得2Sm=1·21+2·22+…+(n-1)· (-2)0-1+n×(-2)"], 2w-1+n·2”, 所以，3Tm=3×[(-2)0+(-2)1+(-2)2+…+ 两式相减得一Sm=1十21十22十…十2”-1一n·2“ (-2)”-1-1×(-2)"], =2"-1-n·2m=(1-n)2m-1, 所以，T,=1X二20]-n×（-2) 所以Sm=(n-1)·2”十1. 1-(-2) 3 21.[解](1)设q(g>0)为等比数列{am}的公比，则由 3m+1×(-2)” a=2,a3=a2十4得2g2=2g十4，即q2-q-2=0,解 3 得q=2或q=一1（舍去），因此4=2. 所以{an}的通项公式为an=2·2n-1=2”. 即y=3.x6.x-2.x8. (2)S=212)+m×1+nn21D×2=2+1+ 又，点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0=0或 1-2 2 n-2. 22.[解](1)由已知可得h(x)=f(x)-3x=l1nx十 当x0=0时，直线方程为y=0. r-3x, ()=2-3+1(x>0, 面y0与yar+草一9相初可得a= 64 令(x)=2-3士1=0，可得=或=1， 当0-是时，直线方程为y-织：一积 则当x∈(0,2)U1,+∞)时，'(x)>0, 由y华一号与y=ar2+只一9相切可得a=一1门 当x(受1)时，(x)K0, 6.D[面于f(x)=k-子，fx)=x一1nr在区间 (1,十0)单调道增一了(x)=k-上≥0在(1，十0)上 “A(x)在(0，）小(1，十∞)上为增画数，在 ()上为减函数， 恒成立.由于≥而0<<1，所以≥1.即的 取值范国为[1，十∞).] 则h(x)板小植=h(1)=一2， 7.A[:log3(2.x),log3(3x),log3(4z+2)成等差数列， AC)大接=A(合） -ln2. .log(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x), .log3[2x(4.x+2)]=log3(3.x)2, (2)g(x)=f(x)-ar=In x+x2-ax. 2x(4x+2)=(3.x)2, g()=是+2x-a(x>0… 2x>0, 解得x=4. 由题意可知g'(x)≥0(x>0)恒成立， ∴4x+2>0, 3x>0. 即<(2x+） .等差数列的前三项为log38,log312,log318, :x>0时，2+122，当且仅当工=号时等号成 公差d=log312-log38=log3之 3 2 “戴列的第回项为10g18十bg:号=l6g,27=3,选A] (2+）=2. 8.Λ[f(x)=3.x2-2x+1,故f(1)=2,所以切线1的 方程为y=2(x-1)+f(1)=2x-1.令x=0,则y= ∴a≤22，即实数a的取值范围为(-∞，22]. 一1，故切线的纵载距为-1故选A.」 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（五） 9.ABD[由等差数列的定义可知A,B,D均错误，只有 1.B[因为a1=1,a2=-1,a8=-2,代入依次求得 选项C正确，门 a4=一1，a5=1,a6=2,a7=1,a8=一1，…，可知，数列 10.CD[由导数与函数单调性的关系知，当f(x)>0 {an}是T=6的周期数列，每个周期内的和为0,2019 时，f(x)单调递增： =6×336十3，所以数列{am}的前2019项的和等于 当f(x)<0时，f(x)单调造减. a1十a2十a3=一2.故选B.] 结合所给图象知，当x∈(a,c)时，f(x)>0, 2.B[由等差数列{an}的性质，可得a1十a5=2a3= .f(x)在(a,c)上单调递增： -14,所以ag=-7.又S=9@十a）=-27,所以 当x∈(ce)时，f(x)<0, 2 .f(x)在(c,e)上单调递减； a1十ag=2a5=一6，所以a5=一3，所以公差 当x∈(e,十o∞)时，f(x)>0, d=写号-2，所以载到a,的通项公式a,=-7十 ∴.f(x)在(e,十o∞)上单调递增， .函数f(x)在x=c处取得极大值f(c),在x=e处 (n-3)×2=2n-13.令aw≤0，得2n-13≤0.解得 取得极小值f(e), ≤受.所以教列口，的前6项为负教，从第7项开始 ∴.f(x)的极值点为c,e.故选CD.] 1l.AC[因为Sm为数列{an}的前n项和，且Sw=2an 为正数，所以使得S,取最小值时的1为6.故选B.] +1(n∈N), 3.A[设数列{a,)的公比为g,根据题意知S6S 所以S1=2a1十1，因此a1=一1， S3 当n≥2时，am=Sw一Sw-1=2an-2an-1,即am= 1 1 6=g,所以g=有，从而有a,=32· 2aw-1: 所以数列{am}是以一1为首项，以2为公比的等比数 27-2m,所以1og2an=7-2,所以|log2an=21-7: 列，故C正确； 所以数列{|log2am|}的前10项和等于5+3+1+1十3 因此a5=-1×24=一16，故A正确： +5+7+9+11+13=3X5+D+7×0,+132=58. 又Sw=2am+1=-2+1,所以S5=-25+1=-31, 故B错误； 故选A.] 因为S1十1=0，所以数列{Sm十1}不是等比数列，故 1·2-反.nx D错误，故选AC.] 4.D[依题意有f(x)= 2√E 12.ABC[由xf(x)+xf(x)=lnx得x>0. 则xf(x)+fx)=ln二，即[xfx]'=lh2, 故f(合）2h2=2+n2,故选D.] x 1 设g(x)=xf(x),即g(x)-兰>0得x>1, 5.A[设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于，点（西x), 则切线方程为y一x=3x6(x-xa), 由g'(x)<0得0<x<1,即xf(x)在(1.十∞)上单 8