数学(三)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（三） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知等差数列{a.}的通项公式为a,=3一4n,则数列{a,}的首项与公差分别是 塑 A.1,4 B.-1,-4 C.4,1 D.-4,-1 2.为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制订了7天的训练计划：第1天跑 5000m,以后每天比前1天多跑200m,则这个同学7天一共将跑 郑 A.39200m B.39300m C.39400m D.39500m 3若等比数列α，的各项均为正数，且前4项的和为9，积为则前4项倒数的和为 A B号 C.1 D.2 4.一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s= 2,则 =2时，此木块在水平方向的瞬时速度为 的 A.2 B.1 c D.4 5.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则 ( 名 A.号为f()的极大值点 B.一2为f(x)的极大值点 C.2为f(x)的极大值点 D号为x)的极小值点 6.设函数f(x)=x十a.x,若曲线y=f(x)在点P(xo,fxo)处的切线方程为x十y=0,则 点P的坐标为 A.(0.0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1) 3-1 7.已知函数f(x)=2sinx一ax+1的图象在(0,1)处的切线方程为y=x+1,则a=() A.0 B.1 C.-1 D.-2 8.已知数列{an}的前n项和为Sn=n一2n十2，则数列{an}的通项公式为 A.a =2n-3 B.a=2n+3 1,=1, 1,n=1, C.a= D.a.= 2n-3,n≥2 2n十3，n≥2 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) Q已知两个等差数列1a和1b的前n项和分别为S,和T。,且了=m十3，则使得。之 数的正整数n的值为 A.2 B.3 C.4 D.14 10.曲线y=x2-1与y=lnx A.在点(1,0)处相交 B.在点(1,0)处相切 C.存在相互平行的切线 D.有两个交点 11.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减 一半，如此六日过其关”，则下列说法正确的是 A.此人第三天走了四十八里路 B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C.此人第二天走的路程占全程的} D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 12.已知函数f(x)=e-ax有两个零点x1,x2,且x,<x2,则下列说法正确的是 ( A.a>e B.x1+x2>2 C.x2x2>1 D.f(x)有极小值点xo,且x1十x2<2x 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a2=2,a3m=2n-2am,a3m+1=a,十1，am+2= 4。一1，则So=(用数字作答). 3-2 14.已知函数f(x)=ax3+x十1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a= 15,设P是曲线y=x一女-x上的一-个动点，记此曲线在P点处的切线的顿斜角为0， 则0的取值范围是 16.已知数列{an}满足a1=1,a。一am+1=aam+1(n∈N）,则an= 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)设数列{an}的前项和为S.已知a1=a(a≠3)，am+1=S.十3”， n∈N". (1)设b=S,一3”，求数列{bn}的通项公式； 3-3 (2)若a+1≥an,n∈N,求a的取值范围. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=一x3十3x2十9x十a. (1)求f(x)的单调递减区间： 3-4 (2)若f(x)≥2020对于Hx∈[一2,2]恒成立，求a的取值范围. 19.(本小题满分12分)设S.是数列{an}的前n项和，且a,=一1，a.+1=Sn·S+1· (1)证明：数列5是等差数列： 3-5 (2)求{a}的通项公式. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=12一x2. (1)求曲线y=f(x)的斜率等于一2的切线方程： 3-6 (2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求 S(t)的最小值. 21.(本小题满分12分)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sm,且4S,=a十2an十1， n∈Nt. (1)求数列{a}的通项公式： 3-7 (2)已知公比为q(q∈N+)的等比数列{bn}满足b,=a,且存在m∈N,满足bn=am, bn+1=am+3,求数列{bn}的通项公式. 2.(本小题满分12分)已知函数)=心十。a∈R.试讨论函数fx)的零点个数 3-8累可得,a.=n×(n-1)×(n-2)x...x3x2x1-n! 所以g(x)在(e,十xo)递增,于是a g(e)= 故a一n!.(nEN ) 2-2e (3)”:a1-a.+I1n(1+). 2(e-1) 高二下学期期末综合冲刺卷·数学(三) 1.B[当n-1时,a=-1,n-2时,a2-3-4 2 -5,所以公差d-a2-a--4.] 2.A [依题意可知,这个同学第1天,第2天,......,跑 的路程依次成首项为5000,公差为200的等差数列, ...... 2 a2-a:-ln- 1 2 39200(m).故选A. 3.D[设等比数列{a的首项为a1,公比为q(q0),因 为前4项的和为.积为81,所以(1-) ”. 1- 2-9.且 又a=2..a=lnn+2.(nN) 21.[解](1)设数列a。)的公差为d,b)的公比为 一行 #a1a2+3-a1{-81,即 a0-。 由 12-bq-3. '{b)的通项公式b-biq”-1-3”-1. ## 又=b-1,1-b-3-1-27, a 1-0 ·1+(14-1)d-27,解得d-2. 'a的通项公式a-aì+(n-1)d-1+(n-1)x 2-2n-1(nN*). (2)设数列(c)的前”项和为S.. “△ △r 242. “'c=a+=2n-1+3--1. ()一-故 ..S.=c+c+cs+.十c。 -2 1-1+3+2×2-1+31+2×3-1+3+..+ 3×(1-3”) 5.A [对于A选项,当-2<x<一时,f(x)→0,当 2n-1+3”-1-2(1+2+.+n)-”+ 1-3 =2(n+1n3-1 2 2 项正确: 231 对于$选项,当x<-2时,f(x)<0,当-2<x<1 即数列(c。)的前n项和为n23“-1. 时,/(x)0.一2为/(x)的极小值点,B选项错误; 对于C选项,当1 22.[解] -x<2时,f(x)0,当x2时 3 f'(x)0,2为f(x)的极小值点,C选项错误; 2 2 对于D选项,由于函数v一f(x)为可导函数,且 ##()<o,不是/(c)的极值点,D选项错误,故选 所以所求切线方程为y一一 (2)/'(x)-2-(a+1)x+a(r-1)(x-a) A.] r 6.D[f(x)=x+ax2,f(x)=3x2+2a 2 当a-1时,f(x)在(0,十oo)递增; .曲线在点P(xo,f(x。))处的切线方程为x+y-0 当a0时,f(x)在(0,1)递减,在(1,十o)递增; '3x+2ax。=-1, #1 当0<a 1时,f(x)在(0,a)递增,在(a,1)递减 :xo++ar-o.. 在(1,十oo)递增; 1-2. 当a1时,f(x)在(0,1)递增,在(1,a)递减,在(a; 当xo-1时,f(xo)--1. 十)递增. 当xo--1时,f(x。)-1,.',点P的坐标为(1,-1)或 (3)由f(x)>→0得(x-1nx)寸{}-x. (-1,1).故选D.] 7.B [f(x)=2cosx-a,因为函数f(x)=2sinx-ax 设y-x-lnx.yx-1.于是y=x-lnx在(o.1)递 +1的图象在(0,1)点处的切线方程为y一x十1,所以 # '$($0)-1,即/(0)-2-a=1,解得a=1,故选B $] 减,在(1,十o)递增,最小值为1.所以Vx(e,十o). 8.C [当n-1时,a=S=1,当n2时,a-S r-lnx>0. S.-一2n-3,由于a:的值不适合上式,故选C.] (2n-1)(a+a2-1) [由题意可得 于是只要考虑Vx(e,十o),a<2 .S-一 x-nr. 9. ACD (2n-1)(b:+b2-1) -r2-x (2n-1)_#,则-) 2 _ 设g()-2 $2-1-3(2n-1)+39 -ln, (2n-1)+3 1 (x-lnx)② n1' 设h(x)-x+2-2lnx,h'(c)--2. ,于是h(x)一 2 x+2-2lnx在(e,+oo)递增,h(x)h(e)=e>0, 能取值有3,5,15. 因此,正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.] 10.ACD [令f(x)-r?-1,g(x)-lnx,f(1)=g(1) 15.(3# [由y--2-ìnz,得y-1--1 -0./(1)=2,g’(1)=1,A正确,B错误. (x0). -11-(+1)<1-2~1--1, -(#)#.C正确. 令F(x)-/(x)-g(x),则F'(x)-2--1,故F(x) 当且仅当x-1时等号成立. 'y'<一1,即曲线在P点处的切线的斜率小于或等 在#6^{)上平词减,在({})上单调增,# 于-1, .(3#,1 'tan-1,又6[0,). F#)-+1n 2<0.,F()>(e)=e-2>o, D正确,故选ACD.] n-n十2 11.ABD[设此人第n天走a:里路,则{a是首项为 tar1 a: a1,公比为一的等比数列. 1-n-2.. 1 11 .a a-! 1'an-1 an-2 'a2 a1 )#1一()} “an a1 2 #-# 1-378. 所以S一 2 1- 解得a-192. 17.[解](1)依题意得S+1-S.-an+1-S.+3”, 即S.+1-2S.+3”, 由此得$+1-3+1-2(S-3”),即b+1-2b 由-192,则S-a1-378-192-186,又192- 186-6,所以B正确. 又b-S-3-a-3. 因此,所求通项公式为b。-(a-3)2“-1,nN*. (2)由(1)可知S.-3”+(a-3)2”-1.n-N*. 所以C不正确。 于是,当n→2时,a-S-S-1=3”+(a-3)2"-l a+a+a-a(1+a+)-192×(1++)- -3--1-(a-3)2”-2-2×3”-1+(a-3)2"-2. 336.则后3天走的路程为378-336-42而且42 8 a1-a-4×3--1+(a-3)2”-? -336,所以D正确,故选A、B、D.1 -[12.()”}-3] 12.ABD[由题意,函数f(x)=e{-ax,则f(x)=e* 一a,当a<0时,/(x)=e一a0在R上恒成立,所 所以,当n一2时, 以函数f(x)单调递增,不符合题意;当a>0时,令 f(x)=e-a>0,解得x>lna,令f(x)=e- 0.解得xlna,所以函数f(x)在(-,lna)上单调 又a=a+3>a,a3. 递减,在(lna,十)上单调递增,因为函数f(x)= 所以,所求a的取值范围是[一9,3)(3,十). e-ax有两个零点x1,x且x x,则f(lna)= 18.[解](1)f(x)=-3x2+6x+9. elna-alna=a-alna=a(1-lna)<o,且a>0,所 由/(x)<0,得x-1或x>3. 以1-lna<0,解得a>e,所以A正确;又由x1 所以函数f(x)的单调递减区间为(一×,-1),(3,十o). r=ln(a{}xx2)=2lna+ln(xx2)>2+ln(xx). (2)由/(x)-0,-2<x2,得x=-1. 。2 取,则/(2)=e2-2a=0,x2-2,(0)=1>0, 因为f(-2)-2+a,f(2)-22+a,f(-1)--5+$a, 故当一2<x<2时,f(x)min=-5+a. 所以0 x 1,所以x1+x2,所以B正确;由 要使/(x)二2020对于Vx[-2,2]恒成立,只需 f(0)-1>0,则0 x1,但xx1不能确定,所 f(x)min--5+a>2020,解得a2025. 以C不正确;由函数f(x)在(一oo,lna)上单调递 减,在(lna,十x)上单调递增,所以函数的极小值点 19.[解](1)证明:因为a1-S+1-S,所以S1 s.-S..S1. 为xo-lna,且x+x2x。=2lna,所以D正确.故 两边同除以._$1,得言 选A、B.D. ] 1 __-1. 13.75 ['a3n-2n-2a,a3n+1-a+1,aan+?-a-n. $=1,=2.-2-2a-2-2-0,a= +1= a=a1-1-0. S. 因此数列{ ,把上面三个式子相加得a+a3+!+a+2-n+1, 烈. '=a(ax3+1)-a+1-0+1=1.a3=a3x1o-2x 10-2a-18. .So-aì+a+(as+a十as)十(as+a+as)十..十 (7+8十20)+a01+2+(2+10)×18-=75. (-1,n-1. 14.1[由题意可得f(x)-3ax②+1,.,f(1)-3a+1, 于是a- 又f(1)-a+2,..f(x)-ar十x+1的图象在点(1. ln(n-1),n2,nN. f(1))处的切线方程为y-(a十2)-(3a十1)(x-1), 20.[解](1)/(x)=-2x. 又此切线过点(2,7). 令/(x)--2,得-2x--2,解得x-1. ·7-(a+2)-(3a+1)(2-1),解得a-1.] f(1)-12-1-11, 5 所以切点为(1,11). 则数列a+1)是首项为一2.公比为一2的等比数列, 切线方程为y-11--2(x-1),即2x+y-13-0. 据此有:a2018+1-(-2)×(-2)2017-22018. (2)二次函数f(x)一12一r^{*}为偶函数,其图象是开 '.a2o18-22018-1.故选A.] 口向下的抛物线,且关于v轴对称,故只需考虑一侧 的情形即可。 2.B [设(b]的公差为d, 不妨考虑x0时的情形 .'b-b-7-12-(-2)-14..,d-2. 设切点为(t,12一^),t0,可求得切线方程为 y-(12-r2)--2t(x-t). .b=-2.b-b-2d=-2-4--6. 得--2x+2+12: 所以切线与坐标轴的交点分别为A(0,^2十12). B({120) 。 -7×(-6)+21×2-0 又b+b十...+b=(a2-aì)十(aa-a2)+..十 s()一 (a-a7)-as-a1-as-3-0. 2 &十24②+144 .a-3.故选B.] 4 3.B [因为公比q不为1,所以删去的数不是a,a,若 S'()3-+24^-1443(+2+12)(-4) 删去a,则由2a=a+a:得2aq-a+aq,又a0,所 /2 4t2} 以2②=1+q,整理得 ^(q-1)=(q-D(q+1).又q1 1.S(t),S(t)的变化情况如下表所示: 所以q}-+1,又q>0,得。- -15 (0.2) 2 (2.十o) 2 2:若删去a:则由 S(t) 0 x $a-a+a得2aq=a+aq③,又a-0,所以2q-1 极小值 S() , +^},整理得q(q+1)(q-1)=q-1.又q:1,则可得 故当1-2时,S(t)取得最小值,为S(2)-32. (q+1)-1.又→0,得--1+5 .综上所述,?一 21.[解](1)当n-1时,4S =4a=a+2a+1,整理 士1.故选B. 2 得(a-1)-0..'a-1. :4S.-+2a+1.4$+1-^1+2a+1+1, 两式相减得4a+1-a+1-a+2a+1-2a 4.C [/(x。)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x。. 即1-a2-2a1-2a-0. 即(a1+a)(a+1-a-2)-0. f(x。))处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的 ·数列()各项均为正数,.,anl十a→0, 斜率不存在,但存在切线, .1-□-2, -2+2 '数列(a。)是首项为1,公差为2的等差数列, 故a.-1+2(n-1)-2n-1. △x (2):b-a-1..b.-b”-1-q”-. /'(1)-2,即k-2.所以直线方程为y十2-2(x-1). 2n+5 -1 (-2m+5. 即y-2x-4.故选C] 6 6.D [因为f(x)-(x2十x-1)e”,所以/(x)-(r十 #{#1#或{ 3.x)e,f(1)=e,则f(1)-4e. '2m-1-1或2m-1-3,所以 1q-7 -3. 因此,切线方程为y-e-4e(x-1),即y-4ex-3e. 当m=1时,b.-7-1;当m-2时,b-3-1. 故选D.] 综上所述,b-7-1或b-3-1. 7.C [由a+1=a.+2a+I+1得a1+1=a+1 22.[解]函数f(x)的定义域为(xx去a: (1)当x>a时,e>0,x-a>0...f(x)>0. +1)},所以/a1+1-a十I-1,又a=0,则a+1 即f(x)在(a,十oo)上无零点. -n,a-n2-1,则a13-13-1-168.] (2)当x<a时,/(c)-(-a)+1 r- 令g(x)=er(r-a)+1,则g'(x)=e(x-a+1). 由g(x)-0得x-a-1. /(x)-f(x)+1 10...函数g(x)在R上单调递增. 当ra-1时,g(x)之0: e-1 当x>a-1时,g(x)>0. 又.f(x)-1e-1,g(1)-1. ,g(x)在(一o,a-1)上单调递减,在(a-1,+oo) 上单调递增, ·原不等式等价于g(x)>g(1). '.g(x)min=g(a-1)-1--1. 心原不等式的解集为(1,十oo).故选C.] '当a=l时,g(a-1)=0..x=a-1是/(x)的唯 9.ABC[因为数列a 为等比数列,又a1·a一32,所 一零点: 当a 1时,g(a-1=1-e-1>0..'./(x)没有零点; 以a·a=32,又a+a=12, 当al时,g(a-1)-1-e-1<0...f(x)有两个零点. (a2-4. [a2-8. {“3=4.又公比为整数,则as-8, 高二下学期期末综合冲刺卷·数学(四) (。-4. 1.A [由题意可得:3S.-2a。-3n,3S+1-2l 所以a-8,或 -3(n+1). -2, -2 -2. 两式作差可得:3a+1-2a1-2a。-3,即an+1= -2a.-3.a+1+1--2(a+1). 即a,-2”$-2×(1-2“)-2-+1-2. 结合3S -2a-3-3a 可得:a=-3,a+1--2. 1-2 6