数学(九)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(人教B版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学(九) (满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设数列a.)满足:a.=1,a=3,且2na.=(n-1)a,十(n+1)a,则a。的值是 _~ 。 . B. C. D 2.在等差数列a)中,S.为其前n项的和,S一5,S。一20,则a= ( ) A.-3 B-5 C.3 D.5 -as ) B.2/2 A.2 C.士2/2 D.士8 1K 4.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0×10{}m/s^{},枪弹从枪口 ,_ 射出时所用时间为1.6×10s,则枪弹射出枪口时的瞬时速度为 _ 2 A.800m/s B.600m/s C.200m/s D.400m/s 告 5.已知函数f(x)一x^②一9lnx十3x在其定义域内的子区间(m-1,m+1)上不单调,则实数 ,。_ n的取值范围为 ~ B.1) A.() C.(1) D) & 6.函数f(x)一x-3x*+2在区间[-1,1]上的最大值是 ) C.2 A.-2 B.0 D.4 将 n1 ) .15 1 C D.3 8.函数f(x)是定义在(1,十o)上的可导函数,f(x)为其导函数,若f(x)十(x一1)f(x) -r(x-2),且f(e*)=0,则不等式f(e)<0的解集为 ( _ A.(0.1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,十) 9-1 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) ,__ 9. 下列函数中,存在极值点的是 __ B.-2 C.y--2-x D.y-xlnx 的是 _ _ B.函数f(2)在区间(-0)单调减 A.函数f(x)在区间(0,4)单调递增 C.函数f(x)在x一1处取得极大值 D.函数f(x)在x一0处取得极小值 11.如果a,a。,...,a。为各项都大于零的等差数列,且公差d0,则 ) A.aa.a:a B.aa._aàs Ca十a-a十as D.aa.-aa. 12.若函数f(x)一3x-x*}在区间(a{}-12,a)上有最小值,则实数a的可能取值是 B.1 A.0 C.2 D.3 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) : 15.设定义域为R的函数f(x)满足f(x)>f(x),则不等式ef(x) f(2x-1)的解集为 16.已知函数f(x)=x-ln(x十a),若a=2,则f(0)= ;又若f(x)的最小值为0. 其中a>0,则a的值为 ,(第一空2分,第二空3分) 9-2 四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19^2-9n十2. 17.(本小题满分10分)已知数列 9{一11 (1)求这个数列的第10项; 0 (2) 是不是该数列中的项? 为什么? 9-3 (3)求证,数列中的各项都在区间(0.1)内 18.(本小题满分12分)设曲线v一x”1(nEN)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标 9-4 19.(本小题满分12分)已知在等比数列a.)中,a.=1,且a,a。,a-1成等差数列 (1)求数列a的通项公式 (2)若数列.满足b.=2n-1十a.(nN),数列的前n项和为S,试比较S.与n 十2的大小. 9-5 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e一ax一a(aER). (1)讨论f(x)的单调性 (2)若f(x)有两个零点x·x,求实数a的取值范围,并证明x十x>0 9-6 21.(本小题满分12分)设数列{a.)满足a.=3,a.=3a.-4n. (1)计算a。·a,猜想a的通项公式并加以证明; (2)求数列2a。的前n项和S。 9-7 22.(本小题满分12分)已知函数 f(x)三axe,g(x)三x+2x+b.若曲线y三f(x)与曲线 y-g(x)都过点P(1,c).且在点P(1,c)处有相同的切线/ (1)求切线/的方程 (2)若关于x的不等式[ef(x)]g(x)对任意xE一1,十o)恒成立,求实数的取值 范围. 9-819.[解]1)等比数列{b}的公比9= =9=3, 22.[解](1)f(x)=3(.x2-2),令f'(x)=0, b2 3 得x1=一√2，x2=2 所以-2=1，b1=g=27. 当x∈(-o∞，-√2)U(√2，十∞)时，(x)>0, 设等差效列{am}的公差为d. 当x∈(-√2,2)时，f(x)<0, 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 因此x1=一√瓦，x2=瓦分别为f(x)的极大值点、极 所以1+13d=27,即d=2. 小值点」 所以aw=2-1(n=1,2,3,…）. (2)由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走 (2)由(1)知，a=21-1,bn=3"-1 向如图所示.要使直线y=a与y=f(,x)的图象有3 因此cn=an十6，=2n-1+3”-1 个不同交点需5-42=f(wW2)<a<f(-√2)=5十 从而数列{cu}的前n项和 4√2.则方程f(x)=a有3个不同实根时，所求实数 Sw=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3”-1 a的取值范国为(5-4√瓦，5十4√2). =(1+21-12+1-3” y时f国) 2 +1-3 =+” 20.[解](1)因为g(x)=f(x)=2ax十a-2e2, 所以g'(x)=2a-4e2x=-2(2e2x-a), ①当a≤0时，g'(x)<0,g(x)在R上单调递减. ②当a>0时，令g(x)>0,则r<2n受 -2 令g)<0,别>n受 (3)f(x)≥k(x-1), 即(x-1)(.x2+x-5)≥k(x-1), 所以g)在(-o,n受)单调递增，在[n受， 因为x>1,所以k≤x2十x一5在(1，十o∞)上恒成立， 令g(x)=x2十x-5,由二次函数的性质得g(x)在 十∞)上单调递减. (1,十∞)上是增函数，所以g(x)>g(1)=一3，所以 综上所述，当a≤0时，g(x)在R上单调递减： 所求k的取值范围是（一∞，一3]. 当a>0时，gx)在(-0，宁1n号)上单调递增，在 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（九） 1.D[:2an=(n-1)aw-1十（n十1)an+1,.数列 [n号，十o∞)上单洞道减. {nan}是以a1=1为首项，2a2一a1=5为公差的等差 (2)因为f(x)=a.x2十a.x十1-e2,可知f(0)=0, 载到20u0=1十5×19=96，解得a0-鹗-4号 f(x)=2a.x+a-2e2x=a(2x+1)-2e2=(2x+1) 故选D.] 2e2r (a- 2.C[方法一设等差数列{am}的公差为d.:S4=5= 2x+7), 2e2 令f(x)=0,得a=2r+ 2Xay+ag.S=20=9ag,∴as=9at=号-2ag 2e2r 8.xe2 5d联立两式得d=0a?=a+2d=3.故选C 设hx)=2x干7则h'(x)=(2十D.当x>0时， 方法二：Sg-S4=a5十a6十a7十a8十ag=(a5十ag） h'(x)>0,在(0，十o∞)上单调递增， 十a7+(a6+a8)=5a7=20-5=15..a7=3.故选 所以h(x)在(0，十∞)上的值域是(2，十∞)，即 C. 2e2r 3.C[:等比数列{an}中，a3=2,a1a6=16: 2a+>2. 当a≤2时，f(x)=0没有实根，且f(x)<0, ÷0-6 在(0，+∞)上单调递减，f(x)<f(0)=0,符合题意. 解得a1=1,q=士瓦， 当a>2时，h(0)=2<a, 2e2r 9-41-1g-a1g0 所以h(x)=2十=a有唯一实根xo, as-a8 aig-aig' =q=士2瓦.故选C.] x∈(0，xo)时，f(x)>0,f(x)在(0，x0)上单调递 增 4A[位移公式为5=2a:4=74(o十42 f(x)>f(0)=0,不符合题意. 1 综上，a≤2，即a的取值范图为（一o∞，2] gai6-=aia+za6. 21.[解](1)设数列{an}的公差为d,由a2十ag=2a6=18, 则a5=9 ÷签aw+z 1 又由S2= 7(a十a2=7a1=49,a4=7 2 ÷m会-四(ao+)-a: ∴.d=a5-a4=2, 已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s,∴.at6=800m/s. 又a4=a1+3d=7,所以a1=1,∴.aw=2n-1 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.故选A.] (2)证明：由(1)可知6，一n(n十下n十门 1 11 5.D[因为fx)=x2-9lnx+3x,所以fx)=2x-9+3, 1411+1 “教列b,)的前n项和为T。=1一立+立一言十3 令f)=0,即2一是+3=0，解得-受或=-3认含 十1 所以x∈(0，受)时fx)<0,fx)单调递减， 由0<11 h号所以长T<1 x(受，+∞）时，f(x)>0fx)单调递增， 16 而f(x)在区间(m一1，m十1)上不单调，所以m一1< 由此得a3-12<-1<a, <m+1. 3 解得-1<a<L. 又当x∈(1，十o∞)时，f(x)单调递减，且当x=2时， 解得号<m<号，因为(m-1,m十1D是画教八)定义 5 综上，一1<a≤2.故选ABC.」 城内的子区间， 13.1[设等差数列的公差和等比数列的公比为d和q, 所以m-1≥0，即m≥1，所以m的范围为[1，受）》 -1十3d=-0=8,求得g=-2,d=3,那么器- 故选D.] -1+3=1.] 6.C[.f(x)=3.x2-6x,令f(.x)=0,得x=0或x=2. 2 ∴f(x)在[-1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函 数.∴·f(x)mx=f(x)板大值=f(0)=2.] 11f)=0,可得f=a 7.A[由题意不妨设Sm=n(2n一1)， Tm=n(1十1)， 分aa子解将a=1门 所以a12=S12-S1=12×23-11×21=45, b6=T6-T=6×(6+1)-5×(5+1)=42-30=12, 15.(1,+o∞) [设f(x)=f八 所以号-吕5长选] 则f(x)=f)-f2 8.C[函数f(x)是定义在(1，十∞)上的可导函数， f(x)>f(x),∴f子(x)>0,即函数f(x)在定义城 f(x)为其导函数， 上单调递增」 令9(x)=(x-1)f(x),则o'(r)=(x-1)·f(x)+ f(x)=x2(x一2)，可知当x∈(1,2)时，p(x)是单调减 e2-1fx)<f(2r-1)..f）<f2x-1) er e2r-1 函数， 即F(.x)F(2x-1). 并且0·f(1)+f(1)=1(1-2)=-1<0,即f1)<0, .x2x-1,即x>1,∴.不等式e-lf八x)<f2x-1)的 x∈(1，十o∞)时，函数是单调增函数，f(e2)=0, 解为(1，十∞).] 则p(e2)=(e2-1)f(e2)=0, 则不等式f(e')<0的解集就是(e一1)f(e)<0的 16.2 1[f(x)的定义战为（一a,十o∞）， 解集，即g(e)<e(e2), 故不等式的解集为：{x1<x<2}.故选C.] 0-1-e。喜a-2时，f1 .BD[由题老函教y=一子则/=1十>0， 1 11 x x+2…f0)=1-2=2 所以画数y=x一上在（一0,0）和(0，十o0)内单调造 又由f(x)=0,解得，x=1-a>一a. 当-a<x<1一a时，f(x)<0,f(x)在(-a,1-a)上单 增，没有极值点，故A错误： 调递减：当x>1-a时，f(x)>0,f(x)在(1一a,十o∞) 品2=仔：0。根据指教画纸的图象与 上单调递增. 因此，f(x)在x=1一a处取得最小值， 性质可得，当x<0时，函效y=2x单调递减，当x>0 由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.] 时，函数y=2x单调递增，所以函数y=2在x=0 处取得极小值，故B正确： 1得]设)-9n2 函数y=-2x3-x,则y=一6r2-1<0,所以函数 y=一2x3一x在R上单调递减，没有极值点，故C错误； =(31-1)(3n-2)_31-2 (3n-1)(3n+1)3n+1 函数y=xn,则y=1+lhx,当x∈(0，)时， (1D令1=10，得第10项a10-f10)= 37 y<0,函数单调造减，当x∈(，十∞)时y>0,画 (2)令3m-298 3n+0,得9m=30. 教单调递增，当x=】时，函敦取得极小值，故D正 此方程无正整就解，所以器不是该就列中的项。 确.故选BD.] 31-23m+13-1-3m- (3)证明：am=3n+13n+1 3 10.ABD[根据题中号函数国泉可知，)在区同(-之 又n∈N*, 0)上，f(x)<0,f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f(x)> 3 0,f(x)单调递增，所以f(x)在x=0处取得极小值， 0<3m干<10<am<1. 没有极大值，所以A、B、D选项正确，C选项错误.故 选ABD. 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 1l.BC[由通项公式，得a3=a1十2d,a6=a1十5d,那 18.[解]因为y=x+1,所以y=(n十1)x”,所以曲线 在(1,1)处的切线斜率为k=n十1， 么a8+a6=2a1+7d,a3a6=(a1+2d)(a1+5d)= a+7ad+10d2,同理a4十as=2a1十7d, 切线方程为y一1=(n十1)(x-1). a1a5=af+7a1d+12d2,显然a3a6-a4a5=-2d2< 令y=0,得x=” 0,故选BC. 0中7有 12.ABC由f(x)=3-3x=0,得x=士1. 所以=lg=lg(n十1)-lg, 当x变化时，(x)及f(x)的变化情况如下表： 所以a1+a2十a3+…十a2o19 (-，-1) -1 (-1,1) 1 K1,十o∞ =1g2-l1g1+lg3-lg2+lg4-lg3+…+lg2020 -1g2019=lg2020=1+1g202. (x) 0 0 19.[解](1)设等比数列{am}的公比为q, (x) 一2 2 a1,a2,a3-1成等差数列， 2a2=a1+(g-1)=aag=a3=2. 那么n=k十1时，ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k= a2 2k+3=2(k+1)+1也成立. ∴au=a1g"-1=2"-t(n∈N*. 则对任意的n∈N”,都有an=2n十1成立； (2)由(1)知b,=21-1十am=2n-1+2"-1, (2)由(1)可知，am·2"=(21十1)·2” ∴.S=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+ Sm=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2"-1+ 2”-1)=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+… (2n+1)·2", ① +21+D.+若i+-1 2Sm=3×22+5×23+7×24+…+(21-1)×2”+ 2 (2n+1)×2"+1. :S-(n2+2")=-1<0,S<n2+2 由①-②得：-Sm=6+2×(22+23+…+2")-(2 20.[解](1)由题意得f(x)=e-a(.x∈R), +1)X2"+1 ①当a≤0时，f(x)>0,所以f(x)在R上单调递 增； =6+2×2×1-2")-(2m+1)×2+1=（1 1-2 ②当a>0时，由f(x)=0,得x=lna, 当x<lna时，f(x)<0,f(x)在(-∞，lna)上单调 2n)×2"+门1-2， 递减： 即S=(2n-1)·2"+1+2. 当x>lna时，f'(x)>0,f(x)在(lna,十o∞)上单调 22.[解](1)：f'(x)=ae(x+1),g'(x)=2x+2,由 递增。 (2)由于f(x)有两个零点xx2,不妨设x1<x2, 已如可释得9 由(I)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，不符 即 2ae4解得a=2,b=-1,c=2. 合题意： {ae=3十b=c, e 当a>0时，x∈R,f(.x）mim=f(lna)=a-a(lna+1) .切线的斜率g(1)=4, =-a·lna<0,即ln>0,解得a>1, .切线1的方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0. 此时有f(-1)=上>0，f(0)=1-4<0,所以存在 (2)由(1)可得f(x)=2.xe-1,g(x)=x2+2x-1, 设h(x)=[ef(x)]-g(x)=2kxre-(x2+2x-1), x1∈(-1,0)，使得f(x1)=0, 即h(x)≥0，对任意x∈[-1，十∞)恒成立，从而 由于y=e2-x-lnx-1(x>1),所以y=e-1一 h(x)min≥≥0， 士在1，+∞)上华润递增： .h'(x)=2k(x+1)e-2(x+1)=2(x+1)(ke-1). ①当k≤0时，h'(x)≤0，h(x)在[一1，+∞)上单调 所以当x>1时，y'>e-2>0,所以y=e-x-lnx 递减，又h(1)=2ke-2<0,显然h(x)≥0不恒成立， 一1在(1，十o∞)上单调递增， ②当k>0时，'(x)=0,解得x1=-1,x2=-lnk, 所以当x>1时，y=e-x-lnx-1>e-2>0: (i)当-lnk<-1时，即k>e时，h'(x)≥0，h(x)单 所以fa+lna)=e+lna-a(a+lna+1)=a(e“-a 调递增， -lna-1)>0, 所以存在x2∈(lna,a十lna),使得f(x2)=0, 又h(x)mn=h(-1)=-2张+2=2(e-2<0. e e 综上，当a>1时，f(x)有两个零点x1,x2 显然h(x)≥0不恒成立， 证明：由于e=a(x1十1)，e=a(x2十1)，且-1< (i)当-lnk=-1时，即k=e时，(x)>0,(x)单 x1<0<lna<x2,则0<x1+1<x2+1, 调递增， 所以x1=lna+ln(x+1),x2=lna+ln(x2+1), 所以一x1=h9十l ∴h(x)mm=h(-1)=-2坠+2=2e2=0,即 e e 十1 h(x)≥0恒成立， (2十1 十1=n1 (i)当-lnk>一1时，即0<k<e时， 设+1 名+百=>10，有+11， 则 1-7 当x∈[-1，-lnk)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当 x2-x1=In t. +1=h1 x∈（一lnk,十o∞）时，h'(x)>0,h(x)单调递增， t-11 h()min=h(-In k)=-2Ink-(In2 k-2Ink-1) 要证x1+x2>0,只需证1l1-2>0, t-1 =1-1n2k≥0，解得是<<e, 即证lnt>2t-) t+1 ≤k<e e 设h(t)=1nt- 1+1(>1). 2(t-1) 综上所迷得】≤k≤e. 1 4(1-1)2 则h')=7+-+1>0: 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（十） 所以h(t)在(1，十o∞)上单调递增， 1.D [若教列{an}的最大项为第n项，则0nu-1” an≥dw+1 所以当>1时，h)>A(1D=0,即1n1>2-, t+1 故x1十x2>0. a,=8+21-7 8+22>8+22 2M-1 21.[解](1)由题意可得a2=3u1一4=9-4=5，a3 2 3a28=15-8=7, 8+22>8+22 2+ 由数列{an}的前三项可猜想数列{am}是以3为首项 11 2为公差的等差数列， 解得 即an=2n+1. 证明如下： 当n=1时，a1=3成立： :n∈N,∴n=5,a5= 假设n=k时，a=2k十1成立. 259为数列{an的最大项，当” 32 18