数学(二)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(人教B版)

又f(合)（日-m÷。-1-@-o, 当0<x<1时，9'(x)>0,(x)单调递增； a 当x>1时，9(x)<0,9(x)单调递减； 故。是f()=0在(0，o)上的唯一实根。 当x1时，9(x)取得最大值p1)=是 2 综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为 1 倒数 6 19.[解]0D/r)=二a2+2a-Dz+2,f0)=2. g(x)≤0，即f(x)≤g(x). e 故a=1时f(x)的图象不在g(x)的图象的上方. 因此曲线y=f(x)在(0，一1)处的切线方程是 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） 2x-y-1=0. 1.A[数列{am》的前n项和Sn=n2+2,S4-1=n2-1, (2)当a≥1时，f(x)+e≥(.x2+x-1+e+1)ex 两式作差得到an=2n十1. 令g(x)=x2+x-1+e+1,则g'(x)=2x+1+ 1「117 e am·am+1(21+1)(21+3)2L2十121十3 当x<一1时，g(x)<0,g(x)单调递减： 裂项求和得到兮号十…）一后故选八] 当x>一1时，g(x)>0,g(r)单调说增. 所以g(.x)≥g(-1)=0.因此f(x)十e≥0. 2.C[:{an}是等差数列，Sm-1=一2，Sm=0, 20.[解](1)依题意，Sw+1一Sm=am+1=Sn十3”， ∴.am=Sm-Sm-1=2. 即S+1=2Sn十3”，由此得Sw+1-3"+1=2(S,-3"), 又Sm+1=3,∴.am+1=Sm+1-Sm=3, ∴.d=am+1一am=1. 又S1一3=a-3(a≠3)，故数列{S,-3")是首项为 a一3，公比为2的等比数列·因此，所求通项公式为 又5n=ataa_ma,+2）=0. 2 2 bw=S,-3"=(a-3)2m-1,n∈N .a1=-2,∴am=-2十(m-1)·1=2,∴.m=5.故 (2)由(1)知Sm=3"+(a-3)2-1,n∈N, 选C.] 于是，当n≥2时，am=Sm一Sm-1=3+(a一3)2"-1 3.B[设等比数列{am)的公比为g,因为a3,a15是方程x2+ -3"-1-(a-3)2-8=2×3"-1+(a-3)2"-2, 6.r十2=0的根，所以a3·a15=a=2,a3十a15=一6，所 a.+1-a.=4×3-1+(a-3)2- [2(受)+a-3] 以a4<0,a16<0,则ag=-反，所以“00--=4g ag 当n>2时，an+1≥an台12· (受) 十a一3≥0= 一√2.故选B.] 4.D[由题图可知，当1<x<2时，f(x)>0, a≥-9. 当2<x<4时，f(x)<0, 又a2=a1十3>d1. 当4x5时，f(x)>0, 综上，所求的4的取值范国是[一9,3)U(3,十∞). .x=2是函数f(x)的极大值点，x=4是函数f(x) 21.[解](1)由题意，设等差数列{am}的公差为d,则 的极小值点，故A,B,C正确，D错误.故选D.] am=a1+(n-1)d, 5.A[对于A,函数一f(-x)与函数f(x)的图象关于 因为a1=1,a3=一5，可得1十2d=一5， 原点对称，因此一x0是一f(一x)的极小值，点：对于B, 解得d=-3. 极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义城 所以数列{an}的通项公式为am=1十(n一1)× 上f(x0)是否最大：对于C,函数f(一x)与函数f(x) (-3)=4-31. 的图象关于y轴对称，因此一x0是f(一x)的极大值 (2)由(1)可知an=4-3m,所以S。=1+(4-3)] 点；对于D,函数f(x)与函数一f(x)的图象关于x轴 对称，因此x0是一f(x)的极小值点.故选A.] 6.A[y=e'(x2+ax+1-2a), ∴.y'=e'(x2+ax+2x+1-a),∴.y'1x=o=1-a, 又由5=-25，可得-名2+号=-25，甲32 .曲线y=e(x2十ax十1-2a)在点P(0,1一2a)处的 切线1为y-1十2a=(1一a).x,其过定点（一2，一1）： 5k一-50=0，解得长=5或友=-号又因为k∈N, 易知定点在国内，∴.切线1与圆C:(x一1)2十y2=16 的位置关系是相交，故选A,门 所以k=5. 7.D[由题意知，a1+a2十a3十…十a1o0=-1+3-5+7 22.[解](1)f(x)=g+xx>0). +…+(-1)10(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7) +…+(-197+199)=2×50=100.故选D.] 若a≥0，则f(x)>0,f(x)在(0，十o∞)上单调递增： 8.D[设直线I在曲线y=√反上的切点为(xo,√0)， 若a<0,令f(x)=0,解得x=士√一a, 则x6>0, 由fm)=-@+@0,得>/a y区的子数为了气2则直线1的纤 由f(.x)<0,得0<x<√一a. 三设直线1的方程为y2会， 从而f(x)的单调递增区间为（√一a,十∞），单调道 2√xo 减区间为(0，J一a). 即x-2Vr0y+xo=0, 综上，当a≥0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增， 当a<0时，f(x)在（一√a,十∞）上单调递增， 由于直线1与圆x2十y2=号相切，则0一=人 T+4x0/5 在(0，√一a)上单调递减. 两边平方并整理得5.x品-4x0-1=0, (2)证明：令p(x)=f（x)-g(x), 解得0=1，=一行合 当a=1时9)=nx22-3x+。（x>0 则直线1的方程为x-2y十1=0，即y=x十号 则9(r)=子+x-2=1+气2 故选D. (1-x)(2x2+x+1) 9.ABD[由{an}是等差数列，Sm是其前n项的和，且 Ss<S6,S6=S7>S8, 令9'(x)=0,解得x=1. 则a6=S6-Ss>0,a7=S7-S6=0,a8=S8-S7<0, 2 a7+ag=S8-S6<0. 则数列{am}为递减效列，即选项A,B正确： S2=a1+a:=a+74,郎得ag=2 由S9一S5=ug十a8十a7十a6=2(a8+a7)<0, 同理，a3=3,a4=4. 即S<S5,即选项C错误： 由a>a2>…>a6>u7=0>a8>ag>…,可得S6与 ① S,均为S的最大值，即选项D正确.故选ABD.] 12 10.CD作出函数y=x和 y=4r3-3x 当n≥2时.Sm-1三2a-1十24w-1, ②@ y=4x3一3.x的图象，如图 ①-②得(an-an-1-1)(an十aw-1)=0, 所示，对于选项A,若f(x) 由于am十aw-1≠0， 有两个极值，点，则a=0或 所以an一am-1=1, 又由(1)知a=1, a>2,所以选项A错误： 故数列{m〉是首项为1，公差为1的等差数列，故 对于选项B,当a=0时， an=n. x一0是函数f(x)的极小值 18.[解]设速度为每小时千米，燃料费是每小时 点，所以选项B错误；对于选 p元，那么由题设知p=w3, 项C,由图易知正确：对于选 、6 项D,使f(x)连续的a有3个取值，即一1,0,1，所以选 因为u=10,p=6,所以k=10=0.006, 项D正确.故选CD.] 于是有p=0.006v3. 2 又设船的速度为每小时千米，行驶1千米所需的总费 Il.AC[由题意得am=n市十n中有+…+n干 用为g元，那么每小时所需的总费用是(0.0063十96) 1+2+3十…十2。 元，而行驶1千来所用时间为】小时，所以行驶1千米 n十1 2, .▣4日》 1 4 ∴.bn= 的总费用为g-@060+96)-06m2+盟 2 2 g=0.012w-9 6_0.012(-8000), ∴.效列{bn}的前n项和Sm=b1十b2十b3+…十bn =40-+++…+ 令g=0,解得v=20. nn+1 当<20时，q<0: 当>20时，9>0， =4-) 所以当u=20时，0取得最小值. 即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用 故选A、C.] 总和最少 12.BC 13.130[由4n=21-10(n∈N)知{a.}是以-8为首项，2 19.[解]函数f(x)的导函数f(x)=-1 2 x 为公差的等差数列，又由am=21-10≥0得n5,∴.≤5 时，an≤0，当n>5时，au>0,∴.|a1|十|a2|十…+ 由f(x1)=f(x2)得 1 1 11 a5|=-(a1十a2十a3+a4)+(as+a6+…十a15)= 20+110=130.] 2 T1 22 2 14.x一y十1=0[本题考查导数的几何意义. 因为x1≠x2, “y-2+y-2x-y1=1=2-11, 所以1 11 二十 .所求切线方程为y一2=x一1，即x一y十1=0.] 由基本不等式得之=√压十Vg≥2， 15.(-4,0)[f(x)=(x+1)e,.f'(1)=2e,设点 B(x0xoe)为曲线C上任意一点. 因为x1≠x2,所以x1x2>256. :y=er十xer=(x十I)e,则曲线C在点B处的切 由题意得f(x)+f(x2)=√厉-lnx十√ 线方程为y-oe'。=(xo十1)e2(x-xo),根据题 lnx2=2√x1x2-lh（x1x2 意，切线1不经过点A,则关于x0的方程0一xoe。= (xo+1)e(a-x6),即x6-ax0-a=0无实根. 设g)=2F-lh,则g)=匠-. ∴.△=a2+4a<0,解得-4<a<0. 所以 a的取值范国是（一4,0）.] (0,16) 16 (16,+∞) 1()。 1 )(neN*)[当n=1时，a=S=3a十 g() 0 + g(z) 2-4ln2 34=1. 所以g(x)在256，十0∞)上单调递增， 当m≥2时，=5，-S-1=4,3- 1 故g(x1x2)>g(256)=8-81n2, 即f(.x1)+f(x2)>8-81n2. 20.[解](1)：a+1=3am十2， 1 .am+1十1=3(aw十1)， d#-】 一2 “数列{a为首项a1=1,公比g=一之的等比教列， :1+1 an十1 =3, .数列{am十1}为等比数列，公比q=3,又a1+1=2, 故a,=().(n∈N刀 am+十1=2·3"-1，.am=2·3-1-1.(n∈N+) 1.[解]1由S,=2+,a∈N), (2)a+1=(n十1Dan.8=n十1. 可得a1=2af+2a1,解得a1=1i n,0=-1,…22=3,2=2a1=1. 4n-1 an-2 2 3 累乘可得，an=n×(1-1)×(n-2)×…×3×2×1=n! 所以g(xr)在(e,十∞)递增，于是a≤g(e)= 故an=n!.(n∈N) e2-2e (3a1=a,+h(+） 2(e-1) 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（三） a1-a,=l+）=n" 1.B[当n=1时，S1=2a1-1=a1,∴.a1=1, 当n>2时，am=Sm-Sw-1=2an-2aw-1, ∴am=2aw-1,因此an=2-1.故选B.] 2.A[依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑 的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列， 2 a2-al=In T. 则这个同学7天一共将跑5000×7+7X6×200 2 2n. 39200(m).故选A.] 3.D[设等比数列{am》的首项为a1,公比为q(q≠0)，因 又a1=2,∴.am=lnn+2.(n∈N+) 21.[解](1)设数列{an}的公差为d,{b}的公比为q 为前4项的和为9，款为，所以-9，且 1-9 由样 q=3. .{bn}的通项公式b,=b1g-1=3”-1, 又a1=b=1,a14=b4=3-1=27, 1 ∴.1+(14-1)d=27,解得d=2. ∴.{an}的通项公式aw=a1+(n-1)d=1十(n-1)× 1~ 2=21-1(n∈N). 4.B[依题意可设g(x)=f(x)-2x-4,所以g'(x) (2)设教列{cn》的前n项和为Sn f(x)一2>0.所以函数y=g(x)在R上单调递增，又 cn=an+0-2n-1+3*-1, 因为g(-1)=f(-1)+2-4=0.所以要使g(x) ∴.Sw=c1十c2十c3++cn f(x)-2x-4>0,即g(x)>g(-1),只需要x>-1. =2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+ 故选B.] 21-1+3"-1=2(1+2+…+m)-n+39X1-3" 1-3 5.A[对于A选项，当-2<x<2时，f(x)>0,当 =2xn+1)n-+3”,」 1 2 2 <r<2时，了()<0，号为fx)的板大值点，A选 =+”2 项正确； 即数列c)的前n项和为n2+3”一] 对于B选项，当r<-2时f(x)<0,当-2<<司 2 时，f(x)>0,一2为f(x)的极小值点，B选项错误： 2.[解])当a=1时，fx)=l+22-2x 对于C选项，当<<2时，fx)<0,当x>2时 f)-2中，f0=0.=- '(x)>0,2为f(r)的极小值点，C选项错误； x 对于D选项，由于西数y=f(x)为可导函数，且 所以所求切线方粒为y=一是 f(号)<0，号不是fx)的极值点D选项错误，故选 (2)f(x)=2-(a+1D.x+a_(x-1Dx-） A.] 6.D[,f(x)=x3+a.z2,.f(x)=3x2+2a.x, 当a=1时，f(x)在(0，+oo)递增： 当a≤0时，f(x)在(0,1)递减，在(1，十∞)道增： :曲线在点P(x0,f(xo)处的切线方程为x十y=0, 当0<a<1时，f(x)在(0，a)递增，在(a,1)递减， .3.x8+2axo=-1, 在(1，十∞)递增： 0++=0后浅白21 当a>1时，f(x)在(0,1)递增，在(1，a)递减， 在(a,十∞)递增. 当x0=1时，f(x0)=一1， 当x0=-1时，f(x0)=1,.点P的坐标为(1，一1)或 1 (3)由fx)>0得(x-lnx)a<2x2-x. (-1,1).故选D. 7.B[f'(x)=2cosx-a,因为函数f(x)=2sinx-ax 设y=一ny=号已，于是y=hx在0,1D造 十1的图象在(0,1)点处的切线方程为y=x十1，所以 减，在(1，十o)递增，最小值为1，所以Hx∈(e,十∞)， f(0)=1,即f(0)=2-a=1,解得a=1,故选B.] x-In x>0. 8.C[当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，a=Sm 1 Sw-1=2n-3,由于a1的值不适合上式，故选C.] (2-1)(a1十a2m-1） 于是只要考虑Hx∈(e,十oo),a< x-In a 9ACD[由题意可得 T2n-1 (2n-1)(b1+b2m-1） 2 设g(x)= x-In x S2m-1= 21-1)au=an,则an≠f 3(21-1)+39 x-0+2-2n (2n-1)bm b T2-1 (21-1)+3 g'(x)= 3+18=3+15 (x-In x)2 n+1 n+11 设h(x)=x+2-21nx,h'（）=二2，于是h(x) 由于公为整数，则十1为15的正约数，则十1的可 x+2-2lnx在(e,+oo)递增，h(x)>h(e)=e>0, 能取值有3,5,15， 因此，正整放n的可能取值有2,4,14.故选ACD.]高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 園 1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2十2n,则数列 的前6项和为 an·am+t A 2 B吉 c品 n品 如 2.设等差数列{an}的前n项和为S.,若Sm-1=一2，Sm=0,Sm+1=3,m≥2，m∈N”,则m= ( 郵 A.3 B.4 C.5 D.6 3在等比数列a,中，aa是方程+6x+2=0的根，则“的值为 A. 2十2 2 B.-2 C.2 D.-√2或2 B 4.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y一f(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的 那 是 敬 命 A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 毁 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 艇 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 5.设函数f(x)的定义域为R,x(x,≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 融 A.一x是一f(一x)的极小值点 B.对任意x∈R,f(x)≤f(x) C.一x。是f(一x)的极小值点 D.x。是一f(x)的极大值点 2-1 6.对任意a∈R,曲线y=e(x2+a.x+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线l与圆C:(x-1)2 十y=16的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上均有可能 7.若数列{an)的通项公式是an=(一1)”·(2n-1),则a1十a2十a十…十a1oo= A.-200 B.-100 C.200 D.100 8.若直线1与曲线y=反和2+)=号都相切，则1的方程为 () A.y=2.x+1 By=2x+号 C.y= 2x+1 D.y-7t +号 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.设{an}(n∈N')是等差数列，公差为d,S。是其前n项的和，且S<S。,S6=S,>Sa,则下 列结论正确的是 ( A.d<0 B.a7=0 C.S>S; D.S。与S,均为S,的最大值 「x,t≥a, 10.已知函数f(x)= 则 4.x3-3x,x<a, A若f代)有两个极值点，则a=0或号<a<l 且若f)有极小值点，则。>号 C.若f(x)有极大值点，则a>一 2 D.使f(x)连续的a有3个取值 1已知数到a,:号+号++…+品++…+品…，若么=a设 a·an+1 数列{bn}的前n项和S,则 B.a=n C.S. D.5. 12.下列函数在x=0处取得极小值的是 A.y=r B.y=x2+1 C.y=x D.y=2 2-2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N),则a1+a2十…+a1s|= 14.曲线y=+在点1,2)处的切线方程为 15.已知f(x)=xe,则f(1)=2e.若过点A(a,0)的任意一条直线都不与该曲线C相切， 则a的取值范围是 16.已知数列a,的前n项和5，=4，+号则u,的通项公式a, 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1.(本小题满分10分)已知8为正项数列a,的前n项和，且满足S=2+之4，m∈N). (1)求a1,a2,a3,a4的值； 2-3 (2)求数列{a,}的通项公式. 18.(本小题满分12分)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为 每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮 船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 2-4 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x一lnx. 若f(x)在x=x1,x2(x,≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2. 20.（本小题满分12分)根据下列条件，确定数列{am}的通项公式. (1)a1=1,am+1=3an十2； 2-5 (2)a1=1,am+1=(n+1)an; (3)a,=2.a+1=a,+ln1+7）月 2-6 21.(本小题满分12分)已知{a}是等差数列，{b.}是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1, a14=b1· (1)求{a.}的通项公式； (2)设cn=am十b。,求数列{cn}的前n项和. 2-7 2.(本小题满分12分)已知函数f八c)=alnx十7x2-(1十a).x,a∈R (1)当a=1时，求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若对任意的x∈(e,+∞)都有f(x)>0成立，求a的取值范围. 2-8