精品解析：辽宁省沈阳市第四十三中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷

七年级（下）数学学科素养实践 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某桑蚕丝的直径约为米，将用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，则的值是（ ） A. 5 B. 15 C. 18 D. 24 5. 如图，直线a∥b，∠1=56°，∠2=37°，则∠3的度数为（　　） A 87° B. 97° C. 86° D. 93° 6. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 8. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 早晨的太阳从东方升起 B. 6月1日晚上能看到月亮 C. 打开电视，正在播放新闻 D. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 9. 如图，为测量池塘两侧A，B两点间距离，在地面上找一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定点D，使，得到，通过测量的长，就能得出的长．那么的理由是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，垂直平分BC，点P为直线上的任一点，则的最小值是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为______． 12. 如图，在中，，平分，且，，则点到距离为___________． 13. 为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为___________． 14. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合．已知，，则周长为___________． 15. 在中，，，是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折，得到，当的三边与的三边有一组边平行时，的度数为___________ 三、计算题（16题每小题5分，17题6分） 16. （1）计算： （2）用简便方法计算 （3）用乘法公式简算： 17. 先化简再求值：，其中，． 四、解答题 18. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，的面积为___________ （2）在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形； （3）在图2中，请在直线上找一点，使得的周长最小． 19. ，，，与平行吗？为什么？ 解：． ， ___________．（___________）． ___________． 在中，（___________）． ， ______________________．（___________）． ．（___________）． 20. 一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球， （1）求摸到的球是白球的概率， （2）如果要使摸到白球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个白球？ 21. 已知：如图，在中，，，是边上中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． （1）求证：； （2），求的长． 22. 【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次． 【方法应用】（1）在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形，由上述操作可以得到等式___________． （2）如图3是一张“”形的纸片，其面积为27，各边长度如图所示，则___________． 【方法迁移】（3）通过不同方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图4是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式是___________．（等号两边需化为最简形式） ②已知，利用上面的知识，计算的值 23. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． （4）实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级（下）数学学科素养实践 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对轴对称图形的认识．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形 ，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方计算，再进行判断即可． 【详解】解：，A选项错误，不符合题意； ，B选项错误，不符合题意； ，C选项错误，不符合题意； ，D选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 某桑蚕丝的直径约为米，将用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将用科学记数法表示是； 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 已知，，则的值是（ ） A. 5 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形为已知条件形式，然后代入计算即可． 【详解】， 把，代入，原式． 故选：D． 5. 如图，直线a∥b，∠1=56°，∠2=37°，则∠3的度数为（　　） A. 87° B. 97° C. 86° D. 93° 【答案】A 【解析】 【详解】如图， ∵∠4=∠1=56°， ∴∠5=180°−∠2−∠4=180°−37°−56°=87° 又∵a∥b， ∴∠3=∠5=87°. 故选A. 6. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 8. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 早晨太阳从东方升起 B. 6月1日晚上能看到月亮 C. 打开电视，正在播放新闻 D. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 详解：A．早晨的太阳从东方升起，是必然事件； B．6月1日晚上能看到月亮，是随机事件； C．打开电视机，正在播新闻，是随机事件； D．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件． 故选A． 点睛：本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 9. 如图，为测量池塘两侧A，B两点间距离，在地面上找一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定点D，使，得到，通过测量的长，就能得出的长．那么的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可找到两边对应相等且夹角相等，利用即可证明，由此即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 则在和中 ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 10. 如图，在中，，垂直平分BC，点P为直线上的任一点，则的最小值是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的最小值，求出长度即可． 【详解】解：∵垂直平分BC， ∴B、C关于对称， 设交于D， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， 最小值是4. 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为______． 【答案】8或5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：当腰为5时，另一腰也为5，则底为， ∵，符合题意， 当底为5时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为8或5． 故答案为：8或5． 12. 如图，在中，，平分，且，，则点到的距离为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过D作于E，根据角平分线性质得出，求出长即可． 【详解】解：如图，过点D作于E． ∵，， ∴． 又∵，平分， ∴． 即点到的距离为5 故答案为：5． 13. 为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为___________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键；过点C作，则得；由平行线的传递性质得，由此即可求得结果． 【详解】解：如图，过点C作， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合．已知，，则的周长为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由由折叠的性质得出，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由折叠的性质得出， ∴得周长为：， 故答案为：18． 15. 在中，，，是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折，得到，当的三边与的三边有一组边平行时，的度数为___________ 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，注意分类讨论；分三种情况考虑，利用折叠的性质及平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠知，； ①如图，当时，则， ∴， ∴； ②如图，当时， 则， ∴ ∴，， ∴； 同理，当点D在延长线上，且时，， 也有； ③如图，，则， ∵， ∴； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、计算题（16题每小题5分，17题6分） 16. （1）计算： （2）用简便方法计算 （3）用乘法公式简算： 【答案】（1）4（2）-4（3） 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数磊、绝对值、乘方的运算以及平方差公式、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关运算法则和公式． （1）分别根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、乘方的运算法则计算各项，再进行加减运算； （2）将变形为符合平方差公式的形式，再结合完全平方公式计算； （3）把看作一个整体，利用平方差公式展开，再用完全平方公式展开． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 17. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 四、解答题 18. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，的面积为___________ （2）在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形； （3）在图2中，请在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图－轴对称变换，网格中的面积计算，无刻度直尺作图，轴对称－最短路径问题，掌握轴对称图形的性质，线段垂直平分线的判定方法是解题的关键． （1）利用割补法计算的面积； （2）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，顺次连接即可； （3）作点关于直线的对称点，连接交直线于，于是得到结论． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，点即为所求． 19. ，，，与平行吗？为什么？ 解：． ， ___________．（___________）． ___________． 在中，（___________）． ， ______________________．（___________）． ．（___________）． 【答案】；垂直定义；；直角三角形的两个锐角互余；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，根据以上知识完成填空，即可求解． 【详解】解：． ， ．（垂直定义）． ． 在中，（直角三角形的两个锐角互余）． ， ．（等角的余角相等）． ．（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直定义；；直角三角形的两个锐角互余；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 20. 一个不透明口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球， （1）求摸到的球是白球的概率， （2）如果要使摸到白球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个白球？ 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意分析可得：口袋中装有红球6个，黄球9个，白球3个，共18个球， 故P（摸到白球） 【小问2详解】 设需要在这个口袋中再放入x个白球，得：， 解得：x=2．经检验x=2符合题意， 所以需要在这个口袋中再放入2个白球． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 21. 已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． （1）求证：； （2），求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可． （1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答； （2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵是边上的中线， ， ， ． 22. 【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次． 【方法应用】（1）在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形，由上述操作可以得到等式___________． （2）如图3是一张“”形的纸片，其面积为27，各边长度如图所示，则___________． 【方法迁移】（3）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图4是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式是___________．（等号两边需化为最简形式） ②已知，利用上面的知识，计算的值 【答案】（1）；（2）9；（3）①② 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的拓展应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和数形结合思想． （1）分别根据两个正方形面积做差和直接求所拼接长方形面积两个方法进行列式、表示； （2）运用以上所归纳的等式进行求解； （3）①通过正方体体积的直接求解和所分割各部分的体积求和两个方式列式、求解； ②把代入上面公式进行计算、求解． 【详解】（1）由题意得，用大正方形面积剪去小正方形面积后的面积是， 沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形的面积为， ∴可得公式为：， 故答案为： ； （2）由题意得， 解得， ∴ 故答案： 9 ； （3）①∵该正方体的体积可表示为，其被分成 8 部分的体积之和可表示为： ， ∴可得等式， 故答案为：； ②当时，将代入等式可得： ， 即， ， 解得． 23. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． （4）实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 【答案】（1）； （2）； （3） （4）5或 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点N，，再利用第 3 小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出． 【小问1详解】 ， 理由如下：如图所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴； 【小问2详解】 如图所示： 证明：∵， ， 即， 又 ∵和都是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； 【小问3详解】 如图： ∵和都是等腰三角形， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 故答案为：； 【小问4详解】 如图所示： 连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，则 连接，作于点，在上截取， ， ， ， ， 由（3）可得：， ， ， 同理可得：， 故答案为：5或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$