数学(四)-【步步为赢】2024-2025学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高一下学期期末综合冲刺卷·数学(四) (满分:150分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.在△ABC中,D为AC的中点,E为线段CB上靠近B的三等分点,则DE= ) 霜 .### # 知 2.已知AB,AC是非零向量且满足(AB-2AC) |AB,(AC-2AB)|AC,则△ABC的形状 为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.已知P是△ABC所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC K 内,则黄豆落在△PBC内的概率是 _ . B C. D 告 4.某几何体的三视图如图所示,则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离 的最大值为 ) 过# 正视图 & 视图 将 视图 A.3 C.23 B.6 D.26 5.将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三校锥体积最大时, 异面直线AD与BC所成的角为 ( _ A. B C 7 4-1 6.在正方体ABCD-A.B.C.D. 中,MN分别是BC,CD.的中点,则 A.MN/CD B.MNIBC C.MN|平面ACD D.MN平面ACC i(1十ai) 7.已知i为虚数单位,复数一 -的虚部为2,则实数a一 7 1i ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.为了普及环保知识,增强学生环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试, ( 得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为”,众数为”,平均值为元,则 _一 额数 10 ........................... ............................... 6 A.m一- B.-m_ C.# D.m<m 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得6分,少选一项扣2分,有选错的得0分 9.如图,在△ABC中,点D,E是线段BC上两个动点:且AD+AE xAB+yAC,则x,可取 ( ) {一 A. [2-1 _ B. -1 -2 C. :-3 D. -0 --1 C 10.下列描述中,是梳柱的结构特征的是 ) A.有一对面互相平行 B. 侧面都是四边形 C.相邻两个侧面的公共边都互相平行 D.所有侧楼都交干一点 4-2 11.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2018年1月至 2020年12月期间月接待游客量(单位;万人)的数据,绘制了下面的折线图 ,月接待游客量(万人) 25{ 012345678910112123456789101121234567891011' 2019年 2018年 2020年 根据该折线图,下列结论正确的是 ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12.如图,菱形ABCD的边长为2,DAB一60{*,M为DC的中点,若N为 菱形内任意一点(含边界),则AM·AN的最大值为 13.设x,y-R,向量a=(x,2),b-(1,y),c=(2,-6),且a c.b/c,则 la-b 14.计算:4 12i_ 四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图,在四边形ABCD中,DAB=90{*}, ADC=135{*},AB=5. CD-22,AD一2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表 面积及体积. 4-3 16.(15分)若点M是△ABC所在平面内一点,且满足AM-3AB+1AC. (1)求△ABM与△ABC的面积之比; (2)若N为AB中点,AM与CN交于点O,设BO=xBM+yBN,求x,y的值. 4-4 17.(15分)某城市有一块不规则的绿地,城建部门欲在该地上建造一个 底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为 △ABC,△ABD.如图所示,测得AD=BD=14.BC-10,AC=16 C-D. (1)求AB的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计建 造费用较低,请说明理由. 4一5 18.(17分)在校长是a的正方体ABCD一A.B.C.D中,M,N分别是AA,DC 的中点,过 D.M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线/. (1)画出交线; (2)设/0AB一P,求PB的长 (3)求点D. 到/的距离 4-6 19.(17分)某家电公司销售部门共有200名销售员,每年每名销售员都有1400万元的年 度销售任务,已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22](单位:百万元 内,现将其分成5组,第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6). [6,10),10,14),14,18),18,22,并绘制出如图的频率分布直方图 .频率 I组距 0.09........ 0.08 0.02 (1)求a的值,并计算完成年度任务的人数 4-7 (2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取一个容量为25的样本,求这5组分别应 抽取的人数: (3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名,奖励海南三亚三日游,求获得此 奖励的2名销售员在同一组的概率 4-8()广+（合）=合 此可得P是△ABC的边BC上的中线AO的中点，点 (2)设第i个电话打给甲为事件A:(i=1,2,3), P到BC的距离等于点A到BC的距离的？，所以 则这三个电话中恰有两个是打给甲的事件为AA2A S△PBC=2S△C,将一粒黄豆随机撒在△ABC内， +A A2A3+AiA2A3. ∴.其概率为P(A1A2A3十A1A2A3十A1A2A3) 、则黄落在△PBC内的概率P=故 =P(AA2 A3)+P(A A2A3)+P(AA2A3) 选C. =P(A1)·P(A2)·P(A:)+P(A1)·P(A2)· 4.B由几何体的三视图可得该几何体是一个侧视图为 平行四边形的四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取 P(A3)+P(A1)·P(A2)·P(A3) 两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当 -吉×后×(-)+吉×(-)×吉+ 于一个长宽高分别为2,1,1的长方体对角线，故d= 1-)×名×日-是 √22+12+1=√6.故选B. 1.解：1)由正孩定理的BC 得√3 sin Beos C=sin Bsin C, 在△ABC中，因为sinB≠0， 所以W3cosC=sinC,故tanC=√3.又因为0<∠C<x, 所以∠C=吾 5.C设O是正方形对角 线AC,BD的交点，将 (2)由已知，得2 absin C=6v原又∠C=号，所 正方形ABCD沿对角 以ab=24. 线AC折起， 由已知及余弦定理，得a2+2-2 abcos C=28, 可得当BO⊥平面ADC 所以a2+b2=52,从而(a十b)2=100.即a十b=10, 时，点B到平面ADC 又c=2√7，所以△ABC的周长为10十2√7. 的距离等于BO,而当 高一下学期期未综合冲刺卷·数学（四） BO与平面ADC不垂直时，点B到平面ADC的距离 1.D如图，DE=A正-AD=A店 为d,且d<BO,由此可得当三棱锥B一ACD体积最 +BE-号AC=A店+号BC 大时，BO⊥平面ADC.设B'是B折叠前的位置，连接 B'B,因为AD∥B'C,所以∠BCB'就是直线AD与BC AC-A店+号（花-A) 所成角，设正方形的边长为a,因为BO⊥平面ADC, OBC平面ADC,所以BO⊥OB, 2AC-号疗-合A花故选D 2.C(AB-2AC)⊥AB→(AB-2AC)·AB=0,即 周为B0=B0=号AC-号a,所以BB=BC=BC AB.AB-2AC.AB=0. =a (AC-2AB)⊥AC→(AC-2AB)·AC=0,即 得△BB'C是等边三角形，∠BCB=受， AC.AC-2AB.AC=0...AB.AB=AC.AC- 所以直线AD与BC所成角为子，故选C 2AB.AC,即AB1=AC1,而cos∠A= AB.AC 6.D对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点， IABIIACI 所以点N∈平面CDDC,点M庄平面CDD,C1,所 =号∠A=60,△ABC为等边三角形.故选C 以直线MN是平面CDD1C的交线， 3.C如图，以PB,PC为邻边 又因为直线C1D1在平面CDDC:内，故直线MN与 作平行四边形PBDC,则PB 直线CD1不可能平行，故选项A不对： 对于选项B.正方体中易知NB≠|NC,,因为点M +P心-Pi.因为Pi+PC 是BC,的中点，所以直线MN与直线BC不垂直，故 +2PA=0,所以PB+P心= 选项B不对； -2PA,即PD=-2PA,由 对于选项C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1: 因为M是BC的中，点， 又由b∥c,得2y=1×(-6),解得y=一3， 所以|MC=MD1L.这与|MCI≠|MD1I矛盾.故假 即b=(1,-3), 设不成立，所以选项C不对： 所以a-b=(5,5). 对于选项D,分别取B1C1,CD1的中点P,Q,连接 所以a-b1=v√52+52=5W2. PM,QN、PQ(图略).因为点M是BC1的中点，所以 答案：5√2 PM/CG且PM=CG.同理QN∥CG且 4解析：十2=十23一4=3十8十6i一 = (3+4i)(3-4i) 32+42 IQNI-CCI. 结+ 25 所以PM∥QN且|PM=|QN|,所以四边形PQNM 为平行四边形. 答案品+ 所以PQ∥MN. 15.解：由已知得：CE=2,DE=2,CB=5, 在正方体中，CC1⊥PQ,PQ⊥AC Sk面积=S围台侧十S回台下底十S阔惊侧=π(2十5)×5 因为AC∩CC=C,ACC平面ACC,CCC平 面ACC1, +x×25+元×2×2V2=(60+4V②)x,V=V国台 所以PQ⊥平面ACC.因为PQ∥MN,所以MN⊥平 Vgn=子x·2+x…52+V2,5)×4-子x× 面ACC. 故选项D正确.故选D. 22×2=148 元. 7.C :-i(1+ai)_i(l+ai)(1-i)_(-a+i)(1-i)_ 1+i(1+i)(1-i) 2 16.解：1)由AM=Ai+AC, 与2+生当生-=2，解得a=8故选C 可知M,B,C三点共线 2 2 如图，令BM=ABC】 8.D由条形图可知，中位数为m=5.5,众数为mo=5, 则AM=AB+BM=AB+ABC 平均值为x≈5.97，所以m。<m,<x,故选D. =AB+A(A心-AB) 9.AB由图可设AD=AA言+(1-A)AC.AE=:A言+ =(1-)AB+AAC. (1-)AC,其中∈(0,1)，则A方+A它=(a+)A言 ,S△A5M=1 十(2-入-)AC.由题知，x=1十，y=2-1一，所以 六A=SAC4 有x十y=2,且0<x<2,故选AB. 即△ABM与△ABC面积之比为1：4. 10.ABC由棱柱的结构特征知选ABC. (2)由BO=xBM+yBN. 11.BCD对于选项A,由图易知，月接待游客量每年7， 得Bò=xBM+￥BA,Bd=B武+yBN, 8月份明显高于12月份，故A错误： 对于选项B,观察折线图的变化趋势可知，年接待游 由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线， 客量逐年增加，故B正确： x+=1， 4 x=7 对于选项CD,由图可知显然正确，故选BCD, 得 解得 6 12解析：由向量的几何意义可知AM=AD+2A店因 +y= y=7 为点N为菱形ABCD内任意一点，所以可设AN= 17.解：(1)在△ABC中，由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC.BCcos C xAD+yAB(0≤x≤1,0≤y≤1)，则AM.AN- =162+102-2×16×10cosC,① (Ai+号A)·(xA市+yA店)=xAD:+ 在△ABD中，由余弦定理及∠C=∠D易得 AB2=AD2+BD2-2AD.BDcos D 号yAi前2+(2x+y)A店，A方=5x+4.又因为 =142+142-2×142c05C,② x,y满足 0<≤所以由线连规划知识可知，当 由①②得142+142-2×142c0sC 0≤y≤1， =162+102-2×16×10cosC. x=1,y=1时，AM.AV取得最大值9. 答案：9 解得cosC=云 13.解析：根据题意，向量a=(x,2),b=(1,y),c=(2,-6), 因为∠C为三角形的内角，又cosC>0, 由a⊥c,得2.x-2×6=0,解得x=6.即a=(6,2). 所以0<∠C<受，所以∠C=牙 8 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD是等边三角形， 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（五） 故AB=14. 1.D对于A.DA-DC-CA,错误：对于B.DA+DC (2)小李的设计建造费用较低.理由如下： 2D0,错误：对于C,OA-Oi+AD=BA+AD=BD. SA AD BDsin D.SA=AC ICsin C. 错误；对于D,Aò+OB+BC=AB+BC=AC,正确】 因为AD·BD>AC·BC,∠C=∠D 故选D. 所以S△ABD>S△C, 2.C BD=2 BO.BE=ABA+g BD.:.BE=A BA+ 因为建造环境标志的费用与用地面积成正比，所以 2mBd.:E为线段AO的中点，BE=号(BA+ 小李的设计建造贾用较低。 18.解：(1)如图，延长DM交D1A1 BO),根格平面向量基本定理得到对应系教相等，入 的延长线于点Q,则点Q是平 =2,24=名解得=-=子故选C 面DMN与平面A1B1C1D1的 一个公共点.连接QVN,则直线 3.D向量OA.OB在向量G心方向上的投影相同，OA· QN就是两平面的交线 0元=Oi.0元，A(a1),B(2.b),C(3,4).3a+ 0 (2)M是AA1的中点，MA∥DD1· 4=6十4b,.3a-4b=2.(a,b)在直线3.x-4y-2=0 A1是QD1的中点 上，a2+b的最小值为原，点到直线3.x-4y一2=0距 叉：AP∥DN, 离的学方d=号2+6的装小值为需故选D i.AuP-7DiN. 4.B由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面 :N是D1C的中点， 相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球 AP=DG=号 的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进 去，则球可与上下底面相切，此时球的丰径R=号，诚 PB:-A B-AP- (3)过点D1作D1H⊥PN于点H,则D1H的长就 球的张积最大V一言R-誓×智-受故选B 是点D1到l的距离 5.B不妨设AD=4,如图.延长BC至点M.使得CM BC,连接B:M,AM,易证直线AB1与直线AD所成 QD=2AiD=2a,DN=号 的角等于∠AB1M或其补角. .:D.QD1·D1N_a2_202 易知AB1=25,B1M=42,AM= QN V√AB2+BM-2AB·BM·cos∠ABM=2V7, Via2a 17a, 4 所以Cos∠AB,M=AB+BM2-AM_3V 2AB1·B1M 20 即点D,到1的距离是27。 17a. 则直线AB与直线AD所成角的余孩值为3@ 19.解：(1)：(0.02+0.08+0.09+2a)×4=1, 20 ∴.a=0.03,完成年度任务的人数为2a×4×200=48. 故选B (2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25=2， 第2组应抽取的人数为0.08×4×25-8， G 第3组应抽取的人数为0.09×4×25=9， 第4组应抽取的人数为0.03×4×25=3， 第5组应抽取的人数为0.03×4×25-3， (3)(2)中完成年度任务的销售员为第4组的3名和 第5组的3名.记第4组的3名销售员分别为A1, A2,A3:记第5组的3名销售员分别为B1,B2,B3. M 从这6名销售员中随机选取2名，所有的样本点为 A1A2A1A3·A1B1·A1B2·A1B3A2Aa·A2B1 6.A 5=1十42+3和为5的就奉为后-品-号 A2 B2,A2 Bs.A3 B1.A3 B2,A3B3.BB2.B:B3.B2 B3. 故选A. 共15个. 获得此奖励的2名销售员在同一组的样本，点有6个， 0周为器-器01 2 2 故所求概奉为品号 昌一，所以复数：对应的点在第三象限，故选心 9