数学(一)-【步步为赢】2024-2025学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高一下学期期末综合冲刺卷·数学(一) (满分:150分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.给出下列5个命题,其中真命题的个数是 ( 短 ) ①零向量没有方向。 ②零向量只与零向量相等 ③零向量与任何向量共线 ④单位向量都相等: 共线的单位向量必相等 B.1个 C.2个 A.0个 知 D.3个 2.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且AB-a,AD-b, 则B- -a B.a- Da K E 告 围是 ( ) A. C. B.[1,9] D. .125r,三视图如图所示,则其侧视 4.已知某正三梭锥的侧校长大于底边长,其外接球体积为 6 ( & 图的面积为 _~ 将 正视图 侧视图 视图 B.2 C.4 D.6 1-1 5.设/,n;z表示三条不同的直线,g,3:>表示三个不同的平面,给出下列四个命题 ①若g:na,则1/m ②若n二③:n是/在平面3内的射影,/ n,则nn ③若nCa,n/n,则n/a; ④若7Ia,13.则a/B. 其中真命题为 ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④ 6.如图,已知正方体ABCD一A.B.C.D.的校长为2,点E为线段CD.的中点,则直线AE 与平面A.BCD.所成角的正切值为 ( ) D # C B D.2 7.某校高三年级有1221名同学,现采用系统抽样的方法选取37名同学做问卷调查,将 1221名同学按1,2,3,4,..,1221随机编号,则抽取的37名同学中,编号落入区间 [496,825]内的概率为 _~ C0 0 8.我市对上、下班交通情况作抽样调查,上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位 lm/h)如下表: 27 30 20 21 28 上班时间 33 18 26 32 35 36 40 27 17 32 19 25 l6 22 30 30 36 下班时间 31 则上、下班时间行驶时速的中位数分别为 A.28与28.5 B.29与28.5 C.28与27.5 D.29与27.5 1-2 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得6分,少选一项扣2分,有选错的得0分 9.下面几种说法中正确的是 ) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为起点,该点为终点的向量一一对应 10.如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断正确的是 ( A.AB-OC B.AB/DE C. AD一BE D. AC一BE 11.已知i是虚数单位,a:bER,若(a十bi)}三2i,则复数;一a十i对应的点为 ) A.(1.1) B.(1,一1) C.(-1,-1) D.(-1.1) 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分 12.如图,在△ABC中,D为BC边上的一点:且BD-2DC.若AC=mAB+nAD (n,nR),则n-n一 13.如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,E,F 分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论 ①AF PB:②EF PB:③AF BC:④AE 平面 PBC 其中正确结论的序号是 1-3 四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图,M,N是圆柱的同一条母线上且位于上、下底面上的两点,若从M点绕圆 柱的侧面到达N点,则沿怎样的路线才能使路程最短 1-4 BC-(-1./③). (1)求点B,C的坐标; (2)求证:四边形OABC为等腰梯形 1-5 17.(15分)如图,在四梭锥P一ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底 面ABCD是边长为2的菱形,BAD-60{*,N是PB的中点,E为AD的中点,过A,D. N的平面交PC于点M.求证 (1)EN/平面PDC; (2)BC平面PEB: (3)平面PBC|平面ADMN 1-6 18.(17分)为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛” 共有900名学生参加了这次竞赛,为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成 绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,得到如下不完整的频率分布表和频数分布 条形图. 分组 数 频率 50.5~60.5 4 0.08 人数 60.5~70.5 0.16 70.5~80.5 10 80.5~90.5 16 0.32 0 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5100.5 成绩/分 90.5~100.5 合计 50 解答下列问题: (1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); (2)补全频数分布条形图 (3)若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖,问获得二等奖的学生约为多少人 1-7 19.(17分)某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6张,排球票4张;第二小组 有足球票4张,排球票6张,甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张 票中任抽1张 (1)两人都抽到足球票的概率是多少? (2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少 1-8参考答案与详解 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（一） 7.C采用系统抽样的方法从1221人中抽取37人，即 1.C 从33人中抽取1人.所以编号落入区间[496,825]内 2.C BE-BA+AD+2DC--a+b+za-6-2a. 的人数为825961-10，所以所家藏率P-品女 33 故选C 选C 3.C由M.Mi=0,可得Mi.B=i.(i-M -MA2,A(2cos a,sin a),MA?=(2cos a-1)2+sin'a 8.D上班时间行驶速度的中位数是28十30=29， 2 =3。-4msa2=3(os号)'+号所以当s 下班时间行驶速度的中位教是27十28=27.5.故选D 2 号时亦取得最小值号当0。=一1时，亦取 9.ABD由向量坐标的定义可知一个坐标可对应无数 得最大位9，ti,的取值范国为[号9]选C 个相等的向量，故C错误.故选ABD. 10.ABC设正六边形ABCDEF的边长为a,依次分析 4.D设正三棱锥外接球的半径 各选项： 为R, 对于A,由正六边形的性质可得AB与OC平行且 则R=1罗5R=号 6 相等， 由三视图可得底面边长为2√5， 则有AB=O心，故A正确： 感西正三角影的高为号×2店 对于B,由正六边形的性质可得AB与DE平行， 即AB∥DE,故B正确： =3. 对于C,在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中 底面三角衫外接围丰径为号×3 心O,则有AD=BE=2a, =2, 即有AD1=|B求1，故C正确： 由为股定理得（受）=2+(-2) 对于D,在正六边形ABCDEF中 ,得h=4, AC=3a,BE=2a, :榈视因面积为S△aE=子×3X4=6,故选D 则AC1≠|B正，故D错误.故选ABC 5.A由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一 11.AC由a,b∈R,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,得 个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题：易得 ②为真命题：根据直线与平面平行的判定定理，平面 2选AC a=-1 外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平 面平行，③中缺少条件n过α，所以得到的结论可能为 12.解析：因为BD=2DC,所以BC=-3C元.因为BC n∥a,也可能为nCa,所以③为假命题：若a⊥Y,3⊥y, AC-AB,CD=AD-AC,所以AC-AB=BC 则得到的结论可能为B∥a,也可能为B,a相交，所以④ 为假命题.故选A. -3Ci=-3Ad-AC,即AC=-2AB+号AD. 6.A如图，连接AB1交AB于点F,连接EF.因为 1 AF⊥AB,AF⊥BC,所以AF⊥平面A1BCD1,所以 ∠FEA为所求线面角.因为an∠FEA-A=-巨 EF 2 2' 答案：一2 13.解析：①由于PA⊥平面ABC,因此PA⊥BC,文 所以直线AE与平面ABCD1所成角的正切值为号 AC⊥BC,因此BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF,由于 故选A. PC⊥AF,因此AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB:②因为 C AE⊥PB,AF⊥PB,所以PB⊥平面AEF,因此 EF⊥PB:③在①中已证明AF⊥BC:①若AE⊥平面 PBC,由①知AF⊥平面PBC,由此可得出AF∥AE,这 与AF,AE有公共，点A矛盾，故AE⊥平面PBC不 成立.故正确的结论为①②③. 答案：①②③ 1.解：析rSAc=之Falnin C. 面PDC, .EN∥平面PDC ∴2 absin C=子(a2+-e23). (2):'四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD= ∴.a2+2-c2=2 absin C. 60°，E为AD中点，.BE⊥AD, 又：PE⊥AD,PEOBE=E,PE,BEC平面PEB, 由余弦定理得，2 abcos C=2 absin C, AD⊥平面PEB. .tanC=1,.∠C=45°， ,AD∥BC,.BC⊥平面PEB. ∴.c=√a+b-2 abeos C=√/3-2=1. (3)由(2)知AD⊥PB. 答案：1 又：PA=AB,且N为PB的中点，AN⊥PB 15.解：沿國柱的母线MN将国柱的侧面剪开辅平，得圆 ,AD∩AN=A,AD,ANC平面ADMN,.PB⊥平 柱的侧面展开图，从M点绕圆柱的侧面到达N点， 面ADMN. 实际上是从长方形的一个顶点M到达不相邻的另一 又：PBC平面PBC, 个顶，点N,而两点间线段的长度最短，所以最短路线 .平面PBC⊥平面ADMN 就是侧面展开图中长方形的一条对角线，如图所示. 18.解：(1)如下表所示： 分组 频数 频率 50.5~60.5 0.08 60.5-70.5 8 0.16 (2) 16.解：(1)连接OB(图略)，设B(xByB),则xB=Oi 70.5～80.5 10 0.20 +1AB·cos(x-∠0AB)=2, 5 80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5 12 0.24 yB=Ai·sin(x-∠OAB)=5 合计 50 1.00 ∴.O心-Oi+BC (2)如图所示： =(侵)+-1=（侵） 人数 6 B(号）c(3) 10 2)证明：0心-(，3） 03056057058059051005成绩（分） =(合9》： (3)成绩在75.5~80.5分的学生人数占70.5~80.5 .O心=3AB,O元∥Ai. 分的学生人数的号，因为成绩在70,5一80,5分的学 又易知OA与BC不平行， 生人教的频率为0.2，所以成绩在75.5~80.5分的 OA=BCI=2. 学生人数频率为0.1， ∴.四边形OABC为等腰梯形 成绩在80.5~85.5分的学生人数占80.5~90.5分 17.证明：(1)，AD∥BC,BCC平面PBC, 的学生人载的2国为成绩在80.5一90.5分的学生 AD过平面PBC, 人数的频率为0.32，所以成绩在80.5~85.5分的学 ∴.AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC 生人数的频率为0.16， =MN, 所以成绩在75.5~85.5分的学生人效的频率为 .AD∥MN.又：AD∥BC.∴.MN∥BC 0.26,由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校 又，N为PB的中点，.M为PC的中点，∴MN= 获得二等奖的学生约为0.26×900=234（人）. 19.解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足 :E为AD的中点，DE=2AD=2BC=MN 球票”为事件A:“乙从第二小组的10张票中任抽1 张，抽到足球票”为事件B:“甲从第一小组的10张票 ∴.DE LMN,.四边形DENM为平行四边形， 中任抽1张，抽到排球票”为事件A:“乙从第二小组 ,.EN∥DM.又：EN庄平面PIDC,DMC平 的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B. 2 于是P)=号，P不=号，PB=号P=是 ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与 MN异面).对于③，依题意，GH∥AD,MN∥AF, 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽 ∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确.对于 到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件. ④，连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上， (1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件AB发生，根据相 .DE⊥平面AGF,∴.DE⊥AF,而AF∥MN, 互独立事件的能丰公式，得PAB)=PAPB)=号× ∴DE与MN垂直，故④正确.综上所述，正确命题有3个， 号-0 故选C A(B.C) (2)甲、乙两人均未抽到足球票（事件AB发生）的概 单为PAD=P不：P(B=号×号-云 H(N 所以两人中至少有】人抽到足球票的概率为P 1-PAB)=1-是-是 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（二） E 1.D 6.C如图，因为E,F分别为AB,BC的中点，所以BD⊥EF, 2.B因为a=(2,一1)，b=(1,1),所以a+b=(2+, 因为DA⊥AE,DC⊥CF,所以折叠后DP⊥ -1+k),文c=(5,1),由(a+b)∥c得(2+k)×1= PE,DP⊥PF, 一5X(k-1D,解得=子故选B. 所以DP⊥平面PEF,所以①正确： 由DP⊥平面PEF,EFC平面PEF,所以DP⊥EF, 3.B依题意，m=(1√)，所以m十n=(3,√). 所以②正确： 设a=(x,y),又a-m-nl=1, 由DP⊥平面PEF,根据过一点有且只有一条直线垂 所以(x-3)2+(y-√5)2=1. 直于一个平面， 所以向量a的终点坐标(x,y)的轨迹是以(3，√3)为圆 所以DG⊥平面PEF是不正确的，所以③不正确： 心，半径为1的圆. 由PE⊥PF,PE⊥DP,可得PE⊥平面DPF,又DF 所以a的最大值为圆心(3，√3)到原点的距离加上 C平面DPF, 半径 所以PE⊥DF,所以④正确： 所以a的最大值为W/32+()+1=25+1.故选B. 由PE⊥平面DPF,又PEC平面PDE,所以平面 4.B在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，将△BDC PD⊥平面DPF,所以⑤正确， 沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD可得如图所示的 综上可知，正确的结论序号为①②④⑤.故选C 三棱锥A一BDC.将三枚锥A一BDC镶嵌在长方体 P(A.B.C) 中，则三梭锥A一BDC的外接球与长方体的外接球相 同.AB=1,BD=√2，外接球的半径为 名+2P中下=1，∴三棱锋A-BDC的外接球 的表面积为4π×12=4π.故选B. 7.C根据频率和为1，计算(a十0.035+0.030+0.020+ 0.010)×10=1.解得a=0.005,得分在[40,60)的频率是 0.40,估计得分在[40,60)的有100×0.40=40（人），A正 确；得分在[60,80)的频率为0.5，用频率估计概率，知 B 这100名男生中随机抽取一人，得分在[60,80)的概 ”5 率为？，B正确：根据频率分布直方因知，最高的小矩 5.C将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B, 形对应的底边中点为0十60=55，估计众数为55， C)DEF,如图.对于①，，M,N分别为EF,AE的中 2 点，.MN∥AF,而DE与AF异面，故DE与MN不 D正确.故选C 平行，故①错误，对于②，BD与MN为异面直线，正确 8.B由频率分布直方图可得，小长方形面积为S=1 (假设BD与MN共面，则A,D,E,F四点共面，与 (0.05+0.03)×10=0.2.故选B. 3