数学(九)-【步步为赢】2024-2025学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（九） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.平面向量a与向量b满足a·(a十b)=3,且a=2,b=1,则向量a与b的夹角 還 为 ( 如 A晋 R音 c. D.6 2.已知ine十）=号则cos(-a)= ( 球 i c- n 3.在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsin A一√3 acos B=0,且b=ac, 则店的值为 ( 区 那 B.2 C.2 D.4 敬 4.平行四边形ABCD中，BC+CD+DA= A.BD B.AC C.AB D.BA 超 5,将函数y=sinx的图象上所有的点向右平移恐个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长 毁 到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 A.y-sin(2) B.y=sim(2x-） Cy=sin(合-) D.y=sin(2-0》 6设=2.则1= 融 A.0 B司 C.1 D.2 9-1 7.将棱长为2√2的正方体的六个面的中心的连线所围成的八面体挖空，其中放置一个玻璃 球体，要求玻璃球与这个八面体的八个面都相切，则该玻璃球的表面积是 ( A.3π B号 C.6π π D.3 8如果sina=名且e是第二象限角，那么sin(a一） A- B号 C.-22 3 n2号 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列计算或化简结果正确的是 A.2tan a cos a-2 sin a B若sin0:cos0=号，则tan0叶0s0-2 sin 6 C.若tanx= 2,则、 2sin x =1 cos x-sin a D.若a为第一象限角，则 cos a sin a =2 1-sin2a√1-cosa 10.要得到函数y=sin4x一）的图象，只需将函数y=sin4x的图象 A,向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移登个单位 D.向右平移5个单位 11.已知AB,AC是非零向量，且(AB-2AC)⊥AB,(AC-2AB)⊥AC,则△ABC的形状不 能确定的是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 12.已知A,B,C,D四点在球心为O,半径为5的球面上，且满足AB=6,CD=8,设AB,CD 的中点分别为M,N,则 ( A.点N有可能在AB上 B.线段MN的长有可能为7 C.四面体OABC的体积的最大值为20 D.四面体ABCD的体积的最大值为56 9-2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分， 13.已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角a的弧度数为 14.已知a,b∈R,(a+bi)2=4i(i是虚数单位)，则|a+bi= 15.已知0是第四象限角，且sin(0+牙）=号，则an(0-）= 16.已知复数x满足(1十3)z=1十i,则|z 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(10分)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2 asin A=(2b十c)sinB+ (2c+b)sin C. (1)求∠A的大小： 9-3 (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状. 18.(12分)一山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是30°，斜坡上一直道 CD,它和坡脚AB成60°，为解决山腰D处居民的饮水问题，有甲、乙两种方案. 方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用与坡脚水平的暗河中的水（经检验符合饮用 水标准)； 方案乙：沿CD铺设自来水管道，第一个100m费用为1万元，以后每往上一个100m所 需费用比前一个100m的费用扩大1倍； 如果D处高出暗河100√3m,那么选用哪个方案比较合理？请你说明理由.（不考虑其 他因素) 9-4 19.(12分)在风速为75(6一√2)km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞 行，求没有风时飞机的航速和航向. 20.(12分)已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为. (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧长L. 9-5 (2)若扇形的周长为20c,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若a=于，R=2cm,求扇形的弧所在的号形的面积. 9-6 21.(12分)已知函数f(x)=sinx一cosx-2,√3 sin xcos a(x∈R). 1)求)的值： (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 9-7 2.12分)已知：是复数，一3i为实数。一2为纯虚数为虚数单位). (1)求复数： (2)求二的模。 9-8于是有na=+记 21.解：(1)：AD=AB+BC+C市=(4+x3y-2) a tan B-a 由BC∥AD,得x(y-2)=y(4+x), tan y= veta b 从污有U=na·ng·anY+己y+不牛冠 (2)由题易得，AC=AB+B式=(x十6y十1)， 22a52@=2E BD=BC+CD=(x-2.y-3). abc 由AC⊥BD可得Bi·AC=0,即(x十6)(x-2)十(y+1) 当且仅者a=b=c,tana=tanB=tany=√2时.Um=2/E. (y-3)=x2+y2+4x-2y-15=0. 19.解：(1)：：是虚数，可设=x十i,xy∈R,且y≠0， m++i计tit y=-…52 r+y AC=(80),B币=(0，-4)或A花=(0,4) Bd=(-8,0). m是实数，且y≠0， 又：A⊥市， 1 y0. 六四边形ABCD的面积为号·ACB市=号×8X4=16. 2 .x2+y=1. 22.解：以C为坐标原点，以边CB,CA所在的 |=1,此时m=2x 直线分别为x抽、y抽建立坐标系，如图 :-1<m<2, A(0,m）,B(n,0). .-1<2x<2, (1)证明：：D为AB的中点， 从而有-之<<1 (受受) :=1:的宾帮的取值范国是（一言）。 C市-号+m, (2)证明：结合()可知私一干1+(x+可 1-:1-(x十yi) A=√m+开， --t=a 动1=之， (1+r)+y 中CD-AB. 又r(-）y≠00， (2):E为CD的中点， u为纯虚数 E(冬婴）设F,0),则花-(-子m） 8m--2r-(-）=2x+(六） AF-(x.-m). 2+1x +品=2+号2-1+品，-2++7品，8 A,E、F共线.AF=1AE. <<11+>0 一m=-子ma 3 2+10+吊-322√2中0…话3=1. 当且仅当2(x十1)=子2即x=0:=-2合去)时，等号 即=号，即F(冬0）求=号+9m 成立， 高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（九） 故m一u的最小值为1，此时，x=士i 1.Cyla=2.则a2-a-4, 又a·(a+b)=3, 20.解：Dfa=in(a-6）+cos(a-号） ∴a2十a·b=4十a·b=3,解得a·b=-1设向量a与b的夹角 1 为a, 则a·b=la1 bcos a=-1,即2X1×cosa=-1,解得cosa= 3 a∈[0a-,故选C 4 又：a是第一象限角，cosa=5 2B周为n(a+号）-是所以o(告-)】 1 周此，g(a)=1一cosa-方 =m[受-（晋-）门=m(e+号)是故选B (2)由f(x)≥g(x)得/5inx≥1-cosx 3.C在△ABC中，由bsin A-3 acos B=0. 1 即2n(+音)≥l,所以sin(rt吾)≥2. 利用正弦定理得sin Bsin A-5 sin Acos B=0, 所以anB=B,故B=受 由余弦定理得b=a2十c2-2ac·cosB=a2+c2-ac, 即2k<x≤2km+否k∈Z 即=(a十c)-3ac, 故使f(x)>g(x)成主的x的集合为 又6=a,所以h=(a十e产，求得产=2。 (女2m≤r≤2kx+,kez 4.DB+C市+DA=BD+DA=BA.故选D. 16 向右平移品个单位长度 B 5.C西教y=inr y=m(r-无) 情坐标仰长到原来的2倍 誠坐标不 的2他如（宁一品） 6c-+么-i计公-i-1,选C 7.D由题知，该八面体是如图所示的正八面体MABCDN,根据正 入面体与正方体的位置关系可得，演正方体的面对角线长为4 从而可知正入面体的棱长为2，即AB=2.连接AC,BD,交于点 点N在内球面上，线段AB是中球面切线，所以点V不可能在 O,过点O作AB的垂线，垂足为E,连接ME,MO,则MO⊥平面 线段AB上，选项A蜡误， ABCD,OE⊥AB,AB⊥平面OME,易知四边形ABCD与四边形 B项， BNDM都是边长为2的正方形，MO=√2，OE=1,在Rt△MOE 中，由勾股定理可得ME=√MO+O=√2)+1=尽，设 点O到ME的距离为d,由d·ME=OM·OE.即5d-2×1. 解得d=号，从而可知滨正八面体的内切球的半径为号所以所 求玻璃球的表西数是S=4×(气)'=警 MN最大，此时MN=7,进项B正确. C项，Saa=宁AB.OM=12,点C到面0AB最大值为5 Ve-a1最大值为20，选项C正确. 故选D. 8.D :。是第二象限，六m。=子如(e-受） -(受-)=-oa=n云-2华，t选D 当AB⊥CD,MN装大时，四面体ABCD体积最大连钻CM. 9.ABDA正确.21nco8e-2sine.c0se=2: DM,注高到Samw-之×CDXMN=2,此时回面体ABCD sin a cos a sin a B正确，tan0+c0s8sin01c08日 1 sin 0 cos 0 sin sin 0cos 2: 体积为V=号×SXAB=-56,DE确，长选BCD. 13,解析：设扇形的半径为rcm.圆心角a所对的兹长为lcm 2sin r 2tan x C不正痛，cos一n一an (1+2r=10, 2×2 中题意得，4.解得8， r=1 =2:D正确，：a为第一象限角， r=4 原式-88+知8-2 天：0<<2a,0-÷ 等上，A,B,D正确，故遗ABD. 10.BC对于Ay=4(x+登）=血(4r十号)）不满足题意：对 答案：号 14.解析：因为(a+bi)2=a2-b2+2abi=4i.所以a2一b3=0且ah= 于By-血4（一登）=（虹-吾）满是题意：对于Cy 2,所以a=b=2或a=b=一2.则|a十i|=2 im4(+受)=im(4x+琴）=m(红-子）：满足题意：对 答案：2 于Dy=m4(x一受)=m(红-誓)不满足遁意.故选BC 15.解析：法一：（通性解法）周为m(9叶平）-子。 1L.D周为（店-2AC)⊥A点.所以(AB-2AC)·A店=0， 所以c@(0-晋)-m[受+(0-晋)] 所以AB应-2A亡.A店=0，所以AB=2A花.A店.因为 i如(9叶平）=号，周为9为第四象限角，所以-受+2x<0< (AC-2AB)⊥AC,所以(AC-2A店)·C=0,所以AC区 2AB·AC=,所以AC=2AB·AC,所以AB=AC,所以 2k,k∈.所以-3还+2km<0-于<2km-于，k∈么.所以 AB=AC,所以△ABC是等腰三角形，无法判断其是不是 m()-√-（告-÷ 直角三角形也无法判断其是不是等边三角形，故选BCD, 12.BCD由题意，注意到点M,N轨该分别为以O为球心，以4,3 m(9-平) 为半轻的两同心球面上，AB,CD分别为两球面的切线。 有a号） A项， co(0-开) 17 法二：（光建解法）周为8是第四象限角 由已知得，Oi=75(6-2),10心-150， 且i如(0+子）-号所以9叶子为第一泉限角， ∠(OD=45. 在R△COD中，OD=OCc0s45=75厄， 年以(6件）专以m(6-晋)-他6到 CD=752. cos(9-平） 又ED=BC=OA=75(6-E): -o[受+(0-平)门 .在R△OEB中，OB=OE+BE=1502. 如[+(9)] m(叶晋】 m∠B0E-需- .1OB=150z,∠B0E-30°. 答案：一号 故没有风时飞机的航速为150，Zkm/h,航向为西偏北30， 16.解析：(1十3i)x=1十i. =1+上=1+01-m=1++1-1 20,解：11=10x号-19(m 1+3(1+/3i)(1-/3) 4 (2)由已知得：l十2R=20, “1-a++1-=平- 所以5=子R=号(20-2RR 42 =10R-R2=-(R-5)1+25. 答案号 所以R=5时，S取得最大值25，此时1=10，a=2rad. (3)设号形面积为S1, 17.解：(1)由2 asin A=(2b+c)sinB+(2c十b)inC得2a2=(2b+ c)b+(2c+b)c. 由题如1-三m, 即a2=b3+c2+bc, 1 54=5-5a=××2-×2×m 由余弦定理得cosA-a==一艺， 2hc ,∠AE(0°，180)，.∠A=120. -(5-同(m) (2)由(1)得a2=十c2十bc,由正孩定理得$imA=sinB十 sin'C++sin Bsin C. 21.解：由m-o=- ∴mB+in2C+sin Bsin C=是 ()=()-(-)-2××（-) 又sinB+sinC=l, .sin B-sin C 得()=2 (2)由os2r=os2x一sinx与sn2r=2 sin roos x得 ∠B、∠C∈(0°，90.∴∠B=∠C=30°. .△ABC为等腰三角形. fr)=-os2z-5in2z=-2sim(2x+音） 18.解：如图所示，ABEF是坡面，CD是直道，设CD一x(m).设 所以f(x)的最小正周期是元 DH是点D到水平面a的垂线，垂是H,作HG⊥AB且交AB 由正弦函敏的性质得 于G,连结DG. 号+2a<2x+晋<受+2∈z. 解得十k≤红≤+k,k∈五. 3 所以，)的单调递增区间无[音十快，三+x]∈. 22.解：(1)设x=a十i(a.b∈R),由一3i=a十(b-3)i为实数，可 得=3. 根据三垂线定理，得AB⊥DG,∠DGH就是坡面和水平面所成 又：i-二2-2如+2+a-1为纯虚数 的二面角的平面角.由题意得，∠DGH=30°，因此，DH= 2-ī2-i 5 DGsin30°=CDsin60°sin30°=1003.则x=400m ∴.d=一1，即g=一1十3i. 方案乙：钱自来水管道所霄费用S1=100m,a1=1万元，S:= @后-0梦-2+ 2 100m,a1=2万元，S1=100m,41=4万元，S,=100m,a,=8 万元，总共需要费用1十2十4十8=15万元>12万元.故选用方 “产--2+=-2)+下=5， 案甲比较合算。 高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（十） 19,解：设向量a表示风速，b表示元风时飞机的航行速度，c表示有 风时飞机的航行速度，剥c=a十b.如图，作向OA=a,OB=b, 1.C画教f)=m(2r+晋)的最小正周期T=哥=元故 (C=C,则四边形OACB为平行四边形 达C. 2.B由正弦定理及2 ccos B=2a十b.得2 sin Ccos B=2sinA+ B sinB,周为A十B十C=π，所以sinA=sin(B十C),则2sinC· cosB=2sin(B+C)+cosB,即2sinB·cosC+sinB=0,又0<B <,所以血B>0,则0sC=-令，周为0<C<元，所以C D 0 过C,B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D,E两点， 号所以nC-吾则△ABC的面软为号ahnC-号ch 3 18