数学(七)-【步步为赢】2024-2025学年高一下学期数学期末综合冲刺卷(北师大版)

高一第二学期期末综合冲刺卷·数学（七） (满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知向量a=(1,0),b=√2，a与b的夹角为45°，若c=a十b,d=a-b,则c在d方向上 的投影为 ( AS B.⑤ 5 C.1 D.-1 如 2已知m2a=子吾<a<受·期m。一0 a的值是 球 A号 c 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60°，且△ABC的面积为 5√3，则△ABC的周长为 ( B A.8+21 B.9+√2I C.10+√21 D.14 部 4.a,b为非零向量，且a+b川=|a+b,则 ( 数 A.a∥b,且a与b方向相同 B.a,b是共线向量 C.a=-b D.a,b无论什么关系均可 命 5.sin75°cos75°的值为 A号 B号 D.1 6.已知扇形OAB的圆心角为4rad,面积为8，则该扇形的周长为 A.12 B.10 C.8√2 D.4√2 7.设+2，则= 融 A.0 B司 C.1 D.2 7-1 8.如图，在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=AC=AD=3,以A为球心， 6为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为 ( A.23π B.3x C.3x 2 D.3x 4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足6-4e· b十3=0，则a与b的夹角可以为 ( A. B哥 c D.6 10.已知a为实数，i为虚数单位，若复数x=a一3a一4十(a一4)i为纯虚数，则复数a一ai在 复平面内对应的点不可能位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.给出下列说法，其中不正确的是 A.第二象限角大于第一象限角 B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C.不论是用角度制还是用弧度制量一个角，它们与扇形的半径的大小无关 D.第一象限角一定是锐角 12.已知正四面体OABC的棱长等于2，则 ( A.点O到平面ABC的距离为S B.直线OA与BC所成角为受 C,直线OA与平面ABC所成角的余弦值为 D.若点M,N分别为棱OA,BC的中点，则|MN=√2 7-2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.在平面直角坐标系aOy中，角a与角3均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sina =3,cos(a-3)= 14.已知a=一2015°，则与角a终边相同的最小正角为 7+ai. 15.若复数-2的实部为3，则：的虚部为 16.在菱形ABCD中，∠BAD=60°，|AB=1,则1BC+CD1= 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 17.(10分)已知 一=-1，且g(cosa)有意义. sin al sin a (1)试判断角a所在的象限： (2)若角a的终边上一点是M(号，m),且OM=1(0为坐标原点)，求m的值及sima的 值. 7-3 18.12分)在△ABC中，A,B为锐角且B<A,sinA=5, 5,sin 2B=3 (1)求角C: (2)求证：5 cos Acos(A+3B)=2sinB. 7-4 19.(12分)(1)已知复数x在复平面内对应的点在第四象限，z=1,且~十之=1，求x: 2)已知复效。5m2(1+5im一3(2+i)为纯虚数，求实数m的值 7-5 20.(12分)设a,b是两个不共线的非零向量. 1)记OA=a,Oi=b(u∈R),O心=号(a+b),那么当实数1为何值时，A,B,C三点 共线？ (2)若a=b=1,且a与b的夹角为120°，那么实数x为何值时，a-xb的值最小？ 7-6 21.(12分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的 中点。 (1)求证：AO⊥CD: (2)若BD⊥DC,BD=DC,AO=BO,求异面直线BC与AD所成角的大小. 7-7 2.12分)复数与2+4i的面积是2-161，复数满足·2-(7-16D=-1.如果复 数之1的辐角主值是a,2的辐角主值是B,求a十B的值. 7-817.解:(1)tanx-2. (2)解:·BC平面CDP...BCCP。..CBP为锐角,又 1112-3 ·AD//BC...CBP为直线AD与BP所成的角...CBP 66{*}.在Rt△CPB中,BC-3.*CP-3③,在Rt△CDP中.CP (2).'tanr-2. '.2sinr-sinzcos x十cos{z= -3③,CD-3,于是DP-3/2. 2sin}-sin reos r+cos{r_ 22.解:(1)作出y关于1的变化图象如图所示,由图可知选择y一 sinr十cosr Asin(at+)+6(A>0,c→0.lgl<)画数模型较为合适. 2tanx-tanx+18-2+17 )_n△_1{ tan1 4+1-号. 18.(1解:'AB-a,A-b:o-A+A=-b-a.c=c+ BD=C+=cCB+(B+A)=2a+(-a+b)= ##. (2)证明::c-o-o=(-b)+a+b-a+b- 3.:CC平行.又:CE与有共同点C..C.D.E三 0 36 91215182124 点共线, 19.解:(1)当a0时,因为r= 0+a-a,cos-0.$ 2 #则2-,-sin(+)+1(0<(<24)由y- sin0-1. 所以0-吾,所以ai-a(cos吾+isin吾). 时,y-1,得-sin(吾xo+e)+1-1,即sin =o,又le< .所以_0#所以y--n吾(+1(0<(<24). 当<o时,回为,-v0+a--a. cos0-0,sin0--1. (2)由y--sin吾,+1>(0<(<2A),得 s吾-. 所以一. 则-吾+2h1-70+2hr,ke乙. 所以ai--a(cos3-+isin3-). '-1+12 7+12,7 {a(cos+isin)(a>0). 又0 24..0 (<7或11 19故应安排在0~7时或 上,ai- 11~19时进行训练. -a(cos30+isin3)(a<o). 高一第二学期期末综合冲刺卷·数学(七 1.D 依题意得lal=1,a·b=1x②xcos45^*=1. (2)因为r- (③)+1-2. l=(a-b)=a+b-2a·b=l,c·d=a-b--1,因 此c在d方向上的投影等于f-1,选D. Td 所以8-吾,所以v③+i=2cos吾+isin吾). (3)因为r- (-1)+0-I.cos6--1,sinθ-0. 吾<<,所以sina-cos a→o,所以sina-cos a- 所以一π. 所以一1-cosn十isinz. 3.B 由题意,根据三角形面积公式得absinC-5,即ax 20.解:因为。是锐角,sina-寸. 5×3-5、3,解得a-4.根据余弦定理得-a+-2abosC. 所以cosa=1-sin2②. 即-16+25-2X4×5×,解得c-V2T,所以△ABC的周长为 9+V21.故选B. 由均为锐角:n no-0,得<o# 4.A 当两个非零向量a与b不共线时,a十b的方向与a,b的方向 都不相同,且la十blal十bl;向量a与b同向时,a十b的方 所以--<2a-,所以cos(2a-)-3. 向与a,b的方向都相同,且la十b|-a +bl;向量a与b反向 且lal<b时,a十b的方向与b的方向相同(与a的方向相反). (1)cos -cos 2a-(2a-]-cos 2acos(2a-)+sin 2asin(2a 且a+bl-|bl一al,故选A. #--44--1+16 #1-1_选A.# (2)sin(a-③)-sin[(2a-})-a]-sin(2a-)cosa-cos(2a- ##0- 6.A.s-。- -.4.-8..r-2,1-ar-8 21.解:(1)证明:'PDI平面ABCD,BCC平面ABCD...DP '.该扇形的周长为/+2r一12.故选A BC,又底面ABCD为正方形,则BC DC且DCODP=D,DC, DPC平面CDP..',BC]乎面CDP 12 8.C 由题意知三校锥A一BCD为正三核锥,故顶点A在底面 形,则AO//FG,则直线OA与BC所成角即为FG 与BC所成 BCD的射影为△BCD的中心H,连接AH,由V.““pAac 角,故夹角为-,故B正确;因M,N分别为正方体上下底面中 $&桂-,得××3×③×3-×3\×3×3 心,则|MN]长度等于正方体枝长②,故D正确.故选BCD AH,所以AH一③,因为球的半径为,所以截面圆的半径r= (V){-(V3){}一③,所以球面与底面BCD的交线是以H为 圈心.③为丰径的圈在八BCD内部部分,如图所示 1 %) 4 13.解析:因为a和③关于y轴对称,所以a十③一x十2kπ,那么sin 7. 易求HN-#×3###以EF 2~(4))#()# sinasin3--cosa+sina-2sin”a-1-- 答案: -V,易得 EHF-吾,所以 MHQ- GHP-吾,所以交线 14.解析:a--2015--6×360”+145 ,则与角a终边相同的角可 长度和为2x3-3x吾x/3-π故选C. 以写成k·360{十145*(Z)的形式. 当一0时,可得与角。终边相同的最小正角为145” 答案:145 9.BC 设O为坐标愿点:a=O:b- 1 1_ 15.解析::一 7+ai(7+ai)(2+i) (r,y),e-(1,0),由b-4e·b+3-0得 2-1(2-1)(2+) +-4r+3-0,即(x-2)+y-1.所以 14-a+(7+2a)i. 点B的轨该是以C(2,0)为圈心:1为半径 5 由题意知14-a-3,即a=-1. 的圆,因为a与e的夫角为吾,所以不妨 .虚部是7十2a-1. 5 令点A在射线y-③x(x0)上,如图,数形结合可知(a,b)最小 5 为吾,最大为故选BC。 答案:1 16.解析:如图,由题意知△ABD为等边三 10.ACD .复数:-a-3a-4十(a-4)i为纯虚数 角形. 所以B+cD-BD-AB-1. 1-40. la4. 答案:1 60. 'a一-1,,复数a一ai一一1十i,在复平面内对应的点的坐标 为(一1.1),位于第二象限,故选ACD. 11.ABD 举反例:第一象限角370{不小于第二象限角100”,故A错 lg(cosa)有意义可知cosa0,所以角a是第四象限角. 误;对于B,当三角形的内角为90”时,既不是第一象限角,也不 (2) 1OM1=1.(){}=1.、解得m=士。 是第二象限角,B错误;C正确;对于D,因为第一象限角不一定 是锐角,故D错误,故选ABD 又a是第四象限角,故n<0,从而m--- 12.BCD 取三角形ABC的中心为D,连接OD,连接AD至E,则 OD 平面ABC,则点O到平面ABC的距离为OD.又D为三 由正弦函数的定义可知sin。-立-m 1OM--1) 角形ABC重心,则E为CB中点,则AF-③,AD-2AE 18.解:(1):A为锐角,sin A-. 2,故OD-OA-AD2,故A错误: DAO即为直 #.co A一1({5)#-2# .B~Ain_4-.- ~0. 正确: .cosB-/ /1+cos 2B3/T0 10sin BT0 10 '.cosC-cos x-(A+B)]一-cos(A+B)=-cos AcosB+ .0C180..C-135*。 &1 (2)证明:由(1)知A+B-45*. '.cos(A+3B)-cos(45'+2B)-cos 45*cos 2B-sin45 如图将正四面体OABC放置于一正方体内部,则正方体校长 #si B-#4## ②.如图,因AF-OG,AF//OG,则四边形AFGO为平行四边 13 .在边-5os Ac08 A+3B)-5254 右边2sinB_2×10 1. $5cos Acos(A+3B)=2sin B成立. #为。 19.解:(1)设二+bi(a:ER). 第2知11-8-3-21. la十62-1. 由题意得 2a=1. #解得一--# 交形得1-145。 将其代入另一个条件, .复数:在复乎面内对应的点在第四象限, '.-1-5i. $-arg :arg(-3-2i).n<3. 8-ar -arg(1-1)~<2 5n .5# (2)-5--(1+5i)n-3(2+i)-(m{--6)+(2^}-5m -3)i,依题意,n-n-6-0,解得m=3或-2. ·z-(-3-2i)(1-5i)--13+13i. 又'2m}-5m-30.m3. a十③是:·z。的一个辐角, .m--2. 20.解:(1)由三点A,B.C共线,必存在一个常数!使得 +11 AB-BC,则有OB-0-a(O-0B) #o#-.0B-16.-(+6). 高一第二学期期末综合冲刺卷·数学(八) 1.D .cos a-a (o.) sina-V1-cos - .---+-π. 又是两个不共线的非零向量, #1-()## ,[{--0般--3 . .eos(a-)-cos acos+sin asin--寸+4 #- ##1.故 D.# 故存在1--时,A.B.C三点共线. 2.C 因为a-2heos C,所以由余弦定理得a-26x&+6- (2)|-|b -1且,b两个向量的夹角是120{。 2ab l-61--2*·6+-1++*-(+) 理得一”,所以b-c。 所以此三角形一定是等腰三角形。 3. 3.C 方法一 在同一个平面直角坐标系内作出y=cos工在[0,2-] 上的图象与直线y-- #时,的值最小为## #士(略),结合图象可知所求交点的个数 当-- 为2,故选C. 21.解:(1)在三枝锥A-BCD中,由AB-AD.O为BD的中点,得 方法二 y-cosx,xe[0.2-]的图象与直线y-的交点个数。 AO BD:而乎面ABD 乎面BCD,乎面ABDO乎面BCD BD,AOC乎面ABD,因此AO|平面BCD,又CDC乎面BCD. 即方程cos,一 士在区间[o.2r]上的解的个数,由cosx-在 所以AO|CD. 区间[0.2^]上的解为-或1-,可得方程cos,-在区 (2)分别取AB,AC的中点M,N.连接OM.ON,MN,于是 MN//BC.OM//AD,则/OMN是异面直线BC与AD所成的 角或其补角, 间[0,2]上的解的个数为2.即ycosx(x[0,2r])的图象与直 线y一。有2个交点,故选C. 4.C 根据向量的加减运算易知①②③④均正确 5.C AB+M+B+B+o-AB+B+OM+M+B- AC故选C. 6.C 由^{}一一1~0知A错误;由一1也是一1的平方根知B错误; 由ì一(^)-(-1){}-1知C正确;由vV②i的虚部是v②知D错$ 误,故选C. 由(1)知,AO BD,又AO=BO.AB-AD,则 ADB= ABD$ 7. A 由 un 2a-3.2tang3,得 na-或ana--3.又 -.于是 BAD-,令AB-AD=2,则DC-BD-22, $1-tan{ f(.r)-sin(x+a)-sin(r-a)-2sina-2cos xsina-2sina0 又. BD DC,则有BC=BD+DC-4.OC=DC+OD 恒成立,所以sina0, = 10,又AO1平面BCD.OCC平面BCD,则AO1OC,AO tana--3,sina_- 3 ②.AC-AO+OC-2/3.由M,N分别为AB,AC的中点. 得MN-BC-2.OM-AD-1.ON-AC-3.显然 所以 sin(-)-singo-cos gsn--2,故选 A. 14