专题02 勾股定理（6个经典基础题型＋6个优选提升题型）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 用勾股定理解直角三角形 1. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其斜边长是（    ） A． B． C．5 D．6 2. （22-23八年级下·天津东丽·期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（    ） A．6 B．8 C．12 D． 3. （20-21八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为13，一条直角边长为12，则另一条直角边长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4. （22-23八年级下·天津和平·期末）若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B．5或 C．4 D．或4 5. （20-21八年级下·天津西青·期末）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是 ． 6. （20-21八年级下·天津西青·期末）一直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长是 ． 7. （21-22八年级下·天津河北·期末）如图，在中，于点，，，求与的长． 勾股定理在几何计算中的应用 1. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是（    ）    A．3 B． C． D． 2. （21-22八年级下·天津南开·期末）如图：在中，平分，平分，且交于M，若，则等于（    ） A．75 B．100 C．120 D．125 3. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把橡皮筋的中点C向上拉升3cm到点D，拉伸过程中满足于点C，则橡皮筋被拉长了 cm．    4. （20-21八年级下·天津河西·期末）把两个同样大小的含角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另外一个三角尺的直角顶点重合于点C，且另三个锐角顶点A，B，E在同一直线上．若，则 ． 5. （20-21八年级下·天津和平·期末）如图，在中，，，为边上一点，且． （1）的大小＝________； （2）斜边的长＝________； （3）斜边上的中线的长＝________； （4）求的长． 6. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，在中，，，平分交于点，．求的长． 7. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，在中，，．求中边上的高是多少？    8. （20-21八年级下·天津南开·期末）在中，D为的中点，于M，于N，且． （1）求证：． （2）若，求四边形的周长． 判断三条线段能否构成直角三角形 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（    ） A．5，12，13 B．6，8，12 C．3，4，6 D．8，15，16 2. （23-24八年级下·天津河东·期末）下列几组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C． D．1，，2 3. （20-21八年级下·天津红桥·期末）已知三角形的三边长分别为，，，下列条件中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4. （21-22八年级下·天津河西·期末）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（　　） A． B． C． D． 勾股定理与网格计算 1. （23-24八年级下·天津河西·期末）如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则的长度为（    ） A． B．4 C． D． 2. （21-22八年级下·天津·期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（   ） A． B．2 C． D． 3. （22-23八年级下·天津·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 4. （20-21八年级下·天津南开·期末）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格线交点，则的为 度．    5. （20-21八年级下·天津东丽·期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为 ．    6. （21-22八年级下·天津河西·期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，． (1)写出另两个顶点的坐标； (2)求此三角形的周长； (3)的面积为______． 7. （21-22八年级下·天津津南·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 8. （20-21八年级下·天津西青·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上． (1)求四边形ABCD的面积与周长； (2)∠ADC是直角吗？请你说明理由． 勾股定理与无理数 1. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 2. （19-20八年级下·天津和平·期末）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，以原点O为圆心，以长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）    A． B． C．7 D．29 3. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，在数轴上点O是原点，点A表示的数是2，过点A作射线，在上截取．以O为圆心，长为半径作弧，在数轴上原点右侧的交点P所表示的数是（    ） A．2 B．3 C． D． 4. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 5. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，边长为1的正方形的边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为 ． 以直角三角形三边长为边的几何图形面积问题 1. （21-22八年级下·天津南开·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，则正方形b的边长为（　　） A．55 B．16 C．6 D．4 2. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 3. （18-19八年级下·天津·期末）如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（   ） A．13 B．169 C．12 D．5 4. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．14 B． C．7 D． 5. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    由所给条件判断直角三角形 1. （23-24八年级下·天津·期末）已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（） A．，， B． C． D． 2. （22-23八年级下·天津蓟州·期末）下列各组条件中，能判断为直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 3. （21-22八年级下·天津南开·期末）下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（    ） A．三个角的比是 B．三条边，，满足关系 C．三条边的比是 D．三边长分别为1，2， 4. （21-22八年级下·天津南开·期末）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　） A．三个内角度数之比是3：4：5 B．三边长的平方比为5：12：13 C．三边长度是1：： D．三个内角度数比为2：3：4 5. （22-23八年级下·天津东丽·期末）已知的三边长分别为，且满足，则（    ） A．不是直角 B．是以为斜边的直角三角形 C．是以为斜边的直角三角形 D．是以为斜边的直角三角形 勾股定理与折叠问题 1. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级下·天津·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与重合，折痕为，则的周长等于 ． 3. （18-19八年级下·天津南开·期末）如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为 . 4. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． (1)若，求的度数； (2)若； ①求的长； ②的面积为______． 5. （18-19八年级下·天津河西·期末）我们已经知道，有一个内角是直角的三角形.其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边.数学家已发现在一个直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方.如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达为：. （1）在图中，若，，则等于多少； （2）观察图，利用面积与代数恒等式的关系，试说明的正确性.其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，利用上面的结论求的长. 勾股定理与网格内作图 1. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 2. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上．    计算线段 ； 、为、边上的动点，连接、，使的值最小，请用无刻度直尺，画出点和点的位置，并简要说明点、点的位置是如何找到的不要求证明 ． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （Ⅰ）计算AB边的长为 ； （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出一个以AB为边的矩形，使矩形的面积等于△ABC的面积，并简要说明你的作图方法（不要求证明） 4. （21-22八年级下·天津滨海新·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，都在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在网格中画出点，使与面积相等，且．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 5. （22-23八年级下·天津和平·期末）【问题背景】在中，，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明在解答这道题时，先建一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点，如图所示，这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积． （）直接写出的面积， ； 【思维拓展】 （）若的三边长分别为，，，请在图的正方形网格纸中画出每个小正方形的边长为，并直接写出的面积， ． 勾股定理与几何面积问题 1. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）已知的三边长分别是5，12，13，则的面积是（    ） A．24 B．30 C．40 D．48 2. （20-21八年级下·天津河北·期末）有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为 ． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在四边形中，已知，，，，，求四边形的面积．    4. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，某小区有一块四边形空地，连，经过测量可得是等腰三角形，，，．    (1)判断的形状； (2)求这块空地的面积． 5. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求这块四边形绿地的面积． 6. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，四边形中，．    (1)求证：； (2)求四边形的面积． 7. （22-23八年级下·天津·期末）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 8. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 勾股定理的实际应用 1. （21-22八年级下·天津北辰·期末）如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　） A．2m B．3m C．4m D．m 2. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（    ）    A． B． C． D． 3. （21-22八年级下·天津·期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（   ）米路 A．30 B．20 C．50 D．40 4. （21-22八年级下·天津南开·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子的距离为3尺，则原处还有竹子 尺．（请直接写出答案，注：1丈=10尺．） 5. （21-22八年级下·天津·期末）如图，一架梯子长10米底端离墙的距离为6米，当梯子下滑到时，米，则 米    6. （21-22八年级下·天津·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，.测得处与处的距离（的长）为，处与处的距离（的长）为，，. (1)旋转木马处到出口处的距离（的长）为______； (2)海洋球处到出口处的距离（的长）为______； (3)求入口到出口处的距离（的长）. 7. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． (1)请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； (2)求村庄A到县城C的距离的长． 勾股定理与其他问题 1. （20-21八年级下·天津南开·期末）如图，点P是平面坐标系中一点，则点P到原点的距离是（　　） A．3 B． C． D． 2. （23-24八年级下·天津北辰·期末）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 3. （20-21八年级上·天津河东·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，且，在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4. （22-23八年级下·天津河西·期末）点和点之间的距离为 ． 5. （21-22八年级下·天津东丽·期末）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为 ． 6. （20-21八年级上·天津津南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高． （1）若AB=8，则AD的长为 ； （2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）． 7. （22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，中，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动． 当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ (3)直接写出当为何值时，为等腰三角形？ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 用勾股定理解直角三角形 1. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其斜边长是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，理解定义的内容是解题的关键．利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长为． 故选：C． 2. （22-23八年级下·天津东丽·期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（    ） A．6 B．8 C．12 D． 【答案】D 【分析】根据等面积法计算即可； 【详解】设斜边为c，斜边上的高为h， ∵直角三角形两条直角边的长分别为6，8， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键． 3. （20-21八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为13，一条直角边长为12，则另一条直角边长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 4. （22-23八年级下·天津和平·期末）若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B．5或 C．4 D．或4 【答案】B 【分析】根据二次根式和绝对值的非负性求出a、b的值，再利用勾股定理进行求值即可． 【详解】∵， ∴，即，， ∴，， ∴直角三角形的第三条边长为：，或， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、绝对值和二次根式的非负性，讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键． 5. （20-21八年级下·天津西青·期末）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当两直角边的长分别为6和8时，当斜边长为，一条直角边长为时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为6和8， ∴当两直角边的长分别为6和8时，第三边的长是， 当斜边长为，一条直角边长为时，第三边的长是， 综上所述，一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是或， 故答案为：或． 6. （20-21八年级下·天津西青·期末）一直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长是 ． 【答案】13或/或13 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若12是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得：， ∴（负值舍去）， （2）若12是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得：， ∴（负值舍去）， ∴第三边的长为13或． 故答案为：13或． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是掌握当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 7. （21-22八年级下·天津河北·期末）如图，在中，于点，，，求与的长． 【答案】的长为，的长为 【分析】根据勾股定理求出即可；根据勾股定理求出，求出即可． 【详解】，，，， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中， 由勾股定理得：， ． 答：的长为，的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用． 勾股定理在几何计算中的应用 1. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，如图所示，由等边三角形“三线合一”可知是等边的高线、中线及角平分线，在中，，，，则点到的距离． 【详解】解：过作于，如图所示：    由等边三角形“三线合一”可知是等边的高线、中线及角平分线， 正方形的边长为3，以为一边作等边三角形， ， 在中，，，，则点到的距离， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形“三线合一”及勾股定理是解决问题的关键． 2. （21-22八年级下·天津南开·期末）如图：在中，平分，平分，且交于M，若，则等于（    ） A．75 B．100 C．120 D．125 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定以及勾股定理的运用等知识点，根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得，进而可求出的值，解题的关键是首先证明出为直角三角形． 【详解】∵平分，平分， ∴，，即， ∴为直角三角形， 又∵，平分，平分， ∴，， ∴，， 由勾股定理可知． 故选：B． 3. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把橡皮筋的中点C向上拉升3cm到点D，拉伸过程中满足于点C，则橡皮筋被拉长了 cm．    【答案】2 【分析】根据题意求出，再减去即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴橡皮筋被拉长了； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和线段垂直平分线的性质，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4. （20-21八年级下·天津河西·期末）把两个同样大小的含角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另外一个三角尺的直角顶点重合于点C，且另三个锐角顶点A，B，E在同一直线上．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，，由全等的性质可得，，如图，作于，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 由全等的性质可得，， 如图，作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 5. （20-21八年级下·天津和平·期末）如图，在中，，，为边上一点，且． （1）的大小＝________； （2）斜边的长＝________； （3）斜边上的中线的长＝________； （4）求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）等边三角形的性质和三角形外角和三角形内角的关系即可求解； （2），得到是直角三角形，； （3）由（2）得上的中线的长等于它的半； （4）过点A作于点，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵， ∴ ； ∵， ∴ （2）∵， ∴是直角三角形 ∴ （3）∵直角三角形斜边上的中线的长等于它的一半， ∴斜边 BC 上的中线的长= （4）解：过点作于点， ， ． ， ． 在中，由（1）得， ， ． 由， 得． 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 6. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，在中，，，平分交于点，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理等知识．利用平分，求出，进而得出，由，得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，平分角． ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 得， ∴． 7. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，在中，，．求中边上的高是多少？    【答案】 【分析】过点A作于点D，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】过点A作于点D，    ∵， ∴，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， 故高． 【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，熟练掌握通过作高构造解题需要的直角三角形是解题的关键． 8. （20-21八年级下·天津南开·期末）在中，D为的中点，于M，于N，且． （1）求证：． （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）利用HL证明≌即可； （2）连接BD，证明≌，得到，根据≌得到，证明是等边三角形，根据30°的直角三角形的性质求出AD和DM，从而求出BM和BN，再根据周长的计算方法可得结果． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵为AC中点， ∴， ∵， ∴≌（HL）． （2）如图，连接BD， 在和中， ， ∴≌（HL）， ∴， 由（1）知≌， ∴， ∴，则， 又∵，点是AC的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，BD平分，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形DMBN的周长 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 判断三条线段能否构成直角三角形 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（    ） A．5，12，13 B．6，8，12 C．3，4，6 D．8，15，16 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形．”是解题的关键． 【详解】解：A.，能构成直角三角形，故符合题意； B.，不能构成直角三角形，故不符合题意； C.，不能构成直角三角形，故不符合题意； D.，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 2. （23-24八年级下·天津河东·期末）下列几组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C． D．1，，2 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形； 故选D． 3. （20-21八年级下·天津红桥·期末）已知三角形的三边长分别为，，，下列条件中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】解：A、因为+，所以能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为，所以不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4. （21-22八年级下·天津河西·期末）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【详解】解：，，，，， ，，， 错误，B错误，C正确，D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 勾股定理与网格计算 1. （23-24八年级下·天津河西·期末）如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则的长度为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意利用勾股定理即可得；掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上， ∴， 故选：D． 2. （21-22八年级下·天津·期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出可能的距离，即可得到答案． 【详解】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1， ∴任意两个格点间的距离有1，2，3，，，，，，， 故任意两个格点间的距离不可能是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3. （22-23八年级下·天津·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟记勾股定理的内容是解题得关键． 4. （20-21八年级下·天津南开·期末）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格线交点，则的为 度．    【答案】 【分析】连接、，根据勾股定理可以得出是等腰直角三角形，利用平行线性质得到，从而可证，得到，利用求出结果即可． 【详解】解：如图，连接、，    由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线利用网格线的特征是解答本题的关键． 5. （20-21八年级下·天津东丽·期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为 ．    【答案】2 【分析】利用勾股定理求出AB、AC、BC的长的平方，再根据勾股定理判断△ABC是直角三角形，求出三角形面积，由同一三角形面积相等即可求出AD． 【详解】解：； ， ， ， ， ， 同一三角形面积相等， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查勾股定理和同一三角形的面积相等，关键是判断△ABC是直角三角形． 6. （21-22八年级下·天津河西·期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，． (1)写出另两个顶点的坐标； (2)求此三角形的周长； (3)的面积为______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长； （3）利用分割法求面积． 【详解】（1）由图可得：；； （2），， ∴的周长为； （3）由题意知，． 故答案是：9.5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，求非直角三角形的面积时，利用“分割法”求其面积． 7. （21-22八年级下·天津津南·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)AC=，CD=，AD=5 (2)∠ACD=90° (3)13 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【详解】（1）解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． （2）解：∵AC+CD=+=25=5=AD． ∴∠ACD=90°． （3）解：．S四边形ABCD==8+5=13． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键． 8. （20-21八年级下·天津西青·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上． (1)求四边形ABCD的面积与周长； (2)∠ADC是直角吗？请你说明理由． 【答案】(1)面积12.5，周长 (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据四边形ABCD的面积=S矩形EFGH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S△AHD即可求出面积，利用勾股定理分别求出各边的长，将各边的长相加即为周长； （2）从图中可知AC的长为5，利用（1）中已求出的AD、CD的长，根据勾股定理进行判断． 【详解】（1）解： 四边形ABCD的面积=S矩形EFGH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S△AHD ∵； ； ； ； ∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD = （2）∠ADC是直角，理由如下： ∵，，AC=5 ∴△ADC是直角三角形，∠ADC是直角． 【点睛】本题考查了用大面积减小面积求面积和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 勾股定理与无理数 1. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出，进而结合数轴可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∴点A表示的数为， 故选C．    【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出长是解题关键． 2. （19-20八年级下·天津和平·期末）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，以原点O为圆心，以长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）    A． B． C．7 D．29 【答案】B 【分析】根据勾股定理，可判定． 【详解】解：由图知，, ∴． ∴； ∵7，29均是有理数 ∴点C表示的无理数只可能是． 故选：B 【点睛】本题考查无理数的概念，勾股定理；熟练勾股定理是解题的关键． 3. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，在数轴上点O是原点，点A表示的数是2，过点A作射线，在上截取．以O为圆心，长为半径作弧，在数轴上原点右侧的交点P所表示的数是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出OB的长度，再由OB=OP即可得出点P表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数为2， ∴OA=2， ∵AB=3， ∴ ∵OP=OB， ∴OP=， ∴点P表示的数为， 故选D ． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，实数与数轴，关键是要利用勾股定理求出OP的长度． 4. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理，得：， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为； 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长． 5. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，边长为1的正方形的边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴上的点，勾股定理；由勾股定理得，由线段和差得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， ， ； 故答案：． 以直角三角形三边长为边的几何图形面积问题 1. （21-22八年级下·天津南开·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，则正方形b的边长为（　　） A．55 B．16 C．6 D．4 【答案】D 【分析】 此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明图中的两个三角形全等是解题的关键．先根据同角的余角相等证明，而，即可证明，得，再由，根据勾股定理求得，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵三个正方形a，b，c在直线l的同侧，且正方形a、c的边及正方形B的顶点在直线l上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形a，c的面积分别为5和11， ∴， ∴， ∴正方形b的边长为4， 故选：D． 2. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是利用勾股定理求以直角三角形三边为边长的图形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理得到正方形边长后根据正方形面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得中，， 四边形是正方形， ． 故选：． 3. （18-19八年级下·天津·期末）如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（   ） A．13 B．169 C．12 D．5 【答案】A 【分析】由正方形的面积公式可知AC2=25，BC2=144，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求AB2．即可得出AB的长． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， 又∵AC2=144，BC2=25， ∴AB2=25+144=169， ∴AB==13． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积． 4. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．14 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，由正方形的面积得，，由勾股定理得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：C． 5. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    【答案】 【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形A的边长为， ∴正方形A的面积为45， ∴，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键． 由所给条件判断直角三角形 1. （23-24八年级下·天津·期末）已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断，即可得出结论． 【详解】解：A.由，，可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； B.由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； C.由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意； D.由可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，能判定△ABC不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理是解题的关键． 2. （22-23八年级下·天津蓟州·期末）下列各组条件中，能判断为直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即得答案. 【详解】解：A、设，则，解得， ∴， ∴不是直角三角形； B、∵， ∴， ∴不是直角三角形； C、∵， ∴是直角三角形，且； D、∵， ∴， ∴不能构成三角形，更不能构成直角三角形； 故选：C. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键，注意：若一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3. （21-22八年级下·天津南开·期末）下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（    ） A．三个角的比是 B．三条边，，满足关系 C．三条边的比是 D．三边长分别为1，2， 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、设这个三角形的三个角分别为， 由三角形的内角和定理得：， 解得， 则， 所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意； B、由得：，所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意； C、设这个三角形的三条边分别为， 因为， 所以这个三角形不是直角三角形，此项符合题意； D、因为，所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 4. （21-22八年级下·天津南开·期末）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　） A．三个内角度数之比是3：4：5 B．三边长的平方比为5：12：13 C．三边长度是1：： D．三个内角度数比为2：3：4 【答案】C 【分析】根据条件判断三角形是否是直角三角形，可以从角中选取最大角，计算是否是直角，也可以根据勾股定理逆定里进行判断即可． 【详解】解：A:当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：，故选项A不符合题意； B:当三边长的平方比为5：12：13时，因为,,,故该三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意； C:当三边长度是时，，,该三角形是直角三角形，故选项C符合题意； D:三个内角度数比为2：3：4时，最大的角的度数是：，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，从角和边两方面，通过相关的定理去推断是解题的切入点． 5. （22-23八年级下·天津东丽·期末）已知的三边长分别为，且满足，则（    ） A．不是直角 B．是以为斜边的直角三角形 C．是以为斜边的直角三角形 D．是以为斜边的直角三角形 【答案】D 【分析】根据的三边长分别为，9足，由非负式和为零成立的条件得到，通过各个选项信息，结合勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：的三边长分别为，满足， 当时，成立，解得， ， ，即是以为斜边的直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查非负式和为零成立的条件、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握非负式和为零成立的条件是解决问题的关键． 勾股定理与折叠问题 1. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理求得，由折叠得，，则，进而根据等面积法即可求解．． 【详解】解：的两直角边，， ， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， 的长为， 故选：A． 【点睛】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求得并且证明是解题的关键． 2. （22-23八年级下·天津·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与重合，折痕为，则的周长等于 ． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 3. （18-19八年级下·天津南开·期末）如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为 . 【答案】 【分析】根据翻折变换的性质可得AN=AB，∠BAE=∠NAE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠F，从而得到∠NAE=∠F，根据等角对等边可得AM=FM，设CM=x，表示出DM、AM，然后利用勾股定理列方程求出x的值，从而得到AM的值，最后根据NM=AM-AN计算即可得解． 【详解】∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处， ∴AN=AB=6，∠BAE=∠NAE， ∵正方形对边AB∥CD， ∴∠BAE=∠F， ∴∠NAE=∠F， ∴AM=FM， 设CM=x，∵AB=2CF=8， ∴CF=3 ∴DM=6−x，AM=FM=3+x， 在Rt△ADM中,由勾股定理得,， 即 解得x=， 所以,AM=3+=， 所以,NM=AM−AN=−6= 【点睛】本题考查翻折变换，解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质. 4. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． (1)若，求的度数； (2)若； ①求的长； ②的面积为______． 【答案】(1)的度数为 (2)①的长为6；② 【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形得性质求得角相等并且和为即可解得． （2）①根据折叠得出，连续两次运用勾股定理即可求解；②根据①中结果，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴； （2）①∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，， ∴， ∵， ∴． ∴， 设，则， ∴，即， 解得：， ∴的长为6； ②由①得， ∴， ∴ 故答案为：60． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理解三角形等，解题的关键熟悉并会用直角三角形相关知识点． 5. （18-19八年级下·天津河西·期末）我们已经知道，有一个内角是直角的三角形.其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边.数学家已发现在一个直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方.如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达为：. （1）在图中，若，，则等于多少； （2）观察图，利用面积与代数恒等式的关系，试说明的正确性.其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，利用上面的结论求的长. 【答案】（1）5；（2）见解析；（3）EF=5. 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）分别用不同的方式表示出梯形的面积，列出等式，根据整式的运算法则计算即可； （3）根据勾股定理计算． 【详解】（1）由勾股定理得，c= （2）图②的梯形的面积可以有两种表示方法， 由梯形面积公式，得； 也可表示为； 故 整理得， 即. （3）由长方形和折叠的性质可得， ，，， 在中，，即， 所以，. 设，则，， 在中，， ，解得，即. 【点睛】本题考查的是四边形的综合运用，掌握梯形的面积公式、勾股定理以及翻转变换的性质是解题的关键． 勾股定理与网格内作图 1. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（）根据网格特征即勾股定理即可求解； （）先作，再作即可； 本题考查了作图，勾股定理，格点图形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由网格可知：， 故答案为：； （2）如图， 取格点，连接； 取格点，，连接与相交，得交点， ∴点即为所求： 2. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上．    计算线段 ； 、为、边上的动点，连接、，使的值最小，请用无刻度直尺，画出点和点的位置，并简要说明点、点的位置是如何找到的不要求证明 ． 【答案】 作线段关于的对称线段，作于交于，作于，此时的值最小． 【分析】利用勾股定理计算即可． 作线段关于的对称线段，作于交于，作于，此时的值最小． 【详解】解：， 故答案为：； 解：作线段关于的对称线段，作于交于，作于，此时的值最小．    故答案为：作线段关于的对称线段，作于交于，作于，此时的值最小． 【点睛】本题考查作图应用与设计，勾股定理，轴对称最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （Ⅰ）计算AB边的长为 ； （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出一个以AB为边的矩形，使矩形的面积等于△ABC的面积，并简要说明你的作图方法（不要求证明） 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理即可求出AB的长； （2）首先画出正方形ABCD，把AB向左平移2个单位到EF，延长EF交BD于H，则矩形ABHG即为所求． 【详解】（1）AB==． 故答案为： （2）如图所示，矩形ABHG即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 4. （21-22八年级下·天津滨海新·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，都在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在网格中画出点，使与面积相等，且．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D． 【分析】（1）根据勾股定理可求线段AC的长； （2）过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D即为所求． 【详解】解： 故答案为： （2）如图所示，点D即为所求， 作法：如图，找到格点,过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D．则点D即为所求 证明：如图， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ， 与面积相等． 故答案为：过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5. （22-23八年级下·天津和平·期末）【问题背景】在中，，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明在解答这道题时，先建一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点，如图所示，这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积． （）直接写出的面积， ； 【思维拓展】 （）若的三边长分别为，，，请在图的正方形网格纸中画出每个小正方形的边长为，并直接写出的面积， ． 【答案】 【分析】（）利用分割法求三角形的面积即可； （）如图中，利用数形结合的思想画出，再根据分割法求三角形的面积即可． 【详解】（）如图，   ， ， ， ， 故答案为：； （）作图如下：    同理可得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用网格图构造三角形，利用分割法求三角形的面积． 勾股定理与几何面积问题 1. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）已知的三边长分别是5，12，13，则的面积是（    ） A．24 B．30 C．40 D．48 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后再计算面积即可． 【详解】∵△ABC的三边长分别为5，12，13，且 ∴△ABC是直角三角形． △ABC的面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是用三角形较小两条边的平方和是否等于最长边的平方来验证． 2. （20-21八年级下·天津河北·期末）有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为 ． 【答案】234m2 【分析】连接AC，则△ABC和△ACD均为直角三角形，根据AB，BC可以求出AC，根据AC，CD可以求出AD，根据直角三角形面积计算可以求出△ABC和△ACD的面积，四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和． 【详解】连接AC， 在Rt△ABC中，AC为斜边， 则AC===25（m）， 在Rt△ACD中，AC为斜边，则AD==═24（m）， 四边形ABCD面积S=AB×BC+AD×CD=×20×15+×7×24=234（m2）． 故答案为234m2． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用以及直角三角形面积计算，本题中正确的运用勾股定理计算AC是解题的关键． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在四边形中，已知，，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：，，， ， 由勾股定理得：， ，， ， ， 四边形的面积的面积的面积 ． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理、含的直角三角形的性质，解决问题的关键是掌握勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 4. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，某小区有一块四边形空地，连，经过测量可得是等腰三角形，，，．    (1)判断的形状； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理和逆定理的应用： （1）根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形； （2）过点A作于点E，得，由勾股定理得，再由三角形面积公式求出和的面积即可得出结论 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：过点A作于点E，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴； 又， ∴这块空地的面积为 5. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求这块四边形绿地的面积． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2) 【分析】（1）利用的面积求出的长，分别求出，，利用勾股定理逆定理判断出三角形为直角三角形； （2）分别求出和的面积，两个三角形的面积的和即为四边形绿地的面积． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：的面积是，，， ， ， ，， ， 是直角三角形； （2）， 四边形的面积是． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，三角形面积的求解，熟练掌握勾股定理逆定理是解答本题的关键． 6. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，四边形中，．    (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证：连接，如图所示，    由题意，在中，， ∵，， ∴， ∴是为斜边的直角三角形， ∴； （2）解：由（1）可得是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． 7. （22-23八年级下·天津·期末）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 8. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 勾股定理的实际应用 1. （21-22八年级下·天津北辰·期末）如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　） A．2m B．3m C．4m D．m 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，， 则， 即该竹竿的顶端离地竖直高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 2. （22-23八年级下·天津西青·期末）如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，已知斜边，一条直角边，用勾股定理求得另一条直角边即可． 【详解】解：如图：    在中，，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 3. （21-22八年级下·天津·期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（   ）米路 A．30 B．20 C．50 D．40 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AB=40米，BC=30米， ∴AC==50（米）， 30+40-50=20（米）， ∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理． 4. （21-22八年级下·天津南开·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子的距离为3尺，则原处还有竹子 尺．（请直接写出答案，注：1丈=10尺．） 【答案】 【分析】设尺，则尺，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理得：，即， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 5. （21-22八年级下·天津·期末）如图，一架梯子长10米底端离墙的距离为6米，当梯子下滑到时，米，则 米    【答案】2 【分析】在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得：（米）， ∵， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 6. （21-22八年级下·天津·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，.测得处与处的距离（的长）为，处与处的距离（的长）为，，. (1)旋转木马处到出口处的距离（的长）为______； (2)海洋球处到出口处的距离（的长）为______； (3)求入口到出口处的距离（的长）. 【答案】(1)40 (2)120 (3) 【分析】（1）根据含30°直角三角形的性质可直接进行求解； （2）由题意易得∠AEB=∠DEC=60°，则有∠D=30°，然后根据含30度直角三角形的性质可求解． （3）在Rt△ABE中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵DB⊥AB，∠BAE＝30°， ∴， ∵AE=80m， ∴BE=40m． 故答案为40． （2）解：∵DB⊥AB，∠BAE＝30°， ∴∠AEB=∠DEC=60°， ∵∠C＝90°， ∴∠D=30°， ∵CE=40m， ∴， ∴DB=DE+BE=120m． 故答案为120． （3）解：∵在Rt△ABE中，AE=80m，BE=40m ∴AB= ． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握含30度直角三角形的性质是解答本题的关键． 7. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． (1)请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； (2)求村庄A到县城C的距离的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，注意计算的准确性即可； （1）判断是否成立即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知新公路是村庄A到高速公路的最短路线． （2）解：设，则． 由（1）知，即． 在中，， ∴， 解得． 答：村庄A到县城C的距离是． 勾股定理与其他问题 1. （20-21八年级下·天津南开·期末）如图，点P是平面坐标系中一点，则点P到原点的距离是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接PO，在直角坐标系中，根据点P的坐标是（），可知P的横坐标为，纵坐标为，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接PO．     ∵点P的坐标是（）， ∴点P到原点的距离==3． 故选A． 【点睛】本题主要考查学生对勾股定理、坐标与图形性质的理解和掌握，解答此题的关键是明确点P的横坐标为，纵坐标为． 2. （23-24八年级下·天津北辰·期末）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 【答案】C 【详解】试题解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2=122+52=169， 解得x=13． 故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76． 故选：C． 3. （20-21八年级上·天津河东·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，且，在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题应分别讨论OA=OP、AP=OA、AP=OP的各种情况，即可得出答案． 【详解】 如图所示：点A的坐标为 (4,−3) ，则AB=5 （1）若OA=AP，则AP=5，此时点P（0，-6）； （2）若OA=OP，则OP=5，此时点P（0，5），P（0，-5）； （3）若AP=OP，设OP=AP=x，过A做OP的垂线交y轴与D点，由勾股定理得（x-3）+4 = x，解得x= ，则点P（0，-）． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形性质，难度适中，关键是掌握△AOP为等腰三角形时，那么任意一对邻边可为等腰三角形，注意分情况讨论． 4. （22-23八年级下·天津河西·期末）点和点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：点和点， ∴两点之间的距离为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离的求解，比较简单，熟记两点间的距离的计算方法是解题的关键． 5. （21-22八年级下·天津东丽·期末）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为 ． 【答案】16 【分析】根据等腰直角三角形的性质进行分析，可得到边的长度特点. 【详解】解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1， ∴AA1＝OA＝1，OA1＝OA＝； ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4． ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4． ∵△OA5A6为等腰直角三角形， ∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8． ∴OA8的长度为＝16． 故答案为16． 【点睛】考核知识点：等腰直角三角形性质，解直角三角形.分析寻找规律是重点. 6. （20-21八年级上·天津津南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高． （1）若AB=8，则AD的长为 ； （2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）；（2）作图见解析 【分析】（1）先利用含的直角三角形的性质求解 再利用勾股定理求解 再利用求解，再利用勾股定理求解即可； （2）作点关于的对称点 作关于的对称点，连接 交于 交于 则此时的值最小，即为线段的长. 【详解】解：（1） ∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8， 故答案为： （2）如图，即为所求作的点， 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，利用轴对称的性质确定线段和取最小值时点的位置，掌握“轴对称的性质”是解本题的关键. 7. （22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，中，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动． 当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ (3)直接写出当为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)的周长为 (2)当或，直线把的周长分成相等的两部分 (3)当或或或时，为等腰三角形， 【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能分类讨论是解题的关键． （1）根据速度为每秒，求出出发2秒后的长，然后就知的长，利用勾股定理求得的长，最后即可求得周长． （2）分类讨论①当点P在上，点Q在上时，，②如图，当P点在上，Q在上时，，③如图，当P点在上，Q在上，， 结合图形列出方程求解即可 （3）因为与已知，由勾股定理得，然后进行分类讨论①如图，若P在边AC上时，，②若P在边上时，，③若P在边上时，，④当若P在边上时，． 【详解】（1）解：如图，由， ∴， 动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发2秒后，则， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． （2）解：①当点P在上，点Q在上时，， 根据题意可得， 则， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ②如图，当P点在上，Q在上时，， 根据题意可得， 则， ∴， 解得：； ③如图，当P点在上，Q在上，， 根据题意得出， 则，， ∴， 解得：， ∴综上：当或时，直线把的周长分成相等的两部分． （3）解：①如图，若P在边AC上时，， 此时，为等腰三角形； ②若P在边上时，， 过C作斜边的高，则， 在中，， ∴， ∴P运动的路程为， ∴； ③若P在边上时，， 过点P作与点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意可得：， ∴， 解得：， ④当若P在边上时，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当或或或时，为等腰三角形； 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$