专题03 平行四边形（8个经典基础题型＋3个优选提升题型）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形 平行四边形性质计算 1. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）若平行四边形周长为40，两邻边之差为4，则较短的边长是（    ） A．12 B．11 C．8 D．6 2. （22-23八年级下·天津西青·期末）在中，若比大，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级下·天津西青·期末）图①是一面旗帜，图②是其示意图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边于点，连接，若的周长为10，则的周长为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 5. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，在平行四边形中，点是延长线上的一点，且，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 6. （20-21八年级下·天津津南·期末）如图，在ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△AOD的周长是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 7. （22-23八年级下·天津红桥·期末）如图□的对角线交于点，，，则的度数为（   ） A．50° B．40° C．30° D．20° 8. （21-22八年级下·天津滨海新·期末）在中，若，，则的周长是（    ） A．8 B．16 C．11 D．13 9. （23-24八年级下·天津南开·期末）在中，若，则为 （度）． 10. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，若∠A＝130°，则∠AEB的度数为 ． 平行四边形与坐标 1. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，O为原点，的顶点，，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，的顶点，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．    4. （21-22八年级下·天津河西·期末）如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为，，，则顶点B的坐标为 ． 平行四边形的判定 1. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，四边形的对角线相交于点，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 3. （23-24八年级下·天津南开·期末）一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）已知四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5. （22-23八年级下·天津南开·期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（  ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 三角形中位线性质 1. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，在中，点E，F分别为，的中点，若的长为，则的长为（    ）    A． B．2 C． D．4 2. （19-20八年级下·天津滨海新·期末）如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 3. （23-24八年级下·天津·期末）△ABC中，，，，点D、E、F分别是三边的中点，则的周长为（  ） A．8 B．9 C．15 D．18 4. （23-24八年级下·天津·期末）如图，点，分别是的，边的中点，若，则的长等于 ． 5. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，，则AD的长为 cm． 6. （22-23八年级下·天津·期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为13m，则A、B间的距离为 m． 平行四边形的判定及性质的几何计算 1. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，在四边形中，，且 交于点E，平分．若，则的长为（    ）    A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 2. （22-23八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，若，则的大小为 （度）．    3. （22-23八年级下·天津开发区·期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．    平行四边形的性质证明题 1. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 2. （20-21八年级下·天津河西·期末）如图，平行四边形的对角线的中点，过点且与，分别相交于点，． 求证：． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若与交于点O，求证：． 4. （20-21八年级下·天津红桥·期末）如图，在□ABCD 中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为点，，平分． (1)若，求的大小； (2)求证：． 平行四边形与中位线综合解答题 1. （23-24八年级下·天津·期末）在中，    (1)如图1，若，则的周长为 ，若，则的度数是 ； (2)如图2，点E是外一点，连接并延长交于点F，且求证：． 2. （21-22八年级下·天津南开·期末）如图，等边的边长是2，分别为的中点，延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求的长． 3. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，的对角线，相交于点O，分别延长，，，至点A，B，C，D，使点E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形． 平行四边形的判定及性质证明题 1. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形中，分别为上两点，，连接．求证：四边形为平行四边形． 2. （19-20八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形中，点A、C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 3. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，在中，点E，F分别在上，连接，与对角线分别交于点M，N，．求证． 4. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 5. （22-23八年级下·天津·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．    6. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点在对角线上，且．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 7. （21-22八年级下·天津北辰·期末）如图，在▱中，点、分别在、上，与相交于点，且． (1)求证：≌； (2)连接，，求证：四边形是平行四边形． 8. （20-21八年级下·天津西青·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O且分别交AD、BC于点E和点F (1)求证：OE=OF (2)求证：四边形BEDF是平行四边形． 9. （20-21八年级下·天津津南·期末）已知：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点． (1)如图①，求证：DF＝BE； (2)如图②，连接DE、BF，求证：四边形DEBF是平行四边形． 平行四边形的性质综合计算题 1. （20-21八年级下·天津红桥·期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD=150°，CD=，过点C作直线CE⊥AB，垂足为E，与AD相交于点F，若AF=DF，则▱ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 2. （20-21八年级下·天津河西·期末）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 3. （19-20八年级下·天津东丽·期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，已知的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 5. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，在中，，分别平分，，在上，，，则的周长是 ． 6. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ． 7. （21-22八年级下·天津·期末）如图，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边中线，点E是AB边上一动点，以EA，ED为边作平行四边形AEDF． （1）AD的长为 ． （2）EF的最小值为 ． 平行四边形与作图问题 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的顶点，均在格点上，，的在网格线上． （1）线段的长为 ； （2）在直线上找一点，连接，使得平分．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 2. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，，，，均为格点． （1）四边形是 四边形，四边形面积等于 ； （2）请用无刻度直尺，在所示的网格中求作一点，使得以为底边的等腰三角形的面积等于并简要说明点的位置是如何找到的 （不要求证明） 3. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）在如图所示的8×8网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均落在格点上． (1)的长等于______； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺， ①画出正方形；（简要说明画法，不要求证明） ②画出线段的中点O．（简要说明画法，不要求证明） 4. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，在中，，点在的延长线上．    (1)按下列要求使用直尺和圆规作图，保留作图痕迹（不要求写作法和证明）；并在图中标明相应的字母． ①作的平分线； ②在上截取，连接； (2)在（1）的条件下，判断四边形形状，并证明你的结论． 平行四边形与三角形综合问题 1. （21-22八年级上·天津东丽·期末）如图，共顶点的两个三角形，，若，，且，已知是的中线．    (1)如图1，若为等边三角形，直接写出与的数量关系______； (2)如图2，若为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图2，若为任意三角形时，且，则______． 2. （22-23八年级上·天津·期末）如图1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）求点B的坐标； （2）求证：四边形ABCE是平行四边形； （3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 平行四边形性质计算 1. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）若平行四边形周长为40，两邻边之差为4，则较短的边长是（    ） A．12 B．11 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．如图：因为四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得，，又因为平行四边形的周长等于40，两邻边之差为4，所以可求得这个平行四边形较短的边长的长． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的周长等于40， ， ， ， ，， 平行四边形的较短边的长是8， 故选：C． 2. （22-23八年级下·天津西青·期末）在中，若比大，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数． 【详解】解：画出图形如下所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分． 3. （23-24八年级下·天津西青·期末）图①是一面旗帜，图②是其示意图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形对角相等的性质求出，再利用补角的定义求解即可． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， ， ． 故选：B 4. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边于点，连接，若的周长为10，则的周长为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线，涉及中垂线性质、平行四边形性质等知识，根据题意，由基本尺规作图得到是线段的中垂线，结合平行四边形性质、三角形周长及平行四边形周长的表示，数形结合，代值求解即可得到答案，熟记尺规作图-垂直平分线的做法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，是线段的中垂线， ， 的周长为10， ，则， 在中，，， 的周长为， 故选：B． 5. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，在平行四边形中，点是延长线上的一点，且，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的对角相等，可直接求得答案． 【详解】解：根据题意可知 ． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质（平行四边形的对角相等），牢记平行四边形的性质是解题的关键． 6. （20-21八年级下·天津津南·期末）如图，在ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△AOD的周长是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，，然后可得的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，，， ∴的周长是：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分． 7. （22-23八年级下·天津红桥·期末）如图□的对角线交于点，，，则的度数为（   ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质得到，再根据垂直的定义及三角形的内角和求出． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴， ∵， ∴=90°-=20°， 故选：D. 【点睛】此题主要考查平行四边形内的角度求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 8. （21-22八年级下·天津滨海新·期末）在中，若，，则的周长是（    ） A．8 B．16 C．11 D．13 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对边相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ，， 则的周长是， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 9. （23-24八年级下·天津南开·期末）在中，若，则为 （度）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，即可求解；掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 故答案：． 10. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，若∠A＝130°，则∠AEB的度数为 ． 【答案】25° 【分析】由平行四边形的性质得出ADBC，由平行线的性质得出∠AEB=∠CBE，∠ABC=50°，由角平分线定义求出∠CBE=25°，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴∠AEB=∠CBE，∠ABC+∠A=180°， ∵∠A=130°， ∴∠ABC=180°-∠A=180°-130°=50°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=25°， ∴∠AEB=25°； 故答案为：25°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 平行四边形与坐标 1. （23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，O为原点，的顶点，，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质．先求出，轴，再由平行四边形的性质得到，则轴，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，轴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∵， ∴， 故选：C． 2. （22-23八年级下·天津河西·期末）如图，的顶点，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，即可求得顶点C的坐标． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 的顶点、、的坐标分别是，，， ，， 顶点的坐标为，即． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 3. （23-24八年级下·天津·期末）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质． 4. （21-22八年级下·天津河西·期末）如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为，，，则顶点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】四边形ABCD是平行四边形，对边平行且相等AB=OC，则点B的横坐标等于点A的横坐标加上AB的长度的，点B的纵坐标等于点A的纵坐标． 【详解】∵点O（0，0），点C ∴OC= ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB=OC= ∵A(2，3) ∴B 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对边平行且相等是解题的关键． 平行四边形的判定 1. （23-24八年级下·天津河东·期末）如图，四边形的对角线相交于点，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、由，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；     B． ∵，∴，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；         C．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；         D．∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， 故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 3. （23-24八年级下·天津南开·期末）一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，非负数和为零；由非负数和为零的意义得，，由平行四边形的判定方法即可求解；理解非负数和为零的意义，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， 四边形一定是平行四边形． 故选：A． 4. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）已知四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：如图所示，    A. 由，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵， ∴四边形是平行四边形，故该选项正确，符合题意； C. 由，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；     D. 由，只能判断，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 5. （22-23八年级下·天津南开·期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（  ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】已知AC和BD是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即AO＝CO，BO＝DO）的四边形是平行四边形． 【详解】解：由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 三角形中位线性质 1. （22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，在中，点E，F分别为，的中点，若的长为，则的长为（    ）    A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理的数量关系“三角形的中位线等于第三边的一半”，进行计算． 【详解】∵点E、F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∵的长为， ∴； 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握定理内容是解题的关键． 2. （19-20八年级下·天津滨海新·期末）如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解． 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴OB＝OD， ∵点E是CD的中点， ∴CE＝DE， ∴OE是△BCD的中位线， ∵BC＝6， ∴OE＝BC＝3． 故选：C． 【点晴】本题考查了平行四边形的性质：对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理． 3. （23-24八年级下·天津·期末）△ABC中，，，，点D、E、F分别是三边的中点，则的周长为（  ） A．8 B．9 C．15 D．18 【答案】B 【分析】首先确定，，是的中位线，再根据三角形中位线的性质得，，，进而求出各边长得出答案即可． 【详解】∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，是的中位线， ∴，，． ∵，，， ∴，，， ∴的周长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，根据中位线的性质求出各边长是解题的关键．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 4. （23-24八年级下·天津·期末）如图，点，分别是的，边的中点，若，则的长等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可． 【详解】解：∵点，分别是的，边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 5. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，，则AD的长为 cm． 【答案】10 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO=DO， ∵点E是AB的中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴AD=2OE， ∵OE=5cm， ∴AD=10cm． 故答案为：10． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理．掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题关键． 6. （22-23八年级下·天津·期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为13m，则A、B间的距离为 m． 【答案】26 【分析】D、E是AC和BC的中点，则DE是△ABC的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是AC，BC的中点， ∴AB=2DE=26m． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，正确理解定理是解题的关键． 平行四边形的判定及性质的几何计算 1. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，在四边形中，，且 交于点E，平分．若，则的长为（    ）    A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，得出，根据角平分线的定义和平行线的性质证明，然后利用线段间的代换即可求出答案. 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键. 2. （22-23八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，若，则的大小为 （度）．    【答案】 【分析】由两组对边相等，可知四边形是平行四边形，进而，可得度数． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， , , ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，平行四边形的性质，准确判定平行四边形是解题的关键． 3. （22-23八年级下·天津开发区·期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接、，先证明四边形，是平行四边形，进而得到，再证明是等边三角形，进一步证明，得到，则，，即可由勾股定理得到． 【详解】解：如图所示，连接、， 四边形是平行四边形， ，， 点，分别是，边的中点， ， 四边形，是平行四边形， ，，四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ，， 、、三点共线， ， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、等边三角形的性质于判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 平行四边形的性质证明题 1. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)和之间的距离，和之间的距离 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握以下知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高． （1）根据平行线间的距离求解即可； （2）已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求出BC＝8，根据平行四边形的面积＝底乘以高可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴和之间的距离，和之间的距离； （2）∵的周长为， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 2. （20-21八年级下·天津河西·期末）如图，平行四边形的对角线的中点，过点且与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，∥，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形，点为的中点 ，∥， ， 在和中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质与三角形全等的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 3. （22-23八年级下·天津·期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若与交于点O，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质． （1）由，可得，由，，可得，又由，即可证得≌； （2）由≌可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形，则可得 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ， ； （2）连接，交于点O，   ≌， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， 4. （20-21八年级下·天津红桥·期末）如图，在□ABCD 中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为点，，平分． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）由“AAS”可证△AEO≌△CFO，可得AE=CF． 【详解】（1）∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 平分， ∴ ． ∵ 四边形为平行四边形， ∴． ∴ ． （2）∵ 四边形是平行四边形， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 在和中， ∴ ≌． ∴ ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 平行四边形与中位线综合解答题 1. （23-24八年级下·天津·期末）在中，    (1)如图1，若，则的周长为 ，若，则的度数是 ； (2)如图2，点E是外一点，连接并延长交于点F，且求证：． 【答案】(1)16； (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题； （1）利用平行四边形对边与对角相等的性质即可解决问题； （2）连接交于O，则，利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长， 由的对角相等得：． 故答案为：16；． （2）如图，连接，与相交于点O．    ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， 即． 2. （21-22八年级下·天津南开·期末）如图，等边的边长是2，分别为的中点，延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，再利用平行四边形的判定方法得出答案； （2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出，，即可求得答案． 【详解】（1）证明：分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， 为的中点，等边三角形的边长为2， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，的对角线，相交于点O，分别延长，，，至点A，B，C，D，使点E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， 点分别是，的中点， ， 同理可得：， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 平行四边形的判定及性质证明题 1. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形中，分别为上两点，，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定．平行四边形，可知，；由于，可得，，知四边形为平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 2. （19-20八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形中，点A、C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，连结，交于点O．证明，，从而可得结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：连结，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴． 即． ∴四边形是平行四边形． 3. （23-24八年级下·天津西青·期末）如图，在中，点E，F分别在上，连接，与对角线分别交于点M，N，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 由，，可得，则，证明四边形是平行四边形，则，，进而可得． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴．即． 4. （23-24八年级下·天津和平·期末）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，和平行四边形的性质． （1）根据题意利用平行四边形的性质和全等三角形得判定，解得，即可得出答案． （2）根据题意和（1）可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． ． ， ∴， ． 在和中， ， ． ．    （2）证明：由（1），得． 又， ∴四边形为平行四边形． 5. （22-23八年级下·天津·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的定义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定是平行四边形，从而得出． 【详解】证明：连接，，如图所示：    ∵四边形是平行四边形, ∴, ∵分别是的中点, ， ∴, ∴是平行四边形， ∴. 6. （23-24八年级下·天津·期末）如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点在对角线上，且．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据中点的性质可得，根据全等三角形的判定方法“边角边”即可求证； （2）由（1）可知，可得，，运用平角的计算可得，根据平行四边形的判定即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， 在中， ， ∴． （2）证明：由（1）可知，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 7. （21-22八年级下·天津北辰·期末）如图，在▱中，点、分别在、上，与相交于点，且． (1)求证：≌； (2)连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行可知两组对应的内错角相等，即可证明全等； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】（1）在▱中，， ，， ， ≌（AAS）； （2）如图， ≌； ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题关键． 8. （20-21八年级下·天津西青·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O且分别交AD、BC于点E和点F (1)求证：OE=OF (2)求证：四边形BEDF是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得出OD=OB，AD//BC，即可得出∠DEF=∠BFO，∠EDO=∠FBO，故，即可得出答案； （2）由，可证得四边形BEDF是平行四边形． 【详解】（1）在中，OD=OB，AD//BC， ∴∠DEF=∠BFO，∠EDO=∠FBO， ∴， ∴OE=OF； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 9. （20-21八年级下·天津津南·期末）已知：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点． (1)如图①，求证：DF＝BE； (2)如图②，连接DE、BF，求证：四边形DEBF是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理以及全等三角形的判定得出△BEO≌△DFO，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC， 又∵E，F分别是OA、OC的中点， ∴OE=OA，OF=OC， ∴OE=OF， ∵在△BEO与△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE=DF； （2）由（1）得△BEO≌△DFO， ∴OE=OF， 又∵OB=OD， ∴四边形DEBF是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定． 平行四边形的性质综合计算题 1. （20-21八年级下·天津红桥·期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD=150°，CD=，过点C作直线CE⊥AB，垂足为E，与AD相交于点F，若AF=DF，则▱ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“ASA”可证△AEF≌△DCF，可得AE=CD=，EF=CF，由勾股定理可求EF=1，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD=， ∵∠BAD=150°， ∴∠EAF=30°， ∵CE⊥AB， ∴AF=2EF， ∵ABCD， ∴∠EAF=∠D， 在△AEF和△DCF中， ， ∴△AEF≌△DCF（ASA）， ∴AE=CD=，EF=CF， ∵， ∴EF=1（负值舍去）， ∴CE=2， ∴▱ABCD的面积=AB•CE=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2. （20-21八年级下·天津河西·期末）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，再根据是等边三角形，即可得到的周长为． 【详解】由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴ ∴是等边三角形， ∴的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定，解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3. （19-20八年级下·天津东丽·期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，如图，根据AAS易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，可得AD＝HC，进而可求得BH的长，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为BH的长． 【详解】解：过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，如图， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH， ∵PD∥CQ， ∴∠PDC＝∠DCQ， ∴∠ADP＝∠QCH， 又∵PD＝CQ，∠A=∠CHQ=90°， ∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）， ∴AD＝HC， ∵AD＝1，BC＝3， ∴BH＝4， ∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识、明确当PQ⊥AB时，PQ的长最小是解题的关键． 4. （22-23八年级下·天津南开·期末）如图，已知的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】作辅助线如解析图，由于四边形是平行四边形，所以，又由平行四边形的性质可推得，则可证明，进而可得的长固定不变，当最小时，取得最小值，从而可求． 【详解】过点B作直线，交直线于点D，过点B作轴，交x轴于点E，直线与交于点M，与x轴交于点F，直线与交于点N，如图：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵直线与直线均垂直于x轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 由于的长不变，所以当最小时（即B点在x轴上），取得最小值，最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 5. （22-23八年级下·天津滨海新·期末）如图，在中，，分别平分，，在上，，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形和等腰三角形和直角三角形．根据直角三角形的勾股定理得到．根据等腰三角形的性质得到，从而求得该平行四边形的周长． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 平行四边形的周长； 故答案为：． 6. （21-22八年级下·天津西青·期末）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】/2.5 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质，平行四边形的性质以及三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质得出，由等边三角形的性质得，延长交于点H，利用“”证明可得，，证出是等边三角形，最后求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，G为的中点， ∴， 延长交于点H， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 7. （21-22八年级下·天津·期末）如图，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边中线，点E是AB边上一动点，以EA，ED为边作平行四边形AEDF． （1）AD的长为 ． （2）EF的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得BD=4，再利用勾股定理即可求解． （2）设AD与EF的交点为O，过点O作OH⊥AB于H，利用平行四边形的性质可得，当OE最小时，即可得EF的最小值． 【详解】解：（1）∵等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边的中线， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设AD与EF的交点为O，过点O作OH⊥AB于H，如图所示： ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴AO=OD，， ∴当OE最小时，此时EF最小， ∴OE⊥AB时，OE最小值为OH的长， ∴， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、垂线段最短，将EF的最小值转化为OE最小是解题的关键． 平行四边形与作图问题 1. （23-24八年级下·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的顶点，均在格点上，，的在网格线上． （1）线段的长为 ； （2）在直线上找一点，连接，使得平分．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，点为所求点的位置 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由勾股定理即可求解； （2）如图所示，连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，可证，，是等腰三角形，，由，，由此即可求解． 【详解】解：（1） ； 故答案：； （2）如图所示，连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴平分， ∴点为所求点的位置． 故答案：连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，点为所求点的位置． 2. （22-23八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，，，，均为格点． （1）四边形是 四边形，四边形面积等于 ； （2）请用无刻度直尺，在所示的网格中求作一点，使得以为底边的等腰三角形的面积等于并简要说明点的位置是如何找到的 （不要求证明） 【答案】 平行 2 见解析． 【分析】（1）利用一组对边平行且相等可判断四边形是平行四边形；根据平行四边形的面积公式计算四边形面积； （2）如图，点、、分别为小正方形网格的边的中点，连接、，与的交点为点，为与网格线的交点，再把绕点顺时针旋转得到，由得，即垂直平分，所以；然后利用四边形的面积为得到等腰三角形的面积等于，从而可判断点满足条件． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， 四边形面积为：； （2）如图，与网格线的交点为，为中点， 小正方形网格的边的中点、、， 连接、， 四边形的面积为， 与的交点为点， 将绕点顺时针旋转得到， 由网格知：， ， 垂直平分， ； 四边形的面积为， 等腰三角形的面积等于， 则点即为所求． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的面积． 3. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）在如图所示的8×8网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均落在格点上． (1)的长等于______； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺， ①画出正方形；（简要说明画法，不要求证明） ②画出线段的中点O．（简要说明画法，不要求证明） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，平行四边形的判定和性质，熟练掌握勾股定理与网格，平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解的长即可； （2）①利用勾股定理满足，取格点D，连接，即可②根据平行四边形对角线互相平分，直接连接即可； 【详解】（1）由图可知为直角边分别为1和7的直角三角形的斜边， ； 故答案为：； （2）①由图可知、为两直角边分别为4和3的直角三角形的斜边， 点D在A的右侧4个格，下侧三个格点处，连接，，即为所求； ②连接，交于点O，点O即为所求； 4. （23-24八年级下·天津滨海新·期末）如图，在中，，点在的延长线上．    (1)按下列要求使用直尺和圆规作图，保留作图痕迹（不要求写作法和证明）；并在图中标明相应的字母． ①作的平分线； ②在上截取，连接； (2)在（1）的条件下，判断四边形形状，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)平行四边形，见解析 【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据角平分线的作法作图即可；②根据作一条线段等于已知线段作图即可； （2）先证明，得出，再由平行四边形的判定方法即可得证． 【详解】（1）解：①如图，即为所作； ②如图，即为所作；   ； （2）解：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 平行四边形与三角形综合问题 1. （21-22八年级上·天津东丽·期末）如图，共顶点的两个三角形，，若，，且，已知是的中线．    (1)如图1，若为等边三角形，直接写出与的数量关系______； (2)如图2，若为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图2，若为任意三角形时，且，则______． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质、等边三角形的性质，结合，推出，根据含角的直角三角形的性质，即可证明； （2）延长到，使，连接，．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，证明四边形是平行四边形，利用证，推出即可； （3）结合由（2）已证四边形是平行四边形，，根据平行线之间的距离处处相等，同底等高则，根据全等则，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：仍成立，理由如下， 如图，延长到，使，连接，，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：由（2）已证四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质，灵活运用这些性质推理证明是解题的关键． 2. （22-23八年级上·天津·期末）如图1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）求点B的坐标； （2）求证：四边形ABCE是平行四边形； （3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长． 【答案】(1)（4，4）；(2)见解析;(3)1. 【分析】（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据勾股定理即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标； （2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形； （3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，然后根据勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的长． 【详解】在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8， ∴AB＝OB＝×8＝4， OA²＝OB²-AB² ∴OA= ==4 ∴点B的坐标为（4，4）； （2）证明：∵∠OAB＝90°， ∴AB⊥x轴， ∵y轴⊥x轴， ∴AB∥y轴，即AB∥CE， ∵∠AOB＝30°， ∴∠OBA＝60°， ∵DB＝DO＝4 ∴DB＝AB＝4 ∴∠BDA＝∠BAD＝120°÷2＝60°， ∴∠ADB＝60°， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC＝60°， ∴∠ADB＝∠OBC， 即AD∥BC， ∴四边形ABCE是平行四边形； （3）设OG的长为x， ∵OC＝OB＝8， ∴CG＝8﹣x， 由折叠的性质可得：AG＝CG＝8﹣x， 在Rt△AOG中，AG2＝OG2+OA2， 即（8﹣x）2＝x2+（4）2， 解得：x＝1， 即OG＝1． 【点睛】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$