第01讲 从自然数到有理数（知识清单+易错+7必考题型）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版2024）

第01讲 从自然数到有理数 题型梳理 易错分析 易错点一 对0的意义理解不清致误 题型方法 题型一 自然数的应用 题型二 分数与小数的转化 题型三 数的运算 题型四 小数、分数的应用 题型五 具有相反意义的量 题型六 正数和负数 题型七 有理数的概念及分类 知识清单 知识点1自然数、分数、小数的意义 1.自然数 定义：表示物体个数的数，从 0 开始，依次为 0，1，2，3，…。 作用：可用于计数，如统计人数、物品数量等；用于测量，如长度、重量等；用于标号，像车次、学号等；还可用于排序，如年份、月份、名次等。 2、 分数与小数 关系：分数可以看做两个整数相除，能化为有限小数或无限循环小数。有限小数、无限循环小数和百分数都可以转化为分数。 知识点2 正数与负数 定义：大于 0 的数叫做正数，正数前面的 “+” 号通常可省略不写；在正数前加上符号 “-” 的数叫做负数，负数前的 “-” 号不能省略。0 既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 表示相反意义的量：具有相反意义的量包括两层含义，一是意义相反，二是要有数量，且成对出现。如规定 “向上、盈利、收入” 为正，则 “向下、亏损、支出” 为负，若收入 500 元记做 + 500 元，那么支出 100 元应记做 - 100 元。 知识点3 有理数的有关概念及分类 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.有理数的分类 ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 5.几个常用数学名词的含义 非负数:正数和 0. 非正数:负数和 0. 非负整数(也叫自然数):正整数和0. 非正整数:负整数和0. 非正有理数:0、负整数和负分数 非负有理数:0、正整数和正分数 易错分析 【易错点一】对0的意义理解不清致误 【例1】（2024七年级上·浙江·专题练习）对于0的表述，不正确的是（　　） A．0是自然数 B．相反数是本身的数只有0 C．0的平方根是本身 D．0既不是有理数也不是无理数 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·浙江杭州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．的绝对值是 C．立方根等于本身的数是 D．一个有理数不是整数就是分数 【变式2】（20-21七年级上·浙江温州·期中）下列说法错误的是（  ） A．零既不是正数，也不是负数 B．整数和分数统称有理数 C．自然数包括正整数和零 D．整数包括正整数和负整数 【变式3】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）关于0的说法正确的是（    ） A．0是正有理数 B．0是负有理数 C．0是整数 D．0是分数 题型方法 【题型一】自然数的应用 【例1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）七年级一共有10个班，自然数10表示（    ） A．计数 B．测量 C．标号 D．排序 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）中国第一座跨海大桥杭州湾跨海大桥全长36千米，其中36千米属于（   ） A．计数 B．测量 C．标号 D．排序 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波）下列重约为1吨的是（   ） A．1000枚硬币 B．40个小朋友 C．50头大象 D．100个苹果 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州）第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，预计接待国内外游客约_____人次，杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有_____个座位．以上横线里依次填的数可能是（    ） A．80800，20000000 B．8080，20000 C．20000000，80800 D．20000，8080 【题型二】分数与小数的转化 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州）下列数中，能化成有限小数的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列小数能转化成分数的个数是（　　） ，，，（两个之间依次多一个） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴）把分数化成小数以后，小数点后面第2024位上的数字是 ． 【变式3】计算： ．（化为小数） 【题型三】数的运算 【例3】（22-23七年级上·浙江衢州·期中）算式运用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）计算的结果为 ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1) ； (2)． 【题型四】小数、分数的应用 【例4】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于（　　）    A．第18行，第7列 B．第17行，第7列 C．第17行，第11列 D．第18行，第11列 【举一反三】【变式1】我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为 ． 【变式2】将分数化为小数是，则小数点后第2012位上的数是 ． 【变式3】（七年级上·浙江宁波·期末）将有理数化为小数是，则小数点后第2018位上的数是 ． 【题型五】具有相反意义的量 【例5】（24-25七年级上·浙江金华·期末）早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱3文记为文，那么亏钱4文记为（   ） A．文 B．文 C．文 D．文 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江·期末）中国是世界上最早使用负数的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果支出500元记作元，那么元表示（　　） A．收入80元 B．支出80元 C．收入580元 D．支出580元 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如果银行账户余额增加50元记为元，那么余额减少30元记为 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）地球上海拔最高的地点是珠穆朗玛峰，其海拔高于海平面8848.86米，记作米，则地球上海拔最低的地点是我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔低于海平面154米，记作 米． 【题型六】正数和负数 【例6】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列四个有理数中，负数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）在，，0，11，，3这五个数中，正数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若气温为零上记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如果钟表的分针顺时针方向旋转，记作，则分针逆时针方向旋转，记作 ． 【题型七】有理数的概念及分类 【例7】（22-23七年级上·浙江·期中）在数0，，，0.13，0.1010010001…(相邻两个1之间依次增加1个0)，中，有理数有（   ） A．5个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）在 ， ， ， （每两个1之间依次多一个0）， 0， ，这6个数中，有理数有 个． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{        }； 分数：{        }； 有理数：{        }； 非负数：{        }． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将下列各数填入它所在的数集的圈里： 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江温州·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．6 C． D． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）若用5表示向上移动5米，则向下移动2米记作（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列各数中，是分数而不是正数的是(    ) A． B． C． D．0 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）在数96， ，，中，有理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）在0，2， ，这四个数中，是负整数的是（    ） A．0 B．2 C． D． 6．（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”中明确引进了“负数”，用正、负数来表示具有相反意义的量，说明我国是世界上最早使用负数的国家．如果在一次数学测试中，以70分为基准，80分记作分，那么60分应记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 二、填空题 7．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一瓶饮料瓶身标注的净含量是，测得实际净含量为，记作“”，那么实际净含量记作 ． 8．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习） ． 9．（22-23七年级上·浙江宁波）将下列各题填写合适的单位名称． 一瓶冰红茶饮料的容积是490          姚明的身高为226 ． 3公顷500平方米 公顷               3小时45分 时． 10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）在，，，，，这六个数中，分数有 个． 11．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是330621198704010012，其中33、06、21是此人所属的省（市、自治区）、市、县（市、区）的编码， 1987、04、01是此人出生的年、月、日， 001是顺序码，2为校验码．那么身份证号码是330602200901208022的人的生日是 月 日． 三、解答题 12．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）计算： (1) (2) 13．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可） ①；②1；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨ 自然数：{          }； 分数：{          }； 非负有理数：{          }． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）以下是数学乐园中的“有理数家族”，请给该“有理数家族”分家吧． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 从自然数到有理数 题型梳理 易错分析 易错点一 对0的意义理解不清致误 题型方法 题型一 自然数的应用 题型二 分数与小数的转化 题型三 数的运算 题型四 小数、分数的应用 题型五 具有相反意义的量 题型六 正数和负数 题型七 有理数的概念及分类 知识清单 知识点1自然数、分数、小数的意义 1.自然数 定义：表示物体个数的数，从 0 开始，依次为 0，1，2，3，…。 作用：可用于计数，如统计人数、物品数量等；用于测量，如长度、重量等；用于标号，像车次、学号等；还可用于排序，如年份、月份、名次等。 2、 分数与小数 关系：分数可以看做两个整数相除，能化为有限小数或无限循环小数。有限小数、无限循环小数和百分数都可以转化为分数。 知识点2 正数与负数 定义：大于 0 的数叫做正数，正数前面的 “+” 号通常可省略不写；在正数前加上符号 “-” 的数叫做负数，负数前的 “-” 号不能省略。0 既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 表示相反意义的量：具有相反意义的量包括两层含义，一是意义相反，二是要有数量，且成对出现。如规定 “向上、盈利、收入” 为正，则 “向下、亏损、支出” 为负，若收入 500 元记做 + 500 元，那么支出 100 元应记做 - 100 元。 知识点3 有理数的有关概念及分类 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.有理数的分类 ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 5.几个常用数学名词的含义 非负数:正数和 0. 非正数:负数和 0. 非负整数(也叫自然数):正整数和0. 非正整数:负整数和0. 非正有理数:0、负整数和负分数 非负有理数:0、正整数和正分数 易错分析 【易错点一】对0的意义理解不清致误 【例1】（2024七年级上·浙江·专题练习）对于0的表述，不正确的是（　　） A．0是自然数 B．相反数是本身的数只有0 C．0的平方根是本身 D．0既不是有理数也不是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与无理数的定义，相反数和平方根的定义，分别根据有理数和无理数的定义和分类，相反数的定义以及平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．0是自然数，说法正确，故本选项不符合题意； B．相反数是本身的数只有0，说法正确，故本选项不符合题意； C．0的平方根是本身，说法正确，故本选项不符合题意； D．0是有理数不是无理数，原来的说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·浙江杭州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．的绝对值是 C．立方根等于本身的数是 D．一个有理数不是整数就是分数 【答案】C 【分析】有理数包括正数、0、负数，0的绝对值是0，1、-1、0的立方根等于它本身，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故本选项说法正确，不符合题意； B、0的绝对值是0，故本选项说法正确，不符合题意； C、立方根等于它本身的数是1，-1，0，故本选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了对有理数，立方根的定义，绝对值的应用，注意：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数． 【变式2】（20-21七年级上·浙江温州·期中）下列说法错误的是（  ） A．零既不是正数，也不是负数 B．整数和分数统称有理数 C．自然数包括正整数和零 D．整数包括正整数和负整数 【答案】D 【分析】根据有理数的分类依次作出判断即可． 【详解】解：A．零既不是正数，也不是负数，该选项正确，不符合题意； B．整数和分数统称有理数，该选项正确，不符合题意； C．自然数包括正整数和零，该选项正确，不符合题意； D．整数包括正整数和负整数和0，该选项错误，符合题意． 故选:D． 【点睛】本题考查有理数的分类，能正确理解有理数的相关定义是解题关键 【变式3】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）关于0的说法正确的是（    ） A．0是正有理数 B．0是负有理数 C．0是整数 D．0是分数 【答案】C 【分析】根据0的意义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵0既不是正数也不是负数， ∴A、B错误， ∵0是整数， ∴C正确，D错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查0的意义，掌握0的意义，是解题的关键． 题型方法 【题型一】自然数的应用 【例1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）七年级一共有10个班，自然数10表示（    ） A．计数 B．测量 C．标号 D．排序 【答案】A 【分析】根据自然数的计数特点可得答案. 【详解】解：自然数10表示计数； 故选A 【点睛】本题考查的是自然数的含义，理解自然数表示计数是解本题的关键. 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）中国第一座跨海大桥杭州湾跨海大桥全长36千米，其中36千米属于（   ） A．计数 B．测量 C．标号 D．排序 【答案】B 【分析】本题主要考查生活与数，理解题意是解题关键． 【详解】解：36千米是一个长度单位，是一个测量的数值， 故B项正确， 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波）下列重约为1吨的是（   ） A．1000枚硬币 B．40个小朋友 C．50头大象 D．100个苹果 【答案】B 【分析】本题考查估算，根据常识进行估算即可． 【详解】解：A、1枚硬币大约重6克，1000枚硬币大约重6千克；不符合题意； B、1个小朋友大约重25千克，40个小朋友重约1吨；符合题意； C、一头大象重约6吨，不符合题意； D、1个苹果重约250克，100个苹果重约25千克，不符合题意； 故选D． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州）第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，预计接待国内外游客约_____人次，杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有_____个座位．以上横线里依次填的数可能是（    ） A．80800，20000000 B．8080，20000 C．20000000，80800 D．20000，8080 【答案】C 【分析】本题考查了数学常识，关键是第19届亚运会是国际型大型会议，数据要合理．游客人数应大于座位数，选项A，C不符合题意．D选项游客人数在2023年9月23日至2023年10月8日期间约20000，太少不合常理，故选C． 【详解】解：游客人数应大于座位数，选项A，C不符合题意．D选项游客人数在2023年9月23日至2023年10月8日期间约20000人次，太少不合常理，只有选项C符合题意． 故选：C． 【题型二】分数与小数的转化 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州）下列数中，能化成有限小数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数化成小数．根据最简分数中，分母中除了2或5外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成小数；据此逐一分析即可选择． 【详解】解：A、的分母含有质因数3，不能化成有限小数，本选项不符合题意； B、是无限不循环小数，不能化成有限小数，本选项不符合题意； C、的分母含有质因数7，不能化成有限小数，本选项不符合题意； D、，能化成有限小数，本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列小数能转化成分数的个数是（　　） ，，，（两个之间依次多一个） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据有理数的定义，有理数的概念：整数和分数统称为有理数，即可． 【详解】解：∵，， ∴在实数，，，（两个之间依次多一个）中，，，可以转化为分数． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴）把分数化成小数以后，小数点后面第2024位上的数字是 ． 【答案】1 【分析】此题考查小数与分数的互化，解决此题关键是先用分子除以分母，将化为循环小数，再根据循环节确定6个数字为一组，进而求出2024里面有几个6，再根据余数确定即可． 【详解】解：，循环节是714285， (组) (个)， 所以小数点后面第2024位上的数字是1； 故答案为：1． 【变式3】计算： ．（化为小数） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先把带分数化为假分数，再运算除法，即可作答． 【详解】解：依题意 故答案为： 【题型三】数的运算 【例3】（22-23七年级上·浙江衢州·期中）算式运用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 【答案】D 【分析】乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，算式运用了乘法分配律， 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，熟知有理数乘法分配律的定义是解题的关键 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是乘法分配律的应用，四则混合运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是： （1）根据有理数的加减法则计算即可； （2）先把除法转换为乘法，然后根据乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的相关运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算加减即可； （2）根据乘方分配律计算即可． 【详解】（1） （2） 【题型四】小数、分数的应用 【例4】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于（　　）    A．第18行，第7列 B．第17行，第7列 C．第17行，第11列 D．第18行，第11列 【答案】C 【分析】本题是数字类的规律题，此类题变化多样，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样；因此要认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法；有时也会利用方程解决问题．前5行的数表显示的规律有：①第行有个数；②每一行的同一列的分母相同；③每一行的分母与分子是连续整数的正排列和倒排列；④第行的任意一个数的分子与分母的和为；因此根据这些规律得出结论． 【详解】解：观察数表，发现：①第一行的每个数的分子、分母的和为2，第二行的每个数的分子、分母的和为3，第三行的每个数的分子、分母的和为4，，由此可知，就是每行各数的分子、分母的和为行数加1， ②每行的第一个数的分母为1，第二个数的分母为2，，即分母是几就是第几个数； 所以所在的行数为，即第17行中，位于自左至右第11个数． 故选：C 【举一反三】【变式1】我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为 ． 【答案】 【详解】试题解析：由已知的条件观察分母的变化可以得出分母分成的第一个数比这个数大，第二个数是前面两个数的积. 故答案为 【变式2】将分数化为小数是，则小数点后第2012位上的数是 ． 【答案】5 【分析】将分数化为小数是，循环节是857142，说明此循环小数中这6个数字为一个循环周期，要求小数点后面第2012位上的数字是几，就是求2012里面有几个6，再根据余数确定即可． 【详解】解：∵化为小数是， ∴（组）（个）； 所以小数点后面第2012位上的数字是5； 故答案为：5． 【点睛】本题考查数字规律问题，从题目中找到规律是解题的关键． 【变式3】（七年级上·浙江宁波·期末）将有理数化为小数是，则小数点后第2018位上的数是 ． 【答案】4 【分析】此循环小数中这6个数字为一个循环周期，要求小数点后面第2018位上的数字是几，就是求2018里面有几个6，再根据余数确定即可 【详解】解：∵2018÷6=336……2， ∴小数点后第2018位上的数与第2位数字相同，为4， 故答案为4． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，解决此题关键是根据循环确定6个数字为一个循环周期，进而求出2018里面有几个6，再根据余数确定即可 【题型五】具有相反意义的量 【例5】（24-25七年级上·浙江金华·期末）早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱3文记为文，那么亏钱4文记为（   ） A．文 B．文 C．文 D．文 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱3文记为文，那么亏钱4文记为文． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江·期末）中国是世界上最早使用负数的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果支出500元记作元，那么元表示（　　） A．收入80元 B．支出80元 C．收入580元 D．支出580元 【答案】C 【分析】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．根据正数与负数的意义可求解． 【详解】解：如果支出500元记作元，那么元表示收入580元． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如果银行账户余额增加50元记为元，那么余额减少30元记为 ． 【答案】元 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可． 【详解】解：余额增加50元记为元，那么余额减少30元记为元； 故答案为：元 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）地球上海拔最高的地点是珠穆朗玛峰，其海拔高于海平面8848.86米，记作米，则地球上海拔最低的地点是我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔低于海平面154米，记作 米． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案，理解具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：由题意可得海拔低于海平面154米，记作米， 故答案为：． 【题型六】正数和负数 【例6】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列四个有理数中，负数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了负有理数“负有理数就是小于0的有理数”，熟记负有理数的定义是解题关键．根据负有理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，则此项不符合题意； B、是负数，则此项符合题意； C、3是正数，则此项不符合题意； D、是正数，则此项不符合题意； 故选：B． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）在，，0，11，，3这五个数中，正数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，掌握它们的定义是本题的关键．根据正数的定义解答即可． 【详解】解：这五个数中，正数有3个，分别为，11，3． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若气温为零上记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】D 【分析】此题主要考查正负数的意义，解题的关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：若气温为零上记作，则表示气温为零下． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如果钟表的分针顺时针方向旋转，记作，则分针逆时针方向旋转，记作 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答． 【详解】解：钟表的分针沿顺时针方向转记作， 则逆时针方向转记作， 故答案为：． 【题型七】有理数的概念及分类 【例7】（22-23七年级上·浙江·期中）在数0，，，0.13，0.1010010001…(相邻两个1之间依次增加1个0)，中，有理数有（   ） A．5个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】B 【分析】根据无理数的三种形式：（1）开不尽方的数；（2）无限不循环小数；（3）含有π的数，结合所给数据进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得： 有理数有0，，0.13，，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数定义，属于基础题型，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）在 ， ， ， （每两个1之间依次多一个0）， 0， ，这6个数中，有理数有 个． 【答案】4 【分析】根据有理数的分类分析即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：在，， ， （每两个1之间依次多一个0）， 0， ，这6个数中，，， ，0是有理数，其余的数不是有理数． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{        }； 分数：{        }； 有理数：{        }； 非负数：{        }． 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，自然数定义，根据各定义依次判断解答即可． 【详解】解：自然数：{ 0， 2024 }； 分数：{ ，， }； 有理数：{ ，，0，，，20%，，2024．}； 非负数：{ ，0，，，20%，，2024． }． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将下列各数填入它所在的数集的圈里： 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类填空即可，熟记有理数的分类是解题关键．根据有理数分类判断，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江温州·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，正确掌握有理数的乘法法则． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）若用5表示向上移动5米，则向下移动2米记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，由用5表示向上移动5米，则可得到向下移动2米记作，熟记正负数的意义是解决问题的关键． 【详解】解：用5表示向上移动5米， 向下移动2米记作， 故选：A． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列各数中，是分数而不是正数的是(    ) A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据有理数的分类标准逐一进行分析判断即可得． 【详解】是分数而不是正数的数是负分数． 选项中，负分数是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类标准是解此类问题的关键． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）在数96， ，，中，有理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的知识，根据正有理数的概念分析各数，即可获得答案． 【详解】解：在数96， ，，中，96， ，，是有理数，共有个， 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）在0，2， ，这四个数中，是负整数的是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负整数的识别，根据负整数的定义即可求得答案． 【详解】解：0既不是负数，也不是正数；2是正整数；是负整数；是负分数； 故选：C． 6．（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”中明确引进了“负数”，用正、负数来表示具有相反意义的量，说明我国是世界上最早使用负数的国家．如果在一次数学测试中，以70分为基准，80分记作分，那么60分应记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数的定义解答即可．掌握正负数的意义是解答本题的关键． 【详解】解：以70分为基准，大于70分为正数，则小于70分为负数，即60分可记为分． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一瓶饮料瓶身标注的净含量是，测得实际净含量为，记作“”，那么实际净含量记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反意义的量、正负数，理解正负数表示的意义，然后根据相反意义的量的意义解答即可． 【详解】解：实际净含量为，记作“”，表示比标注净含量多， 所以测得实际净含量，比标注净含量少，可记作“”， 故答案为：． 8．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意将，再提公因数，根据有理数的混合运算即可求解，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为： ． 9．（22-23七年级上·浙江宁波）将下列各题填写合适的单位名称． 一瓶冰红茶饮料的容积是490          姚明的身高为226 ． 3公顷500平方米 公顷               3小时45分 时． 【答案】 毫升 厘米 【分析】本题考查的是生活常识，单位换算，根据数学常识以及单位换算的进率进行解答即可； 【详解】解：一瓶冰红茶饮料的容积是490 毫升 姚明的身高为226厘米． 3公顷500平方米公顷               3小时45分时． 故答案为：毫升，厘米，，； 10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）在，，，，，这六个数中，分数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据分数的定义即可得出答案，掌握分数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，，，，这六个数中，是分数的是：，，，共个， 故答案为：． 11．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是330621198704010012，其中33、06、21是此人所属的省（市、自治区）、市、县（市、区）的编码， 1987、04、01是此人出生的年、月、日， 001是顺序码，2为校验码．那么身份证号码是330602200901208022的人的生日是 月 日． 【答案】 1/01 20 【分析】由题意得出身份证号码第11、12位数字是出生月份，第13、14位数字是出生的日期，据此可得． 【详解】解：根据题意知，身份证号码是330602200901208022的人是1981年1月20日出生， 所以此人的生日是1月20日， 故答案为：1，20． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，理解身份证各数位上数字代表的含义是解答本题的关键． 三、解答题 12．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先运算绝对值，然后把减法转化为加法，运用加法法则计算即可； （2）先运算乘除，然后运算加减即可解题． 【详解】（1） ； （2） ． 13．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可） ①；②1；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨ 自然数：{          }； 分数：{          }； 非负有理数：{          }． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握自然数，非负有理数，分数的概念是解题的关键．根据有理数的分类，即可得到答案． 【详解】解：自然数：{②④⑤}； 分数：{①③⑥⑧⑨}； 非负有理数：{①②③④⑤⑨}． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）以下是数学乐园中的“有理数家族”，请给该“有理数家族”分家吧． 【答案】分数：  ；正整数：；负整数： 【分析】本题考查有理数的分类，利用绝对值，相反数的定义化简，再根据分数，正整数，负整数的定义分类，进行作答即可． 【详解】解：， 分数：  ；正整数：；负整数：． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)102个 (2)192分 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解； 【详解】（1）由题意得：因为， 所以平均每人跳绳个， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个． （2）（分） 答：这个班跳绳总共获得192分． 1 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