第03讲 相反数、绝对值与有理数的大小比较（知识清单+9大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025－2026学年七年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第03讲 相反数、绝对值与有理数的大小比较(知识清单+9大题型+好题必刷) 题型梳理 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 相反数的应用 题型四 绝对值的几何意义 题型五 求一个数的绝对值 题型六 绝对值非负性 题型七 绝对值的其他应用 题型八 有理数大小比较 题型九 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1:相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数;0的相反数是0. 要点归纳: (1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同. (2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉. (3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数. (4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 (1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称). (2)互为相反数的两数和为0. 知识点2:绝对值 1.定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|. 要点归纳: (1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有: (2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的. 2.绝对值的性质 1.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0. 2.求法 (1)0除外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数. (2)互为相反数的两个数(0除外)的绝对值相等. (3)绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0. 知识点3.非负数的性质:绝对值 在实数范围内,任意一个数的绝对值都是非负数,当几个数或式的绝对值相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0. 知识点4.有理数大小比较 (1)有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴,他们从右到左的顺序,即从大到小的顺序(在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大);也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小,利用绝对值比较两个负数的大小. (2)有理数大小比较的法则: ①正数都大于0; ②负数都小于0; ③正数大于一切负数; ④两个负数,绝对值大的其值反而小. 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1.法则比较:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数比较大小,绝对值大的反而小. 2.数轴比较:在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数. 3.作差比较: 若a﹣b>0,则a>b; 若a﹣b<0,则a<b; 若a﹣b=0,则a=b. 题型方法 【题型一】相反数的定义 【例1】(24-25七年级上 广东广州 期中)的相反数是( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1.(24-25七年级上 云南西双版纳 期中)下列说法正确的是( ) A.是相反数 B.是相反数 C.正数与负数互为相反数 D.的相反数是5 2.(24-25七年级上 新疆和田 阶段练习)若的相反数为,则的值为 . 3.(2024七年级上 全国 专题练习)分别写出下列各数的相反数:. 【题型二】化简多重符号 【例2】(24-25七年级上 山东德州 期中)下列化简,正确的是( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1.(24-25七年级上 山东聊城 期末)下列各对数中,相等的一对是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 2.(24-25七年级上 山东临沂 期末) . 3.(24-25七年级上 新疆和田 阶段练习)化简下列各数: (1); (2); (3); (4); (5). 【题型三】相反数的应用 【例3】(24-25七年级上 全国 假期作业)( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1.(23-24七年级上 广东阳江 期中)如果a和互为相反数,那么多项式的值是( ) A.11 B.29 C.0 D.9 2.(22-23七年级上 广东湛江 期中)若a与互为相反数,则a 的值 . 3.(23-24七年级上 河南周口 阶段练习)如图,这是一个正方体的展开图,若原正方体相对面上的两个数互为相反数,求的值. 【题型四】绝对值的几何意义 【例4】(24-25七年级上 湖北十堰 期末)如果,那么是( ) A.正数 B.非负数 C.负数 D.非正数 【举一反三】 1.(24-25七年级上 四川南充 期中)已知数满足,则不可能为( ) A. B.0 C.1 D.2 2.(24-25七年级上 广东惠州 期中)绝对值不大于5的整数有 3.(24-25七年级上 云南曲靖 期中)阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,在数轴上A、B两点之间的距离.回答下列问题: (1)数轴上表示和1两点之间的距离是_,数轴上表示x和2的两点之间的距离是_; (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6,则a表示的数为_; (3)若x表示一个有理数,则有最小值吗?若有,请求出最小值;若没有,请说明理由. 【题型五】求一个数的绝对值 【例5】(22-23七年级上 湖北武汉 期末)的绝对值是( ) A. B. C.2022 D. 【举一反三】 1.(22-23七年级上 天津 期末)下列各数是负数的是( ) A.0 B.2 C. D. 2.(24-25七年级上 河南郑州 期末)请写一个绝对值小于2的整数 . 3.(24-25七年级上 广东 期中) 把下列各数的序号填在相应的大括号内: ①,②,③ 10,④,⑤ 0,⑥,⑦ ,⑧,⑨. (1)正有理数集合:{ …} (2)负分数集合:{ …} (3)非负整数集合:{ …} 【题型六】绝对值非负性 【例6】(24-25七年级上 甘肃张掖 阶段练习)若,则a的值不可能是( ) A.3 B.0 C. D. 【举一反三】 1.(24-25七年级上 福建厦门 期末)如果x为有理数,式子存在最大值,这个最大值是( ) A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 2.(24-25七年级上 河南 阶段练习)若x为有理数,则式子的最小值为 . 3.(2024七年级上 全国 专题练习)根据这一性质,解答下列问题: (1)当 时,有最小值,此时最小值为 ; (2)当a取何值时,有最小值?这个最小值是多少? (3)当a取何值时,有最大值?这个最大值是多少? 【题型七】绝对值的其他应用 【例7】(24-25七年级上 山东临沂 期中)实验室检测四个零件的质量(单位:克),按照“超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数”记录如下,其中最接近标准质量的是( ) A. B. C. D.1.9 【举一反三】 1.(2024七年级上 全国 专题练习)在足球质量检测中,我们规定超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,下列检测结果中最接近标准质量的是( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 山东聊城 阶段练习)绝对值不小于2且小于的负整数是 . 3.(24-25七年级上 内蒙古乌兰察布 期末)检查5个篮球的质量,把超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,检查的结果如下表: 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球; (2)如果对两个篮球作上述检查,检查的结果分别为a和b,请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些? 【题型八】有理数大小比较 【例8】(24-25七年级上 河南安阳 阶段练习)下列有理数中,比小的数是( ) A.2 B.1 C.0 D. 【举一反三】 1.(24-25七年级上 广东广州 阶段练习)下列各组数中,大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 广东广州 期中)比较大小:(1) ,(2) ;(3) (填“”、“”或“”). 3.(24-25七年级上 陕西榆林 期中)比较下列每组中两个有理数的大小. (1)与; (2)和. 【题型九】有理数大小比较的实际应用 【例9】(23-24九年级下 云南昭通 阶段练习)2025年1月1日,4个城市同一时刻的气温(单位:)分别为,其中最低的气温是( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1.(24-25七年级上 广东惠州 期末)几种气体的液化温度(标准大气压)如下表: 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度 其中液化温度最低的气体是( ) A.氦气 B.氢气 C.氮气 D.氧气 2.(24-25七年级上 陕西咸阳 期末)今年12月份的某一天,西安、兴平、榆林、延安四个城市的最低气温分别是,其中气温最低的是 . 3.(24-25七年级上 贵州黔东南 阶段练习)一种实验器材的标准质量是15g,质检员抽查了7件样品的质量,把超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,结果记录如下表. 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量? (2)如果规定误差的绝对值在0.8g(含0.8g)之内是合格品;误差的绝对值在(含1.0g)之间的是次品;误差的绝对值超过1.0g的视为废品,那么在上述7件样品中,哪些是合格品?哪些是次品?哪些是废品? 好题必刷 一、单选题 1.如果的值与互为相反数,则x的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.6 2.已知某物品的保存温度要求为,则下列温度符合要求的是( ) A. B. C. D. 3.下列各组数中,互为相反数的是( ) A.与 B.与1 C.与 D.与 4.下列各数中,与相加等于0的数是( ) A.2 B. C. D. 5.把四个数按由大到小的顺序排列,正确的是( ) A. B. C. D. 6.若,则的值为( ) A.-13 或 13 B.-1或1 C.13或1 D.-13或-1 7.已知数a,b,c在数轴上的位置如图,下列说法①;②;③④.其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,数轴上的三点A,B,C分别表示有理数a,b,c,则化简|a-b|-|c-a|+|b-c|的结果是( ) A.2a-2c B.0 C.2a-2b D.2b-2c 9.已知有理数a,c,若,且,则所有满足条件的数c的和是( ) A.﹣6 B.2 C.8 D.9 10.|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a,,那么的值为( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.不确定 二、填空题 11.若的相反数是,则 . 12.一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有 个,它们分别在原点的两侧,表示 ,这两点关于 对称. 13.若,则 . 14.比较大小:(填“”或“”). (1) , (2) ; (3) . 15.写出绝对值小于2.5的所有整数: . 16.若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则可化简为 . 17.已知数轴上的点A,B表示的数分别为,4,P为数轴上任意一点,表示的数为x,若点P到点A,B的距离之和为7,则x的值为 . 18.已知,数轴上A,B,C三点对应的有理数分别为a,b,c.其中点A在点B左侧,A,B两点间的距离为2,且a,b,c满足,则a= .对数轴上任意一点P,点P对应数x,若存在x使的值最小,则x的值为 . 三、解答题 19.如果a、b互为倒数,c、d互为相反数,且m的绝对值是1,求 的值. 20.出租车司机小张某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的,如果规定向北为正,向南为负,他这天上午的行程是单位:千米:. ,,,,,,,,. (1)将最后一名乘客送达目的地时,小张距上午出发点的距离是多少千米?在出发点的什么方向? (2)若汽车耗油量为升千米,出车时,油箱里有油升,若小张将最后一名乘客送达目的地,再返回出发地,问小张今天下午是否需要加油?若要加油至少需要加多少才能返回出发地? 21.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,小虫爬行的各段路程(单位:cm)依次记为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10,在爬行过程中,如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻,那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 22.已知下列有理数:-4,-2,4,-1,2.5,3 (1)在给定的数轴上表示这些数: (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数?若存在,请指出来,并写出这两个数之间所有的整数; (3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于7的两个数?若存在,请指出来. 23.(1)若关于x的方程(m﹣4)x|m-1|﹣2+2=0是一元一次方程,求m的值. (2)已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简:|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|. 24.若有理数,满足,,且. (1)分别求,的值; (2)求的值. 25.某公司为了更好地为客户服务,专门派一名司机小张接送客户.小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数,向西行驶的公里数记作负数,他的一天的记录如下(单位:):. (1)请计算说明小张最后是否回到了公司? (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米? (3)在接送过程中,小张离公司最远的距离是多少千米?(直接写出答案) 26.【问题提出】的最小值是多少? 【阅读理解】 为了解决这个问题,我们先从最简单的情况入手.的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离,那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离;就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和,下面我们结合数轴研究的最小值. 我们先看表示的点可能的3种情况,如图所示: 如图①,在1的左边,从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1. 如图②,在1,2之间(包括在1,2上),可以看出到1和2的距离之和等于1. 如图③,在2的右边,从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此,我们可以得出结论:当在1,2之间(包括在1,2上)时,有最小值1. 【问题解决】 (1)的几何意义是 ,请你结合数轴研究:的最小值是 ; (2)请你结合图④探究的最小值是 ,由此可以得出a为 ; (3)的最小值是 ; (4)的最小值为 ; (5)如图⑤,已知a使到-1,2的距离之和小于4,请直接写出a的取值范围是 . 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第03讲 相反数、绝对值与有理数的大小比较（知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 相反数的应用 题型四 绝对值的几何意义 题型五 求一个数的绝对值 题型六 绝对值非负性 题型七 绝对值的其他应用 题型八 有理数大小比较 题型九 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点2：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点3．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点4．有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 题型方法 【题型一】相反数的定义 【例1】（24-25七年级上·广东广州·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查相反数定义，根据题意利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】的相反数是， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）下列说法正确的是（   ） A．是相反数 B．是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．的相反数是5 【答案】D 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：A、是5的相反数，原说法错误，不符合题意； B、是的相反数，原说法错误，不符合题意； C、正数与负数不一定互为相反数，原说法错误，不符合题意； D、的相反数是5，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）若的相反数为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的相反数为， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）分别写出下列各数的相反数：． 【答案】，0， 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数分别是，0，． 【题型二】化简多重符号 【例2】（24-25七年级上·山东德州·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数，去括号，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·山东临沂·期末） ． 【答案】7 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查化简多重符号．一个数前面有偶数个负号，结果为正；一个数前面有奇数个负号，结果为负，由此可解． 【详解】解：， 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【题型三】相反数的应用 【例3】（24-25七年级上·全国·假期作业）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号、相反数的应用 【分析】本题考查主要考查了相反数定义，根据题目中负号的个数确定正负，若负号个数为奇数个则结果为负，若负号的个数为偶数个则结果为正得到答案． 【详解】解：由题可知负号个数为奇数个，则. 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·广东阳江·期中）如果a和互为相反数，那么多项式的值是（    ） A．11 B．29 C．0 D．9 【答案】A 【知识点】整式的加减中的化简求值、去括号、合并同类项、相反数的应用 【分析】本题考查了代数式化简求值，相反数，熟练掌握相反数的性质、去括号法则和合并同类项法则是解题关键．先根据整式的运算法则进行化简，再利用相反数的定义即可求出答案． 【详解】解： ， 和互为相反数， ， ， 故选：A． 2．（22-23七年级上·广东湛江·期中）若a与互为相反数，则a 的值 ． 【答案】1 【知识点】相反数的应用 【分析】此题考查了相反数的性质， 根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出a的值， 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是一个正方体的展开图，若原正方体相对面上的两个数互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字、相反数的应用 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，相反数的性质，根据相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再求出、、的值，然后代入代数式计算即可得解． 【详解】解：因为正方体相对面上的两个数互为相反数， 所以，，， 所以． 【题型四】绝对值的几何意义 【例4】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若，则；若，则；若，则．直接根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 是非负数， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，即可解答，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由选项可知A，B，C符合，D不符合， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东惠州·期中）绝对值不大于5的整数有 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的含义，明确“不大于”的意思是小于等于，然后找出满足条件的整数． 根据绝对值的定义，找出绝对值不大于5的所有整数即可． 【详解】解：绝对值不大于5的所有整数为：， 故答案为． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)有最小值，6 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质； （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到4的距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和4之间时，它的最小值为6． 【题型五】求一个数的绝对值 【例5】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）的绝对值是（ ） A． B． C．2022 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质是关键． 根据绝对值的性质“”即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·天津·期末）下列各数是负数的是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了正负数的定义，根据正负数的定义求解即可． 【详解】解：．0既不是正数也不是负数，故该选项不符合题意； ．2是正数，故该选项不符合题意； ．，0.2是正数，故该选项不符合题意； ．是负数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）请写一个绝对值小于2的整数 ． 【答案】0（答案不唯一） 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较和绝对值，先求出所有绝对值小于2的整数，然后写出其中的一个即可． 【详解】解：∵的绝对值小于2，且是整数， ∴绝对值小于2的整数是， 故答案为：0（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·广东·期中） 把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①，②，③ 10，④，⑤ 0，⑥，⑦ π，⑧，⑨． (1)正有理数集合：｛                               …｝ (2)负分数集合：｛                                 …｝ (3)非负整数集合：｛                               …｝ 【答案】(1)①，③，④，⑨ (2)②，⑥，⑧ (3)③，⑤，⑨ 【知识点】有理数的分类、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据正有理数的定义即可得解； （2）根据负分数的定义即可得解； （3）根据非负整数的定义即可得解． 【详解】（1）解：， 正有理数集合{①，③，④，⑨…} （2）解：负分数集合{②，⑥，⑧…} （3）解：非负整数集合{③，⑤，⑨…}． 【题型六】绝对值非负性 【例6】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，则，； 当时，则，； 所以当小于或等于0时，， 所以不满足条件． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义．根据的最小值是0即可求解． 【详解】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2025， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南·阶段练习）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2024 【知识点】绝对值非负性 【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 【题型七】绝对值的其他应用 【例7】（24-25七年级上·山东临沂·期中）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D．1.9 【答案】A 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵，，，， 且， ∴最接近标准的是选项A中的零件． 故选：A． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案，解题的关键是理解绝对值的意义． 【详解】解：，，，， ， ∴最接近标准质量的是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 【答案】，，， 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查绝对值和有理数大小比较，关键是掌握绝对值的性质；找出绝对值不小于2且小于的所有负整数即可得解． 【详解】解：绝对值不小于2且小于的整数包括：，，，， ∴绝对值不小于2且小于的负整数有：，，，． 故答案为：，，，． 3．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号； (2)见解析． 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的应用；理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 因为， 所以3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得 如果，那么结果为b的质量好一些， 如果，那么结果为a的质量好一些， 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【题型八】有理数大小比较 【例8】（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）下列有理数中，比小的数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键． 根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两全负数，绝对值大的反而小，求解即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了负数的大小比较方法，根据负数比较大小时绝对值大的数反而小的方法即可求解，解题的关键是正确理解负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据正数大于负数即可判断； （2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断； （3）先化简，然后根据正数大于负数即可判断． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）∵，，， ∴>， 故答案为：； （3）∵，，， ∴ 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 【答案】(1) (2) 【知识点】化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题考查比较有理数的大小，解题关键是熟练掌握比较有理数大小法则：正数>零>负数，两个负数，绝对值大的，反而小． （1）根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可； （2）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：，， 因为，所以， 即． 【题型九】有理数大小比较的实际应用 【例9】（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）2025年1月1日，4个城市同一时刻的气温（单位：）分别为，其中最低的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数比较大小，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 根据负数小于0，0小于正数，负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，由此即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴最低的气温是， 故选：D ． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度                     其中液化温度最低的气体是（   ） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：， ∴液化温度最低的气体是氦气． 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）今年12月份的某一天，西安、兴平、榆林、延安四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，比较出各数的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴其中气温最低的是； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 好题必刷 一、单选题 1．如果的值与互为相反数，则x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．6 【答案】A 【分析】由的值与互为相反数可知两数的和为0，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵的值与互为相反数， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查相反数的定义、解一元一次方程，掌握“互为相反数的两个数的和为0”是解题的关键． 2．已知某物品的保存温度要求为，则下列温度符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数比较大小，根据有理数比较大小的方法“负数小于零，零小于正数，负数小于正数”即可求解，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴符合的是， 故选：A ． 3．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与1 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案． 【详解】解：A．，，1与1不是相反数，故该选项不符合题意； B．，1与1不是相反数，故该选项不符合题意； C．，，3与是相反数，故该选项符合题意； D．，，与不是相反数，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 4．下列各数中，与相加等于0的数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值，有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质化简，再利用有理数的加法得出答案． 【详解】解：∵， ∴与相加等于0的数是． 故选：B． 5．把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 6．若，则的值为（　　） A．-13 或 13 B．-1或1 C．13或1 D．-13或-1 【答案】D 【分析】根据两数和的绝对值等于其相反数，可得，进而求得的值，代入进行计算即可求解． 【详解】∵， ∴，且， ∴，， ∴或． 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，确定的值是解题的关键． 7．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法①；②；③④．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数轴上的位置关系．判断出a，b，c的大小关系以及各自绝对值的大小关系，在进行判断即可． 【详解】解：由数轴知，， ①， ∵，， ∴；故①说法错误； ②∵， ∴ ∴， 即 ∴；故②说法错误； ③∵， ∴，，， 故；故③说法错误； ④∵， 即 ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 则；故④说法正确； 故正确的有④． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值的综合运用，解题的关键在于掌握绝对值化简的技巧． 8．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a-b|-|c-a|+|b-c|的结果是（  ） A．2a-2c B．0 C．2a-2b D．2b-2c 【答案】B 【分析】根据数轴，得到信息为a＜b＜0＜c，化简绝对值即可． 【详解】∵a＜b＜0＜c， ∴a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0， ∴|a-b|-|c-a|+|b-c| =b-a-c+a+c-b =0， 故选B． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，正确读取数轴信息，准确进行绝对值的化简是解题的关键． 9．已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和． 【详解】， 或， 或， 当时，等价于，即， 或， 或； 当时，等价于，即， 或， 或， 故或或或， 所有满足条件的数的和为：． 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏． 10．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 二、填空题 11．若的相反数是，则 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，先得出的值，再得出a的值． 【详解】解：∵的相反数是， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数． 12．一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有 个，它们分别在原点的两侧，表示 ，这两点关于 对称． 【答案】 两 a和－a 原点 【解析】略 13．若，则 ． 【答案】-5 【分析】根据多重符号的化简原则进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数多重符号的化简，熟知运算法则是解题的关键． 14．比较大小：（填“”或“”）． （1） ， （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2），， ，即， （3）∵，， ∴， ∴ 故答案为：，，． 15．写出绝对值小于2.5的所有整数： ． 【答案】，0，1，2 【解析】略 16．若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则可化简为 ． 【答案】/ 【分析】根据数轴判断出，，即可得到，，再利用绝对值性值计算即可； 【详解】由数轴可得：，， ∴原式； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了利用数轴比较式子大小，绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键． 17．已知数轴上的点A，B表示的数分别为，4，P为数轴上任意一点，表示的数为x，若点P到点A，B的距离之和为7，则x的值为 ． 【答案】或4.5 【分析】根据数轴上两点间的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：|x+2|+|x-4|=7， 当x＜-2时，化简得：-x-2-x+4=7，解得：x=-2.5； 当-2≤x＜4时，化简得：x+2-x+4=7，无解； 当x≥4时，化简得：x+2+x-4=7，解得：x=4.5， 综上，x的值为-2.5或4.5． 故答案为：-2.5或4.5． 【点睛】此题考查了数轴，弄清数轴上两点间的距离公式是解本题的关键． 18．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 －1 1 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问． 【详解】∵， ∴ 即 ∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2， ∴ ∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和， ∴当x取中间值1时，和为最小值为2023； 故答案为：-1,1 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键． 三、解答题 19．如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m的绝对值是1，求 的值． 【答案】3 【分析】互为倒数的两数乘积为1，互为相反数的两数和为0，据此即可求解． 【详解】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，m的绝对值是1 ∴ 则 【点睛】本题考查倒数、相反数及绝对值的相关知识点．熟记相关结论即可． 20．出租车司机小张某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是单位：千米：． ，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升千米，出车时，油箱里有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？ 【答案】(1)距上午出发点的距离是千米，在出发点的南方； (2)需要加油，要加升油． 【分析】（1）根据正负数表示的意义，进行计算确定离出发地的路程和方向； （2）先根据路程×每千米耗油量=需用油量，确定是否需要加油，再计算需加油量； 【详解】（1）解：， 答：小张距上午出发点的距离是千米，在出发点的南方； （2）（升）， （升）， 答：需要加油，要加升油． 【点睛】本题考查了有理数的加减的应用，正负数的意义，熟练掌握正负数的意义和有理数的加减运算是解题的关键． 21．一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫一共可以得到108粒芝麻． 【分析】小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，因此只需要把每次爬行的距离的路程的绝对值相加得到爬行的总距离，最后求解芝麻数即可． 【详解】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，解题的关键在于理解，小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关． 22．已知下列有理数：－4，－2，4，－1，2.5，3 (1)在给定的数轴上表示这些数： (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数； (3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于7的两个数？若存在，请指出来． 【答案】(1)见解析 (2)存在，和互为相反数，这两个数之间所有的整数有：－2，－1，0，1，2 (3)存在；－4和3；和 【分析】（1）将已知数表示在数轴上即可； （2）根据相反数的定义，找出互为相反数的两个数，并写出这两个数之间的所有整数即可； （3）根据数轴上两点的距离等于7，即可求得． 【详解】（1）解：将－4，，，－1，2.5，3表示在数轴上，如图所示： （2）存在，和互为相反数，这两个数之间所有的整数有：－2，－1，0，1，2． （3）存在； ∵，， ∴两点之间的距离等于7的有：－4和3，和． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的定义，数轴上两点间的距离，进行数形结合是解题的关键． 23．（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m－1|﹣2＋2＝0是一元一次方程，求m的值． （2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|＋|a＋c|﹣|b﹣2a|＋|b﹣c|． 【答案】（1）m＝﹣2；（2）﹣2b 【分析】（1）根据题意得到|m－1|﹣2＝1，解出绝对值方程，求出m的两个值．最后分别将两个值代入检验，检验系数是否为0，若系数为0，则不合题意，舍去，若系数为0，则符合题意； （2）首先根据数轴判断绝对值里代数式的大小，再根据绝对值的意义正确去掉绝对值，计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程， ∴|m﹣1|﹣2＝1，且m﹣4≠0， 由|m﹣1|﹣2＝1，得m＝4或m＝﹣2， 由m﹣4≠0，得m≠4， ∴m＝﹣2； （2）∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0， ∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c| ＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c） ＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c ＝﹣2b． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的意义以及整式的运算，熟练掌握概念以及整式的运算法则是本题的关键． 24．若有理数，满足，，且． (1)分别求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，或，或， (2)或1或 【分析】（1）利用绝对值的意义及有理数的加法法则解答即可； （2）将（1）中的结论代入运算即可． 【详解】（1）解： ，， ，． ， ，或，或，； （2）解：当，时， ； 当，时， ； 当，时， ， 综上，的值为或1或． 【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，代数式求值问题，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 25．某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户．小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录如下（单位：）：． (1)请计算说明小张最后是否回到了公司？ (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米？ (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少千米？（直接写出答案） 【答案】(1)小张最后回到了公司，见解析； (2)小张这一天一共跑了36千米； (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 【分析】（1）把这些数全部相加，根据结果判断即可； （2）把这些数的绝对值全部相加即可； （3）要算出每次离公司的距离，然后再进行比较即可． 本题主要考查的是正负和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】（1）解： 答：小张最后回到了公司； （2）解：（千米） 答：小张这一天一共跑了36千米； （3）解：第一天：离公司千米， 第二天： ，离公司3千米， 第三天：，离公司2千米， 第四天：，离公司6千米， 第五天：，离公司1千米， 第六天：，离公司4千米， 第七天： ，离公司0千米， 在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 26．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ； (5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2 (3)6 (4)1021110 (5) 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值； （5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小 的最小值是1＋0＋1＝2 故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小 的最小值是 ； （4）当a取中间数1011时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1021110 （5）a使它到－1，2的距离之和小于4 ①当时，则有 解得： ； ②当时，则有 ③当时，则有 解得： 综上，a的取值范围为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$