第02讲 从立体图形到平面图形（知识清单+12大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025－2026学年七年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02讲 从立体图形到平面图形（知识清单+12大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 从不同方向看几何体 题型二 几何体展开图的认识 题型三 由展开图计算几何体的表面积 题型四 由展开图计算几何体的体积 题型五 正方体几种展开图的识别 题型六 正方体相对两面上的字 题型七 含图案的正方体的展开图 题型八 求展开图上两点折叠后的距离 题型九 补一个面使图形围成正方体 题型十 截一个几何体 题型十一 平面图形形状的识别 题型十二 用七巧板拼图形 知识清单 知识点1：图形的展开与折叠 要点归纳：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形． (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图． 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形. 正方体是特殊的棱柱，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱．将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 知识点2： 截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 知识点3： 从三个方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 3.组合体的三视图 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图） 题型方法 【题型一】从不同方向看几何体 【例1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，这是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，则（   ） A．从正面看和从左面看到的形状图相同 B．从上面看和从左面看到的形状图相同 C．从正面看和从上面看到的形状图相同 D．从正面看、从左面看和从上面看到的形状图都相同 【答案】A 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，从左边看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，从上面看有三层，底层和中层有两个小正方形，上层有一个正方形，再逐项分析即可得解． 【详解】解：从正面看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 从左边看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 从上面看有三层，底层和中层有两个小正方形，上层有一个正方形， 故从正面看和从左面看到的形状图相同，从上面看和从左面看到的形状图不同，从正面看和从上面看到的形状图不同，从正面看、从左面看和从上面看到的形状图不同， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·河南郑州·自主招生）在“观察物体”的课堂上，数学老师要求同学们搭出从以下两个方向看到的立体图形，那么同学们最少需要__________个正方体，最多可以用__________个正方体．（      ） A．4和7 B．5和7 C．4和6 D．5和6 【答案】B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；利用从上面看几何体分别画出最少和最多时的正方形的个数，即可求解． 【详解】解：由题意可知：最少的小正方形的俯视图可以是 ∴至少有5个小正方形； 最多的小正方形的俯视图为 ∴最多可以有7个小正方形． 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由个小立方块组成，最少由个小立方块组成，则 ． 【答案】22 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体的知识，根据从正面看得到这个组合体中小正方体的个数最多时的形状即可． 【详解】解：观察图形可知，这个几何体最多时，如图： （个）． 这个几何体最少时，如图（一种情况）： （个）． ∴ 故答案为：22． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)这个几何体是由 个大小相同的小正方体搭成的； (2)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (3)若每个小正方体的棱长为1cm，求这个几何体的表面积． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)34cm2 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体．以及几何体的表面积，由几何体的从上面看到的形状及小正方形内的数字，可知左面的列数与上面的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左面的列数与上面的行数相同，且每列小正方形数目为上面看到的图中相应行中正方形数字中的最大数字． （1）根据所给图形即可得到答案； （2）由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方形的数目分别为；从左面看有2列，每列小正方形的数目分别为；据此画出图形； （3）根据几何体三个方向看到的图形可求出几何体的表面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，这个几何体是由8个大小相同的小正方体搭成的； 故答案为：8 （2） （3）， 答：该几何体的表面积为． 【题型二】几何体展开图的认识 【例2】（2023·北京朝阳·二模）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A．圆柱 B．棱柱 C．长方体 D．圆锥 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见几何体的展开图是解题的关键．由圆锥展开图的特点进行求解即可． 【详解】解：∵该几何体的展开图是一个圆形和一个扇形， ∴该几何体是圆锥， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】根据三棱柱、五棱柱、正方体的表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查展开图折叠成几何体，掌握三棱柱、正方体、五棱柱的表面展开图的特征是正确解答的关键． 【详解】解：A选项A中的图形可以折叠成三棱柱，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形可以折叠成五棱柱，因此选项B不符合题意； C．选项C中的图形不能折叠成四棱柱，因此选项C符合题意； D．选项D中的图形可以折叠成正方体，因此选项D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是 ，与A面对应的是 面． 【答案】 直四棱柱 C 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查立体图形的展开与折叠，解题的关键是熟悉常见立体图形展开图的特征． 观察展开图的形状特征判断几何体类型，根据直四棱柱展开图相对面的规律确定与A面对应的面． 【详解】该展开图由两个相同的四边形（上下底面）和四个长方形（侧面）组成． 根据直四棱柱的展开图特征：有两个全等的多边形（四边形）作上下底面，四个长方形作侧面，所以可以围成的几何体是直四棱柱． 在直四棱柱的展开图中，相对的面是间隔出现的． 观察此展开图，A面与面是间隔的，所以与面对应的是面． 故答案为：直四棱柱；C． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【知识点】由展开图计算几何体的体积、几何体展开图的认识 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 【题型三】由展开图计算几何体的表面积 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【答案】C 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查的是几何体的表面积，掌握正方体的特征是解题的关键．一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面． 【详解】解：一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面，因此表面积不变． 故选：C． 【举一反三】 1．（2024七年级·全国·竞赛）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 2．（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）一个长方体纸盒，左右两面是完全一样的正方形，已知其中一个正方形的面积是这个长方体表面积的，那么这个长方体的宽是长的( ) 【答案】 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了长方体表面积和正方形面积的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据长方体表面积和正方形面积的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：设长方体的宽（即左右正方形的边长）为 ，长为 ，则高也为， 左右两面面积：每个正方形的面积为 ，两个共， 总表面积：根据公式， 条件方程：题目中正方形的面积是表面积的，即， 解得：， ∴宽 是长 的 ，即 宽是长的， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)该长方体的侧面积是180平方厘米 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、几何体展开图的认识、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查长方体及其展开图： （1）根据长方体的特点，作答即可； （2）根据长方体的展开图，补全图形即可； （3）根据长方体的侧面积为底面周长乘以高进行计算即可． 【详解】（1）解：长方体有6个面，12条棱； 故答案为：； （2）由图，补全表面展开图如图： （3）； 答：该长方体的侧面积是180平方厘米． 【题型四】由展开图计算几何体的体积 【例4】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是国内某品牌牛奶长方体型包装盒的展开图（粘贴部分忽略不计），展开图的数据大小如图中所示，从该包装盒说明上知道，该牛奶含优质乳蛋白3.6克，则一盒这样的牛奶含优质乳蛋白（按装满计算）（　　） A．4.5克 B．9克 C．90克 D．900克 【答案】B 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查几何图形，包装盒体积，据此即可求得答案． 【详解】包装盒体积 故选：B 2．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计）．若该长方体盒子的底面是一个正方形，则它的体积为 ． 【答案】50 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】根据展开图，得长方体的高是，底面是正方形，其边长是，根据体积公式解答即可．本题考查了长方体的展开图，体积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，长方体的高是， ∵底面是正方形， ∴其边长是， ∴长方体的体积是， 故答案为：50． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【答案】（）画图见解析（答案不唯一）；（）“大”； （） 【知识点】正方体相对两面上的字、正方体几种展开图的识别、由展开图计算几何体的体积 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）根据正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形进行解答即可求解； （）根据长方体体积公式计算即可； 本题考查了正方体的展开图，长方体的体积，正确识图是解题的关键． 【详解】（）画图如下： （）∵正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形， ∴“卫”和“大”相对， 故答案为：“大”； （）纸盒的容积． 答：纸盒的容积为． 【题型五】正方体几种展开图的识别 【例5】（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（   ） A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的展开图及学生的空间想象能力，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据正方体展开图特征，进行作答，即可求解． 【详解】解：根据有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图可知：当剪去1或2或6时，剩余的部分恰好能折成一个正方体，当剪去3时，会导致5没有对面； ∴使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是3； 故选：D； 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图的四个平面图形中，不是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图中，相对的面中间一定隔着一个面，且正方体展开图有“141”型，“132”型，“33”型，“222”型，没有“411”型，据此可得答案． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，四个选项中只有D选项中的展开图不是正方体的展开图， 故选：D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有 ． 【答案】②③⑤ 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中的②③的位置是展开图的1-3-2形，可以围成正方体， 将图1的正方形放在图2中的⑤的位置是展开图的3-3形日字连，可以围成正方体， 故答案为：②③⑤． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【答案】(1)①③④ (2)①图见解析；②3 【知识点】从不同方向看几何体、正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识． （1）根据要求动手操作可得结论； （2）①根据主视图的定义画出图形即可； ②根据要求作出判断即可． 【详解】（1）解：图1是综合实践小组同学制作的图形，其中①③④经过折叠能围成无盖正方体纸盒； 故答案为：①③④； （2）解：①如图所示： ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加3个正方体形纸盒． 故答案为：3． 【题型六】正方体相对两面上的字 【例6】（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（   ） A．核 B．心 C．素 D．养 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体展开图的相对面的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据正方体的展开图的相对面必定隔一个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：观察展开图可发现，“心”所在的那个正方形在展开图中与四个面（“核”“素”“养”和“数”）均有公共边，是“中心”面；而“学”字所在面在展开图中只与“数”字所在面相连，对于这样“中心”面与只与一面相连的“顶”或“底”面通常在立方体中互为相对面，由此可判定与“学”相对的面是“心”； 故选：B 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）七年级以“福外鸣天精神”为主题开展入学教育，激励学生爱校拼搏，奋发有为．如图是一个正方体的平面展开图，则原正方体中与“鸣”字所在面相对的面上标有的字是（　　） A．福 B．精 C．神 D．外 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “鸣”与“精”是对面， 故选：B． 2．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）一个正方体纸盒的展开图如图所示，将其折成正方体后，若相对面上的两个数互为相反数，则a的值为 ． 【答案】1 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，相反数的含义，灵活运用正方体的相对面关系是解题的关键．根据a的对面分别是，而相对面上的两个数互为相反数，可得出a的值． 【详解】解：由图可知，a的对面分别是， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴． 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题： (1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？ (2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？ (3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？ 【答案】(1)F (2)E (3)F 【知识点】含图案的正方体的展开图、正方体相对两面上的字 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，正方体的展开图， 根据正方体相对面的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵A和F是相对面上的字 ∴如果A在长方体的底部，那么F会在上面； （2）解：如果面F在前面，从左面看是B面，那么E会在上面； （3）解：如果从右面看是面C，面D在后面，那么F会在上面． 【题型七】含图案的正方体的展开图 【例7】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列选项中是如图所示的正方体的表面展开图的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据几何体中图案的位置结合正方体的表面展开图，即可得出结论，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【详解】 解：折叠后可得到图中的正方体，符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）将如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，该正方体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查正方体的展开图，根据展开图可知，两个圆所在的正方形为相对面，三角形所在的两个面为相邻面，且有公共顶点，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：两个圆所在的正方形为相对面，三角形所在的两个面为相邻面，且有公共顶点， 故符合题意的是选项D； 故选D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 3．（22-23七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 【答案】见解析 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】先补充图中缺少的字母，然后确定四边形的四条边所在的平面，继而即可求解． 【详解】 解：截面的线在展开图中，如图 【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 【题型八】求展开图上两点折叠后的距离 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【解析】略 【举一反三】 1．（22-23七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    【题型九】补一个面使图形围成正方体 【例9】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【正方体的表面积】将一个正方体等分成8个小正方体，任取其中都在顶点处的一个小正方体后，其表面积和原来相比，（   ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体的表面积，抓住拿掉的小正方体只有3个表面在外面，而剩余的部分也多了3个面，即可求解； 【详解】解：∵拿掉的小正方体只有3个表面在外面，而剩余的部分也多了3个面， ∴表面积和原来相比没有变化 故选：C ． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 【答案】4 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 3．（22-23七年级上·山西阳泉·期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下类问题： 观察判断： 小明共剪开了___________条棱； 动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形： 解决问题： 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 【答案】观察判断：8；动手操作：见解析；解决问题：这个长方体纸盒的体积为：． 【知识点】由展开图计算几何体的体积、补一个面使图形围成正方体 【分析】观察判断：根据图形回答即可； 动手操作：根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； 解决问题：设高为，则正方形边长为，根据棱长的和是列出方程，据此可求出长、宽、高，因而求出长方体纸盒的体积． 【详解】解：观察判断： 小明总共剪开了8条棱； 故答案为：8； 动手操作：如图，有四种情况： ； 解决问题：因为长方体纸盒的底面是一个正方形， 所以设高为，则正方形边长为． 因为长方体纸盒所有棱长的和是， 所以， 解得， 所以这个长方体纸盒的体积为：． 【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【题型十】截一个几何体 【例10】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（    ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据几何体的形状，判断出截面的形状，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有四棱柱、圆锥、五棱柱，共有3个， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）用一个平面分别去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据球的截面图只有圆，即可得出答案． 【详解】解：∵球的截面只有圆， ∴如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是球． 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东河源·期末）如图，用一个平面沿水平方向去截一个圆柱，所得截面图形是 ． 【答案】圆 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查截一个几何体，掌握圆柱体截面的形状是正确解答的关键． 根据圆柱用水平截面去截，所得的截面是圆进行解答即可． 【详解】解：用一个平面沿水平方向去截一个圆柱，所得截面图形是圆形， 故答案为∶圆． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，长方形的长为8，宽为4，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱． (1)这一现象用数学知识可以解释为 ； (2)若用一个平面沿水平方向去截圆柱，所得的截面形状是 ； (3)请通过计算说明，这两个圆柱的体积有什么关系？ 【答案】(1)面动成体 (2)圆 (3)图②中圆柱的体积大 【知识点】 圆柱的体积、点、线、面、体四者之间的关系、截一个几何体 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，截一个几何体，圆柱的体积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱，得出这一现象用数学知识可以解释为面动成体，即可作答． （2）结合用一个平面沿水平方向去截圆柱，得截面形状是圆，即可作答． （3）分别算出两个圆柱的体积，再比较，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，这一现象用数学知识可以解释为面动成体， 故答案为：面动成体； （2）解：用一个平面沿水平方向去截圆柱，所得的截面形状是圆， 故答案为：圆； （3）解：依题意， 图①中圆柱的体积为：； 图②中圆柱的体积为：． ∵， ∴图②中圆柱的体积大． 【题型十一】平面图形形状的识别 【例11】（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）用（   ）长的这几根小棒可以围成一个长方形． A．7厘米、4厘米、6厘米、4厘米 B．7厘米、4厘米、6厘米、5厘米 C．7厘米、4厘米、7厘米、4厘米 【答案】C 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】此题考查了长方形的性质，根据长方形的性质求解即可． 【详解】解：∵长方形的对边相等， ∴用7厘米、4厘米、7厘米、4厘米长的这几根小棒可以围成一个长方形． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）将下图沿着虚线剪开，会得到（   ） A． B． C． 【答案】C 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查了基本图形，根据图形沿着虚线剪开可知得到直角三角形． 【详解】解：由图可知，得到的图形是直角三角形， 故选C． 2．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）请写出一个你知道的平面图形 ． 【答案】三角形（答案不唯一） 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查平面图形的定义，熟练掌握平面图形的定义是解题的关键； 根据平面图形的定义即可求解； 【详解】解：根据平面图形的定义可知，三角形为平面图形； 故答案为：三角形 3．（2024七年级上·全国·专题练习）将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数； (2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查圆内扇形与圆的关系． （1）四个圆心角的度数和为，再根据每个角所占整个圆心角的几分之几求解即可； （2）根据扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：四个扇形的圆心角度数分别如下： ； ； ； ； （2）解：扇形的面积：； 扇形的面积：； 扇形的面积：； 扇形的面积：． 【题型十二】用七巧板拼图形 【例12】（24-25七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】C 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题主要考查正方形对角线的性质及用七巧板拼图，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分的面积为． 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、七巧板问题的求解等知识与方法，正确地找出组成图中阴影部的图形与图中的对应图形是解题的关键． 由题意可知四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为，则，所以，求得，而平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积，所以，因为图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，由题意可知，四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ， 、、都是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ∴平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积， ， ∵图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成， ， 故答案为： 3．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境•传统文化 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有 ． 【答案】等腰直角三角形、正方形、平行四边形 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查简单的平面图形的特征，熟悉常见的平面图形的特点是解题的关键．根据等腰直角三角形，正方形、平行四边形特征判断． 【详解】解：图形由等腰直角三角形，正方形，平行四边形组成， 故答案为：等腰直角三角形、正方形、平行四边形． 好题必刷 一、单选题 1．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，“建”字对面的字是（    ） A．和 B．谐 C．社 D．会 【答案】D 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“设”与“谐”是相对面，“和”与“社”是相对面，“建”与“会”是相对面． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 2．下面不是正方体的展开图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】由平面图形的折叠及正方形的展开图解题. 【详解】A、多了一个面，不可以拼成一个正方体，符合题意； B、可以拼成一个正方体，不符合题意； C、可以拼成一个正方体，不符合题意； D、可以拼成一个正方体，不符合题意；     故选A. 【点睛】本题考查正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形. 3．用一个平面截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（    ）． A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱锥 D．以上都可能 【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】根据圆柱、三棱柱、四棱锥的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案． 【详解】解： A、用一个平面去截一个圆柱，可以得到四边形， B、用一个平面去截一个三棱柱，可以得到四边形， C、用一个平面去截一个四棱锥，可以得到四边形， D、根据以上分析可得都有可能； 故选： 【点睛】本题考查了圆柱、三棱柱、四棱锥的几何特征，其中关键是熟练掌握相关旋转体的几何特征，培养良好的空间想像能力． 4．如图是一个正方体的表面展开图，所有相对面的数字之和相等，则的值是（　　） A．5 B．1 C．3 D． 【答案】A 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】先求出相对面的数字之和，再判断出所对的数字为5，问题随之得解． 【详解】解：∵所有相对面的数字之和相等， ∵1与2相对，与4相对，与相对， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 5．2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路（贺龙体育中心东广场旁）起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋驰骋在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸、山水洲城的魅力，图①是此次全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．主视图是从几何体正面观察到的视图． 【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高， 故选：A． 6．用一个平面去截下列几何体，截得的平面图形可能是三角形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】根据三棱柱、圆锥、圆柱、长方体的形状特点判断即可． 【详解】解：用一个平面截下列几何体，截面的形状可能是三角形的是三棱柱、圆锥和长方体． 故选：D． 【点睛】此题考查的知识点是截一个几何体，关键明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法． 7．下列不是三棱柱展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】根据三棱柱的构造可知展开图，即可解题． 【详解】解：∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，三角形在两头， ∴C选项不是三棱柱展开图， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握几何体的性质即可求展开图． 8．下面的图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：选项A不能组成棱柱，是因为上下两底面四个边的长不能与侧面的边等长、重合； 选项C中折叠后没有上底面，不能折成棱柱； 选项D缺少两个底面，不能围成棱柱； 只有B能围成棱柱． 故选：B． 【点睛】考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 9．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）    A．   B．  C．   D．   【答案】D 【知识点】截一个几何体、含图案的正方体的展开图 【分析】考查了截一个几何体和几何体的展开图．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：A、折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，不符合题意； B、折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，不符合题意； C、折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，不符合题意； D、折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合，符合题意． 故选：D． 10．下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 【答案】C 【知识点】截一个几何体、含图案的正方体的展开图、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】（1）A选项通过想象可以得出两个黑色实心圆在对面上 （2）B选项就要根据实际图形结合空间想象快速判断出旋转后的物体中间并不是一个点 （3）C选项考虑竖向切割，截面图形是一个四边形 【详解】A、两个黑色实心圆在对面，此选项错误； B、如图所示： C、如图所示： 故选：C． 【点睛】主要考查了图形折叠、旋转以及切割之后所得到的立方图纸，解决这种题目的方法是要多做、多画． 二、填空题 11．用一个平面去截如图所示的三棱柱，关于截面形状的四种说法：①三角形，②四边形，③五边形，④六边形．其中截面的形状可能是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握三棱柱的截面形状是解题的关键．根据三棱柱的截面形状判断即可． 【详解】解：∵三棱柱有5个面， ∴用一个平面去截三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边形． 故答案为：①②③． 12．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是 ． 【答案】国 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解． 【详解】由图1可得：“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得：该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格时，“我”在下面，则这时小正方体朝上一面的字是“国”． 故答案为：国． 【点睛】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．考查了学生空间想象能力． 13．用一个平面去截一个圆柱，当截面平行于底面时，截面的形状是 ． 【答案】圆 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了圆柱的截面．用平面去截一个圆柱体，横着截时截面是椭圆或圆，当截面平行于底面时，截面的形状是圆．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法． 【详解】解：依题意， 用一个平面去截一个圆柱，横着截时截面是椭圆或圆，当截面平行于底面时，截面的形状是个圆． 故答案为：圆． 14．如图，10个大小相同的小立方块搭成一个几何体，在保持从正面看和从左面看到的形状图不变的情况下，最多可以拿掉 个小立方块． 【答案】1 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看堆砌图形，属于常考题型，正确掌握不同的观察角度是解题关键．保持从正面看和从左面看到的形状图不变，可在第二列前面的几何体中拿掉一个小正方体，于是可得答案． 【详解】解：从正面看和从左面看到的图形如图所示： 所以在保持从正面看和从左面看到的形状图不变的情况下，最多可以拿掉1个小立方块． 故答案为：1． 15．下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是 字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米．    【答案】 “功” 96 64 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积、正方体相对两面上的字 【分析】此题考查了正方体展开图的特征、正方体表面积的计算、正方体体积的计算． 此图属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，“自”与“功”相对；根据正方体表面积计算公式“”、正方体体积计算公式“”即可计算出折成成的正方体的表面积、体积． 【详解】解：面是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是“功”字 （平方厘米） （立方厘米） 答：这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米． 故答案为：“功”，96，64． 16．用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 【答案】 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【详解】解：圆锥不可能得到长方形截面， ∴能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个， 故答案为：3． 17．有一个正方体的六个面上分别标有数字、、、、、，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的表面展开图，正确判断“对面”和“邻面”是解题的关键．根据正方体的对面和邻面得出每个面的对面，确定、的值，即可求解． 【详解】解：由三个正方体上所标的数字可得， “”的邻面有“，，，”，因此“”对“”， “”的邻面有“，，，”，因此“”对“”， 于是“”对“”， 标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为， ，， ． 故答案为：． 18．小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有 种． 【答案】3 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可得共有3种， 如图： 【点睛】此题主要考查了正方体的平面展开图，应灵活掌握，不能死记硬背． 三、解答题 19．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的著名诗句（《题西林壁》）．你能说出“横看成岭侧成峰”中蕴含的数学道理吗？ 【答案】“横看成岭侧成峰”说明从不同方向看立体图形往往会得到不同的图形． 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】根据从不同方向看立体图形的思想，可得答案． 【详解】“横看成岭侧成峰” 说明从不同方向看立体图形往往会得到不同的图形． 【点睛】本题考查了从不同方向看立体图形的思想，属于基础题，理解诗句含义并结合数学知识是解题关键． 20．如图是由几个完全相同的小正方体搭成的一个立体图形，请画出从不同方向看该立体图形得到的平面图形． 【答案】见解析 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从正面看，看到的图形分为上下两层，共四列，从左边数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第一列有一个小正方形；从左面看，看到的图形分为上下两层，共两列，从左边数，上面一层每一列都有一个小正方形，，上面一层第一列有一个小正方形；从上面看，看到的图形分为上下两层，从左边数，上面一层每一列都有一个小正方形，下面一层第一列有一个小正方形；据此画图即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共四列，从左边数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第一列有一个小正方形；从左面看，看到的图形分为上下两层，共两列，从左边数，上面一层每一列都有一个小正方形，，上面一层第一列有一个小正方形；从上面看，看到的图形分为上下两层，从左边数，上面一层每一列都有一个小正方形，下面一层第一列有一个小正方形；即看到的图形如下： 21．哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？先想一想，再折一折． 【答案】（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】分别利用已知平面展开图进而分析得出答案． 【详解】解：如图（1）可以折成三棱柱， 如图（2）可以折成圆柱， 如图（3）可以折成正六棱柱， 如图（4）可以圆锥． 【点睛】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，熟记常见立体图形的平面展开图是解决此类问题的关键． 22．一个几何体的平面展开图如图所示． (1)说出这个几何体的名称； (2)求这个几何体的体积．（π取3.14） 【答案】(1)圆柱 (2) 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，圆柱的体积公式， （1）根据圆柱体的展开图解答； （2）求出圆柱的底面半径，然后利用圆柱的体积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：因为几何体的侧面展开图是长方形，两底面是圆形，所以这个几何体是圆柱． （2）其体积为． 23．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    24．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：______；图2：______；图3：______ （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）三棱柱，圆锥，六棱柱；（2）图见解析． 【知识点】从不同方向看几何体、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图、从不同方向看几何体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为3、1、2，从左面看有2列每列小正方形的数目是3、2，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是三棱柱，图2是圆锥，图3是六棱柱， 故答案为：三棱柱，圆锥，六棱柱； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为3、1、2，从左面看有2列每列小正方形的数目是3、2，如图： 25．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】（1）12，864；（2）486 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】解：（1）该长方体纸盒的底面边长为： 该长方体纸盒的体积为：； 解：（2）裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为： 裁剪后折叠成长方体的高为：3 ∴长方体纸盒的表面积为 26．综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 【答案】(1)，， (2)588；576 (3)C (4) 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）把，，以及，代入 进行计算即可； （3）求出当，时，计算的值即可． （4）把数据代入计算即可． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为 ，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为，这个无盖长方体纸盒的容积 ； 故答案为：，，； （2）当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）当，时，体积最大，最大体积为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 从立体图形到平面图形（知识清单+12大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 从不同方向看几何体 题型二 几何体展开图的认识 题型三 由展开图计算几何体的表面积 题型四 由展开图计算几何体的体积 题型五 正方体几种展开图的识别 题型六 正方体相对两面上的字 题型七 含图案的正方体的展开图 题型八 求展开图上两点折叠后的距离 题型九 补一个面使图形围成正方体 题型十 截一个几何体 题型十一 平面图形形状的识别 题型十二 用七巧板拼图形 知识清单 知识点1：图形的展开与折叠 要点归纳：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形． (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图． 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形. 正方体是特殊的棱柱，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱．将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 知识点2： 截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 知识点3： 从三个方向看几何体 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 3.组合体的三视图 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图） 题型方法 【题型一】从不同方向看几何体 【例1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，这是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，则（   ） A．从正面看和从左面看到的形状图相同 B．从上面看和从左面看到的形状图相同 C．从正面看和从上面看到的形状图相同 D．从正面看、从左面看和从上面看到的形状图都相同 【举一反三】 1．（24-25七年级下·河南郑州·自主招生）在“观察物体”的课堂上，数学老师要求同学们搭出从以下两个方向看到的立体图形，那么同学们最少需要__________个正方体，最多可以用__________个正方体．（      ） A．4和7 B．5和7 C．4和6 D．5和6 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由个小立方块组成，最少由个小立方块组成，则 ． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)这个几何体是由 个大小相同的小正方体搭成的； (2)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (3)若每个小正方体的棱长为1cm，求这个几何体的表面积． 【题型二】几何体展开图的认识 【例2】（2023·北京朝阳·二模）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A．圆柱 B．棱柱 C．长方体 D．圆锥 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是 ，与A面对应的是 面． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【题型三】由展开图计算几何体的表面积 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【举一反三】 1．（2024七年级·全国·竞赛）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）一个长方体纸盒，左右两面是完全一样的正方形，已知其中一个正方形的面积是这个长方体表面积的，那么这个长方体的宽是长的( ) 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【题型四】由展开图计算几何体的体积 【例4】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是国内某品牌牛奶长方体型包装盒的展开图（粘贴部分忽略不计），展开图的数据大小如图中所示，从该包装盒说明上知道，该牛奶含优质乳蛋白3.6克，则一盒这样的牛奶含优质乳蛋白（按装满计算）（　　） A．4.5克 B．9克 C．90克 D．900克 2．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计）．若该长方体盒子的底面是一个正方形，则它的体积为 ． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 【操作探究】（）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； 【问题解决】（）图是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面的相对面上的字是______；（字在盒外） 【拓展探究】（）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为时，请求出纸盒的容积．（纸张厚度忽略不计） 【题型五】正方体几种展开图的识别 【例5】（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（   ） A．2 B．1 C．6 D．3 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图的四个平面图形中，不是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有 ． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【题型六】正方体相对两面上的字 【例6】（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（   ） A．核 B．心 C．素 D．养 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）七年级以“福外鸣天精神”为主题开展入学教育，激励学生爱校拼搏，奋发有为．如图是一个正方体的平面展开图，则原正方体中与“鸣”字所在面相对的面上标有的字是（　　） A．福 B．精 C．神 D．外 2．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）一个正方体纸盒的展开图如图所示，将其折成正方体后，若相对面上的两个数互为相反数，则a的值为 ． 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题： (1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？ (2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？ (3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？ 【题型七】含图案的正方体的展开图 【例7】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列选项中是如图所示的正方体的表面展开图的是（   ） A．B． C． D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）将如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，该正方体是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 3．（22-23七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，左面立．体图形中四边形表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形的四条边． 【题型八】求展开图上两点折叠后的距离 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【举一反三】 1．（22-23七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【题型九】补一个面使图形围成正方体 【例9】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【正方体的表面积】将一个正方体等分成8个小正方体，任取其中都在顶点处的一个小正方体后，其表面积和原来相比，（   ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 3．（22-23七年级上·山西阳泉·期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下类问题： 观察判断： 小明共剪开了___________条棱； 动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形： 解决问题： 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 【题型十】截一个几何体 【例10】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（    ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）用一个平面分别去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东河源·期末）如图，用一个平面沿水平方向去截一个圆柱，所得截面图形是 ． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，长方形的长为8，宽为4，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱． (1)这一现象用数学知识可以解释为 ； (2)若用一个平面沿水平方向去截圆柱，所得的截面形状是 ； (3)请通过计算说明，这两个圆柱的体积有什么关系？ 【题型十一】平面图形形状的识别 【例11】（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）用（   ）长的这几根小棒可以围成一个长方形． A．7厘米、4厘米、6厘米、4厘米 B．7厘米、4厘米、6厘米、5厘米 C．7厘米、4厘米、7厘米、4厘米 【举一反三】 1．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）将下图沿着虚线剪开，会得到（   ） A． B． C． 2．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）请写出一个你知道的平面图形 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数； (2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 【题型十二】用七巧板拼图形 【例12】（24-25七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境•传统文化 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有 ． 好题必刷 一、单选题 1．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，“建”字对面的字是（    ） A．和 B．谐 C．社 D．会 2．下面不是正方体的展开图是（    ） A．   B．   C．   D．   3．用一个平面截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（    ）． A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱锥 D．以上都可能 4．如图是一个正方体的表面展开图，所有相对面的数字之和相等，则的值是（　　） A．5 B．1 C．3 D． 5．2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路（贺龙体育中心东广场旁）起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋驰骋在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸、山水洲城的魅力，图①是此次全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 6．用一个平面去截下列几何体，截得的平面图形可能是三角形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．下列不是三棱柱展开图的是（    ） A． B． C． D． 8．下面的图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）    A．   B．  C．   D．   10．下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 二、填空题 11．用一个平面去截如图所示的三棱柱，关于截面形状的四种说法：①三角形，②四边形，③五边形，④六边形．其中截面的形状可能是 ．（填序号） 12．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是 ． 13．用一个平面去截一个圆柱，当截面平行于底面时，截面的形状是 ． 14．如图，10个大小相同的小立方块搭成一个几何体，在保持从正面看和从左面看到的形状图不变的情况下，最多可以拿掉 个小立方块． 15．下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是 字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米．    16．用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 17．有一个正方体的六个面上分别标有数字、、、、、，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 18．小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有 种． 三、解答题 19．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的著名诗句（《题西林壁》）．你能说出“横看成岭侧成峰”中蕴含的数学道理吗？ 20．如图是由几个完全相同的小正方体搭成的一个立体图形，请画出从不同方向看该立体图形得到的平面图形． 21．哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？先想一想，再折一折． 22．一个几何体的平面展开图如图所示． (1)说出这个几何体的名称； (2)求这个几何体的体积．（π取3.14） 23．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    24．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：______；图2：______；图3：______ （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 25．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 26．综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$