第01讲 生活中的立体图形（知识清单+6大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025－2026学年七年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01讲 生活中的立体图形（知识清单+6大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 常见的几何体 题型二 组合几何体的构成 题型三 立体图形的分类 题型四 几何体中的点、棱、面 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 知识清单 知识点一：常见的几何体及分类 1. 立体图形 各部分不在同一平面内的几何图形叫立体图形，也叫几何体. 如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2. 常见的几何体分为三类 （1）柱体； （2）锥体； （3）球. 知识点二：柱体的相关概念及特征 1. 柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱. 2. 棱柱的特征 （1） 棱柱所有的侧棱长都相等； （2） 棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形； （3） 侧面的形状都是平行四边形. 3. 棱柱的分类 （1） 人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱...,长方体、正方体都是棱柱. （2） 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形. 知识点三：图形的构成及其关系 1. 点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种. 线：面和面相交得到线，线有直线和曲线. 点：线和线相交得到点. 2. 点、线、面、体的关系 点动成线：笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线. 线动成面：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面. 面动成体：长方形硬纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成一个圆柱. 题型方法 【题型一】常见的几何体 【例1】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）下列图形中，是立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）下面四个物体中，最接近圆柱的是（   ） A．篮球 B．灯罩 C．茶叶罐 D．冰箱 2．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）积木是很多同学小时候玩过的一种玩具，对于锻炼手眼协调能力，培养科学思维很有帮助．如图所示是用积木拼成的小车，写出你能看出的立体图形： ．（写两种即可）    3．（24-25七年级上·天津河西·期末）把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来． 【题型二】组合几何体的构成 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 【举一反三】 1．（七年级上·全国·专题练习）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ．    3．（七年级上·全国·专题练习）如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 【题型三】立体图形的分类 【例3】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）下列几何体中，是正方体的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【题型四】几何体中的点、棱、面 【例4】（2025·四川泸州·三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若一个棱柱有14个顶点，则这个棱柱是 棱柱． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）一个直五棱柱的模型如图所示，它的底面边长都为，侧棱长都为．求该直五棱柱所有侧面的面积之和． 【题型五】点、线、面、体四者之间的关系 【例5】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）老师在黑板上用粉笔写字，用数学知识可解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川广元·期末）下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）笔尖在纸上快速滑动写出了一个字母w，用数学知识解释为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一长方形在直线上翻滚，请在图中画出点所经过的路径．    【题型六】平面图形旋转后所得的立体图形 【例6】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）将如图所示的直角三角形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知长方形的长为，宽为，记这个长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱的侧面积为，这个长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱的侧面积为，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 好题必刷 一、单选题 1．翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 2．一个足球有以下性质，其中属于几何性质的为（   ） A．皮质 B．黑白色 C．有弹性 D．直径厘米 3．与图中实物图类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（    ） A．圆锥、三棱柱、球、正方体 B．球、圆锥、三棱柱、正方体 C．三棱柱、球、圆锥、正方体 D．球、三棱柱、正方体、圆锥 4．要锻造一个半径为4厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取半径为2厘米的圆钢（    ）厘米． A．4 B．8 C．12 D．16 5．按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其余三个不属于同一类立体图形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将图形绕直线1旋转一周，可得到如图几何体的是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 8．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（    ） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2．则三棱锥C1﹣A1DB的体积为（　　） A．24 B．16 C．12 D．8 10．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．小颖用圆规在纸上画了一个圆，这个现象说明 ． 12．（1）长方体有 个面，面与面相交形成的线有 条，都是 线（选填“直”或“曲”），线与线相交的点有 个； （2）圆柱有 个面，它有 个底面，是平的， 个侧面，是曲的，底面和侧面相交的线有 条，是 线（选填“直”或“曲”）． 13．如图，下列几何体，是柱体的有 ，球体的有 ．（填序号） 14．（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 15．如图，在长方体中，与棱平行的棱有 条． 16．观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 17．把一个三角形以5厘米为轴旋转一周所形成的图形的体积是 立方厘米．    18．如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱． 三、解答题 19．(1)下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称； (2)将这些几何体分类，并写出分类的理由． 20．1.围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 21．观察图中所示的八个几何体． （1）依次写出这八个几何体的名称：①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________；⑦__________；⑧__________； （2）若几何体按是否包含曲面分类：不含曲面的有__________；含曲面的有__________；（填序号即可） （3）分别写出几何体⑥和⑧的两个相同点和两个不同点． 22．小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积并求出它们的比值是多少？ 23．已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是几棱柱？ (2)它有多少个面？多少个顶点？ (3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和． 24．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？ (2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留） 25．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 26．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 生活中的立体图形（知识清单+6大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 常见的几何体 题型二 组合几何体的构成 题型三 立体图形的分类 题型四 几何体中的点、棱、面 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 知识清单 知识点一：常见的几何体及分类 1. 立体图形 各部分不在同一平面内的几何图形叫立体图形，也叫几何体. 如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2. 常见的几何体分为三类 （1）柱体； （2）锥体； （3）球. 知识点二：柱体的相关概念及特征 1. 柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱. 2. 棱柱的特征 （1） 棱柱所有的侧棱长都相等； （2） 棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形； （3） 侧面的形状都是平行四边形. 3. 棱柱的分类 （1） 人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱...,长方体、正方体都是棱柱. （2） 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形. 知识点三：图形的构成及其关系 1. 点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种. 线：面和面相交得到线，线有直线和曲线. 点：线和线相交得到点. 2. 点、线、面、体的关系 点动成线：笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线. 线动成面：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面. 面动成体：长方形硬纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成一个圆柱. 题型方法 【题型一】常见的几何体 【例1】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）下列图形中，是立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查几何图形，根据立体图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是平面图形，不符合题意； B、是立体图形，符合题意； C、是平面图形，不符合题意； D、是平面图形，不符合题意； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）下面四个物体中，最接近圆柱的是（   ） A．篮球 B．灯罩 C．茶叶罐 D．冰箱 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了认识立体图形，比较简单，熟悉圆柱体是解题的关键． 观察所给图形，根据圆柱体的特点即可做出判断． 【详解】解：最接近圆柱的是茶叶罐． 故选：C． 2．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）积木是很多同学小时候玩过的一种玩具，对于锻炼手眼协调能力，培养科学思维很有帮助．如图所示是用积木拼成的小车，写出你能看出的立体图形： ．（写两种即可）    【答案】长方体、三棱柱（答案不唯一） 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了立体图形．根据立体图形的定义求得即可． 【详解】解：立体图形有长方体、三棱柱、圆柱体． 故答案为：长方体、三棱柱（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·天津河西·期末）把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来． 【答案】见解析 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查认识立体图形，熟练掌握常见几何体的特征是解题关键．根据常见立体图形的特征直接连线即可． 【详解】解：如图： ． 【题型二】组合几何体的构成 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 【答案】A 【知识点】常见的几何体、组合几何体的构成 【分析】 本题考查正方体的体积，根据正方体的体积公式解答即可． 【详解】 解：∵，，， ∴可以用8个小正方体拼成棱长2分米的大正方形， 可以用27个小正方体拼成棱长3分米的大正方形， 可以用64个小正方体拼成棱长4分米的大正方形， ∴用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是4立方分米． 故选：A． 【举一反三】 1．（七年级上·全国·专题练习）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 【答案】A 【知识点】组合几何体的构成 【分析】由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和， ∴该几何体前后左右上下各都有6个小正方形，共36个小正方形， ∵小正方体的棱长为 a， ∴该图形的表面积为 36a2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何图形与同底数幂的乘法，熟练掌握正方体的表面积及同底数幂的乘法是解题的关键． 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ．    【答案】9 【知识点】组合几何体的构成 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 3．（七年级上·全国·专题练习）如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 【答案】见解析． 【知识点】组合几何体的构成 【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案． 【详解】解：图①是由底面完全重合的圆锥和圆柱组合而成的； 图②是由底面完全重合的两个圆锥组合而成的； 图③是由完全相同的四个正方体组合而成的． 【点睛】本题主要考查了立体图形中的几何体，解题的关键在于能够熟练掌握常见的几何体的特征． 【题型三】立体图形的分类 【例3】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【知识点】常见的几何体、立体图形的分类 【分析】本题主要考查立体图形，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱． 属于棱柱的有：①③⑥； 故选：C 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）下列几何体中，是正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查的是立体图形的认识，直接利用圆柱，正方体，圆锥，四棱锥的特点解答即可． 【详解】解：A选项中的图形是圆柱， B选项中的图形是正方体， C选项中的图形是圆锥， D选项中的图形是四棱锥， 故选B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤ ④ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握各定义是解题关键．解这类题首先要明确柱体、锥体、球体的概念，然后根据图示进行解答即可． 【详解】解：柱体包括圆柱和棱柱，所以柱体有①②③； 锥体包括圆锥和棱锥，所以锥体有⑤； 球体属于单独的一类，是有且只有一个连续曲面的立体图形，所以球体有④； 故答案为：①②③，⑤，④． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【答案】①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥．可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体 【知识点】常见的几何体、立体图形的分类 【分析】本题考查了几何体的分类，掌握几何体的形状和特征，制定恰当的分类标准是关键． 根据所给的几何体的形状和特征，找出由一个曲面围成的几何体；由常见几何体的形状和特征，找出其中有顶点的锥体；观察所给图形的形状和特征，把剩下的放到一组． 【详解】解：①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥． 可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体． 【题型四】几何体中的点、棱、面 【例4】（2025·四川泸州·三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【答案】C 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查对正多面体概念的理解，熟练掌握对正多面体概念的理解是解题的关键．根据正多面体只有个即可得到答案． 【详解】解：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体， 故可以以之为面数构成正多面体的是12． 故选C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 【答案】D 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可．本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键． 【详解】解：∵该几何体是三棱柱， ∴底面是三角形，侧面是四边形，有3条侧棱， ∴D说法正确，A、B、C说法错误， 故选D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若一个棱柱有14个顶点，则这个棱柱是 棱柱． 【答案】七 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了立体图形的点，线，面的知识，掌握立体图形的特点是关键． 根据立体图形点，线，面的关系即可求解． 【详解】解：一个棱柱有14个顶点， ∴， ∴这个棱柱是七棱柱， 故答案为：七 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）一个直五棱柱的模型如图所示，它的底面边长都为，侧棱长都为．求该直五棱柱所有侧面的面积之和． 【答案】该直五棱柱所有侧面的面积之和为 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了求几何体的侧面积，有理数的乘法，由底面边长都是可知每个侧面的面积都相等，用一个侧面的面积乘以侧面的个数即可． 【详解】解：． 答：该直五棱柱所有侧面的面积之和为 【题型五】点、线、面、体四者之间的关系 【例5】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）老师在黑板上用粉笔写字，用数学知识可解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面、体，根据点动成线可得结论 ． 【详解】解：根据点动成线，老师在黑板上用粉笔写字，用数学知识可解释为点动成线， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川广元·期末）下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体四者之间的关系是解题的关键．根据点、线、面、体四者之间的关系，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、天空划过一道流星，能说明“点动成线”，不符合题意； B、时钟的钟摆摆动留下的痕迹，能说明“线动成面”，符合题意； C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线，能说明“点动成线”，不符合题意； D、一枚硬币在桌面上旋转的轨迹，能说明“面动成体”，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）笔尖在纸上快速滑动写出了一个字母w，用数学知识解释为 ． 【答案】点动成线 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点、线、面、体四者之间的关系是解题的关键．根据点动成线的性质即可解答． 【详解】解：笔尖在纸上快速滑动写出了一个字母w，用数学知识解释为“点动成线”． 故答案为：点动成线． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一长方形在直线上翻滚，请在图中画出点所经过的路径．    【答案】     【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点动成线以及利用圆规画图等知识，画图时找准两段弧的半径是解答本题的关键． 根据点动成线，找到两段弧的半径画弧即可解答． 【详解】解：如图所示：    【题型六】平面图形旋转后所得的立体图形 【例6】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）将如图所示的直角三角形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 【答案】A 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案． 【详解】解：依题意，将三角形绕虚线旋转一周，可以得到的立体图形是圆锥． 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知长方形的长为，宽为，记这个长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱的侧面积为，这个长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱的侧面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查的知识点是平面图形的旋转体、圆柱的侧面积计算法则，解题关键是熟练掌握圆柱的侧面积计算法则．先根据题意得到旋转得到圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的侧面积计算法则进行计算即可得解． 【详解】解：依题得：长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱底面半径为，高为， 则侧面积； 长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱底面半径为，高为， 则侧面积， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 【答案】(1)圆柱； (2)． 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握知识点的应用解题的关键． （）根据面动成体即可解答； （）设图形的体积分别为、，然后分别求得图形的体积，然后作差即可解答． 【详解】（1）解：以长方形的边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：设图形的体积分别为、， 则， ， ∴， 即立体图形比立体图形的体积大． 好题必刷 一、单选题 1．翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，是基础题，需熟记，根据、线、面、体四者之间的关系解答即可． 【详解】解：翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了面动成体， 故选：C． 2．一个足球有以下性质，其中属于几何性质的为（   ） A．皮质 B．黑白色 C．有弹性 D．直径厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查几何图形的几何性质的理解，几何性质报括几何对象的形状，大小，位置特征，利用几何特征的含义逐项判断即可． 【详解】解：A，B，C选项分别是足球的材质，颜色，及弹性等物理特征，而选项D为足球的形状及大小特征， 故选：D． 3．与图中实物图类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（    ） A．圆锥、三棱柱、球、正方体 B．球、圆锥、三棱柱、正方体 C．三棱柱、球、圆锥、正方体 D．球、三棱柱、正方体、圆锥 【答案】B 【分析】根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：球、圆锥、三棱柱、正方体． 故选：B． 【点睛】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 4．要锻造一个半径为4厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取半径为2厘米的圆钢（    ）厘米． A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据体积相等进行计算即可． 【详解】解：设应截取半径为2厘米的圆钢x厘米，由题意得： 22×π•x＝42×π×4， ∴x＝16， ∴应截取半径为2厘米的圆钢16厘米， 故选：D． 【点睛】本题考查了认识立方体图形，熟练掌握圆柱的体积公式是解本题的关键． 5．按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其余三个不属于同一类立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的认识．根据立体图形的特征判断即可． 【详解】解：A，C，D选项都是柱体，B是圆锥， 故选：B． 6．如图，将图形绕直线1旋转一周，可得到如图几何体的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据每一个几何体的特征判断即可． 【详解】解：A．将图形绕直线l旋转一周，可得到几何体的是：题目已知的几何体，故A符合题意； B．将图形绕直线l旋转一周，可得到几何体的是：球，故B不符合题意； C．将图形绕直线l旋转一周，可得到几何体的是：圆台，故C不符合题意； D．将图形绕直线l旋转一周，可得到几何体的是：圆锥，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键． 7．以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查对正多面体概念的理解，熟练掌握对正多面体概念的理解是解题的关键．根据正多面体只有个即可得到答案． 【详解】解：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体， 故可以以之为面数构成正多面体的是12． 故选C． 8．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（    ） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 【答案】C 【分析】本题考查圆柱体、圆锥体体积的计算方法，分别求出几何体A，几何体B的体积，再进行判断即可． 【详解】解：几何体A的体积为， 几何体B的体积为， 所以几何体A与几何体B的体积比为． 故选：C． 9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2．则三棱锥C1﹣A1DB的体积为（　　） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】D 【分析】利用长方体的体积公式和三棱锥的体积公式即可求解． 【详解】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：， 三棱锥的体积为：， 三棱锥的体积为：， 三棱锥的体积为：， 三棱锥的体积为：， 故三棱锥的体积为：， 故选D． 【点睛】本题考查了长方体和三棱锥的体积计算，将所求三棱锥的体积转化为长方体的体积与另外几个三棱锥体积的差是解题的关键． 10．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示， 故选：B． 【点睛】本题考查了剪纸问题，动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 二、填空题 11．小颖用圆规在纸上画了一个圆，这个现象说明 ． 【答案】点动成线 【分析】本题考查点、线、面、体．掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．根据点动成线解答即可． 【详解】解：用圆规在纸上画了一个圆，这个现象说明点动成线． 故答案为：点动成线． 12．（1）长方体有 个面，面与面相交形成的线有 条，都是 线（选填“直”或“曲”），线与线相交的点有 个； （2）圆柱有 个面，它有 个底面，是平的， 个侧面，是曲的，底面和侧面相交的线有 条，是 线（选填“直”或“曲”）． 【答案】 直 曲 【分析】（1）根据长方体的特点进行求解即可； （2）根据圆柱的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）长方体有6个面，面与面相交形成的线有12条，都是直线，线与线相交的点有8个； 故答案为：6；12；直；8； （2）圆柱有3个面，它有2个底面，是平的，1个侧面，是曲的，底面和侧面相交的线有2条，是曲线； 故答案为：3；2；1；2；曲． 【点睛】本题主要考查了长方体和圆柱的特点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．如图，下列几何体，是柱体的有 ，球体的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥ ⑤ 【分析】根据立体图形的特征即可得到答案． 【详解】解：柱体的有①②⑥；球体有⑤． 故答案为：①②⑥，⑤ 【点睛】本题考查了认识立体图形，熟知立体图形的特征并知道他们的名称是解题关键． 14．（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【答案】 面与面相交得到线 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】题目考查了点、线、面之间的动态关系，理解生活中的点、线、面关系是解题的关键． 【详解】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为面与面相交得到线； 故答案为：面与面相交得到线 （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为点动成线； 故答案为：点动成线 （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为线动成面； 故答案为：线动成面 （4）长方形绕它的一边所在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为面动成体． 故答案为：面动成体 15．如图，在长方体中，与棱平行的棱有 条． 【答案】3 【分析】根据图形，AB是长方体的长的棱，找出其它的表示长的棱即可． 【详解】解：由图可得，长方体中所有与棱平行的棱有3条：、、． 答案：3. 【点睛】本题考查了对长方体的认识，明确表示长的棱，表示宽的棱，表示高的棱是解题的关键，是基础题． 16．观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 17．把一个三角形以5厘米为轴旋转一周所形成的图形的体积是 立方厘米．    【答案】 【分析】本题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，以它的一条直角边为轴旋转一周得到一个以旋转边为高，另一直角边为底面半径的圆锥；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答 【详解】解： （立方厘米） 所以：这个立体图形的体积是立方厘米 故答案为： 18．如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱． 【答案】 五 7 10 15 【分析】本题主要考查的是棱柱的认识，掌握棱柱的概念是解题的关键． 根据n棱柱的底面是n边形，n棱柱有个面， 个顶点，条棱求解即可 ． 【详解】解：这个棱柱的底面是五边形， 它有7个面，有10个顶点，有15条棱． 故答案为：五；7；10；15． 三、解答题 19．(1)下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称； (2)将这些几何体分类，并写出分类的理由． 【答案】(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱． (2)按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体 【分析】(1)针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可； (2)按柱体、锥体、球体进行分类即可． 【详解】解：(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱． (2)观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体． 【点睛】本题考查了立体图形的认识和几何体的分类，熟记立体图形的特征是解决本题的关键． 20．1.围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】（1）是平的；（2）是平的；（3）侧面是曲的；（4）是曲的；（5）包围一个圆柱和一个半球的组合体的是一个半球面､一个圆柱的侧面和一个圆面，前两者是曲的，后者是平的 【分析】根据几何体面的展开形状进行解答即可． 【详解】解：（1）四棱柱的各面是矩形，是平的；（2）三棱柱的各面是三角形，是平的；（3）圆锥的底面是平的，侧面是曲的；（4）包围球的面是球面，是曲的；（5）包围一个圆柱和一个半球的组合体的是一个半球面､一个圆柱的侧面和一个圆面，前两者是曲的，后者是平的． 【点睛】本题主要考查了认识几何体，关键掌握平面和曲面的不同． 21．观察图中所示的八个几何体． （1）依次写出这八个几何体的名称：①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________；⑦__________；⑧__________； （2）若几何体按是否包含曲面分类：不含曲面的有__________；含曲面的有__________；（填序号即可） （3）分别写出几何体⑥和⑧的两个相同点和两个不同点． 【答案】（1）①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱；⑥五棱柱；⑦球；⑧三棱柱；（2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦；（3）答案不唯一，如相同点：①每个侧面都是平的；②每个图形的上下两个底面完全相同；不同点：①两个图形的面数不同；②底面的边数不同． 【分析】（1）根据柱体、锥体、球体的定义依次解题； （2）根据几何体的分类解题； （3）根据几何体的特点解题． 【详解】解：（1）①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱；⑥五棱柱；⑦球；⑧三棱柱； （2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦； （3）答案不唯一，如相同点：①每个侧面都是平的；②每个图形的上下两个底面完全相同；不同点：①两个图形的面数不同；②底面的边数不同． 【点睛】本题考查柱体、锥体、球体等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 22．小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积并求出它们的比值是多少？ 【答案】(1)小红 (2)甲的体积为；乙的体积；它们的比值是 【分析】本题考查了圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆柱和圆锥的高． （1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，先分别求解两个立体图形的体积，再求解比值即可． 【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等； 所以同意小红的说法； 故答案为：小红； （2）解：甲的体积：， 乙的体积：， ∴． 23．已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是几棱柱？ (2)它有多少个面？多少个顶点？ (3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)七棱柱 (2)有9个面，14个顶点 (3) 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有 条棱求解可得； （2）由棱柱有个顶点，有个面求解可得； （3）将侧面长方形的底面周长乘以长方形的宽可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以这个直棱柱是七棱柱． （2）解：因为这个直棱柱是七棱柱，所以它有9个面，14个顶点． （3）解：所有侧面的面积之和为． 答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 24．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？ (2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱； (2)或． 【分析】（）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解； （）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为或底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答， 本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱； （2）将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，体积为． 将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，体积为， 所以将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积是或． 25．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体； (2)得到的几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，面动成体； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 26．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)6；6； (2)12 (3) 【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察可得顶点数面数棱数； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6； 正八面体的顶点数为6； 关系式为：； 故答案为：6；6；； （2）一个多面体的面数比顶点数小8， ， ，且， ， 解得； 故答案为：12； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么， 解得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$