专题01生活中的立体图形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

专题01生活中的立体图形暑假预习讲义 1.能从生活实物中识别常见立体图形，准确说出圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的名称，建立实物与几何模型的对应关系。 2.区分柱体、锥体、球体三大类别，分清棱柱与圆柱、棱锥与圆锥的相同点和不同特征。 3.认识立体图形的组成元素：顶点、棱、面，能区分平面、曲面，判断每种立体图形由平面或曲面围成。 4.掌握棱柱的基础概念：底面、侧面、侧棱，会识别 n 棱柱的底面形状、侧面个数、棱与顶点数量规律。 5.理解点、线、面、体之间的动态关系：点动成线、线动成面、面动成体，能举出生活实例佐证。 6.会判断平面旋转后形成的立体图形，比如长方形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥。 7.能对生活中的几何体分类，掌握两种分类标准（按柱 / 锥 / 球划分；按有无曲面划分），做到分类不重不漏。 8.初步建立空间几何观念，学会从多角度观察立体图形，为后续展开图、截面、三视图学习铺垫基础。 分层预习要求 基础：识别七种基础立体图形；分清平面与曲面；记住点线面体的运动关系。 提高：对比棱柱与圆柱、棱锥与圆锥的异同；简单判断平面旋转得到的立体图形；几何体规范分类。 拓展：探究 n 棱柱顶点、棱、面的数量规律；结合生活场景举例解释点动成线、线动成面、面动成体。 预习必备 知识梳理 1.立体图形的相关概念 2.立体图形特征对比 3.几何体两种标准分类方法 4.易混几何体异同对比 5.棱柱核心概念与数量通用规律 6.几何基本元素:点线面体 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.常见的几何体 2.组合几何体的构成 3.立体图形的分类 4.几何体中的点.棱.面 5.点.线.面.体四者之间的关系 6.平面图形旋转后所得立体图形 强化题型 解答题6题 知识点 01 立体图形的相关概念 1. 定义 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形。 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分： ① 有曲面：圆柱、圆锥、球等； ② 没有曲面：棱柱、棱锥等。 2. 棱柱的有关概念及其特征 ① 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形。 ② 棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系： 底面多边形的边数 n确定该棱柱是 n 棱柱，它有 2n个顶点，3n 条棱，n 条侧棱，有 n+2 个面，n个侧面。 知识点02:立体图形特征对比表 大类 几何体 底面数量 & 形状 侧面构成 是否含曲面 是否存在顶点 柱体 正方体 2 个全等正方形 6 个长方形平面 无 8 个顶点 柱体 长方体 2 个全等长方形 6 个长方形平面 无 8 个顶点 柱体 n 棱柱 2 个全等 n 边形 n 个长方形平面 无 2n 个顶点 柱体 圆柱 2 个全等圆形 1 个曲面 有 无顶点 锥体 n 棱锥 1 个 n 边形 n 个三角形平面 无 1 个公共顶点 锥体 圆锥 1 个圆形 1 个曲面 有 1 个顶点 球体 球 无底面 单一闭合曲面 有 无顶点、无棱 知识点03:几何体两种标准分类方法（课堂重点讲解） 按形态分为三类：柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体（球） 按组成面是否含曲面划分： 1 全平面围成：正方体、长方体、所有棱柱、所有棱锥 ② 含曲面：圆柱、圆锥、球 知识点04:易混几何体异同对比 圆柱与棱柱 相同点：都属于柱体，上下两组底面平行且完全相等； 不同点：棱柱底面是多边形、侧面全为平面长方形；圆柱底面是圆形、侧面为曲面。 圆锥与棱锥 相同点：仅有 1 个底面，顶部汇聚至同一个顶点，同属锥体； 不同点：棱锥底面是多边形、侧面为三角形平面；圆锥底面是圆形、侧面是曲面。 知识点05:棱柱核心概念与数量通用规律（考试高频考点） 1. 棱柱各组成部分定义 底面：上下一对完全相同、互相平行的多边形； 侧面：相邻两条侧棱之间的长方形平面； 侧棱：连接上下底面对应顶点的线段，所有侧棱长度相等； 棱：包含侧棱与底面多边形的全部边； 顶点：两条棱相交形成的交点。 2. n 棱柱数量规律公式（统一整理，方便板书记忆） 设底面为 n 边形，称作 n 棱柱： 项目 数量规律 举例：四棱柱（长方体） 侧面个数 n 个 4 个侧面 总面数 n+2 个 4+2=6 个面 侧棱条数 n 条 4 条侧棱 全部棱总数 3n 条 3×4=12 条棱 顶点总个数 2n 个 2×4=8 个顶点 知识点06:几何基本元素：点、线、面、体 1. 基础定义 面：分为平面、曲面；平整无弯曲为平面，弧形弯折为曲面；面和面相交形成线； 线：分为直线、曲线；线与线相交形成点； 体：立体图形统称为体，全部由面围成。 2. 运动转化关系 运动规律 文字说明 生活实例 点动成线 点持续运动，轨迹形成线 笔尖画线、流星划过天空 线动成面 线平移 / 摆动，扫出一个平面 雨刷摆动、拉直绳子平移 面动成体 平面绕固定轴旋转一周，形成立体图形 长方形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥 立体图形 平面图形 旋转轴（绕哪条线转） 旋转后形成的立体 长方形 一条长边 / 短边 圆柱 直角三角形 直角边 圆锥 半圆 半圆的直径 球 直角梯形 垂直底边的腰 圆台 知识点07:高频易错点 易错点类型 错误答题示例 标准正确结论 课堂提醒 棱柱数量计算错误 五棱柱共 5 个面 五棱柱面数 = 5+2=7，棱 15 条，顶点 10 个 牢记 n 棱柱固定公式，不要忽略上下 2 个底面 旋转几何体判断混淆 三角形旋转得到圆柱 直角三角形绕直角边旋转为圆锥，长方形旋转才是圆柱 做题先看清图形形状与旋转轴 几何体分类混乱 同时按曲面、柱锥双重标准分类 一次分类只能使用一种统一标准，做到不重复、不遗漏 分类题第一步先写明分类依据 曲面、平面概念混淆 圆柱侧面是平面 圆柱、圆锥只有底面是平面，侧面全部为曲面 区分围成几何体每一个面的属性 柱体锥体概念混淆 四棱锥存在两个底面 所有锥体只有 1 个底面；柱体才有一对平行底面 口诀：柱双底，锥单底 球体特征记错 球存在棱和顶点 球仅由单一曲面围成，无棱、无顶点、无平面 球体是特殊几何体，单独记忆 题型1.常见的几何体 【典例】有下列图形：①线段，②棱柱，③圆锥，④圆柱，⑤圆，⑥三角形，⑦球，其中属于立体图形的是____________．（填序号） 【答案】②③④⑦ 【分析】本题考查立体图形的识别．立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度，由此逐项判断即可． 【详解】解：①线段是平面图形； ②棱柱是多面体，属于立体图形； ③圆锥是旋转体，属于立体图形； ④圆柱是旋转体，属于立体图形； ⑤圆是平面图形； ⑥三角形是平面图形； ⑦球是曲面体，属于立体图形； 综上，属于立体图形的是②③④⑦． 故答案为：②③④⑦ ． 【跟踪专练1】如图，是一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，若不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体的是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合正方体、圆柱、圆锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】解：A、因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体，不符合题意； B、正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体，不符合题意； C、正方体盒子的形状决定了水无法形成圆锥体，不符合题意； D、把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示的几何体，这个几何体的名称是______． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查了学生对几何体的认识情况，在解答这个题目时，首先是要仔细观察几何体，找出几何体的组成情况，观察几何体，有2个底面，3个侧面，经过每个顶点有3条棱，每个底面各有3个顶点，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 【跟踪专练3】如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】由左图求得水的体积，由右图求得空白部分的体积，即可解答． 【详解】解：由左图知，水体积为， 由右图知，空白部分的体积为， ∴瓶子的容积是． 题型2.组合几何体的构成 【典例】在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为______． 【答案】10 【分析】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【详解】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 【跟踪专练2】分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是___________． 【答案】36 【分析】本题考查了组合几何体的构成，培养并发展自身的空间想象能力是解题的关键． 通过观察可知，该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，分别算出这种正方体的个数，再将其相加，即可得出答案． 【详解】解：该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，其中： 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， （个）， 该大正方体中包含个正方体， 故答案为：36． 【跟踪专练3】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 题型3.立体图形的分类 【典例】如图所示的图形中，柱体为__________（填序号）． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题考查了柱体的定义与分类，准确理解并运用柱体的概念进行判断是解题的关键． 柱体包含棱柱和圆柱，核心特征是有两个互相平行且全等的底面，据此判断即可． 【详解】解：这些几何体分别为正方体、长方体、圆柱体，圆锥、球、三棱柱， 其中是柱体的是①正方体，②长方体，③圆柱，⑥三棱柱， 故答案为：①②③⑥． 【跟踪专练1】下列四个几何体中，是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、棱台的形体特征是正确判断的前提． 根据棱柱的形体特征进行判断即可． 【详解】解：选项A中的几何体是圆柱，因此选项A不符合题意； 选项B中的几何体是三棱柱，因此选项B符合题意； 选项C中的几何体是三棱锥，因此选项C不符合题意； 选项D中的几何体是四棱台，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】将下列几何体分类用序号填空： (1)按有无曲面分类：有曲面的是______，没有曲面的是______； (2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是______，锥体的是______，球体的是______． 【答案】 ②③④ ①⑤⑥ ①③⑤ ④⑥ ② 【分析】(1)根据曲面和没有曲面的特征进行求解即可； (2)根据柱体，锥体和球体的定义进行求解即可． 【详解】(1)按有无曲面分类：有曲面的是②③④，没有曲面的是①⑤⑥， 故答案为：②③④；①⑤⑥； (2)按柱体，锥体，球体分类：柱体的是①③⑤，锥体的是④⑥，球体的是②． 故答案为：①③⑤；④⑥；②． 【点睛】本题主要考查了几何体的分类的有关知识．正确把握相关定义是解题关键． 【跟踪专练3】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 题型4.几何体中的点.棱.面 【典例】已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 【答案】12 【分析】本题考查几何体的点，线，面，根据棱柱的结构特征，总面数等于侧面数加2，由此求出底面边数，再应用棱柱的棱数公式求解即可． 【详解】解：设棱柱的底面边数为n，则总面数为．由题意，，解得． 棱柱的总棱数为． 故答案为：12 【跟踪专练1】一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【答案】D 【分析】本题考查直棱柱的棱数与顶点数的关系．先利用直棱柱棱数公式求出底面边数，再根据顶点数公式计算顶点数即可． 【详解】解：∵直棱柱的总棱数底面多边形的边数， 设底面多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵直棱柱的顶点数底面多边形的边数， ∴顶点数， 故选：D． 【跟踪专练2】在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 【答案】圆锥 【分析】本题考查认识立体图形，解题关键是熟记常见几何体的特征．根据甲和乙所述特征，几何体需同时具备曲面和顶点，常见几何体中圆锥满足条件 【详解】解：球有曲面但无顶点，三棱锥有顶点但无曲面，圆柱有曲面但无顶点，圆锥既有曲面（侧面）又有顶点， ∴该几何体模型可能是圆锥． 故答案为：圆锥． 【跟踪专练3】马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， ∴每条侧棱的长为． 故选：C． 题型5.点.线.面.体四者之间的关系 【典例】“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【答案】点动成线，线动成面 【分析】根据点、线、面的运动关系，将生活实物抽象为几何图形，结合点动成线、线动成面的性质分析即可． 【详解】解：枪尖可看作点，点运动形成线，因此“枪挑一条线”对应点动成线； 棍可看作线，线运动形成面，因此“棍扫一大片”对应线动成面． 【跟踪专练1】汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 【跟踪专练2】《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查了点线面的相关知识，解题的关键是掌握点线面之间的联系与定义． 根据初中几何基本概念，“枪挑一条线”对应点运动形成线，“棍扫一大片”对应线运动形成面． 【详解】在几何中，点的运动轨迹形成线，线的运动轨迹形成面． “枪挑一条线”中枪尖可视为点，挑的动作使点运动成线； “棍扫一大片”中棍子可视为线，扫的动作使线运动成面． 故答案为：点动成线；线动成面． 【跟踪专练3】夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理． 【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理， ∴选A． 【点睛】本题考查了点动成线的原理，正确理解题意是解题的关键． 题型6.平面图形旋转后所得立体图形 【典例】如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【答案】④ 【分析】当长方形绕其自身的一条边旋转一周时，会形成实心圆柱，而当矩形绕一条与自身边平行且保持一定距离的直线旋转时，因内外侧旋转半径不同，会形成空心圆柱，二者均具备两个平行且全等的圆形底面和曲面侧面． 【详解】解：图形①是直角三角形，绕直线旋转一周后得到圆锥； 图形②是半圆，绕直线旋转一周后得到球； 图形③是一边与直线重合的长方形，绕直线旋转一周后得到实心圆柱； 图形④是与直线平行且有一定距离的长方形，绕直线旋转一周后，形成两个同轴的圆柱面，中间为空心，即空心圆柱； 综上，能得到空心圆柱的是图形④． 【跟踪专练1】观察如图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：左边的图形中的矩形有两条边与直线平行，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是中空的圆柱体．选项D符合题意． 【跟踪专练2】如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算． 【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥， 圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的体积为 ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，该几何体是由一个平面图形绕直线l旋转一周得到的，则该平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握“面动成体”的原理，能够判断常见平面图形旋转后形成的立体图形是解题的关键． 根据“面动成体”的原理，分析各选项平面图形绕直线 旋转后得到的几何体，与题目中的几何体进行对比，选出正确答案． 【详解】解：选项A的图形绕直线 旋转得到的是一个圆锥， 选项B的图形绕直线 旋转得到的是一个圆锥， 选项C的图形绕直线 旋转得到的是两个底面重合的圆锥组成的几何体，与题目中的几何体一致， 选项D的图形绕直线 旋转得到的是一个球， 故选：C． 解答题 1．下列几何体中有哪些平面图形？试着把它们画出来． 【答案】见详解 【分析】本题考查了常见的几何体，几何体的平面图形，运用数形结合思想以及空间想象能力进行逐个分析，即可作答． 【详解】 解：的平面图形是三角形和长方形，如图所示： ； 的平面图形是长方形和圆，如图所示： ； 的平面图形是圆和扇形，如图所示： ； 的平面图形是长方形，如图所示： ． 2．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 3．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 4．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 5．下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成，分别计算体积后相减． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成． 设圆柱的体积为，圆锥的体积为，旋转后得到的立体图形的体积为， ， ， ． 答：得到的立体图形的体积为． 6．如图1是一直角三角形（边竖直），其中，，，为边上的高． (1)将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是______； (2)求图2中几何体的体积（提示：圆锥体积为，其中为底面半径，） 【答案】(1)面动成体 (2) 【分析】本题考查了平面图形旋转后得到的立体图形、圆锥的体积公式，熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键． （1）根据面动成体即可解答； （2）根据圆锥的体积公式列式计算即可解答． 【详解】（1）解：将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是面动成体； 故答案为：面动成体； （2）解：，，，， ， 则图2中几何体的体积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01生活中的立体图形暑假预习讲义 1.能从生活实物中识别常见立体图形，准确说出圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的名称，建立实物与几何模型的对应关系。 2.区分柱体、锥体、球体三大类别，分清棱柱与圆柱、棱锥与圆锥的相同点和不同特征。 3.认识立体图形的组成元素：顶点、棱、面，能区分平面、曲面，判断每种立体图形由平面或曲面围成。 4.掌握棱柱的基础概念：底面、侧面、侧棱，会识别 n 棱柱的底面形状、侧面个数、棱与顶点数量规律。 5.理解点、线、面、体之间的动态关系：点动成线、线动成面、面动成体，能举出生活实例佐证。 6.会判断平面旋转后形成的立体图形，比如长方形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥。 7.能对生活中的几何体分类，掌握两种分类标准（按柱 / 锥 / 球划分；按有无曲面划分），做到分类不重不漏。 8.初步建立空间几何观念，学会从多角度观察立体图形，为后续展开图、截面、三视图学习铺垫基础。 分层预习要求 基础：识别七种基础立体图形；分清平面与曲面；记住点线面体的运动关系。 提高：对比棱柱与圆柱、棱锥与圆锥的异同；简单判断平面旋转得到的立体图形；几何体规范分类。 拓展：探究 n 棱柱顶点、棱、面的数量规律；结合生活场景举例解释点动成线、线动成面、面动成体。 预习必备 知识梳理 1.立体图形的相关概念 2.立体图形特征对比 3.几何体两种标准分类方法 4.易混几何体异同对比 5.棱柱核心概念与数量通用规律 6.几何基本元素:点线面体 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.常见的几何体 2.组合几何体的构成 3.立体图形的分类 4.几何体中的点.棱.面 5.点.线.面.体四者之间的关系 6.平面图形旋转后所得立体图形 强化题型 解答题6题 知识点 01 立体图形的相关概念 1. 定义 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形。 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分： ① 有曲面：圆柱、圆锥、球等； ② 没有曲面：棱柱、棱锥等。 2. 棱柱的有关概念及其特征 ① 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形。 ② 棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系： 底面多边形的边数 n确定该棱柱是 n 棱柱，它有 2n个顶点，3n 条棱，n 条侧棱，有 n+2 个面，n个侧面。 知识点02:立体图形特征对比表 大类 几何体 底面数量 & 形状 侧面构成 是否含曲面 是否存在顶点 柱体 正方体 2 个全等正方形 6 个长方形平面 无 8 个顶点 柱体 长方体 2 个全等长方形 6 个长方形平面 无 8 个顶点 柱体 n 棱柱 2 个全等 n 边形 n 个长方形平面 无 2n 个顶点 柱体 圆柱 2 个全等圆形 1 个曲面 有 无顶点 锥体 n 棱锥 1 个 n 边形 n 个三角形平面 无 1 个公共顶点 锥体 圆锥 1 个圆形 1 个曲面 有 1 个顶点 球体 球 无底面 单一闭合曲面 有 无顶点、无棱 知识点03:几何体两种标准分类方法（课堂重点讲解） 按形态分为三类：柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体（球） 按组成面是否含曲面划分： 1 全平面围成：正方体、长方体、所有棱柱、所有棱锥 ② 含曲面：圆柱、圆锥、球 知识点04:易混几何体异同对比 圆柱与棱柱 相同点：都属于柱体，上下两组底面平行且完全相等； 不同点：棱柱底面是多边形、侧面全为平面长方形；圆柱底面是圆形、侧面为曲面。 相同点：仅有 1 个底面，顶部汇聚至同一个顶点，同属锥体； 不同点：棱锥底面是多边形、侧面为三角形平面；圆锥底面是圆形、侧面是曲面。 知识点05:棱柱核心概念与数量通用规律（考试高频考点） 1. 棱柱各组成部分定义 底面：上下一对完全相同、互相平行的多边形； 侧面：相邻两条侧棱之间的长方形平面； 侧棱：连接上下底面对应顶点的线段，所有侧棱长度相等； 棱：包含侧棱与底面多边形的全部边； 顶点：两条棱相交形成的交点。 2. n 棱柱数量规律公式（统一整理，方便板书记忆） 设底面为 n 边形，称作 n 棱柱： 项目 数量规律 举例：四棱柱（长方体） 侧面个数 n 个 4 个侧面 总面数 n+2 个 4+2=6 个面 侧棱条数 n 条 4 条侧棱 全部棱总数 3n 条 3×4=12 条棱 顶点总个数 2n 个 2×4=8 个顶点 知识点06:几何基本元素：点、线、面、体 1. 基础定义 面：分为平面、曲面；平整无弯曲为平面，弧形弯折为曲面；面和面相交形成线； 线：分为直线、曲线；线与线相交形成点； 体：立体图形统称为体，全部由面围成。 2. 运动转化关系 运动规律 文字说明 生活实例 点动成线 点持续运动，轨迹形成线 笔尖画线、流星划过天空 线动成面 线平移 / 摆动，扫出一个平面 雨刷摆动、拉直绳子平移 面动成体 平面绕固定轴旋转一周，形成立体图形 长方形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥 立体图形 平面图形 旋转轴（绕哪条线转） 旋转后形成的立体 长方形 一条长边 / 短边 圆柱 直角三角形 直角边 圆锥 半圆 半圆的直径 球 直角梯形 垂直底边的腰 圆台 知识点07:高频易错点 易错点类型 错误答题示例 标准正确结论 课堂提醒 棱柱数量计算错误 五棱柱共 5 个面 五棱柱面数 = 5+2=7，棱 15 条，顶点 10 个 牢记 n 棱柱固定公式，不要忽略上下 2 个底面 旋转几何体判断混淆 三角形旋转得到圆柱 直角三角形绕直角边旋转为圆锥，长方形旋转才是圆柱 做题先看清图形形状与旋转轴 几何体分类混乱 同时按曲面、柱锥双重标准分类 一次分类只能使用一种统一标准，做到不重复、不遗漏 分类题第一步先写明分类依据 曲面、平面概念混淆 圆柱侧面是平面 圆柱、圆锥只有底面是平面，侧面全部为曲面 区分围成几何体每一个面的属性 柱体锥体概念混淆 四棱锥存在两个底面 所有锥体只有 1 个底面；柱体才有一对平行底面 口诀：柱双底，锥单底 球体特征记错 球存在棱和顶点 球仅由单一曲面围成，无棱、无顶点、无平面 球体是特殊几何体，单独记忆 题型1.常见的几何体 【典例】有下列图形：①线段，②棱柱，③圆锥，④圆柱，⑤圆，⑥三角形，⑦球，其中属于立体图形的是____________．（填序号） 【跟踪专练1】如图，是一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，若不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体的是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【跟踪专练2】如图所示的几何体，这个几何体的名称是______． 【跟踪专练3】如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 题型2.组合几何体的构成 【典例】在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为______． 【跟踪专练1】如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是___________． 【跟踪专练3】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 题型3.立体图形的分类 【典例】如图所示的图形中，柱体为__________（填序号）． 【跟踪专练1】下列四个几何体中，是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将下列几何体分类用序号填空： (1)按有无曲面分类：有曲面的是______，没有曲面的是______； (2)按柱体、锥体、球体分类：柱体的是______，锥体的是______，球体的是______． 【跟踪专练3】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 题型4.几何体中的点.棱.面 【典例】已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 【跟踪专练1】一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【跟踪专练2】在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 【跟踪专练3】马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 题型5.点.线.面.体四者之间的关系 【典例】“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【跟踪专练1】汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【跟踪专练2】《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【跟踪专练3】夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 题型6.平面图形旋转后所得立体图形 【典例】如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【跟踪专练1】观察如图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 【跟踪专练3】如图，该几何体是由一个平面图形绕直线l旋转一周得到的，则该平面图形是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．下列几何体中有哪些平面图形？试着把它们画出来． 2．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 3．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 4．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 5．下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 6．如图1是一直角三角形（边竖直），其中，，，为边上的高． (1)将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是______； (2)求图2中几何体的体积（提示：圆锥体积为，其中为底面半径，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $