期末复习专题6——二次根式 巩固练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末 复习专题6——二次根式 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【例2】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例3】已知x，y是实数，且满足，则的值为________． 【例4】已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 【例5】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 【例6】 计算： （1）； （2）． 【举一反三】 【变式1】下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【变式2】当时，二次根式的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【变式3】若三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积是______． 【变式4】若与最简二次根式可以合并，则______． 【变式5】计算： （1）； （2）． 【变式6】观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： （1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； （2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【巩固练习】 1.的值等于（　　） A. 2 B. C. D. 2.使有意义的x的取值范围是（ ） A. x≠1 B. x≥1 C. x＞1 D. x≥0 3.估计在哪两个连续整数之间（ ） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 4.正方形的一条对角线长为，则正方形的周长是（　　） A. 4 B. C. 8 D. 5.计算的结果是________． 6.若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 7.若，则______． 8.若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为_______． 9.计算： （1）； （2）． 10.【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 11.【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九铝公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 12.【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若，只有当________时，有最小值_______； （2）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【例2】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【例3】已知x，y是实数，且满足，则的值为________． 【答案】1 【例4】已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【例5】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】由数轴得：，则 ∴原式= = = 【例6】 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【举一反三】 【变式1】下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【变式2】当时，二次根式的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【变式3】若三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积是______． 【答案】 【变式4】若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】2 【变式5】计算： （1）； （2）． 【答案】（1） 解： （2） 【变式6】观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： （1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； （2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【答案】（1）由第①个等式，得 由第②个等式，得 由第③个等式，得 ∴第⑤个等式应为：，得． 【小问2详解】 解：第1个等式中分母为， 第2个等式中分母为， 第3个等式中分母为， 第4个等式中分母为， 得第个等式中分母为应为： ∴第个等式为：， ∵左边， 右边， ∴左边右边． 【巩固练习】 1.的值等于（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 2.使有意义的x的取值范围是（ ） A. x≠1 B. x≥1 C. x＞1 D. x≥0 【答案】B 3.估计在哪两个连续整数之间（ ） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 【答案】C 4.正方形的一条对角线长为，则正方形的周长是（　　） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 5.计算的结果是________． 【答案】4 6.若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】2 7.若，则______． 【答案】 8.若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为_______． 【答案】15 9.计算： （1）； （2）． 【答案】（1） ； （2） ． 10.【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】（1）仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11.【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九铝公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】（1）∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴ ∴ （2）解：过C作于H，设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：． 在中，， ∴． 12.【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若，只有当________时，有最小值_______； （2）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）； （2）连接， ∵点是双曲线上 ∴， ∴双曲线的解析式为， 设， ∵点，轴，作轴， ∴ ， ∴四边形的面积的最小值为． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$