第12章 二次根式（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第12章 二次根式（单元测试·基础卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·天津·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）的倒数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则的值是（   ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 5．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 6．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）已知点和点关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·四川绵阳·二模）已知点的坐标为，且，则点关于轴的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标满足， ，，，若，直线轴，则点B的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 10．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点（点在点的左侧），若点，表示的数分别是、，则的值是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 12．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）关于的一元一次方程的解是 ． 13．（2025·山西临汾·一模）计算： 14．（24-25八年级下·陕西安康·期中）已知，则代数式的值是 ． 15．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ． 16．（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． 设（为正整数），当时，的值是 ． 17．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，小夏放学回家，从学校（点处）径直走到图书馆（点处），接着又径直走到小广场（点处），已知，，，那么的值为 ．    18．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，、两点间的距离公式为，例如点、两点间的距离为．如图，平面直角坐标系中有一半圆图象在x轴上方，其圆心为原点O，半径为2．若点在该半圆上，则P与圆心O的距离为． ①写出y关于x的函数解析式： ； ②写出该半圆和函数的图象的交点坐标： ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·四川自贡·期中）计算： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（20-21七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，求的值． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求的值； （3）若的小数部分是的小数部分是，求的值． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·广西河池·期中）问题解决：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 方法归纳：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用：已知，求代数式的值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 二次根式（单元测试·基础卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·天津·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 解：A：，被开方数含开的尽的因数，故错误，不符合题意； B：属于最简二次根式，故正确，符合题意； C：被开方数含有分母，故错误，不符合题意； D：，被开方数中含有开得尽的因式，故错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）的倒数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，分母有理化，先求出的倒数，再分母有理化即可． 解：解；的倒数为． 故选C． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则的值是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式性质，根据题意得，进而可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 解：∵， ∴， 解得：， 故选：C． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答．． 解：A、， 与是同类二次根式，故该选项符合题意； B、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 6．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 7．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）已知点和点关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标．根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而可得答案． 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故选：C． 8．（2022·四川绵阳·二模）已知点的坐标为，且，则点关于轴的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的非负性和完全平方公式求出m，n的值，进而即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的坐标为， ∴点关于轴的对称点坐标为． 故选：A． 【点拨】本题主要考查二次根式与平方的非负性，点的坐标，轴对称变换，根据非负数的性质，求出m，n的值是关键． 9．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标满足， ，，，若，直线轴，则点B的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，坐标与图形，先根据求出，，得出，根据，得出轴，说明点B在上，得出点B的横坐标为1，根据，，得出轴，求出，得出，求出结果即可． 解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴点B在上， ∴点B的横坐标为1， ∵，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点B的坐标为：或． 故选：D． 10．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点（点在点的左侧），若点，表示的数分别是、，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，二次根式的计算，得出点，表示的数是解题关键．由题意可得，进而得到，从而可得，，再代入计算即可． 解：数轴上点表示的数为2，点表示的数为3， ， 以为边在数轴上方作一个正方形，则， ， 以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点， ， 若点，表示的数分别是、， 则，， ， 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 12．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，二次根式的性质和除法运算，根据二次根式的性质和运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·山西临汾·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，按照运算顺序计算出答案，注意结果要化简成最间的即可； 解： ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西安康·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式把所求式子变形为，再代值计算即可得到答案． 解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 15．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出直角三角形较短的直角边的长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 解：解；由题意得，直角三角形较短的直角边的长度为， ∴， 故答案为：． 16．（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． 设（为正整数），当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的规律计算，理解规律，掌握二次根式的计算是关键． 根据材料提示，找出规律即可求解． 解：①； ②； ③； ， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 17．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，小夏放学回家，从学校（点处）径直走到图书馆（点处），接着又径直走到小广场（点处），已知，，，那么的值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了两点间的距离，勾股定理，二次根式的加减，首先根据勾股定理求出，，然后利用二次根式的加减求解即可． 解：根据题意得，， ∴． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，、两点间的距离公式为，例如点、两点间的距离为．如图，平面直角坐标系中有一半圆图象在x轴上方，其圆心为原点O，半径为2．若点在该半圆上，则P与圆心O的距离为． ①写出y关于x的函数解析式： ； ②写出该半圆和函数的图象的交点坐标： ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的性质．①由，整理得到；②解方程，即可求解． 解：①∵， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； 故答案为：； ②根据题意得， 解得， ， ∴该半圆和函数的图象的交点坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·四川自贡·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的乘除、实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）利用绝对值、零指数幂、二次根式、负整数指数幂的性质化简，再加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东临沂·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 解：（1）解：原式． （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（20-21七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，求的值． 【答案】当时，原式；当时，原式． 【分析】讨论：当，，利用因式分解的方法得到，解得，当，，则，解得，然后把，代入中进行分式的化简求解． 解： 要有意义，即， 且或且， 当且时， ， 或（舍去）， 解得：， 把代入得：； 当且时， ， （舍去）或， 解得：， 把代入得：． 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整式因式分解与二次根式有意义的条件是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求的值； （3）若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】（1）1；（2）17；（3）1 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握乘法公式，无理数的估算方法是关键． （1）运用平方差公式计算即可； （2）运用完全平方公式计算即可； （3）根据无理数的估算得到的值，代入计算即可． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解： ； （3）解：∵，，， ∴x的小数部分m为，y的小数部分n为， ∴． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·广西河池·期中）问题解决：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 方法归纳：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用：已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意运用整体思想．按照题中所给的方法得出，然后整体代入求解即可． 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见分析；（4） 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． ［理解应用］（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． ［拓展应用］（3）可以把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2）原式 ， ， ； （3），理由如下： ， ； （4） ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$