专题05 圆锥曲线与概率统计-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题05 圆锥曲线与概率统计 题型概览 题型01 直线与圆 题型02 椭圆及其性质 题型03 双曲线及其性质 题型04 抛物线及其性质 题型05 二项式定理 题型06 概率的计算 题型07 统计小题 题型08 概率与统计综合应用 题型09 新定义问题 ( 题型01 ) 直线与圆 1．（2025·江苏·二模）已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 2．（2025·江苏苏州·二模）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·二模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 5．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，若直线与圆相切，则数列的前10项和为（    ） A． B． C．23 D．27 6．（2025·江苏南通·二模）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C．5 D．10 7．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为 . ( 题型02 ) 椭圆及其性质 8．（2025·江苏·二模）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2025·江苏南通·二模）已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． (1)求椭圆C的方程； (2)记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； (3)若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 10．（2025·江苏南通·二模）已知椭圆：的离心率为，下顶点为，点在上，过中点的直线（与直线不重合）交于，两点，其中在直线的左侧. (1)求的方程； (2)若，，，四点共圆，求直线的方程； (3)设直线与交于点，求面积的最大值. 11．（2025·江苏·二模）已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 12．（2025·江苏常州·二模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且点和点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 13．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. ( 题型03 ) 双曲线及其性质 14．（2025·江苏·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 15．（2025·江苏南通·二模）已知是双曲线：的左焦点，直线过且与的一条渐近线平行，与交于点，若（为原点），则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 16．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，异于的点在渐近线上，直线与的右支交于点，定义.若是渐近线上异于的三个点，为中点，且直线均与的右支相交，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 17．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·江苏·二模）已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 19．（多选题）（2025·江苏·二模）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（   ） A． B． C．的最小值为 D．到的距离的最大值为 20．（2025·江苏南通·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为 ． 21．（2025·江苏·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为 . 22．（2025·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ． ( 题型04 ) 抛物线及其性质 23．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 24．（2025·江苏·二模）设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 25．（2025·江苏南通·二模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．（2025·江苏泰州·二模）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 27．（多选题）（2025·江苏苏州·二模）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（    ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积大于4 28．（2025·江苏南通·二模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 . 29．（2025·江苏南京·二模）已知拋物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则 . ( 题型05 ) 二项式定理、排列组合 30．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 31．（2025·江苏南通·二模）在的展开式中，常数项为 . 32．（多选题）（2025·江苏苏州·二模）已知的展开式中各项系数的绝对值之和为，第三项的二项式系数为，则（    ） A． B． C．展开式中存在常数项 D．展开式中第二项为 33．（2025·江苏盐城·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．24 D．48 34．（2025·江苏南通·二模）有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（   ） A．18 B．36 C．72 D．144 35．（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 36．（多选题）（2025·江苏·二模）的展开式中，则（    ） A．的系数为 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 37．（2025·江苏南通·二模）若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 ( 题型06 )概率的计算 38．（2025·江苏盐城·二模）若，则 ． (参考数据：若，则．) 39．（2025·江苏·二模）若随机变量，则 ． 40．（2025·江苏南京·二模）小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 . 41．（2025·江苏南通·二模）某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为 ，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为 ． 42．（2025·江苏泰州·二模）甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则 ． 43．（多选题）（2025·江苏徐州·二模）在2025年科技产业创新浪潮中，我国某科研团队成功突破人形机器人核心零部件技术，研发出新一代高精度关节驱动部件.该部件采用新型复合材料与智能制造工艺，其关键参数——长度（例如传动轴或连杆尺寸）经大规模生产检测后，被证实服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．越大，这一批产品的长度测试结果在内的概率越大 B．这一批产品的长度测试结果大于的概率为 C．这一批产品的长度测试结果在内的概率和在内的概率相等 D．这一批产品的长度测试结果大于的概率与小于的概率相等 44．（2025·江苏淮安·二模）如图，平面内有A，B，C，D4个区域，随机在这4个区域之间画3道连线，且任意两个区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率为（    ） A． B． C． D． 45．（2025·江苏·二模）为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 ( 题型07 ) 统计小题 46．（2025·江苏南通·二模）一组样本数据2，5，6，7，8，10，11，的中位数为，则 . 47．（2025·江苏苏州·二模）2025年春节，电影《哪吒之魔童闹海》大卖，使得哪吒成为网络最新顶流.某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布（单位：），现抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为 .（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若，则， 48．（多选题）（2025·江苏南通·二模）每年4月23日为“世界读书日”，某小学为鼓励学生进行课外阅读，拓宽学生眼界，对热爱课外阅读的班级进行表彰，规定从班级中随机抽取5位同学，统计他们一学年内阅读课外书籍的本数，若抽取的5位同学在一学年内阅读课外书籍的本数都不低于10，则该班级被评选为“优阅班级”．以下是4个班级抽取的5位同学的统计数据： 六（1）班：中位数为11，众数为10    六（2）班：众数为12，极差为3 六（3）班：平均数为12，极差为3    六（4）班：平均数为12，方差为2 根据以上信息，一定被评为“优阅班级”的是（   ） A．六（1）班 B．六（2）班 C．六（3）班 D．六（4）班 49．（多选题）（2025·江苏南京·二模）某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（   ） A．每公顷产量与耕种深度呈负相关 B．耕种深度的平均数为12 C．每公顷产量的平均数为7.8 D． 50．（2025·江苏盐城·二模）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（    ） A．6 B．4 C．5 D．12 51．（2025·江苏宿迁·二模）已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 52．（多选题）（2025·江苏盐城·二模）下列说法正确的是（    ） A．回归直线经过样本点的中心 B．对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小 C．在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0 D．和的方差分别为和，若且，则． 53．（2025·江苏南通·二模）已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（   ） A． B．2 C． D．18 54．（2025·江苏·二模）诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差 55．（2025·江苏·二模）第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（   ） A．134.75 B．144.75 C．154.75 D．159.50 ( 题型08 ) 概率与统计综合应用 57．（2025·江苏·二模）已知随机变量，相互独立，且，，则 ；若，则 . 58．（2025·江苏盐城·二模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 59．（2025·江苏南京·二模）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. (1)若，求； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求证：且，. 60．（2025·江苏南通·二模）已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． (1)求甲同学取球两次即终止的概率； (2)求随机变量X的分布列及期望． 61．（2025·江苏南通·二模）学校从甲、乙、丙三人中选拔一人参加市中学生围棋比赛，选拔的规则如下：三人进行单循环赛（任意两人都比赛一场），每场比赛只有胜、负两种情形，胜者得分，负者得分；积分最多的人代表学校参赛，积分相同时采用简单随机抽样确定参赛选手.已知甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，丙胜甲的概率为. (1)求甲积分的概率分布列及数学期望； (2)求甲代表学校参加比赛的概率. 62．（2025·江苏盐城·二模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 63．（2025·江苏·二模）已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． (1)先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； (2)在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 64．（2025·江苏淮安·二模）已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同. (1)当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求. (2)将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，. 65．（2025·江苏·二模）在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向轴、轴或轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等. (1)求该质点在第秒末移动到点的概率； (2)设该质点在第秒末移动到点，记随机变量，求的均值； (3)设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：. 66．（2025·江苏·二模）某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 (1)依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； (2)在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 67．（2025·江苏泰州·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为． (1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人） 套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计 满意 20 40 60 不满意 30 30 60 合计 50 70 120 参考数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？ (2)若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值； (3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求． 68．（2025·江苏·二模）袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回. (1)第二次随机取出1个小球，求两次取出的球颜色相同的概率； (2)第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为，求的概率分布列及数学期望. ( 题型09 ) 新定义问题 69．（多选题）（2025·江苏徐州·二模）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 70．（多选题）（2025·江苏南通·二模）已知是曲线：上一点，设，连接，得到线段，记其长为，则（   ） A．关于轴对称 B．到直线的距离不小于 C．当时， D．当时， 71．（多选题）（2025·江苏·二模）已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（    ） A．关于轴对称 B．到点的距离不小于到直线的距离 C．存在，使得 D．当取得最小值时，直线的斜率为 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆锥曲线与概率统计 题型概览 题型01 直线与圆 题型02 椭圆及其性质 题型03 双曲线及其性质 题型04 抛物线及其性质 题型05 二项式定理 题型06 概率的计算 题型07 统计小题 题型08 概率与统计综合应用 题型09 新定义问题 ( 题型01 ) 直线与圆 1．（2025·江苏·二模）已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【答案】B 【解析】直线：即，斜率为，倾斜角为， 将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即， 圆：的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交但不过圆心. 故选：B. 2．（2025·江苏苏州·二模）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为直线的一个方向向量为，可得直线的斜率为，即. 故选：C. 3．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，以为直径的圆的圆心为，而点在圆外，且圆圆心，半径1， 由两圆相切，得，整理得， 设，由，得， 而点在上，则，整理得， 直线，的倾斜角为，则， 的面积， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此， 所以面积的取值范围为. 故选：D 4．（2025·江苏南通·二模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】直线过定点，圆， 设到距离为， ，时，. 故选：B． 5．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，若直线与圆相切，则数列的前10项和为（    ） A． B． C．23 D．27 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相切，则，即， 所以数列的前10项和为. 故选：C. 6．（2025·江苏南通·二模）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【解析】设直线与曲线切于点，直线的斜率为4， 由导数的几何意义可知，，得，则， 所以直线，即， 所以直线与之间的距离为. 故选:A 7．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为 . 【答案】 【解析】设过点且与直线垂直的直线为， 则，解得， 所以，即圆心在直线，又圆心在轴上， 令，可得，所以圆心坐标为. 故答案为： ( 题型02 ) 椭圆及其性质 8．（2025·江苏·二模）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：B 9．（2025·江苏南通·二模）已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． (1)求椭圆C的方程； (2)记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； (3)若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 【解析】（1）由题意，解得，所以， 所以椭圆C的方程为． （2）由题意， 令，则， 当时，，当且仅当取等号； 当时，，当且仅当取等号； 所以或， 即的取值范围为． （3）方法一：①当l斜率不为0时， 设直线，，，则，， ， ， ，， 所以，即， 所以，代入得， （*） ，O到直线l的距离， ， 当且仅当，即时取“=”． ②当l斜率为0时，设直线，联立， 则， 由得，解得， 所以， 综上：． 方法二：设，，，， 由， ，， 设，，其中，， 即，， ， ，而，， 当且仅当或2即，或，时，取最大值1． 10．（2025·江苏南通·二模）已知椭圆：的离心率为，下顶点为，点在上，过中点的直线（与直线不重合）交于，两点，其中在直线的左侧. (1)求的方程； (2)若，，，四点共圆，求直线的方程； (3)设直线与交于点，求面积的最大值. 【解析】（1）已知，设，则，点带入，可得， 解得，所以椭圆标准方程为. （2） 可知,得. 当直线l与x轴垂直时， 因为，所以， 又因为，所以AM与AN不垂直， 故此时四点不共圆. 当直线l斜率存在时，设, 设直线l的方程为， 联立方程组，消去得， 由韦达定理可知， 所以 所以， 若四点共圆，则，记圆心为E， 则，所以直线l是线段AB的垂直平分线， 所以l的方程为. （3） 直线的方程为，① 直线的方程为，② 联立①②消去，得， 因为，所以，解得， 所以 ， 所以点P在与AB平行的直线上. 所以点P到直线AB的距离为，的面积为定值， 所以. 下面求面积的最大值. 因为直线AB的方程为， 设与直线AB平行的C的切线方程为， 与C联立，消去y，得， 由，解得或 (舍去)， 由，解得，所以切点坐标为， 此时面积取最大值， 所以面积的最大值为. 11．（2025·江苏·二模）已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，， 椭圆：过点，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设直线的方程为，，， 由消去得， ，， ，， 而，，则，解得， 所以. 12．（2025·江苏常州·二模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴､轴，且点和点在椭圆上 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆的方程为：， 由点和点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）当时，直线， 假设存在点，使直线的倾斜角互补，即直线的斜率之和为， 由消去得， ，设， ，，由， 得，而，即， 于是，整理得，解得， 所以存在点，使得直线的倾斜角互补. 13．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 【解析】（1）由，， 所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为，焦距为， 则，，所以， 所以的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为． 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以． 又，所以，， 所以 . ②由①知，所以． 作关于轴的对称点，则，，三点共线． 又，，设. 则直线方程即为直线方程. 又直线方程为， 作差，得， 所以， 所以，， 由，得． 又因为，所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动， 所以． ( 题型03 ) 双曲线及其性质 14．（2025·江苏·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【解析】（1） 设，则满足，又可设切线， 则联立化简得. 由，解得， 所以直线，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. （2）由（1）可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 15．（2025·江苏南通·二模）已知是双曲线：的左焦点，直线过且与的一条渐近线平行，与交于点，若（为原点），则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】不妨令直线平行于双曲线：的渐近线：，设， 则直线，由解得， 由，得，即，则， 解得，所以的离心率为. 故选： 16．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，异于的点在渐近线上，直线与的右支交于点，定义.若是渐近线上异于的三个点，为中点，且直线均与的右支相交，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】双曲线的一条渐近线，所以，即， ，点在渐近线上，设，， 联立曲线方程得， 可得，因为M在右支，所以， 解得，，， 则，， 设，为中点，， ， 故选：B. 17．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 18．（2025·江苏·二模）已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设， 由双曲线定义可得， 因为，则， 又因为∥，则，即， 由余弦定理可得， 整理可得， 即，整理可得， 则，，， 即，则，所以双曲线的离心率为. 故选：C. 19．（多选题）（2025·江苏·二模）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（   ） A． B． C．的最小值为 D．到的距离的最大值为 【答案】AC 【解析】A：由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线交于点，需，故A正确； B：由双曲线的定义知， 又点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 有，所以，故B错误； C：设，则（或），得， 又，所以， 则， 即的最小值为-3，故C正确. D：，易知当时，，则到直线的距离为0； 当时，到直线即的距离为， 又且，所以，则， 即到直线的距离小于，故D错误. 故选：AC 20．（2025·江苏南通·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】 如图，由题意，令，则，，， 因为以为直径的圆过，则， 又为梯形，易知，所以， 则在中，由勾股定理可得，整理得， 因为，所以解得， 在中，由勾股定理可得， 且，则， 在中，由余弦定理可得， ， 解得，，整理得， ，即 故答案为：. 21．（2025·江苏·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为 . 【答案】 【解析】由对称性知、关于轴对称，为正三角形， 则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点， 联立与得或0（舍去），当时，， 故其中一个交点为， 设双曲线方程为，故，解得， 在双曲线上，，， 故离心率为； 故答案为： 22．（2025·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的左焦点为， 设过左焦点且斜率为的直线的方程为， 联立方程组，整理得，其中不等于， 设，且 则，则， 可得，即， 因为，所以，可得，解得， 又因为，所以. 故答案为：. ( 题型04 ) 抛物线及其性质 23．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【解析】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 24．（2025·江苏·二模）设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【解析】（1）抛物线的焦点为， 由为线段的中点，可得， 所以曲线的方程为； （2）设，，，， 联立，消去x整理得，解得，， 则，， 因为，则， 因为，，则，所以， 所以，，即，直线的斜率为； （3）因为，，，， 所以，， 因为，所以 因为，，，， 所以，① 由代入①得， 由得， 因为，，所以，所以，同理， 所以且， 所以，因为，所以， 所以，得，即， 设，联立消去x，得， 所以，所以，则，所以过定点， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以四边形面积的最小值为 25．（2025·江苏南通·二模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因点A在C上，则，又，为正三角形， 如图，准线与轴交于点，在中，，所以， 即. 故选：B 26．（2025·江苏泰州·二模）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线方程为：， 所以所求准线方程为. 故选：B 27．（多选题）（2025·江苏苏州·二模）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（    ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即B正确； 对于C， 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点， 由解得，由解得，， 即得， 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为，因，则点到直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确. 故选：ABD. 28．（2025·江苏南通·二模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 . 【答案】 （除去点） / 【解析】由题可设，，则， 解得或者（不符合题意，舍）， 设直线的方程为，与抛物线方程联立得， 所以，，故，故直线的方程为， 所以直线过定点， 又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆， 因为，，中点坐标为， 所以点的轨迹方程为（除去点）， 过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大， 所以直线斜率的最大值为. 故答案为：（除去点）；. 29．（2025·江苏南京·二模）已知拋物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则 . 【答案】 【解析】因为抛物线的焦点为，准线方程为， 设准线与轴交于点，则，所以， 因为直线的倾斜角为，所以， 所以，则， 又，轴，所以， 则， 在中由余弦定理， 即，解得（负值已舍去）. 故答案为：. ( 题型05 ) 二项式定理、排列组合 30．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 【答案】216 【解析】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 31．（2025·江苏南通·二模）在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【解析】因为的通项公式为， 则的展开式中的项为或， 所以常数项为， 故答案为：. 32．（多选题）（2025·江苏苏州·二模）已知的展开式中各项系数的绝对值之和为，第三项的二项式系数为，则（    ） A． B． C．展开式中存在常数项 D．展开式中第二项为 【答案】BD 【解析】的展开式中各项系数的绝对值之和与的展开式中各项系数 之和相等，令，则，故A错误； 且第三项的二项式系数为，即， 所以，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，解得，故C错误； 由，令，则第二项为，故D正确； 故选：BD 33．（2025·江苏盐城·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．24 D．48 【答案】A 【解析】由题意有， 当时，有，中的系数为， 所以的系数为， 故选：A. 34．（2025·江苏南通·二模）有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（   ） A．18 B．36 C．72 D．144 【答案】B 【解析】设5个位置依次为1,2,3,4,5，特殊元素优先考虑，女生甲不在两端，则只能在中间3个位置，两女生不相邻，则 ①甲在位置2，另一个女生只能4或5，2种选择； ②甲在位置3，另一个女生只能1或5，2种选择； ③甲在位置4，另一个女生只能1或2，2种选择， 根据分类加法计数原理，两个女生的排法共有种， 剩余3个男生为全排列种排法， 根据分步乘法计数原理，不同排法总数为. 故选：B. 35．（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【答案】C 【解析】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 36．（多选题）（2025·江苏·二模）的展开式中，则（    ） A．的系数为 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 【答案】ABC 【解析】A选项，展开式第项， 时，，A对； B选项，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B对. C选项，所有项的二项式系数和为，C对. D选项，时，，即所有项的系数和为，D错； 故选：ABC 37．（2025·江苏南通·二模）若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项为， 依题意，有正整数解，则是3的正整数倍， 所以的最小值为3. 故选：B ( 题型06 )概率的计算 38．（2025·江苏盐城·二模）若，则 ． (参考数据：若，则．) 【答案】 【解析】由题意可得， . 故答案为： 39．（2025·江苏·二模）若随机变量，则 ． 【答案】 【解析】由，，得； 所以， 所以，又， 所以，解得. 故答案为： 40．（2025·江苏南京·二模）小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为 . 【答案】 【解析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，，，， 当时，， 由题知，， 所以， 又， 所以. 故答案为： 41．（2025·江苏南通·二模）某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为 ，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为 ． 【答案】 【解析】甲在首轮遇到乙的概率为，此时甲获胜的概率为， 甲遇到其他6名选手的概率为，此时甲获胜的概率为， 所以甲获胜概率为：； 第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为, 进入第二轮的4人中，甲和乙不相遇的概率为，且两人均击败对手的概率为， 故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为， 所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为. 故答案为：； 42．（2025·江苏泰州·二模）甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则 ． 【答案】 【解析】由题意得甲所得分数为时，下一局可能的结果有三种情况： 若甲胜，则甲得分变为，对应概率为， 若乙胜，则甲得分变为，对应概率为， 若平局，则甲得分保持，对应的概率为， 所以由全概率公式可得， 所以，， 所以（）， 所以数列（）是以为公比的等比数列， 所以， 所以，，， ，， 所以 , 所以， 所以， 因为，，所以，解得. 故答案为： 43．（多选题）（2025·江苏徐州·二模）在2025年科技产业创新浪潮中，我国某科研团队成功突破人形机器人核心零部件技术，研发出新一代高精度关节驱动部件.该部件采用新型复合材料与智能制造工艺，其关键参数——长度（例如传动轴或连杆尺寸）经大规模生产检测后，被证实服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．越大，这一批产品的长度测试结果在内的概率越大 B．这一批产品的长度测试结果大于的概率为 C．这一批产品的长度测试结果在内的概率和在内的概率相等 D．这一批产品的长度测试结果大于的概率与小于的概率相等 【答案】BC 【解析】由题意知正态分布密度曲线中当越小,密度曲线越集中,所以A错误, 由题意知正态分布密度曲线关于对称,所以B,C正确,D错误. 故选:BC. 44．（2025·江苏淮安·二模）如图，平面内有A，B，C，D4个区域，随机在这4个区域之间画3道连线，且任意两个区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从四个区域中任选2个连线，可连条线段， 从中任选3条的方法有：. 从四个区域中任选3个，用3条线段将这3个区域连接，有种方法.这些连接方式不能连通四个区域. 所以可以通过3条线连通四个区域的概率为：. 故选：D 45．（2025·江苏·二模）为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 【答案】D 【解析】由题可得，甲乙两人通过训练的概率为：， 因，由基本不等式，， 当且仅当时，取等号.则 . 又注意到甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，则期望为： ，结合，可得.故D正确. 故选：D ( 题型07 ) 统计小题 46．（2025·江苏南通·二模）一组样本数据2，5，6，7，8，10，11，的中位数为，则 . 【答案】7 【解析】样本数据组共8个数，其中位数是由小到大排列的最中间两个数和的一半， 由，且样本数据组的中位数是其中的一个数据， 得，因此，所以. 故答案为：7 47．（2025·江苏苏州·二模）2025年春节，电影《哪吒之魔童闹海》大卖，使得哪吒成为网络最新顶流.某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布（单位：），现抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为 .（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若，则， 【答案】239 【解析】由题意可知，， 则 ， 则抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为. 故答案为： 48．（多选题）（2025·江苏南通·二模）每年4月23日为“世界读书日”，某小学为鼓励学生进行课外阅读，拓宽学生眼界，对热爱课外阅读的班级进行表彰，规定从班级中随机抽取5位同学，统计他们一学年内阅读课外书籍的本数，若抽取的5位同学在一学年内阅读课外书籍的本数都不低于10，则该班级被评选为“优阅班级”．以下是4个班级抽取的5位同学的统计数据： 六（1）班：中位数为11，众数为10    六（2）班：众数为12，极差为3 六（3）班：平均数为12，极差为3    六（4）班：平均数为12，方差为2 根据以上信息，一定被评为“优阅班级”的是（   ） A．六（1）班 B．六（2）班 C．六（3）班 D．六（4）班 【答案】ACD 【解析】对于A，设六（1）班的这5为同学的阅读课外书籍的本数为（自左向右按照从小到大顺序）， 因为中位数为11，则，又众数为10，则， 所以该班级一定被评为“优阅班级”，故A正确； 对于B，举反例，如六（2）班这5为同学的阅读课外书籍的本数为， 满足众数为12，极差为3，故B错误； 对于C，设六（3）班的这5为同学的阅读课外书籍的本数为（自左向右按照从小到大顺序）， 由平均数，极差为3，即， 若，则，解得，这与矛盾，故，故C正确； 对于D，设六（4）班的这5为同学的阅读课外书籍的本数为（自左向右按照从小到大顺序）， 设平均数，方差， 则， ， 若，则，与上式不符，不合题意， 若，由，则，上式不成立，不合题意， 所以，故D正确. 故选：ACD. 49．（多选题）（2025·江苏南京·二模）某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（   ） A．每公顷产量与耕种深度呈负相关 B．耕种深度的平均数为12 C．每公顷产量的平均数为7.8 D． 【答案】BD 【解析】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误； B：由题意知，，故B正确； C：由题意知，，故C错误； D：将点代入方程， 得，解得，故D正确. 故选：BD 50．（2025·江苏盐城·二模）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（    ） A．6 B．4 C．5 D．12 【答案】B 【解析】中位数是，极差是， 则， ，所以第45百分位数是. 故选：B 51．（2025·江苏宿迁·二模）已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】设这四个不全相等的正整数为， 不妨设， 则， 所以， 由于是正整数，所以， （若，则，与已知个数不全相等矛盾） 所以极差为. 故选：C 52．（多选题）（2025·江苏盐城·二模）下列说法正确的是（    ） A．回归直线经过样本点的中心 B．对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小 C．在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0 D．和的方差分别为和，若且，则． 【答案】ABC 【解析】对于A，根据最小二乘法可知，一元线性回归直线一定过样本中心点，故A正确； 对于B，卡方检验中，值越大，概率值越小，拒绝原假设时犯错误的概率就越小，故B正确； 对于C，由决定系数，当时，可得残差平方和，故C正确； 对于D，因为且，则，所以，故D错误. 故选：ABC. 53．（2025·江苏南通·二模）已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（   ） A． B．2 C． D．18 【答案】A 【解析】由题意得，， 则新数据的方差 ， 故选：A． 54．（2025·江苏·二模）诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【答案】C 【解析】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分， 得到6个有效评分， 6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变， 而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化， 因此一定不变的数字特征是中位数. 故选：C. 55．（2025·江苏·二模）第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（   ） A．134.75 B．144.75 C．154.75 D．159.50 【答案】C 【解析】六位选手得分由小到大排列如下： 56．50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50， 因为， 所以该组数据的第40百分位数为第三个数154.75. 故选：C ( 题型08 ) 概率与统计综合应用 57．（2025·江苏·二模）已知随机变量，相互独立，且，，则 ；若，则 . 【答案】 【解析】，， . 并利用， 记原式， 倒序相加. 故答案为：. 58．（2025·江苏盐城·二模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 设，则， 将进行变形， 给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 59．（2025·江苏南京·二模）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. (1)若，求； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求证：且，. 【解析】（1）由，得 . （2）由，得． 则 . 令，得． 又在上单调递减， 且， 故的最小值为3． （3）由，得 ， 所以 . 方法1：先证． 设，则．令，得，列表如下： 0 0 极小值 所以， 故，当且仅当时取＂=＂． 令，则， 故， 即． 所以 ， 所以， 所以，故且． 方法2：要证且，即证，即证． ①当时，左边右边，成立； ②假设当且时命题成立，即． 则当时， ， 只要证，即证且． 因为， 所以且． 故当时，，命题也成立． 综合①②，且， 故得证． 60．（2025·江苏南通·二模）已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． (1)求甲同学取球两次即终止的概率； (2)求随机变量X的分布列及期望． 【解析】（1）设甲同学取球两次即终止为事件A，． （2）X的可能取值为0，1，2，3，4 ，； 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 答：甲同学取球两次即终止的概率为，随机变量X的期望为． 61．（2025·江苏南通·二模）学校从甲、乙、丙三人中选拔一人参加市中学生围棋比赛，选拔的规则如下：三人进行单循环赛（任意两人都比赛一场），每场比赛只有胜、负两种情形，胜者得分，负者得分；积分最多的人代表学校参赛，积分相同时采用简单随机抽样确定参赛选手.已知甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，丙胜甲的概率为. (1)求甲积分的概率分布列及数学期望； (2)求甲代表学校参加比赛的概率. 【解析】（1）甲和乙、丙分别进行一场比赛，的可能取值为、、， 则， ，， 所以，的概率分布列如下表所示： 故. （2）记“甲能代表学校参加比赛”为事件，事件发生有两种情形： 情形一：甲得分，由（1）知其概率为； 情形二：甲、乙、丙都得分，甲抽签出线. 分两种情形： ①甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲，概率为； ②甲负乙、乙负丙、丙负甲，概率为. 故. 因此，甲代表学校参加比赛的概率为. 62．（2025·江苏盐城·二模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得 ，故没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 63．（2025·江苏·二模）已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． (1)先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； (2)在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 【解析】（1）设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生” 则 （2），从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5， 则,, 故的分布列为： X 1 3 5 P 数学期望为 64．（2025·江苏淮安·二模）已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同. (1)当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求. (2)将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，. 【解析】（1）①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球， 则. 答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为. ②由题意知的可能取值为，， 则，，， ，. 其概率分布如下： 2 4 6 所以， 设， ， 所以， 所以， 所以 （2）由题意知的可能取值为，， 则，，， 则其概率分布如下： ， 因为， 所以 ， 又因为所以. 65．（2025·江苏·二模）在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向轴、轴或轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等. (1)求该质点在第秒末移动到点的概率； (2)设该质点在第秒末移动到点，记随机变量，求的均值； (3)设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：. 【解析】（1）在第秒末质点要移动到点，需要沿轴正方向移动次， 沿轴正方向移动次，所以共有种可能. 故该质点在第秒末移动到点的概率为. （2）质点在第秒可能移动到点、、、、、、、 、、、、、、 、、、、、， 所以的所有可能取值为、、. ，，， 所以. （3）质点要在第秒末回到原点， 则必定向轴正、负方向移动相同的次数，设为次， 向轴正、负方向移动相同的次数，设为次， 向轴正、负方向移动相同的次数，为次. 所以， ， 所以. 66．（2025·江苏·二模）某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 (1)依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； (2)在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）零假设：产品的质量与采用的工艺无关， 根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关. （2）记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙. . 67．（2025·江苏泰州·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为． (1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人） 套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计 满意 20 40 60 不满意 30 30 60 合计 50 70 120 参考数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？ (2)若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值； (3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求． 【解析】（1）零假设：认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善无关， 由已知数据计算， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受， 因此认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系. （2）依题意，，令， ，当且仅当时取等号， 当时，，当时，，即当时，数列单调递减， 于是， 所以的最大值为，此时或. （3）由员工小李第n天选择B套餐的概率为，得员工小李第n天选择A套餐的概率为， 因此，而， ，又，因此，所以. 68．（2025·江苏·二模）袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回. (1)第二次随机取出1个小球，求两次取出的球颜色相同的概率； (2)第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为，求的概率分布列及数学期望. 【解析】（1）设｛第一次抽取红球｝，｛第二次抽取红球｝，｛第一次抽取黑球｝，｛第二次抽取黑球｝， 则，，，， 所以两次取出球的颜色相同的概率 . （2）由题意可得随机变量的可能取值为， 当时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取两个黑球；第一次抽取一个黑球，第二次抽取一个黑球和一个红球， 则； 当时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取一个黑球和一个红球；第一次抽取一个黑球，第二次抽取两个红球， 则； 当时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取两个红球， 则； 可得的分布列如下： 所以. ( 题型09 ) 新定义问题 69．（多选题）（2025·江苏徐州·二模）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 【答案】AD 【解析】对于A，由， 则曲线方程为， 由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程， 则双纽线关于轴对称，故A正确； 对于B，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 由，则其最大值为，故B错误； 对于C，当点不在原点，则构成，则，故C错误； 对于D，将代入方程， 整理可得，解得或，故D正确. 故选：AD. 70．（多选题）（2025·江苏南通·二模）已知是曲线：上一点，设，连接，得到线段，记其长为，则（   ） A．关于轴对称 B．到直线的距离不小于 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【解析】若是曲线上的一点，将换为，则， 这说明点也在曲线上. 根据曲线关于轴对称的定义：所以曲线关于轴对称，选项正确. 已知，则到直线的距离为. 根据两点间距离公式，，又因为在曲线上，所以，则. 若，两边同时平方可得. 展开式子：，化简得. 因为，当时，幂函数在上单调递增， 所以，即，这与矛盾，所以选项错误. 当时，. 因为，所以， 且（因为，幂函数在上单调递增）. 则. 又因为，所以，即，选项正确. 当，时，取，当接近于时，接近于，则接近于. ， 此时，即，所以选项错误. 故选：AC. 71．（多选题）（2025·江苏·二模）已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（    ） A．关于轴对称 B．到点的距离不小于到直线的距离 C．存在，使得 D．当取得最小值时，直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】A，若点满足方程，则点也满足方程， 则关于轴对称，故A正确； B，设，则， 则到点的距离，到直线的距离， 则， 当时，，即，所以B错误； C，设，则， 因，则， 则曲线在点处切线斜率为， 所以直线为，直线为， 所以，， 可得， ， 则 因，故存在，使得时，故C正确； D，由C选项可知，， 等号成立时，，即， 此时的斜率为，故D正确. 故选：ACD 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$