专题03 三角函数与解三角形-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 三角函数的图像与性质 题型02 三角函数公式 题型03 正余弦定理 题型04 w范围与最值问题 题型05 解三角形范围与最值问题 三角函数的图像与性质题型01 1．（多选题）（2025·江苏泰州·二模）已知函数 甲：函数的最小值是； 乙：函数的周期是； 丙：函数的图象关于对称; 丁：，若甲、乙、丙、丁中有且只有一个是错误的，则下列结论正确的是（   ） A．的值唯一确定 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上的最小值是 D．函数的图象向右平移个单位长度得到的图象关于对称 2．（2025·江苏·二模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 3．（2025·江苏南京·二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 4．（2025·江苏·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏·二模）设函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移个单位后关于原点对称，且在区间内的零点与最值点恰好共有4个，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数的极值点与的零点完全相同，则（   ） A． B． C．1 D．2 7．（多选题）（2025·江苏·二模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 8．（多选题）（2025·江苏南京·二模）已知如图是函数的部分图象，则（   ）    A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．若在上的值域为，则的最大值为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象 9．（多选题）（2025·江苏常州·二模）函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（    ） A． B．函数图像的一条对称轴为直线 C．函数在区间上是增函数 D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到 三角函数公式题型02 10．（2025·江苏泰州·二模）已知，且，则 ． 11．（2025·江苏宿迁·二模）已知，，则 ． 12．（2025·江苏·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏淮安·二模）已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 正余弦定理题型03 14．（2025·江苏泰州·二模）在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．5 15．（2025·江苏泰州·二模）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 16．（2025·江苏苏州·二模）记的内角所对的边分别是，已知. (1)证明：； (2)若，求. 17．（2025·江苏南京·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求； (2)若，，求. 18．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 19．（2025·江苏泰州·二模）（1）在中，已知，若最长边的长为，求最短边的长. （2）在中，，点D在BC的延长线上，，，，求AD的长. 20．（2025·江苏泰州·二模）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知，为常数． (1)若，，求面积的最大值； (2)若，，求的值． w范围与最值问题题型04 21．（2025·江苏南通·二模）将函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 22．（2025·江苏南通·二模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·江苏南通·二模）已知函数，若存在，使得，则的最小值为 . 解三角形范围与最值问题题型05 24．（多选题）（2025·江苏·二模）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A． B．面积的最大值为 C．当时， D．的最大值为 25．（2025·江苏·二模）记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则 ；的最小值为 . 26．（2025·江苏盐城·二模）已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为 . 27．（2025·江苏南通·二模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 28．（2025·江苏·二模）已知为锐角三角形，角、、的对边分别为、、，，. (1)求的取值范围； (2)求的内切圆半径的最大值. 29．（2025·江苏南通·二模）在中，，，分别是内角，，的对边，． (1)求角的大小； (2)设为边上一点，若，且，求面积的最小值． 30．（2025·江苏·二模）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 三角函数的图像与性质 题型02 三角函数公式 题型03 正余弦定理 题型04 w范围与最值问题 题型05 解三角形范围与最值问题 三角函数的图像与性质题型01 1．（多选题）（2025·江苏泰州·二模）已知函数 甲：函数的最小值是； 乙：函数的周期是； 丙：函数的图象关于对称; 丁：，若甲、乙、丙、丁中有且只有一个是错误的，则下列结论正确的是（   ） A．的值唯一确定 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上的最小值是 D．函数的图象向右平移个单位长度得到的图象关于对称 【答案】ACD 【解析】假设甲错误， 由乙：函数的周期，可得， 由丙：函数的图象关于对称， 则，即， 即，即，， 得， 又因为，此时无解，所以假设不成立. 假设乙错误， 由甲：函数的最小值是，可得 由丙：函数的图象关于对称， 则，即， 即，① 由丁：，即， 即，② ②-①得：， 即，即，，， 因为，所以 把代入①得：，， 又因为，所以， 则， 所以的值唯一确定，故A正确； 当时，， 所以函数在区间上单调递减，故B错误； 由B可得函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是，故C正确； 函数的图象向右平移个单位长度， 得到y的图象，其关于对称，故D正确. 故选：ACD. 2．（2025·江苏·二模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 【答案】 【解析】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 3．（2025·江苏南京·二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 【答案】B 【解析】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为. 故选：B. 4．（2025·江苏·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，， 所以，， 所以，. 故选：D 5．（2025·江苏·二模）设函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移个单位后关于原点对称，且在区间内的零点与最值点恰好共有4个，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，则， 将的图象向左平移个单位，可得， 若的图象关于原点对称， 则，即， 且，可得，所以， 又因为，则， 由题意可得：，解得， 且，所以. 故选：C. 6．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数的极值点与的零点完全相同，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】， 由，得①， 对于， 由，得， 依题意，所以②， 由于函数的极值点与的零点完全相同， 对比①②可得. 故选：B 7．（多选题）（2025·江苏·二模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【解析】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可： 由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 8．（多选题）（2025·江苏南京·二模）已知如图是函数的部分图象，则（   ）    A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．若在上的值域为，则的最大值为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象 【答案】BCD 【解析】观察图象，得，即，而，解得， 又，且在函数的递增区间内，则， 解得，，解得，因此，， 对于A，，不是函数的对称中心，A错误； 对于B，由，得，在单调递增，B正确； 对于C，由，得，由在上的值域为， 得，解得，因此的最大值为，C正确； 对于D，将向左平移个单位后，得，为偶函数，D正确. 故选：BCD 9．（多选题）（2025·江苏常州·二模）函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（    ） A． B．函数图像的一条对称轴为直线 C．函数在区间上是增函数 D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到 【答案】ACD 【解析】对于A，由题得，又图象关于点对称， 所以，即， 由得，，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，， 因为在上单调递增，所以函数在区间上是增函数，故C正确； 对于D，函数的图像向左平移个单位得，，故D正确， 故选：ACD． 三角函数公式题型02 10．（2025·江苏泰州·二模）已知，且，则 ． 【答案】 【解析】由题可知，两边平方可得：，解得， 又，故，则； 故为方程的两根，则，解得或，则. 故答案为：. 11．（2025·江苏宿迁·二模）已知，，则 ． 【答案】 【解析】依题意，， 若，则， 而， 与矛盾，所以，， 所以， 则， 即 故答案为： 12．（2025·江苏·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由与联立，结合可解得： ，，， 再由二倍角公式可得， 故选：B. 13．（2025·江苏淮安·二模）已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为为第四象限角，所以， 所以 . 故选：B. 正余弦定理题型03 14．（2025·江苏泰州·二模）在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【解析】由题意，得， ，， 设与夹角为， 则， 可得， 可得该四边形的面积为 故选：A． 15．（2025·江苏泰州·二模）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B. 16．（2025·江苏苏州·二模）记的内角所对的边分别是，已知. (1)证明：； (2)若，求. 【解析】（1）因为，所以， 即，所以， 又因为， 所以或（舍），从而. （2）因为，所以， 利用正弦定理得，即，即， 又因为，所以，代入上式得. 若，则，所以； 若，则，所以， 又有意义，故，故不符合题意. 综上所述，. 17．（2025·江苏南京·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求； (2)若，，求. 【解析】（1），由正弦定理得， 得，所以， 由，得. （2）如图，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即； 在中，由余弦定理得， 即，① 所以，得， 由解得，代入①得，由解得. 在中，由余弦定理得. 18．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 【解析】（1）因为，所以， 在中，，所以． 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以，即， 所以． （2）因为，所以，由（1）知． 法1：因为， 所以为锐角三角形． 过作，过作，、分别为垂足， 由，设， 因为，所以，， 所以在中，，，，所以，解得， 所以在中，，即． 法2：因为，又因为，解得，． 因为，所以，所以，． 由，得，解得． 由正弦定理，得，解得． 19．（2025·江苏泰州·二模）（1）在中，已知，若最长边的长为，求最短边的长. （2）在中，，点D在BC的延长线上，，，，求AD的长. 【解析】（1）因为， 所以， 又，所以，所以，， 所以，， 故c为最长边，即 因为，且A，B为锐角，所以A为最小角，故a为最短边， 由得，且，所以 由正弦定理得， 即最短边的长为； （2）在中，由正弦定理得 ， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 即AD的长为 20．（2025·江苏泰州·二模）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知，为常数． (1)若，，求面积的最大值； (2)若，，求的值． 【解析】（1）由，，得，而， 由余弦定理得，则， 于是的面积， 整理得，其中锐角由确定， 而，则，因此，当且仅当时取等号， 由，解得，所以面积的最大值. （2）由，，得，由正弦定理得， 又 ， 整理得，而，所以. w范围与最值问题题型04 21．（2025·江苏南通·二模）将函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】将的图象向左平移个单位，得到， 则，所以，，又， 所以的最小值为3. 故选：B 22．（2025·江苏南通·二模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 所以， 因为与关于y轴对称，则，， ，得，， 所以的最小值为. 故选：C. 23．（2025·江苏南通·二模）已知函数，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】 又，，， 或， ①当时，即， 则， 所以， ，而，，所以， 代入得， 所以， 当时，可取； ②时， 同理， 则， ，而，，所以， 代入得， 所以， 当时，可取； 综上的最小值为：4 故答案为：4. 解三角形范围与最值问题题型05 24．（多选题）（2025·江苏·二模）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A． B．面积的最大值为 C．当时， D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】设角所对的边长为 由三角形的面积公式可得， 所以，由余弦定理，可得，所以，故A正确； 由，又，所以， 所以，所以，且仅当时取等，B正确； 设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点， 由两点间线段最短可得，当且仅当 四点共线时取等，所以，又， 所以，解得，所以，，所以，故C错误； 由前可知，，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ABD 25．（2025·江苏·二模）记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则 ；的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得， 又因为， ， 即， 可得， 且，则，可得， 则， 且，所以； 因为， 由正弦定理可得， 由题意可知：， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 26．（2025·江苏盐城·二模）已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 .又， 则. 又注意到，则. 如图，过C点做AB垂线CE，则，又过B点做AB垂线BD，使， 过C做AB平行线，交DB为F，易得四边形CEBF为矩形，则， 从而，则为等腰三角形，则，则由图结合三角形三边关系可得， 则，则. 因， 则构造函数，因在上单调递减，则. 则，则最小值为. 故答案为： 27．（2025·江苏南通·二模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由得，即， 由余弦定理得：，即， 化简得：， 由正弦定理有：， 即，化简得：， 因为，，所以， 因为正弦函数在上单调递增，故，即. （2）由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，则，解得，则， 令，则目标式为，其中， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，，故， 故当时，. 因此，的取值范围是. 28．（2025·江苏·二模）已知为锐角三角形，角、、的对边分别为、、，，. (1)求的取值范围； (2)求的内切圆半径的最大值. 【解析】（1）因为，则， 可得， 由余弦定理可得， 因为为锐角，故， 因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得，故，， 故 ， 因为，则，所以， 故，即的取值范围是. （2）因为 ， 因为，则，故， 故， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值. 29．（2025·江苏南通·二模）在中，，，分别是内角，，的对边，． (1)求角的大小； (2)设为边上一点，若，且，求面积的最小值． 【解析】（1）依题意，，即， 结合正弦定理，可得， 因为，，所以， 即， 故， 因为，，则，故. （2）法一：因为， 所以，， 所以， 所以， 即，整理得. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 故面积， 即面积的最小值为. 法二：设，，则，为点到边的距离. 因为，所以， 又， 故，得， 所以，整理得， 因为，得， 显然，，故，. 根据，得， 即，整理得. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 故面积， 即面积的最小值为. 法三：过点作，交于点. 据，可得，， 因为，故，， 所以，，得. 在中，，， 由余弦定理，， 则，解得， 所以，即. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 所以面积， 即面积的最小值为. 30．（2025·江苏·二模）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为、，则，所以，， 则有，故. （2）因为为锐角三角形，则，所以，， 所以，，则， 由正弦定理可得， 所以，， 即的取值范围是. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$