专题02 函数与导数-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数的图像 题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型03 指对幂比较大小 题型04 函数与方程的综合应用 题型05 新定义问题 题型06 恒成立与能成立问题 题型07 证明不等式问题 题型08 切线问题 题型09 极最值问题 题型10 零点问题 函数的图像题型01 1．（多选题）（2025·江苏苏州·二模）已知函数，则下列说法正确的有（） A． B．当时， C．当时， D．当时，关于的方程有四个不同的根 2．（多选题）（2025·江苏南通·二模）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．的对称中心为 C．过点作曲线的切线有三条 D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 3．（多选题）（2025·江苏南京·二模）已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则在上恰有5个零点 D．若，在区间有最大值，则 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性题型02 4．（2025·江苏·二模）已知函数（且）是偶函数，则 . 5．（2025·江苏苏州·二模）已知函数则不等式的解集为 . 6．（多选题）（2025·江苏盐城·二模）已知函数是奇函数，且，则（    ） A． B． C．在R上单调递增 D．若对任意实数，不等式恒成立，则 7．（2025·江苏·二模）已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏南通·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（   ） A． B． C．2 D． 指对幂比较大小题型03 9．（多选题）（2025·江苏·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏苏州·二模）对数的第一位小数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 函数与方程的综合应用题型04 23．（2025·江苏·二模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 12．（2025·江苏盐城·二模）设函数，若关于的方程的解的个数是 新定义问题题型05 13．（2025·江苏·二模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江苏南通·二模）定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设． (1)讨论的极值； (2)若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 15．（2025·江苏南通·二模）若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. (1)若正实数，满足，且，求的最大值； (2)若代数式为二元轮换式，比较与1的大小； (3)若对任意的正实数，，，均有，求整数的最大值. 16．（2025·江苏徐州·二模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)对于恒成立，求实数的取值范围； (2)，证明：（附：）. 17．（2025·江苏·二模）记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 18．（2025·江苏·二模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 恒成立与能成立问题题型06 19．（2025·江苏·二模）已知函数，，. (1)若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； (2)讨论函数在区间上的单调性； (3)若对任意恒成立，求的取值范围. 20．（2025·江苏盐城·二模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 21．（2025·江苏盐城·二模）已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 22．（多选题）（2025·江苏宿迁·二模）已知函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立），则下列结论可能正确的是（   ） A．，，且 B．，，且 C．，，且， D．，，且， 23．（2025·江苏南京·二模）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 证明不等式问题题型07 24．（2025·江苏·二模）设，曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：. 25．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 26．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 27．（2025·江苏苏州·二模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)证明：对于满足不等式的任意，均有. 28．（2025·江苏南通·二模）已知函数. (1)证明：； (2)证明：在上单调递减； (3)若，且，证明：. 切线问题 题型08 29．（2025·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（   ） A．－3 B．－1 C．0 D．1 30．（2025·江苏南京·二模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 31．（2025·江苏苏州·二模）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 极最值问题题型09 32．（2025·江苏苏州·二模）已知函数，，． (1)当时，求函数零点的个数； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)求函数的极值． 33．（2025·江苏盐城·二模）已知，则的最小值为 ． 34．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 35．（2025·江苏苏州·二模）设，函数，则下面正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若，则当时， C．若有3个零点，则的取值范围是 D．若存在，满足，则 36．（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 37．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数的极值点与的零点完全相同，则（   ） A． B． C．1 D．2 38．（2025·江苏·二模）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 零点问题题型10 39．（2025·江苏常州·二模）函数的所有零点之和为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 40．（多选题）（2025·江苏南京·二模）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有三个零点 D．若关于的方程恰有两个非零的实数根，则 41．（多选题）（2025·江苏泰州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（） A．当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B．当且时， C．， D．若存在极值点，且，其中，则 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数的图像 题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型03 指对幂比较大小 题型04 函数与方程的综合应用 题型05 新定义问题 题型06 恒成立与能成立问题 题型07 证明不等式问题 题型08 切线问题 题型09 极最值问题 题型10 零点问题 函数的图像题型01 1．（多选题）（2025·江苏苏州·二模）已知函数，则下列说法正确的有（） A． B．当时， C．当时， D．当时，关于的方程有四个不同的根 【答案】AC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，， 当时，，则在上递增， 故当时，，故B错误； 对于C，令，则，则， 当时，， 所以 故，即，故C正确； 对于D，由B可知， 当时，，当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减， 所以，所以 令则，则方程， 因为，所以，所以有两个正根， ，即，，即 所以有两个根，，此方程无解， 故关于的方程有两个不同的根，D错误 故选：AC 2．（多选题）（2025·江苏南通·二模）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．的对称中心为 C．过点作曲线的切线有三条 D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 【答案】AB 【解析】对于A中，由函数，可得，令，可得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取极大值，在处取极小值，所以 A正确； 对于B中，因为函数为奇函数，关于对称， 所以函数关于中心对称，所以B正确； 对于C中，作出的大致图象，如图所示， 当时，为上凸函数，在拐点处的切线为， 它与恰交于； 当时，为上凹函数，， 过只能作的两条切线，所以C错误； 对于D中，由A知函数在上单调递增；上单调递减； 要使有零点，则只需，解得， 当时，大致图象如下 可得有一个零点之间，但另一零点，所以D错误. 故选：AB． 3．（多选题）（2025·江苏南京·二模）已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则在上恰有5个零点 D．若，在区间有最大值，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意可知：当时，有，故A正确； 对于B，当时，有， 又因为，所以有，故B错误； 对于C，当时，， 当时，由于，， ，，， 所以，， 作出分段函数和函数的图象如下： 由于，直线经过点，而函数的图象不经过点， 则由图象可得，它们只有5个交点，即在上恰有5个零点，故C正确； 对于D，根据当时，由于， 要满足对，在区间有最大值， 则只需要在上存大最大值， 即满足或，解得或， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性题型02 4．（2025·江苏·二模）已知函数（且）是偶函数，则 . 【答案】 【解析】因为对任意的恒成立，可知函数的定义域为， 因为函数是偶函数，则，即， 整理可得，即， 可得 ， 即，可知是偶函数，符合题意， 所以. 故答案为：. 5．（2025·江苏苏州·二模）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由函数， 当时，可得且，则 此时不等式，即为， 即， 令，可得函数在上为单调递增函数， 且，所以，所以的解集为； 当时，不等式，即为，此时不等式不成立，舍去； 当时，可得且，则 此时不等式，可得， 令，可得函数在上为单调递减函数， 且，所以，所以的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 6．（多选题）（2025·江苏盐城·二模）已知函数是奇函数，且，则（    ） A． B． C．在R上单调递增 D．若对任意实数，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【解析】对于A、B，由已知可得，， 又函数为奇函数， 所以有， 即， 所以有， 所以有，解得. 当时，有， 此时有，不满足题意； 当时，有， 此时有，满足题意. 故.故A正确，B错误； 对于C项，，定义域为R. 当时，易知函数，在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增； 而为奇函数，故在R上单调递增.故C正确； 对于D项，由已知结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数， 所以由可得， ， 所以有， 所以有在R上恒成立. 易知，当时，取得最小值为. 要使在R上恒成立， 所以.故D正确. 故选：ACD. 7．（2025·江苏·二模）已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是奇函数，则， 令，可得，可得， 在中令得，所以， 在中令得， 所以， 所以. 故选：D. 8．（2025·江苏南通·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因为为奇函数，故，故， 所以即为偶函数，故， 故，故，， 而，故， 故选：A. 指对幂比较大小题型03 9．（多选题）（2025·江苏·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为 ，故D正确. 故选：ABD 10．（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由，得，则，即； ， 所以. 故选：D 11．（2025·江苏苏州·二模）对数的第一位小数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】设对数的第一位小数位，第二位小数及以后的值为，则， ∴，又， ∴，即， 所以， 故选：B. 函数与方程的综合应用题型04 23．（2025·江苏·二模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 【答案】 【解析】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 12．（2025·江苏盐城·二模）设函数，若关于的方程的解的个数是 【答案】5 【解析】或2， 当时，若，则，无解， 若，，故或，解得或， 当时，若，则，解得， 若，，故或，解得或， 所以方程的解的个数有5个. 故答案为：5 新定义问题题型05 13．（2025·江苏·二模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，且，， 由题意可得，可得，解得， 因此，函数在区间上的“中值点”的个数为. 故选：C. 14．（2025·江苏南通·二模）定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设． (1)讨论的极值； (2)若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【解析】（1）． 当时，在上单调递减，无极值； 当时，令易知在上单调递增；上单调递减， 无极小值． （2）方法一：设，不妨设， 由是其定义域上的＂等差偏移＂函数， ， 令， ，而时，，，， 即a的取值范围为． 方法二：设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以， （3）方法一：时，，， ，假设，，， 令，，， 在上单调递增，，对恒成立 时 ， 而，对恒成立 ． 方法二：，则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 15．（2025·江苏南通·二模）若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，. (1)若正实数，满足，且，求的最大值； (2)若代数式为二元轮换式，比较与1的大小； (3)若对任意的正实数，，，均有，求整数的最大值. 【解析】（1）第一步：根据已知条件化简式子 已知正实数、满足，则， 对其通分可得. 展开. 第二步：根据与的大小关系求最大值 因为，所以.对于二次函数（令）， 其图象开口向下，对称轴为，所以当即时，取得最大值，也就是取最大值. （2）第一步：根据二元轮换式得到等式 因为代数式为二元轮换式，所以，交叉相乘可得. 第二步：设变量进行转化 不妨设，令，则，那么 ，即，展开可得，移项得， 所以，. 第三步：计算并判断xy的范围 ，因为，，，所以， 根据对数函数的单调性可知. （3）第一步：进行变量代换并化简不等式 不妨设是，，中的最小值，令，（，）， 等价于. 当或时，该不等式对任意实数均成立.因为，，要使不等式成立，只需考虑. 当时，该不等式对任意实数均成立.当，设. 第二步：分情况讨论的取值范围 当时：不等式两边同时除以，整理可得. 设，对求导，，再对求导，所以在上单调递增. 令，即，化简得， 令，则，原方程可化为， 即，解得，因为，所以，则. 存在，且，所以在上单调递减，在上单调递增，. 因为，所以，，. 又因为，则，， 因为，，，所以，即，所以. 当时：不等式两边同时除以，整理可得， 此时，当时，恒成立. 综上，整数的最大值为. 16．（2025·江苏徐州·二模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)对于恒成立，求实数的取值范围； (2)，证明：（附：）. 【解析】（1）当时，，成立.当时，由可得， 令， ， 令，则， 令，则， 若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减， 若，则单调递增，，即 存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增， 且， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减. 所以在上单调递减，. 由洛必达法则：， . （2）当且时，，令， 则，令，则， 在上单调递增，， 即在上单调递增，（当时取等号）， ， ， ， ， 即. 17．（2025·江苏·二模）记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【解析】（1）函数和＂2次缠绕＂， 理由如下：，当和时，， 则对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂． （2）设， 因为和在上＂3次缠绕＂， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以1是的一个零点． ， ①当时，在上单调递增， 1是的唯一零点，不合题意． ②当时，在上单调递减， 1是的唯一零点，不合题意． ③当时，令，存在两根， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上单调递减，所以，即， 所以存在． 又， 所以存在． 所以恒成立， 即时，和在上＂3次缠绕＂， 综上，的取值范围是． （3）方法一：取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且和在上＂次缠绕＂． 方法二：记，取， 设，其中，则， 且当时，， 因为， 所以与同号，（＊） 为奇数时，设， 显然，且， 当时，与同号， 由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号； 所以． 为偶数时，设， 同理可知，，且和“次缠绕”． 综上，存在，使得， 且和在上“次缠绕” 18．（2025·江苏·二模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 【解析】（1）因为，，所以，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“函数”. （2）因为，， 则，， 因为函数是函数的“函数”， 所以对任意的，，则， 令， 则 ， 且， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 若函数是函数的“函数”， 则实数的取值范围是. （3）充分性：若存在常数使得恒成立，则， 因为函数为偶函数，所以，则， 则为偶函数，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“函数”， 因此对任意的，， 又，，所以，，， 所以，即， 用代换可得，故， 综上可知，记，则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”. 恒成立与能成立问题题型06 19．（2025·江苏·二模）已知函数，，. (1)若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； (2)讨论函数在区间上的单调性； (3)若对任意恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由已知得，，在点处的切线方程为. 设与切于，，， 则过该点的切线方程为：， 整理得，由于该切线与重合， 则. （2）由，求导得， ①当时，，，在上单调递增； ②当时，令 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增 ③当时，令 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减 （3）由题意得，即对恒成立. 令，， 令，， 因为，， 若，则在处的切线必然是上升的， 又因为，所以当且靠近的函数值满足， 此时就有， 从而可推导在且靠近的附近是递增的， 又因为， 所以在且靠近的附近必有 则必然不满足对恒有， 所以要满足对恒有， 首先必需满足在且靠近的附近， 所以满足， 从而可得参数满足的必要条件是； 下面再证充分性，当，时，则，即有， 又构造，，可得， 所以在区间上单调递增，即， 则可知，则， 恒成立，符合题意， 综上：的取值范围为. 20．（2025·江苏盐城·二模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即； （2），则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 21．（2025·江苏盐城·二模）已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【解析】（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，即，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 22．（多选题）（2025·江苏宿迁·二模）已知函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立），则下列结论可能正确的是（   ） A．，，且 B．，，且 C．，，且， D．，，且， 【答案】ABD 【解析】对于A，取，， 满足函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立）， 可得，，且，故A可能正确； 对于B，取，，函数均为偶函数， 当时，，， 令，则， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 即满足函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立）， 又在上单调递增，在上单调递增， 可得，，且，故B可能正确； 对于C，若，，且，， 当时，，可得， 此时不满足成立，故C不可能正确； 对于D，取，， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时等号成立， 故满足函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立）， 取，使得，且，，故D正确. 故选：ABD. 23．（2025·江苏南京·二模）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，其定义域为. 因为，所以. 所以曲线在处的切线方程为，即. 联立方程可得，. 设，，求导得. 所以在上单调递增. 又，所以有且仅有一个零点，所以直线与曲线的公共点个数为1. （2）对函数求导得，令，可得. 分情况讨论，①当时，即，此时在区间上单调递增， 则，解得. 又，所以. ②当时，即，在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，，， 当最大时，即，解得. 此时，，而恒成立. 所以，满足题意. 当最大时，即，解得. 此时，即. 设，，， 所以在上递减，故，所以，满足题意. 综上，. ③当时，即，在区间上单调递减， 此时. 若其成立，则，与条件相矛盾，所以该情况下不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. 证明不等式问题题型07 24．（2025·江苏·二模）设，曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：. 【解析】（1）因为，所以，即， 因为，所以点在直线上， 即，所以． （2）由（1）知，切线的方程为， 所以要证，即证． 设， 则， 当时，此时单调递增： 当时，此时单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立． 所以． （3）因为，当时，此时单调递减： 当时，此时单调递增： 则极小值为，且，，且小于0，，， 因为存在两根， 所以，且． 首先证明：，即证． 因为在上单调递减，所以只要证， 即证． 设，因为， 当时，，，则，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，故， 所以． 其次证明：． 因为在处的切线为， 由（2）知，，当且仅当时等号成立， 所以， 即，所以． 综上，． 25．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 【解析】（1）当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有唯一零点1． 当时，因为，， 所以函数有唯一零点，得证， （2）（i）由（1）知，，且， 两边取自然对数，得，（*） 所以， 两式相减，得， 所以． 因为函数在上单调递增， 所以，所以数列单调递增． 假设数列中存在，，成等比数列，则， 所以． 由（*）式得，，代入上式，得 ， ．（**） 因为，所以， 又，所以方程（**）无解． 所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列． （ii）先证明：时，，（***） 设，则， 所以当时，，单调递减： 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立． 由（***）式知，， 所以，所以， 所以． 在（***）式中，令，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，，当且仅当时等号成立． 当时，在（***）式中，令，得， 所以时， ． 当时，成立． 所以，得证． 26．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而函数的最大值为，则，解得， 所以的值为0. （2）由（1）知，，，则， 于是切线的方程为，即， 令，，求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 由，得，而，函数在上的图象不间断， 则存在，使得，且当或时，，当时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减，又， 当时，，于是函数在上无零点， ，而，函数在上的图象不间断， 因此存在，使得， 所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 27．（2025·江苏苏州·二模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)证明：对于满足不等式的任意，均有. 【解析】（1）因为，所以， 所以. 令，则，列表如下： 1 - 0 + 极小值 由上表可知的极小值为，无极大值. （2）证明：当满足时，， 所以. 设，可知在内单调递增， 因为，所以，所以 故，命题得证. 28．（2025·江苏南通·二模）已知函数. (1)证明：； (2)证明：在上单调递减； (3)若，且，证明：. 【解析】（1）要证，只要证，因为，所以要证， 记，，得， 且时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，从而得证. （2）由题意，知，设，则. 令，得；令，得. 所以，即在上单调递增，在上单调递减. 故，所以在上单调递减，且. （3）由（2）可知，若，则，不合题意. 若，则，不合题意. 所以，要证，只需证， 结合在上单调递减，只需证. 由，得. 故只需证，即证①. 设，， 则 . 设，， 则. 所以，即在上单调递增，又， 所以.从而在上单调递减. 因为，所以. 因为，所以，即不等式①成立. 故. 切线问题 题型08 29．（2025·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（   ） A．－3 B．－1 C．0 D．1 【答案】D 【解析】因为，且曲线在点处的切线与轴平行， 所以，解得， 故选：D 30．（2025·江苏南京·二模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 31．（2025·江苏苏州·二模）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A 极最值问题题型09 32．（2025·江苏苏州·二模）已知函数，，． (1)当时，求函数零点的个数； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)求函数的极值． 【解析】（1）函数的定义域为，，求导得， 函数在上单调递减， 而， 由零点存在定理，在区间内存在唯一零点， 所以函数在上有唯一的零点. （2）不等式，令函数， 依题意，恒成立，求导得， 当时，，函数在上单调递减，而， 则当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当且仅当，即时，恒成立， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而，则，因此， 所以的取值范围是. （3）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 因此函数有极大值，没有极小值； 当，即时，由，得；由，得或， 因此函数有极小值，极大值； 当，即时，，因此函数没有极值； 当，即时，由，得；由，得或， 因此函数有极小值，极大值 所以当时，函数有极大值，没有极小值； 当时，函数有极小值，极大值； 当时，函数没有极值； 当时，函数有极小值，极大值. 33．（2025·江苏盐城·二模）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时， 则，等号成立时，即，等号成立时； 则，等号成立时，，等号成立时， 则， 等号成立时， 所以， 等号成立时，显然时成立， 综上，当时，取最小值. 故答案为： 34．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 35．（2025·江苏苏州·二模）设，函数，则下面正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若，则当时， C．若有3个零点，则的取值范围是 D．若存在，满足，则 【答案】C 【解析】对于A选项，因为， 所以， 所以当时，，单调递增，无极值点； 当时，由得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时有两个极值点， 所以不一定有两个极值点，故A选项错误； 对于B选项，当，时， 由上述知，在上单调递减，在上单调递增， 则，故B选项错误； 对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 当时，若有个零点， 则由单调性可知必然有，解得. 而当时，，， 在区间，，中分别各有一个零点，故C选项正确； 对于D选项，， 等价于或，，故D选项错误. 故选：C. 36．（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，则， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 则函数在处取得极大值，且极大值为， 因为函数函数有最大值，则，解得， 因此，实数的最大值为. 故选：. 37．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数的极值点与的零点完全相同，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】， 由，得①， 对于， 由，得， 依题意，所以②， 由于函数的极值点与的零点完全相同， 对比①②可得. 故选：B 38．（2025·江苏·二模）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】C 【解析】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 零点问题题型10 39．（2025·江苏常州·二模）函数的所有零点之和为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】， 记，则， 当在单调递增，当在单调递减， 由于， 因此存在使得， 且当和时，，则在和单调递增， 当时，，则在单调递减， 且当，，， 因此有3个零点，其中一个零点为1， 设其中一个零点为，则， 即，进而， 此时， 因此是方程的另一个零点， 故所以的零点之和为， 故选：B 40．（多选题）（2025·江苏南京·二模）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有三个零点 D．若关于的方程恰有两个非零的实数根，则 【答案】AB 【解析】对于A，是上的增函数，得恒成立， 则，解得，A正确； 对于B，当时，，有两个异根，则函数有两个极值，B正确； 对于C，令，则或， 当，即时，有相等的根，有两零点，C错误； 对于D，方程， 由方程恰有两个非零的实数根，得是二重根、是单根或是单根、是二重根， ① 若是二重根、是单根， ，则得； ② 若是单根、是二重根，同理，D错误. 故选：AB 41．（多选题）（2025·江苏泰州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（） A．当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B．当且时， C．， D．若存在极值点，且，其中，则 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，， 由，可得或，由，可得， 故函数在和上单调递增；在上单调递减． 则函数在处取得极大值，在处取得极小值， 若有三个零点，则，解得，故A正确； 对于B，当且时，， 因为，所以， 由A函数在上单调递减，故，故B正确； 对于C，因为 ，故C错误； 对于D，由求导得，， 依题意，，可得① 由，可得， 由于，化简得② 将①代入②式，可化简得：， 即，因，故得，即D正确． 故选：ABD． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$