精品解析：青海省西宁市第五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

西宁五中2024-2025学年第一学期高二期中考试 数学试卷 （考试时间120分钟 考试满分150分） 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知圆与圆外切，则实数a的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1或 D. 或5 4. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ） A. B. －1 C. 0 D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1 C. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 11. 已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为__________ 13. 已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________. 14. 已知P是椭圆上的一点，分别为圆：和圆：上的点，则的最大值为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线过点且与直线垂直. （1）求直线的一般式方程； （2）求以点为圆心且与直线相切的圆的一般方程. 16. 已知椭圆的焦距为，短半轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 17. 已知的圆心在x轴上，经过点和． （1）求的方程； （2）过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 18. 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 椭圆（）离心率为，是椭圆上的任意一点，、分别是椭圆的左右焦点，且的周长为6. （1）求椭圆的方程； （2）若是椭圆的左顶点，过的两条直线，分别与交于异于点的、两点，若直线，的斜率之和为，则直线是否经过定点？如果是，求出定点，如果不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁五中2024-2025学年第一学期高二期中考试 数学试卷 （考试时间120分钟 考试满分150分） 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 2. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标运算得出，即可根据得出或 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 3. 已知圆与圆外切，则实数a的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1或 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心距等于半径之和求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为两圆外切， 所以， 解得或． 故选：C． 4. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，从而即可判断. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆等价于，解得， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解． 【详解】解：是的中点，是上靠近点的四等分点， 则． 故选：B． 6. 若椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆的定义及余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，，，则， 在中，由余弦定理可得， ，所以. 故选：B． 7. 已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得四边形为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将分别用和表示，即可得离心率. 【详解】取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上， 故，结合对称性可知四边形为矩形，有， 有，又， 由，则，， 由椭圆定义可得， 故， 则. 故选：C. 8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ） A. B. －1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆，相切时，斜率k最小， 设：，则，解得或(舍)， 当直线过点时，直线AP的斜率取得最大值1，即的最大值为1，因此， 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误； 对于C，若，则，所以，C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1 C. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数a的值，检验后得到答案；C选项，分两种情况（1）直线过原点；（2）直线不过原点讨论求解，即可判断C；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数m的取值范围. 【详解】A选项，， 故直线恒过定点，故A正确； B选项，两直线与平行， 则，解得或， 当时，两直线与满足要求， 当时，两直线与满足要求， 综上，或，故B错误； C选项，当直线过原点且经过点时，可得直线方程为； 当直线不过原点时，设直线为，将点代入解得， 所以直线方程为，故C错误； D选项，直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下： 其中， 则要想直线与线段AB相交，则直线斜率或， 解得或，故D错误. 故选：BCD 11. 已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解. 【详解】A：实数，满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆； 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； B：原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误． C：令，则直线与圆有公共点，所以，， 解得，所以的最大值为．故C正确； D：令，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值为．故D正确. 故选：AB. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为__________ 【答案】 【解析】 【分析】借助等角定理作的平行线可得等于与所成角，再结合边长，借助余弦定理计算即可得. 【详解】取中点，连接、、、， 则且，， 有，故，则， 由，故与所成角等于， 又， 即，即与所成角为. 故答案为：. 13. 已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 14. 已知P是椭圆上的一点，分别为圆：和圆：上的点，则的最大值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】通过计算知两圆心即椭圆两焦点，由形可将动点到圆上任意一点距离最值问题转化为动点与圆心距离及半径的关系式，结合椭圆定义可求. 【详解】圆：的圆心，半径为； 圆：的圆心，半径为. 椭圆，, 所以，则， 故恰为椭圆的两个焦点， 因为P是椭圆上的一点，所以， 由分别为两圆上任意一点， 所以，即的最大值为15． 如图,当三点共线（在圆心异侧）且三点共线（在圆心异侧）时，取到最大值. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线过点且与直线垂直. （1）求直线的一般式方程； （2）求以点为圆心且与直线相切的圆的一般方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的一般式方程； （2）利用点到直线的距离计算出所求圆的半径，先求出所求圆的标准方程，化为一般方程即可. 【小问1详解】 解：因为直线过点且与直线垂直， 设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得， 所以，直线的一般式方程为. 【小问2详解】 解：由题意可知，所求圆的半径为， 故所求圆的标准方程为， 化为一般方程即为. 16. 已知椭圆的焦距为，短半轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）利用点差法求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，， 则两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以， 所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意. 17. 已知的圆心在x轴上，经过点和． （1）求的方程； （2）过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 【答案】（1） （2）①或；②. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可； 在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果； ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【小问1详解】 设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 18. 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：∵在梯形中，， ，，为的中点， ∴，，， ∴是正三角形，四边形为菱形， ∴，， ∵， 又∵平面ABC， ∴平面ABC， ∵平面， ∴平面⊥平面ABC. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是菱形，从而证明平面ABC，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 存在，，理由如下： ∵平面，OP⊥AC， ∴，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， 设， ∵，， ∴， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， ∴线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 19. 椭圆（）离心率为，是椭圆上的任意一点，、分别是椭圆的左右焦点，且的周长为6. （1）求椭圆的方程； （2）若是椭圆的左顶点，过的两条直线，分别与交于异于点的、两点，若直线，的斜率之和为，则直线是否经过定点？如果是，求出定点，如果不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是，定点 【解析】 【分析】（1）由题意得求出，再结合求出，从而可得椭圆方程； （2）设直线为，代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，然后由可求得，则得直线为，从而可得直线恒过定点. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以， 所以椭圆的方程为， 【小问2详解】 由（1），由题意得直线的斜率存在，设直线为， 由，得， 化简得， 由，得， 设，则， 所以 ， 所以， 所以直线：， 所以直线恒过点. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解（2）问解题的关键是由结合根与系数的得到的式子可得，代入直线方程化简可得答案，考查数学计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $