串讲 四边形（考点串讲，6考点+6专项突破+4易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 四边形 （6考点+6专项突破+4易错） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理+针对训练 六大专项突破 四大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 互相平分 平行 且相等 互相平分 一 一半 相等 相等 互相垂直 菱形 矩形 知识结构 3 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 知识梳理 知识点一：几种特殊四边形的性质 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等 3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分 5.一组对边平行且相等 1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形 知识点二：几种特殊四边形的常用判定方法 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 知识点三：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 6 1.两条平行线之间的距离： 2.三角形的中位线定理： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 知识点四：其他重要概念及性质 考点1：平行四边形的性质与判定 1． 在▱ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A等于( ) A． 50° B． 130° C． 100° D． 65° 2． 如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则AB的长为( ) A． 5 B． 6 C． 10 D． 11 A B 针对训练 3． 如图，在▱ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是▱ABCD的周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为( ) A． 3 B． 5 C． 2 D． D 4． 如图，a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°．若a，b之间的距离为3，则线段AC的长度为　 　．  　6　 5． 在四边形ABCD中，已知∠A＋∠B＝180°，请添加一个条件： 　 　，使得四边形ABCD为平行四边形．(写出一个即可)  　AD＝BC(答案不唯一)　 6． (2023·镇江)如图，B是AC的中点，点D，E在AC同侧，且AE＝BD，BE＝CD． (1)求证：△ABE≌△BCD； (2)连接DE，求证：四边形BCDE是平行四边形． 证明：(1)∵B是AC的中点，∴AB＝BC． 在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(SSS)． (2)∵△ABE≌△BCD，∴∠ABE＝∠BCD．∴BE∥CD． 又∵BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形． 7． 如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． (1)BE与CD有怎样的数量关系？请说明理由； (2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形． (1)解：BE＝CD． 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD．∴∠DAE＝∠BEA． ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE． ∴∠BEA＝∠BAE．∴BE＝AB．∴BE＝CD． (2)证明：由(1)知BE＝AB，∠DAF＝∠CEF， 又∵BF平分∠ABE，∴AF＝EF． 在△ADF和△ECF中， ∴△ADF≌△ECF(ASA)．∴DF＝CF． 又∵AF＝EF，∴四边形ACED是平行四边形． 7． 如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． (1)BE与CD有怎样的数量关系？请说明理由； (2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 考点2：三角形的中位线 8． 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点．若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( ) A． 45°　 B． 50°　 C． 60°　 D． 65° D 9． 如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法错误的是( ) A． DE＝DF B． EF＝BC C． S△DEF＝S△ABC D． AD⊥EF C 考点3：矩形的性质与判定 10． 下列说法不正确的是( ) A． 有一个角为直角的平行四边形是矩形 B． 有三个角为直角的四边形是矩形 C． 对角线相等的平行四边形是矩形 D． 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 11． 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4 cm，则AB＝　 　cm，矩形ABCD的面积为　 　cm2．  　2　 D 4 12． 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝　 　．  13． 如图，请添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 　 　．(写出一个即可)  2 AC＝BD(答案不唯一) 14． 如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM＝5，有以下三个选项：①M为AD的中点；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4，请从中选择一个合适的选项作为条件，使▱ABCD为矩形． (1)你选择的条件是　 　(填序号)，并证明▱ABCD为矩形；  (2)若AM＝3，求矩形ABCD的面积． 　①或②　 (1)证明：以条件②为例．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC．∴∠A＋∠D＝180°． 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SAS)．∴∠A＝∠D＝90°．∴▱ABCD为矩形． 14． 如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM＝5，有以下三个选项：①M为AD的中点；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4，请从中选择一个合适的选项作为条件，使▱ABCD为矩形． (1)你选择的条件是　 　(填序号)，并证明▱ABCD为矩形；  (2)若AM＝3，求矩形ABCD的面积． 　①或②　 (2)解：由(1)知△ABM≌△DCM，∴DM＝AM＝3． ∴AD＝6．∵∠A＝90°，BM＝5， ∴AB＝＝4． ∴矩形ABCD的面积为AD·AB＝6×4＝24． 15． 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，AD＝4，求DC的长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB． ∵CF＝AE，∴DF＝BE． ∴四边形BFDE是平行四边形． 又∵DE⊥AB，∴四边形BFDE是矩形． 15． 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，AD＝4，求DC的长． (2)解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB， ∴∠ADE＝30°．∴AE＝AD＝2． ∵AB∥DC，∴∠DFA＝∠BAF． ∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF． ∴∠DFA＝∠DAF．∴DF＝DA＝4． 又∵CF＝AE＝2，∴DC＝DF＋CF＝6． 考点4：直角三角形斜边上的中线 16． 直角三角形中，两直角边长分别是12和5，则斜边上的中线长是( )　　　　　　　　　　　　　　 A． 34 B． 26 C． 6.5 D． 8.5 17． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则BC的长为　 　．  　8　 C 18． 如图J18－14，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，连接DE，G，F分别是BC，DE的中点，连接GF．求证：GF⊥DE． 证明：如图，连接DG，EG． ∵CD⊥AB，G是BC的中点， ∴在Rt△BCD中，DG＝BC． 同理可得，EG＝BC． ∴DG＝EG． 又∵F是DE的中点，∴GF⊥DE． 考点5：菱形的性质与判定 19． (2024·通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( ) A． ∠BAC＝∠BCA　 B． ∠ABD＝∠CBD C． OA2＋OB2＝AD2 D． AD2＋OA2＝OD2 D 20． 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝5，则菱形ABCD的周长是( ) A． 10 B． 15 C． 20 D． 30 C 21． 菱形ABCD的周长为24 cm，其中一条对角线的长为8 cm，则菱形ABCD的面积为( ) A． 8 cm2 B． 16 cm2 C． 32 cm2 D． 48 cm2 22． (2023·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，已知AD＝BC，AC⊥BD于点O，请添加一个条件：　 　，使四边形ABCD为菱形．(写出一个即可)  　AD∥BC(答案不唯一)　 B 23． 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至点F，使DF＝DE，连接AE，AF，CF． (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BE＝1，CE＝4，求EF的长． (1)证明：∵D是AC的中点， ∴AD＝CD． 又∵DF＝DE， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵DE⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． (2)解：∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝4． ∵BE＝1，∴BC＝5． 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AB＝． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC＝＝2． ∵S菱形AECF＝EF·AC＝CE·AB， ∴EF×2＝4×． ∴EF＝2． 24． 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD交于点M，与BD交于点O，与BC交于点N，连接BM，DN． (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB．∴∠ODM＝∠OBN． ∵MN垂直平分BD，∴OD＝OB，DM＝BM，BN＝DN． 在△ODM和△OBN中， ∴△ODM≌△OBN(ASA)． ∴DM＝BN． ∴DM＝BM＝BN＝DN． ∴四边形BMDN是菱形． 24． 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD交于点M，与BD交于点O，与BC交于点N，连接BM，DN． (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积． (2)解：∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝8，∴AM＝8－DM． 由(1)知DM＝BM，在Rt△BAM中，AB2＋AM2＝BM2， 即42＋(8－DM)2＝DM2．解得DM＝5． ∵AB⊥DM，∴S菱形BMDN＝DM·AB＝5×4＝20． ∴菱形BMDN的面积为20． 考点6：正方形的性质与判定 25． 下列条件中能判断一个四边形是正方形的是( ) A． 对角线互相垂直且相等 B． 一组对边平行且相等，有一个内角为90° C． 对角线平分每一组对角 D． 四边相等且有一个角是直角 D 26． 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，AC交于点G，则∠AGE的度数为( ) A． 15° B． 45°　 C． 60° D． 90° C 27． 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(－2，0)，B(1.5，－2)，则点D的坐标为　 　．  　(0，3.5)　 28． 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G． (1)求证：四边形OGCF是正方形； (2)若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长． (1)证明：如图，过点O作OH⊥AB于点H． ∵OF⊥AC，OG⊥BC，∴∠OFC＝∠OGC＝90°． 又∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形． ∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，OH⊥AB，∴OF＝OG＝OH． ∴四边形OGCF是正方形． (2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝90°－∠BAC＝30°． ∴AB＝2AC＝2×4＝8． ∴BC＝＝4． 由(1)知OH＝OF，在Rt△AOH和Rt△AOF中， ∴Rt△AOH≌Rt△AOF(HL)． ∴AH＝AF． 同理可得，Rt△BOH≌Rt△BOG(HL)． ∴BH＝BG． 设正方形OGCF的边长为x， 则AH＝AF＝4－x，BH＝BG＝4－x．∵AH＋BH＝AB， ∴4－x＋4－x＝8． 解得x＝2－2．∴正方形OGCF的边长为2－2． 29． 如图，在四边形ABFC中，CF∥AB，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E． (1)求证：四边形BECF是菱形； (2)当∠A为多少度时，四边形BECF是正方形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，若AC＝4，求四边形ABFC的面积． (1)证明：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝CF，BE＝CE． ∴∠FCB＝∠FBC． ∵CF∥AB，∴∠FCB＝∠CBE． ∴∠FBC＝∠CBE． 又∵BD＝BD，∠FDB＝∠EDB＝90°， ∴△FDB≌△EDB(ASA)． ∴BF＝BE． ∴BF＝CF＝BE＝CE． ∴四边形BECF是菱形． (2)解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形． 理由如下： ∵四边形BECF是菱形，要使得四边形BECF是正方形，则∠CEB＝90°． 又∵BE＝CE， ∴△BCE是等腰直角三角形，即∠CBE＝45°． ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°． ∴当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形． (3)解：由(2)知，四边形BECF是正方形，△ACE是等腰直角三角形， ∵AC＝4，∴CE2＋AE2＝42，即2CE2＝16． 解得CE＝AE＝2． ∴S四边形ABFC＝S正方形BECF＋S△ACE ＝CE2＋AE·CE ＝(2)2＋×(2)2 ＝12． 判定平行四边形的五种常用方法 专项突破一 40 方法一 利用两组对边分别平行判定平行四边形 1.如图，在中，，分别为，上的点，且 ，连 接，，，，与相交于点，与相交于点 . 求证：四边形 为平行四边形. 证明： 四边形 是平行四边形， , . , 四边形为平行四边形. . ,即 , 四边形为平行四边形. . 四边形 为平行四边形. 41 方法二 利用两组对边分别相等判定平行四边形 2.如图，在四边形中，， ， 点在上，点在上，， 与对角线 相交于点.求证：是 的中点. 证明：连接， .， ， 四边形是平行四边形. . ，,即 . 又， 四边形 是平行四边形. ，即是 的中点. 42 3.如图，已知，， 都是等边三角形.求证：四边形 是平行四边形. 证明：，, 都是等边三角形， ，，， . , 即 . . 同理可证, . 四边形 是平行四边形. 43 方法三 利用一组对边平行且相等判定平行四边形 4.如图，在中，点， 分别是边 ，的中点，求证： . 证明： 四边形 是平行四边形， ， . 点,分别是边，的中点， 易得 ， 四边形是平行四边形， . 44 5. 如图，点， 分别在 的边，上， ， ，连接， .求证：四边形 是平行四边形. 证明： 四边形 是平行四边形， ， . ，， . 又， 四边形 是平行四边形. 45 方法四 利用两组对角分别相等判定平行四边形 6. 如图，在中，平分，交于点 ， 平分，交于点，那么四边形 是平行四边形吗？请说 明理由. 解：四边形 是平行四边形. 理由： 四边形 是平行四边形， ， . 平分，平分 , ， . . , , 四边形 是平行四边形. 46 7.如图，在中， ，点，分别在， 的延长 线上，且， . （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明： 四边形 是平行四边形， ， . , . 又， ， ， 是等边三角形. ， . . 四边形 是平行四边形. 47 （2）若去掉已知条件的“ ”，上述结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 解：上述结论还成立.证明如下： 四边形 是平行四边形， ，，， . . ，，， . . 又，， . ， .，， 即 . 四边形 是平行四边形. 48 方法五 利用对角线互相平分判定平行四边形 8.如图①，在中，点是对角线的中点，过点，与 ， 分别相交于点，，过点，与，分别相交于点， ，连 接，，， . 49 （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明： 四边形 是平行四边形， . 是的中点， . 在和中， . 同理可得， 四边形 是平行四边形. 50 （2）如图②，若， ，在不添加任何辅助线的情况下， 请直接写出图②中与四边形 面积相等的所有平行四边形 （四边形 除外）. 解：与四边形面积相等的平行四边形有, , , . 51 三角形中位线的构造方法 专项突破二 52 类型一 已知双中点（连接两中点或第三边） 1.[2024·济宁期末] 如图，在四边形中，点，分别是边 ， 的中点，，，， ，则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 53 2.如图，在中，是上的一点，,,, 分别是,,, 的中点. 求证：, 互相平分. 证明：连接，， . ,,,分别是,,, 的中点， ,,即 , 四边形 为平行四边形. ,为 的对角线, , 互相平分. 54 类型二 已知单中点（取另一边的中点并连接两中点） 3.如图，在四边形中， 为对角线， ，，，分别是边， 的 中点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 55 [解析] 点拨：如图，取的中点，连接 ， ， ，分别为， 的中点， 是的中位线， ， 同理可得 ， 在中， ， 即 ， 当点在上时，， . 56 4.如图，在中，,于点，是 的中点， 延长交于点，则 ___. 4 （第4题） 57 [解析] 点拨：取的中点，连接,过点作，交 的延 长线于点 . ，,是 的中点. 又是 的中点， 是的中位线， . 又， 四边形 是平行四边形， . 为的中点，, . 易证, , . 58 5.如图，在中，是的中点，是的中点，交于点 ， 若，则 __. （第5题） 59 [解析] 点拨：取的中点,连接, . 是的中点,是 的中点， 是的中位线., . 四边形是平行四边形，, . ， . 是的中点, . 四边形 是平行四边形. . ,是的中点,. . 60 6.[2024·杭州一模] 如图，在中，，， ， ，分别为边，上的点，，分别为 ，AB的中点.若 ，则 的长为____. 61 [解析] 点拨：如图，连接，取的中点 ， 连接， ， 在中，,, ， , , , . ,分别为， 的中点， 是 的中位线， , 62 , , ,同理可得, , , , . 类型三 已知角平分线+垂直（延长相关线段） （第7题） 7.如图，在中， ， 平分 ，，垂足为，点为 的中点， 连接，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 64 [解析] 点拨：延长与相交于点 ， ，平分 ， . ， . 又, . , , . . 为的中点， , 是的中位线， ， . 65 （第8题） 8.[2024·合肥期末] 如图，在中，, 分别是,的平分线， 于点 ，于点，连接 的周长 为30，，则 的长是( ) D A.15 B.9 C.6 D.3 [解析] 点拨：的周长为30， , . 66 如图,延长，，分别交于点， ， 为的平分线， , 易得， . 为的平分线， , 易得, , . ,,为 的中位 线， . 67 中点四边形 专项突破三 68 类型一 一般四边形的中点四边形是平行四边形 1.如图，在四边形中，,,,分别是, , , 的中点. （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明：,,,分别是，,, 的中点， ,,, ， ,, 四边形 是平行四边形. （2）若,则 ___. 4 69 类型二 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 2.[2024· 温州鹿城区月考] 如图，在四边形中，对角线， 互相垂直，点，，，分别是边,,, 的中点，依次连接这 四个中点得到四边形 . 70 （1）求证：四边形 是矩形； 证明：设,交于点，,交于点 ， 点，分别是边， 的中点， , ， 同理:,，, , 四边形 是平行四边形. ， ， 易得 ， 四边形 是矩形. （2）若,，则四边形 的周长为____. 16 71 类型三 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 3.[2024· 荆州期末] 顺次连接下列四边形各边中点所构成的四边形中， 为菱形的是( ) B ①平行四边形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形；⑤对角线互 相垂直的四边形. A.①④ B.②④ C.②⑤ D.③⑤ 72 类型四 对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 4.[2024· 秦皇岛期末] 阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形的四边 中点，，，依次连接起来得到的四边形 是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接 . 73 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图①中四边形的形状（如图②），则四边形 还是平行四边形吗？请说明理由. 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： 解：四边形 还是平行四边形. 理由：连接 . ，分别是边， 的中点， ， . 同理得， ， ，， 四边形 是平行四边形. 74 （2）如图②，在（1）的条件下，若连接，，当与 满足什 么关系时，四边形 是正方形？直接写出结论. 解：结论：当且时，四边形 是正方形. 75 正方形的几个常考模型 专项突破四 76 模型一 十字架模型 【模型分析】 模型图 _________________________________________________________________________________ 模型归纳 在正方形中，图①： ；图②： ；图③： 77 1.如图①，在正方形中，点为边上一点，连接，点 在边 上运动. （1）如图②，当点和点重合时，过点作的垂线，垂足为点 ， 交直线于点.请直接写出与 的数量关系：__________； 78 （2）如图③，过点作的垂线，垂足为点，交直线于点 ，试 证明（1）中的结论仍成立. 证明：如图，过点作于点，交于点 . ， . 四边形是正方形， . 四边形是平行四边形. . 四边形 是正方形， ， . . 79 ， ，， . 在和中， . .又， . 模型二 中心直角模型 【模型分析】 模型图 ______________________________________________________________________________ 模型归纳 在正方形中，对角线,交于点，若 为直 角，则，， 是等腰 直角三角形， 81 2.如图，已知四边形是正方形，对角线，相交于，设 ， 分别是，上的点，若 ，，求四边形 的面积. 82 解： 四边形是正方形，，是对角线， ， ， ， ， . 又 ， 易得 . 在和中， ， . . 83 模型三 外角平分线模型 【模型分析】 模型图 ___________________________________________________________________________________________________ 模型归纳 方法：在上截取 . 点在正方形的边上运动，若 ， 平 分，则，， 84 3.如图①，四边形是正方形，点是边的中点， ， 且交正方形外角的平分线于点.求证：.（提示：取 的 中点，连接 .） （1）请思考，提示中添加辅助线的意图是得到条件：_________； 85 （2）如图②，若点是边上任意一点（不与， 重合），其他条件 不变.求证： . 证明：在边上截取，连接 . 四边形 是正方形， ， . ，， 是等腰直角三角形， 86 ， . 平分正方形的一个外角， , , . ， . ， ， ， . 87 模型四 半角模型 【模型分析】 模型图 ________________________________________________________________________ 模型归纳 方法：旋转到 的位置. 在正方形中，若 ，则 ， 平分，平分 ， ，， 88 4.如图，在正方形中，点，分别在， 上， 连接，，， .若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 89 5.如图，在边长为6的正方形 内作 ，交 于点，交于点 ，连接，将绕点顺时针 旋转 得到.若，求 的长. 解：由题意得 ,,, . 四边形是正方形， , 又 , , , . 在和中， , . 90 设，则, . . ,, . ，,解得,即 . 5.如图，在边长为6的正方形 内作 ，交 于点，交于点 ，连接，将绕点顺时针 旋转 得到.若，求 的长. 特殊平行四边形的折叠问题 专项突破五 92 类型一 矩形的折叠 （第1题） 1.如图，在矩形中，点在边 上，将矩 形沿直线折叠，点恰好落在边 上的 点处.若,,则 的长是( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 93 （第2题） 2.[2024· 青岛一模] 如图，在矩形纸片 中，，，将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕为，点的对应点为点 ，连接 ，则图中阴影部分的面积是( ) D A.5 B.3 C. D. 94 （第3题） 3.[2024· 石家庄长安区一模] 如图，在矩形 中，点，，分别在边，， 上，将矩形分别沿，， 折叠，使点 ，恰好都落在点处，点落在点 处.有以 下结论： Ⅰ：若点落在上，则 ； Ⅱ：若点与点重合，则 . 下列判断正确的是( ) C A.Ⅰ，Ⅱ都正确 B.Ⅰ，Ⅱ都不正确 C.只有Ⅰ正确 D.只有Ⅱ正确 95 4.[2024· 威海] 将一张矩形纸片（四边形 ）按如图所示的方式对 折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处， 交 于点.若，，，则 __. （第4题） 96 [解析] 点拨：四边形 是矩形， . . 在中， . 由折叠得， ， ， , ， . 又， ， 97 ， . 易知， ， ， ， 设，则 ， 在中， ， 即，解得，即 . 5.[2024· 湖州南浔区二模] 数学兴趣小组在对一张矩形纸片进行折叠的 时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的一系列问题 进行研究探索.已知矩形纸片的边长， ，折 痕始终经过点 . 99 折法一 折法二 ___________________________ _____________________________ 如图①，点在 上运动，将矩 形沿着 向上折叠，使得 点恰好落在对角线上的点 处 如图②，当点运动到点 处时，将 矩形沿着对角线 向上折 叠，使得点落在点处，交 于点 请根据以上信息，完成下列问题： （1）折法一中 的长为______. 100 （2）请根据折法二完成下列任务： ①任务一：求证： 是等腰三角形； ②任务二：计算 的长度. [答案] ①证明： 四边形 是矩形， ， . 由折叠得， ， ， 是等腰三角形. 101 ②解： 四边形 是矩形， ， . 由折叠得， . 又， . 设，则 ， 在中， ， 即，解得， . 102 类型二 菱形的折叠 6.如图，把菱形沿折叠，使 点落在 上的点处，若 ，则 的大小 为( ) A A. B. C. D. 103 7.如图，有一张菱形纸片， ，折叠 该纸片，使得点,均与点重合，折痕分别为 ， .设两条折痕的延长线交于点 .求证：四边形 是菱形. 证明: 四边形 是菱形， ,，, . 由折叠可知, , , . . 又 , ， , , , 104 四边形 是平行四边形. , . 又 , ， ， , 四边形 是菱形. 类型三 正方形的折叠 8.甲、乙两人各用一张正方形的纸片（如图①）折出一个 的 角，两人做法如下： 106 甲：如图②，将纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则 . 乙：如图③，将纸片沿，折叠，分别使点，落在对角线 上 的点处，则 . 对于两人的做法，下列判断正确的是( ) A A.甲、乙都对 B.甲对，乙错 C.甲错，乙对 D.甲、乙都错 107 9.[2024· 无锡期中] 如图，在正方形中，，点在 上， 且，将沿折叠，得到，延长交于点 ， 连接，则 ___. 6 108 [解析] 点拨：在正方形中， ， ， 由折叠可知，， ， ， . 又 ， ， . ，,， . 设，则， . ， ， ，即 . 109 10.如图①，将正方形纸片 对折， 使得边与 重合，展开铺平，折痕 为.然后将正方形纸片沿着过点 的直 线折叠，此时点恰好落在折痕 上的 点处，展开铺平，折痕为,设 与 交于点，连接 ，如图②. （1）若正方形的边长为6，求 的长； 解:由折叠可知， . ， . 110 （2）求证：四边形 是菱形. 证明:由折叠可得, , . . . 又 , 四边形 是平行四边形. 又, 四边形 是菱形. 111 特殊平行四边形的动态问题 专项突破六 112 类型一 矩形中的动态问题 1.如图，在矩形中，，，， 是对角线上的两个动点，分别从， 同时出发 相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 秒，其中 . （1）若，分别是， 的中点，则四边形 四边形一定是平行四边形 一定是怎样的四边形（， 相遇时除外）？ 答：_____________________________； 113 （2）在（1）的条件下，若四边形为矩形，求 的值. 解：连接，由题意易得， ， 四边形是平行四边形. . ， . 114 ①如图①，当四边形 是矩形 时， ， ， ， ； ②如图②，当四边形 是矩形 时， ， ， ， . 综上，当四边形为矩形时，或 . 115 类型二 菱形中的动态问题 2.如图，在菱形中， ，，点，分别为 ， 上的动点， ，点从点向点 运动的过程中， 的长度( ) D A.逐渐增加 B.先减小再增加 C.恒等于9 D.恒等于6 116 [解析] 点拨：连接 ， 四边形 是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， . ， ， ， 又, ， ， . ， . 117 类型三 正方形中的动态问题 3.如图，在边长为3的正方形 中，是线段 上的一个动点，连 接，以为边作正方形 （点在边 所在直线的上方）， 连接 . （1）如图①，当点与点重合时， 的长为_____； 118 （2）如图②，当点与点重合时，嘉嘉说：“此时 .”淇淇说： “此时正方形的面积与正方形的面积的比为 .”请选 择其中一人的说法进行证明. 解：选择嘉嘉的说法.证明： 四边形， 都是正方形， , , , ， . ， ， ，即 . 选择淇淇的说法.证明：易得, , ， . （选择一种进行证明即可） 119 易错点1.因混淆判定定理致错 【例1】下列说法正确的是 (　　) A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.四个角相等的四边形是矩形 易混易错 错解：A或B或C. 错解分析：因混淆四边形的判定定理导致误解，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误，不符合题意；四条边都相等的四边形是菱形，故B错误，不符合题意；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C错误，不符合题意；四个角相等的四边形是矩形，故D正确，符合题意. 正解：D. 【针对训练】下列命题，其中是真命题的是( ) A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 C 易错点2.对平行四边形的判定定理不理解 【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，试着再添加一个条件： 　　　　　，使四边形ABCD为平行四边形.  错解：∠3＝∠4或AB＝CD. 错解分析：由题意可知，四边形已经有一组对边平行，所以只要这组对边相等或另一组对边平行即可.而错解中由∠3＝∠4推出的还是已知的AD∥BC，所以添加的这个条件是无效的.相反，添加∠1＝∠2是可行的，因为由∠1＝∠2可推出AB∥CD，此时利用两组对边分别平行的判定定理即可.错解中的AB＝CD也不行，等腰梯形就是一个反例. 正解： ∠1＝∠2或AB∥CD等. 【针对训练】已知四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是直线AD，BC上的点(不与点A，B，C，D重合).请在图中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：　 　(写出一个即可)，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由.  AM＝CN(答案不唯一)　 解：如图，添加AM＝CN. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴AD－AM＝BC－CN，即DM＝BN. 又∵DM∥BN， ∴四边形MBND是平行四边形. 易错点3.因缺少分类讨论致错 【例3】在▱ABCD中，∠DAB的平分线交直线CD于点E，且DE＝5，CE＝3，则▱ABCD的周长为　　　　.  错解：26. 错解分析：本题错误原因是只考虑了当点E在线段DC上的情况，忽略了点E在线段DC的延长线上的情况. 正解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC. ∴∠BAE＝∠DEA. ∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE. ∴∠DAE＝∠DEA. ∴AD＝DE＝5. 当点E在线段DC上时，如图①， 此时▱ABCD的周长为2(AD＋CD)＝2(DE＋DE＋CE)＝2×(5＋5＋3)＝26； 当点E在DC的延长线上时，如图②， 此时▱ABCD的周长为2(AD＋CD)＝2(DE＋DE－CE)＝2×(5＋5－3)＝14. 综上所述，▱ABCD的周长为26或14. 故答案为：26或14. 【针对训练】在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6， ∴CD＝AB＝6，BC＝AD，AD∥BC. ∴∠AFB＝∠CBF. ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF. ∴∠AFB＝∠ABF. ∴AF＝AB＝6. 同理可得，DE＝DC＝6. 当点E在点F左侧时，如答图D18－1－2①. ∵EF＝2， ∴AE＝AF－EF＝6－2＝4. ∴BC＝AD＝AE＋DE＝4＋6＝10； 当点E在点F右侧时，如答图D18－1－2②. ∵EF＝2， ∴AE＝AF＋EF＝6＋2＝8. ∴BC＝AD＝AE＋DE＝8＋6＝14. 综上所述，BC的长为10或14. 答图D18－1－2 易错点4.因逻辑不严谨致错 【例4】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.求证：OE＝OF. 错解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC. ∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(AAS). ∴OE＝OF. 错解分析：因为题中未明确指出点E，O，F在同一条直线上，因此不能肯定∠AOE与∠COF是对顶角.若用到这个条件，必须先验证，才可以用. 正解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵OE⊥AD，OF⊥BC， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(AAS). ∴OE＝OF. 【针对训练】如图，在▱ABCD中，E是边AB的中点，延长DE交CB的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△BFE； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠A＝∠EBF. ∵E是AB的中点，∴AE＝BE. 在△ADE和△BFE中， ∴△ADE≌△BFE(ASA). 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵DE⊥AB，∴DE⊥CD. ∴∠CDF＝90°. ∵DE＝AB，∴DE＝DC. ∴△DCE是等腰直角三角形. ∴∠DEC＝∠DCE＝45°. ∴∠FEC＝135°. (2)若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数. 1. 杭州纸伞馆有制作精美 的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱 形 ，伞骨连接点固定在伞柄顶端， 伞圈 能沿着伞柄 滑动.小聪通过测量发现： 当伞完全张开时，伞柄 的中点到伞骨连接点，的距离都等于 的一半，若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 押题预测 135 [解析] 点拨：四边形 是菱形， ， . ， . 由题意得 ， . ， ， . 136 2.[2024·包头] 如图，在菱形 中， ，，是一条对角线， 是 上一点，过点作，垂足为 ，连接 .若，则 的长为_____. [解析] 点拨：如图，过点作于点 ， 在菱形中， ， ， ， ， ， 都是等边三角形， ， ， 易知 .， ， 137 ， . 又， ，， . 在中， ， . 2.[2024·包头] 如图，在菱形 中， ，，是一条对角线， 是 上一点，过点作，垂足为 ，连接 .若，则 的长为_____. 3.如图，在矩形中， ， ，点在边上以 的速度从 点向点运动，点在边上，以 的速 度从点出发，在 之间往返运动，两个动点同 时出发，点在到达点时停止，同时点 也停止 运动，设运动时间为 . （1）用含的式子表示线段的长度：_________ . （2）若，当运动时间为___时，以,,, 为顶点的四边形 是矩形. 2 139 （3）当时，以,,, 为顶点的四边形有没有可能是平行四 边形？若有，请求出 的值；若没有，请说明理由. 解：以，，， 为顶点的四边形有可能是平行四边形. ， 当时，四边形 是平行四边形. 当时，点从点向点 运动， 由，得，解得 ； 当时，点从点向点 运动， 由，得，解得 . 综上所述，的值为 或8. $$