清单02 四边形（7个考点清单+24种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

清单02 四边形（7个考点梳理+24种题型解读） 清单01 多边形相关概念 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 多边形的内角和与外角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 清单02 平行四边形的判定与性质 平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 清单03 矩形的判定与性质 矩形的概念与性质 1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 矩形的判定 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2） 对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三各直角的四边形是矩形。 清单04 菱形的判定与性质 菱形的概念与性质 1、概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.性质： 边：菱形的四条边都相等． 对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）． 3. 四条边相等的四边形是菱形（边） 清单05 正方形的判定与性质 正方形的概念与性质 1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 清单06 三角形的中位线的判定与性质 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 清单07 中心对称与中心对称图形 中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 1. 作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 点坐标对称 1.关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 2.关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） 3.关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） 【考点题型一 多边形的相关概念】（） 1．下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 3．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形． 【考点题型二 多边形截角后的问题】（） 5．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 6．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 7．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 8．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 ． 【考点题型三 多边形的对角线问题】（） 9．若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 11．一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出的条数是 条． 12．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【考点题型四 多边形的内角和】（） 13．已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 14．如图，把沿对折，点B，C分别对应点．若，则 ． 15．如图，，是正五边形的对角线． (1)求的度数； (2)求的值． 16．已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【考点题型五 多边形的外角和】（） 17．五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段AC上，得到图2，则调整后多边形的外角和（   ） A．增加了 B．增加了 C．减少了 D．始终为 18．在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的一个外角的度数为 ． 19．如图，是六边形的四个外角，延长交于点H．若，则的大小为 ． 20．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【考点题型六 平行四边形的判定】（） 21．一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 23．在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是 ．（写出一种即可，填序号） 24．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的周长是12，求平行四边形的周长． 【考点题型七 平行四边形的性质】（） 25．如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点，连接． （1）的长为 ； （2）线段的长为 ． 26．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若的周长为20，则的周长为 ． 27．如图，在平行四边形中，，平分交与点． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 28．如图，在中，，，平分交于点． (1)求的周长； (2)若，求的度数． 【考点题型八 平行四边形的判定与性质应用】（） 29．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作平行四边形，使点、均在格点上． (1)在图①中，点是平行四边形对称中心； (2)在图②中，点在平行四边形的边上且不与顶点重合； (3)在图③中，点在平行四边形的内部且不是对称中心． 30．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 31．下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一： 证明：如图，连接．     方法二： 证明：如图，延长至点E．    方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．      你选择方法______． 证明： 32．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上． (1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形． (2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形． 【考点题型九 矩形的判定】（） 33．如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． (1)求证：； (2)若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 34．如图，在中，O是的中点，连接，并延长交的延长线相交于点E，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件______，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 35．如图，E，F是的对角线上两点，且． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形． 36．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【考点题型十 矩形的性质】（） 37．已知的两条对角线相交于点O，，则四边形的周长是（    ） A．18 B．20 C．24 D．26 38．如图，四边形的四边相等，且面积为，对角线，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 39．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 40．如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【考点题型十一 矩形与折叠问题】（） 41．如图，在矩形中，是边上的一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 43．如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为 ．    44．综合运用． 如图，在平面直角坐标系中，放入一个矩形纸片，将纸片翻折后，点恰好落在轴上，记为，折痕为．直线的关系式是，与轴相交于点，且． (1)求的长度； (2)求点的坐标； (3)求矩形的面积 【考点题型十二 求矩形在坐标系中的坐标】（） 45．如图，在矩形中，．若正比例函数的图象经过点C，则k的值为（    ） A．3 B． C． D． 46．在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 47．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 48．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【考点题型十三 斜边上的中线等于斜边的一半】（） 49．如图，菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为 ． 50．如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ． 51．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 52．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 【考点题型十四 菱形的判定】（） 53．如图，点、分别为的边、上的点，，连接、．请从①；②中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得四边形是菱形．你添加的条件是：______（只填写一个序号），并写出证明过程． 54．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 55．已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 56．已知：如图，在中，点、在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，四边形应满足什么条件？（不需要说明理由） 【考点题型十五 菱形的性质】（） 57．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 58．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 59．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ． 60．如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【考点题型十六 菱形的面积计算】（） 61．如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，．若，则四边形的面积为 ． 62．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 63．已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 64．如图，四边形是平行四边形． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点E，在上截取，连接，求证：四边形为菱形； (2)与相交于O，若，，求四边形的面积． 【考点题型十七 正方形的判定】（） 65．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 66．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 67．如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 68．如图，在中，O是的中点． (1)将点A绕着点O旋转后得到点，连接、，得到四边形，则这个四边形是______形，你判断的理由是______； (2)若要使四边形为菱形，则需满足的条件是______； (3)若要使四边形为正方形，则需满足的条件是______． 【考点题型十八 正方形的性质】（） 69．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 70．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为(    ) A．4 B．3 C．3或4 D．3或6 71．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    72．如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求矩形的周长． 【考点题型十九 正方形折叠问题】（） 73．如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 74．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 75．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为 ． 76．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【考点题型二十 中点四边形】（） 77．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 78．如图，四边形是菱形，顺次连接菱形各边的中点，则说法正确的是（　　）    A．是菱形 B．是正方形 C．是矩形 D．是平行四边形 79．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 80．综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【考点题型二十一 三角形中位线定理】（） 81．三角形的三条中位线长分别为，则原三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 82．如图，在中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（   ） A．保持不变 B．逐渐增大 C．先增大再减小 D．先减小再增大 83．如图，在中，，，点、分别是、的中点，于点，则线段的长为 ． 84．阅读下面材料，完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） …… 任务： (1)上述材料中的依据是指：_______． (2)将材料中的解题过程补充完整． (3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：． 【考点题型二十二 三角形中位线定理的应用】（） 85．如图，要测定被池塘隔开的、两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，，，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 86．如图，在综合与实践活动课上，某兴趣小组要测定被池塘隔开的，两点间的距离，他们在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接．测得，则，两点间的距离为 ． 87．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 88．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长． 【考点题型二十三 中心对称图形】（） 89．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 90．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 91．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为 ． 92．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是， (1)画出关于点C成中心对称的； (2)平移：若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 四边形（7个考点梳理+24种题型解读） 清单01 多边形相关概念 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 多边形的内角和与外角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 清单02 平行四边形的判定与性质 平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 清单03 矩形的判定与性质 矩形的概念与性质 1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 矩形的判定 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2） 对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三各直角的四边形是矩形。 清单04 菱形的判定与性质 菱形的概念与性质 1、概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.性质： 边：菱形的四条边都相等． 对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）． 3. 四条边相等的四边形是菱形（边） 清单05 正方形的判定与性质 正方形的概念与性质 1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 清单06 三角形的中位线的判定与性质 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 清单07 中心对称与中心对称图形 中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 1. 作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 点坐标对称 1.关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 2.关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） 3.关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） 【考点题型一 多边形的相关概念】（） 1．下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解： 选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．根据正多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形， 故选：C． 3．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键． 根据题意作图分析，即可求解． 【详解】解：A、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； B、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； C、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； D、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意； 故选：D ． 4．定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形． 【答案】 首尾顺次 封闭 各内角 【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可． 【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形． 故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角． 【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义． 【考点题型二 多边形截角后的问题】（） 5．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 6．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 7．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 8．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 ． 【答案】5，6，7． 【分析】直接画图，动作操作即可知答案. 【详解】如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7 故填5，6，7． 【点睛】本题考查多边形性质，解题关键在于能够画出图形. 【考点题型三 多边形的对角线问题】（） 9．若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质．正多边形的每个外角都相等．n边形的对角线条数为条，据此根据多边形外角和定理求出边数即可得到答案． 【详解】 解：每个外角都是， 这个多边形的边数为：， 这个正多边形的对角线是条． 故选：B． 10．过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 11．一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出的条数是 条． 【答案】9 【分析】本题考查了多边形的内角与外角性质，对角线条数的求法，熟知多边形的外角和是是解题的关键．先计算多边形的边数，再求对角线的条数即可． 【详解】解：∵一个多边形每个外角都等于， ∴这个多边形的边数为， ∴从这个十二边形的某个顶点画对角线，最多可以画出条， 故答案为：9． 12．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 【考点题型四 多边形的内角和】（） 13．已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 【答案】4，6 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 14．如图，把沿对折，点B，C分别对应点．若，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，多边形内角和定理，翻折变换的性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键． 根据折叠的性质得：，，再根据三角形的内角和定理，可得，，然后根据四边形内角和得到，即可求解。 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵, ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ 故答案为：35 15．如图，，是正五边形的对角线． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正多边形的内角和，等腰三角形的性质； （1）根据正五边形的每个内角相等，结合五边形的内角和可得答案； （2）利用正多边形的性质与等腰三角形的性质可得，，再利用角的和差可得答案. 【详解】（1）解：∵五边形为正五边形， ∴. （2）解：∵五边形为正五边形， ∴， ∵， ∴，， ∴. 16．已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，多边形的外角和的应用； （1）直接利用多边形的内角和定理求解即可； （2）设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，可得，求解，再结合外角和可得答案． 【详解】（1）解：当时， 多边形的内角和； （2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意，得， 解得， ． 【考点题型五 多边形的外角和】（） 17．五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段AC上，得到图2，则调整后多边形的外角和（   ） A．增加了 B．增加了 C．减少了 D．始终为 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和为，解答即可． 本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和恒为是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的外角和为，得始终为， 故选：D． 18．在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的一个外角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角和问题，根据正多边形的外角和为计算即可得解，熟练掌握正多边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的一个外角的度数为， 故答案为：． 19．如图，是六边形的四个外角，延长交于点H．若，则的大小为 ． 【答案】/44度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，多边形的外角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“多边形的外角和是”等知识点是解题的关键． 先利用多边形的外角和求出的度数，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：多边形的外角和恒为， 即， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 20．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了64米 (2) 【分析】本题主要考查正多边形的内角和及外角，熟练掌握正多边形的概念是解题的关键； （1）根据题意可知这个正多边形的外角为，然后可得该正多边形的边数为，进而问题可求解； （2）由（1）结合多边形的内角和公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这个正多边形的外角为， ∴该正多边形的边数为， ∴； 答：小明一共走了64米． （2）解：由（1）可知： 这个正多边形的内角和为． 【考点题型六 平行四边形的判定】（） 21．一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对比分别平行的四边形是平行四边形成为解题的关键． 先根据四边形的内角和求得第四个角，然后根据平行四边形的判定定理逐项判断即可解答即可． 【详解】解：A. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都为，所以两组对边都平行，该四边形是平行四边形，符合题意；     B. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意； C. ，则第四个角为，所以一组对边平行，该四边形是梯形，不符合题意；     D. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意． 故选A． 22．如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形（如等腰梯形），故选项D符合题意； 故选：D． 23．在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是 ．（写出一种即可，填序号） 【答案】①③（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法两组对角相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形的条件可以是①③， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①③（答案不唯一）． 24．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的周长是12，求平行四边形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，正确运用平行四边形的性质及判定定理是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质可得，,再结合已知利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形即可； （2）根据平行四边形的性质得，由可证明是的垂直平分线，可得，根据的周长是12及平行四边形的对边相等这一性质即可求出平行四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， （2）解：由（1）得，平行四边形， ， ， ， 的周长是12， ， ∴平行四边形的周长. 【考点题型七 平行四边形的性质】（） 25．如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点，连接． （1）的长为 ； （2）线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质可得，，进而根据勾股定理即可求解； （2）取的中点，连接，证明，进而证明在上，根据中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：（1）∵平行四边形， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：． （2）取的中点，连接， ∵，， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵是的中点，是的中点 ∴，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴在上， ∴ 故答案为：． 26．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若的周长为20，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由平行四边形的性质和周长得出，由线段垂直平分线的性质得出，得出△CDE的周长，即可得出结果． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵对角线的垂直平分线分别交、于点E、F， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 27．如图，在平行四边形中，，平分交与点． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，“两直线平行，内错角相等”，等角对等边，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，可得，即可求出的度数，再由角平分线的定义，即可解答； （2）根据平行四边形的性质，可得，再由平分，，可求出，即可解答． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ （2）在平行四边形中， ，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．如图，在中，，，平分交于点． (1)求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形周长公式计算即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，得出，由平分得到，继而得到，求出． 【详解】（1）解：在中，，， 的周长． （2）解：在中，，， 平分， ， ， ． 【考点题型八 平行四边形的判定与性质应用】（） 29．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作平行四边形，使点、均在格点上． (1)在图①中，点是平行四边形对称中心； (2)在图②中，点在平行四边形的边上且不与顶点重合； (3)在图③中，点在平行四边形的内部且不是对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的性质； （1）根据平行四边形的性质画图即可； （2）根据平行四边形的性质画图即可； （3）根据平行四边形的性质画图即可． 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示 （3）如图所示 或 30．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 31．下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一： 证明：如图，连接．     方法二： 证明：如图，延长至点E．    方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．      你选择方法______． 证明： 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：证明：选择方法一： 如图，连接，     四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 在与中， ， ， ， 即平行四边形的对角相等． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行． 32．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上． (1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形． (2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可； （2）根据要求，画出平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积； （2）解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积． 【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 【考点题型九 矩形的判定】（） 33．如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． (1)求证：； (2)若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质，推出，进而得到，再结合已知，利用即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质推出，结合，求出，，进而求出，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∵，共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 34．如图，在中，O是的中点，连接，并延长交的延长线相交于点E，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件______，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)当时（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定， 对于（1），根据平行四边形的性质得，即可得，再根据可得结论； 对于（2），由（1）可知，即可知四边形是平行四边形，再添加一个内角等于或对角线相等，答案不唯一． 【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 当时， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 35．如图，E，F是的对角线上两点，且． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的对边平行且相等得到，，再由平行线的性质和平角的定义证明，最后根据证明得到，进而可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据一组对边平行且相等证四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：添加的条件：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 36．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【考点题型十 矩形的性质】（） 37．已知的两条对角线相交于点O，，则四边形的周长是（    ） A．18 B．20 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的证明、平行四边形的性质、勾股定理，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．由平行四边形的性质得，根据勾股定理，可得即可证明四边形是菱形；即可求出四边形的周长． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形； ∴四边形的周长是， 故选：B． 38．如图，四边形的四边相等，且面积为，对角线，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，解一元一次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交于点，由已知条件“四边形的四边相等”可证得四边形为菱形，于是可得，，，，由已知条件“面积为”可得，解方程即可求出的长，进而可求出，的长，在中，根据勾股定理可得，据此可求出的长，然后根据“四边形的周长”即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点， 四边形的四边相等， 四边形为菱形， ，，，， ， 解得：， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， 四边形的周长， 故选：． 39．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形． 根据等宽可得四边形是平行四边形，结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 可设两张等宽的纸条的宽为h，则， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 故答案为： 40．如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证得四边形是平行四边形，再证得四边形是矩形，得，即可证得平行四边形是菱形； （2）先证得是等边三角形，得，利用勾股定理求得，结合矩形的性质可得、，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：由（1）得：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由（1）可得：四边形是矩形， ，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 【考点题型十一 矩形与折叠问题】（） 41．如图，在矩形中，是边上的一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，根据矩形的性质可得，根据，可得，进而根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵将沿所在直线折叠， ∴， 故选：A． 42．如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由矩形的性质得到，由折叠得，，由得到，推出，根据勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 故答案为：A． 43．如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形判定及性质等．根据题意证明，再设，则，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵矩形，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则 ∴，解得：， 故答案为：． 44．综合运用． 如图，在平面直角坐标系中，放入一个矩形纸片，将纸片翻折后，点恰好落在轴上，记为，折痕为．直线的关系式是，与轴相交于点，且． (1)求的长度； (2)求点的坐标； (3)求矩形的面积 【答案】(1) (2)点 (3)矩形的面积为． 【分析】本题考查矩形与一次函数的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理的应用，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据一次函数的性质，求出点的坐标，即可； （2）根据矩形的性质，可得，，，根据折叠的性质，得到，，根据勾股定理求出，设，再根据勾股定理得，解出，即可得到点的坐标； （3）根据，，矩形的面积公式，即可． 【详解】（1）解：∵直线的关系式是 ∴当时， ∴点 ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点． （3）解：∵，， ∴矩形的面积为：． 【考点题型十二 求矩形在坐标系中的坐标】（） 45．如图，在矩形中，．若正比例函数的图象经过点C，则k的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质求出点的坐标，再利将其代入正比例函数的解析式即可得． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 将点代入正比例函数得：， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正比例函数，正确求出点的坐标是解题关键． 46．在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积． 【详解】在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示， ， 根据矩形的性质得到点的位置， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置． 47．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 48．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 【考点题型十三 斜边上的中线等于斜边的一半】（） 49．如图，菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由菱形的性质可得，，再运用勾股定理可得长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 50．如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握以上知识是关键． 根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8． 51．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，解题关键在于掌握性质． （1）连接，根据直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定即可证明结论； （2）根据题意可得，，利用勾股定理即可求得的值，利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接， 是边上的中线，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ，， 在直角中， ， ． 52．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 【考点题型十四 菱形的判定】（） 53．如图，点、分别为的边、上的点，，连接、．请从①；②中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得四边形是菱形．你添加的条件是：______（只填写一个序号），并写出证明过程． 【答案】选择①或②，证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，选择①，根据平行四边形的性质先证明，再利用证明，得到，即可证明平行四边形是菱形；选择②，先证明，再利用证明，得到，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】解：选择①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 选择②，证明如下： 同理可证明， 又∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 54．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，可使平行四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一）． 55．已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】(1)③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，选择条件：③； （2）证，可得一组邻边相等，可证是菱形． 【详解】（1）解：选择的条件是③：， 故答案为：③； （2）证明：， ， ∵四边形为平行四边形； 为菱形． 56．已知：如图，在中，点、在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，四边形应满足什么条件？（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定．注意掌握数形结合思想的应用． （1）由平行四边形的性质得出，，由证得，继而证得结论； （2）由菱形的判定定理容易得出结论． 【详解】（1）证明：连接交于，如图所示： 四边形是平行四边形， ∴，．，， ． 在和中，， ． ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时，四边形应满足；理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【考点题型十五 菱形的性质】（） 57．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了本题主要考查了菱形的判定、尺规作图、菱形的性质．根据尺规作图可知，根据四条边都相等的四边形是菱形可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得． 【详解】解：由作图可知， 四边形是菱形， ． 故选：A ． 58．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 59．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 60．如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是利用这些性质和判定解决问题． （1）由题意可得四边形是平行四边形，由平分，可得，则结论可得 （2）连接交于点；则于点．由题意可得，，，可得的长即可求的长． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，即 ， ， ∴四边形为平行四边形， 平分， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点，    ∵四边形为菱形， ∴，， ，， ， ∵菱形的周长为， ， 在中， ， 由勾股定理可得：， ． 【考点题型十六 菱形的面积计算】（） 61．如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，．若，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了作图基本作图及中垂线的性质．由作图可知是线段的中垂线，四边形是菱形，利用求解即可． 【详解】解：如图， 由作图可知是线段的垂直平分线， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 故答案为：24． 62．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，，， ∴， 由菱形和矩形的中心对称性可知：， 又∵， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 63．已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． (1)用圆规和无刻度的直尺作出折痕； (2)分别连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求． （2）设交于点O，得，，结合矩形的性质、菱形的判定可得四边形为菱形，则， ，则，可得四边形的面积为． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求： （2）解：设交于点O， 由（1）可得，，． ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴ ∴ ∴， ∴四边形AFCE的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换（折叠问题），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 64．如图，四边形是平行四边形． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点E，在上截取，连接，求证：四边形为菱形； (2)与相交于O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；再结合等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质证明即可； （2）根据四边形为菱形， 可得，，，再在中，可得，问题随之得解． 【详解】（1）作图如下： 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∵根据作图可知：， ∴， ∴四边形为菱形； （2）∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的尺规作图等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 【考点题型十七 正方形的判定】（） 65．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项． 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意； 故选D． 66．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键．一组邻边相等时矩形为正方形．对角线垂直的矩形是正方形． 根据四边形中，，得出四边形是矩形，进而利用正方形的判定定理得出需要添加的条件．一组邻边相等时矩形为正方形． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 当一组邻边相等时，矩形为正方形，这个条件可以是：． 故选：A． 67．如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 68．如图，在中，O是的中点． (1)将点A绕着点O旋转后得到点，连接、，得到四边形，则这个四边形是______形，你判断的理由是______； (2)若要使四边形为菱形，则需满足的条件是______； (3)若要使四边形为正方形，则需满足的条件是______． 【答案】(1)平行四边；对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2) (3)且 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形、菱形、正方形的判断． （1）旋转中心为点O，旋转角为，根据旋转的性质可知，，已知，根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形； （2）根据两邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件； （3）根据有一个角为直角的菱形为正方形，在（2）的条件基础上增加． 【详解】（1）解：如图， 由旋转的性质及，可知这个四边形是平行四边形， 判断的理由是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）解：应满足条件：； 故答案为：； （3）解：应满足条件：且； 故答案为：且． 【考点题型十八 正方形的性质】（） 69．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点H，证明四边形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，进而可求得正方形的边长，再根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的判定及性质，正确作出辅助线利用勾股定理是解题的关键． 70．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为(    ) A．4 B．3 C．3或4 D．3或6 【答案】D 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x； ②当点B′落在AD边上时，如图所示，此时四边形ABEB′为正方形． 【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC， 在Rt△ABC中，AB=6，BC=8， ∴AC==10， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线， 即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=6， ∴CB′=10-6=4， 设BE=x，则EB′=x，CE=8-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴BE=3； ②当点B′落在AD边上时，如图所示， 此时四边形ABEB′为正方形， ∴BE=AB=6， 综上所述，BE的长为3或6， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 71．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    【答案】 【分析】判定四边形是正方形，即可得到，再根据，即可利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示，连接，    由折叠可得，， 又， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ， 又， ， 由折叠可得，， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 72．如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)8 【分析】此题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定， （1）首先根据题意证明出四边形是矩形，然后由得到四边形是正方形； （2）根据矩形和正方形的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴矩形的周长． 【考点题型十九 正方形折叠问题】（） 73．如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证明，进而得到，由是的三等分点可得或，则可求出的长，在中有勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， 由正方形和折叠的性质可得，且， ， ， ， 当点G是靠近点B的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 当点G是靠近点C的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 74．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质．由翻折的性质得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，可得，结合计算出，从而可得． 【详解】解：由翻折的性质可知：，垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 75．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键．根据翻折的性质可知和全等，则，连接，可证，则， ，在中，设，根据勾股定理列出方程，可求出的值，从而求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知和全等，， 连接，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理列出方程，， 即, 解得：， ∴，． 故答案为：8． 76．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等．借助进而通过中位线的判定可以快速证明结论． （1）根据题意易得和，然后由即可证明结论； （2）由（1）的结论，得，,由，得，进而可得，得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 【考点题型二十 中点四边形】（） 77．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．作出图形，菱形中，E、F、G、H分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【详解】解：如图：菱形中，E、F、G、H分别是的中点， ，，，， 故四边形是平行四边形， 又， ，， ∴四边形是矩形． 故选：B． 78．如图，四边形是菱形，顺次连接菱形各边的中点，则说法正确的是（　　）    A．是菱形 B．是正方形 C．是矩形 D．是平行四边形 【答案】C 【分析】依据题干进行推理，分别对菱形、正方形、矩形、平行四边形的逐一进行判断，看是否符合题意即可． 【详解】如图，连接菱形的对角线AC、BD．    由菱形的性质可知，． ∵分别是菱形各边的中点， ∴由三角形中位线定理可得：． ∴． 所以四边形是平行四边形． 由得， ， 故四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 因此，C正确． 对于选项A，假如是菱形或者正方形，则可推得，而菱形的对角线不一定相等，与题干矛盾，A、B错误； 对于选项D，是平行四边形的充分条件并不需要是菱形，只要是普通四边形就足够了，故D说法不够精确，D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、顺次连接菱形各边的中点所构成的四边形具有什么特点，解题的关键是深刻理解各种特殊四边形的特征． 79．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 80．综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 【考点题型二十一 三角形中位线定理】（） 81．三角形的三条中位线长分别为，则原三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边长的一半，据此可求出原三角形的三边长，再根据三角形周长计算公式即可求出答案． 【详解】解；∵三角形的三条中位线长分别为， ∴这个三角形的三边长分别为， ∴这个三角形的周长为， 故选：C． 82．如图，在中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（   ） A．保持不变 B．逐渐增大 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】D 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的性质，解题关键是掌握中位线定理． 先根据中位线定理得出，再由此判断． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵的值先减小再增加， ∴的值先减小再增加． 故选：D． 83．如图，在中，，，点、分别是、的中点，于点，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 利用三角形中位线定理得出，利用直角三角形斜边中线定理得出，即可得出结果． 【详解】点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点，， 则， ， 故答案为：． 84．阅读下面材料，完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） …… 任务： (1)上述材料中的依据是指：_______． (2)将材料中的解题过程补充完整． (3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：． 【答案】(1)三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理） (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理及逆定理等知识；熟练运用相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）根据三角形的中位线定理即可解答； （2）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，进而可得．再由勾股定理即可得． （3）连接，取的中点H，连接，．根据三角形中位线定理得，，，．进而可得，．用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且．即可得结论． 【详解】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理） （2）解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，． ． ． 在中，由勾股定理，得． （3）证明：如图，连接，取的中点H，连接，． 点E，F分别是，的中点， ，，，． ，． ，，， 是直角三角形，且． ． ． 【考点题型二十二 三角形中位线定理的应用】（） 85．如图，要测定被池塘隔开的、两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，，，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质．根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是三角形的中位线， ∴． 故选：B． 86．如图，在综合与实践活动课上，某兴趣小组要测定被池塘隔开的，两点间的距离，他们在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接．测得，则，两点间的距离为 ． 【答案】56 【分析】本题主要考查了三角形中位线的应用．根据三角形中位线定理得到，求出结果即可． 【详解】解：∵点，分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 即A、B两点间的距离为． 故答案为：56． 87．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法． （1）根据中位线性质即可得到； （2）用无刻度直尺作垂线即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 依题得：点是中点， 取中点，连接， 此时是中位线， ， ． （2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求． 此时， 即， 又中，， ． 88．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是4 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，由，，得，即可证明，得，，则，所以四边形是平行四边形． （2）设交于点L，连接，根据三角形的中位线定理可证明，则，所以四边形是矩形，则，而，则，进而可得，则可解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∵E、F分别为，的中点， ，， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形． （2）如图②，设交于点L，连接， ，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ∴的长是4．    【点睛】本题考查平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． 【考点题型二十三 中心对称图形】（） 89．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 90．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 91．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得、的值，进而可得答案．解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 92．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是， (1)画出关于点C成中心对称的； (2)平移：若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查中心对称图形及图形的平移，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据中心对称图形的作法作图即可； （2）根据题意确定平移方式为：向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度，然后作图即可； （3）连接交点为D，即为对称中心，读出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）根据题意得：，平移后的点的坐标为， ∴平移方式为：向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度， 如图所示：即为所求； （3）如图所示，连接交点为D，即为对称中心， 由图得：， 故答案为： ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$