第二十一章一元二次方程基础诊断试卷（A卷）（解析版+原卷版）-2025-2026学年九年级数学上（人教版）【专题+重点题型 】典例剖析及举一反三训练

第二十一章一元二次方程基础诊断试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2022秋•武侯区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2﹣2y+4＝0 D．x2+3 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 选项B，方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意． 选项C，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意； 选项D，方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程． 2．（2024春•烟台期末）一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣1＝﹣4 B．x﹣1＝4 C．x+1＝﹣4 D．x+1＝4 【分析】根据直接开平方法可以解答本题． 【详解】解：∵（x+1）2＝16， ∴x+1＝±4， ∴x+1＝4或x+1＝﹣4， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 3．（2024秋•安次区月考）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【分析】利用根与系数的关系，即可求出x1•x2的值． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根， ∴x1•x2． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 4．（2022秋•南海区月考）下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2x﹣4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．（x﹣2）（x+1）＝0 【分析】求出各选项中方程的根的判别式Δ的值，取Δ＜0的选项，即可得出结论． 【详解】解：A．∵a＝1，b＝0，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0， ∴方程x2﹣1＝0有两个不相等的实数根，选项A不符合题意； B．∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴方程x2﹣2x﹣4＝0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意； C．∵a＝1，b＝﹣1，c＝2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣x+2＝0没有实数根，选项C符合题意； D．把原方程转化为一般形式为x2﹣x﹣2＝0， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0， ∴方程（x﹣2）（x+1）＝0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 5．【易错题】（2024春•东平县期末）已知方程（x﹣2）（3x+1）＝0，则x﹣2的值为（　　） A． B．0 C．﹣2 D．或0 【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入x﹣2中，即可求出值． 【详解】解：（x﹣2）（3x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或3x+1＝0， 解得：， 当x＝2时，x﹣2＝0； 当时，． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 6．（2023秋•惠来县期末）两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x，则根据题意列出的方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝323 B．x（x+2）＝323 C．x（x﹣2）＝323 D．（2x+1）（2x﹣1）＝323 【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案． 【详解】解：依题意得：较大的数为x+2， 则有：x（x+2）＝323． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键． 7．（2024春•阜南县期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【详解】解：∵x2﹣4x﹣5＝0， ∴x2﹣4x＝5， 则x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3， 解得x1＝5，x2＝﹣1， 所以错误的是小赵， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 8．（2024•河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．1 C．1 D．1或1 【分析】根据题意得关于a的一元二次方程a2﹣2a＝1，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，a2﹣2a＝1， 解得a＝1±， ∵a＞0， ∴a1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 10．【新情境】（2024秋•昭通月考）某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，则依据题意可列方程（　　） A．137（1﹣x）2＝368 B．137（1+x）2＝368 C．180（1﹣x）2＝461 D．180（1+x）2＝461 【分析】设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，根据题意得： 180（1+x）2＝461． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．能够根据题意列出方程是解题的关键． 10．【新考法】（2021春•越城区期中）伊斯兰数学家塔比•伊本•库拉（Thabit ibn Qurra，830﹣890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解决关于x的方程x2+mx＝n，其中ABFE为长方形，ABCD为正方形，且DE＝m，BF×CD＝n，则方程x2+mx＝n的其中一个正根为（　　） A．DE的长 B．AB的长 C．AE的长 D．BE的长 【分析】设正方形ABCD的边长为x，则AB＝CD＝BC＝x，根据BF＝BC+CF＝BC+DE＝x+m，可得BF×CD＝（x+m）×x＝n，所以x2+mx＝n，进而可得AB是方程x2+mx＝n的其中一个正根． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为x， 则AB＝CD＝BC＝x， ∵BF＝BC+CF＝BC+DE＝x+m， ∴BF×CD＝（x+m）×x＝n， ∴x2+mx＝n， 则方程x2+mx＝n的其中一个正根为AB． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•梁溪区期中）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得出关于m的等式及不等式，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， m2+1＝2，且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． 12．【开放性问题】（2024•南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　k＝﹣1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k＞0，解之即可得出k值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故答案为：k＝﹣1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 13．（2024秋•浑南区期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2024﹣a﹣b的值是 　2025　 ． 【分析】把x＝1代入方程可得a+b＝﹣1，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由条件可知：a+b+1＝0， ∴a+b＝﹣1， ∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣（﹣1）＝2025， 故答案为：2025． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 14．（2024秋•夷陵区月考）已知k、b是方程（2x+1）（3x﹣1）＝0的两个实根，且k＜b，则函数y＝kx+b的图象不经过 　三　 象限． 【分析】利用因式分解法求出k、b，再根据k、b判断一次函数经过的象限，即可解题． 【详解】解：∵（2x+1）（3x﹣1）＝0， ∴2x+1＝0或3x﹣1＝0， 解得，， ∵k、b是方程（2x+1）（3x﹣1）＝0的两个实根，且k＜b， ∴，， 即函数y＝kx+b为， ∵，， ∴函数图象必过一、二、四象限， ∴函数图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题考查解一元二次方程，以及一次函数的性质，求出，是解答本题的关键． 15．【跨学科问题】（2024•浙江模拟）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为 　10　 ． 【分析】根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式变形为，，然后得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图， 由第一个图可得m•OA＝20×OB，则， 由第二个图可得5OA＝m•OB，则， ∴， 解得：m＝10，负值舍去， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，准确列出等式列出关于m的方程，是解题的关键． 16．（2023秋•永年区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　 （填序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合， ③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴x1，x2＝﹣q， ∴x2＝﹣q2x1， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1，x2， 若x1＝2x2，则，2， 即，2＝0， ∴0， ∴0， ∴3b ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac． 若2x1＝x2时，则，2， 即，则，20， ∴0， ∴﹣b+30， ∴b＝3， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac． 故④正确， 故答案为：②③④ 【点睛】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）（2024•宝安区开学）解下列方程． （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）． 【分析】（1）用因式分解的方法，把一元二次方程化为一元依次方程，可解得答案； （2）用因式分解的方法，把一元二次方程化为一元依次方程，可解得答案． 【详解】解：（1）由x2﹣2x﹣8＝0得（x﹣4）（x+2）＝0， ∴x﹣4＝0或x+2＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣2； （2）由（x+4）2＝5（x+4）得：（x+4）（x+4﹣5）＝0， ∴x+4＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握用因式分解的方法，把一元二次方程化为一元一次方程． 18．（10分）（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 【分析】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； （2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键． 19．（10分）【传统文化】（2020•秦淮区一模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值． 【分析】隔水的宽度为xcm，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得（1000﹣4x﹣200）（40﹣2x）＝15200． 解这个方程，得：x1＝210（不合题意，舍去），x2＝10． 所以x的值为10． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出画心的长和宽，难度不大． 20．（12分）（2024秋•中山市期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）若方程的一个根是x＝﹣1，求m的值； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边，两直角边的长a，b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4＝0的两根，求m的值． 【分析】（1）把x＝﹣1代入一元二次方程得1+m+2m﹣4＝0，然后解一次方程即可； （2）先根据根与系数的关系得到a+b＝m，ab＝2m﹣4，再利用勾股定理得到a2+b2＝（2）2，根据完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab＝8，所以m2﹣2（2m﹣4）＝8，然后解关于m的一元二次方程可得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）把x＝﹣1代入方程x2﹣mx+2m﹣4＝0得1+m+2m﹣4＝0， 解得m＝1， 即m的值为1； （2）∵两直角边的长a，b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4＝0的两根， ∴a+b＝m，ab＝2m﹣4， ∵∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2＝（2）2， ∴（a+b）2﹣2ab＝8， ∴m2﹣2（2m﹣4）＝8， 整理得m2﹣4m＝0， 解得m1＝0（舍去），m2＝4， ∴m的值为4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系和勾股定理． 21．（12分）（2025•建昌县二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 90 80 70 … 日销售量y/件 … 10 20 30 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可． 【详解】解：（1）设y＝kx+b， 由题意，把（90，10），（80，20），代入列式得： ， 解得， ∴y＝﹣x+100， 即y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+100； （2）该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下： 由题意列方程得：（x﹣40）（﹣x+100）＝1000， 整理，得：x2﹣140x+5000＝0， ∵Δ＝（﹣140）2﹣4×5000＝﹣400＜0， ∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 22．（14分）【探究性问题】（2024秋•城中区月考）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0，可以通过因式分解把它转化为：x（x2+2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2+2x﹣3＝0，可得方程x3+2x2﹣3x＝0的解为x1＝0，x2＝﹣3，x3＝1． （1）解方程2x3+10x2﹣12x＝0； （2）拓展：解方程组． 【分析】（1）根据题中所给因式分解法进行计算即可． （2）将二元方程转化为一元，再将所得二次方程转化为一次进行求解即可． 【详解】解：（1）2x3+10x2﹣12x＝0， 2x（x2+5x﹣6）＝0， 2x（x﹣1）（x+6）＝0， 所以x1＝0，x2＝1，x3＝﹣6． （2）由②得， x＝y+3③， 将③代入①得， （y+3）2+y2＝17， 整理得，y2+3y﹣4＝0， 解得y1＝1，y2＝﹣4． 当y＝1时，x＝1+3＝4， 当y＝﹣4时，x＝﹣4+3＝﹣1， 所以原方程组的解为或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、解三元一次方程组及一元二次方程的解，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章一元二次方程基础诊断试卷（A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2022秋•武侯区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2﹣2y+4＝0 D．x2+3 2．（2024春•烟台期末）一元二次方程（x+1）2＝16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣1＝﹣4 B．x﹣1＝4 C．x+1＝﹣4 D．x+1＝4 3．（2024秋•安次区月考）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A．﹣2 B． C． D．2 4．（2022秋•南海区月考）下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2x﹣4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．（x﹣2）（x+1）＝0 5．【易错题】（2024春•东平县期末）已知方程（x﹣2）（3x+1）＝0，则x﹣2的值为（　　） A． B．0 C．﹣2 D．或0 6．（2023秋•惠来县期末）两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x，则根据题意列出的方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝323 B．x（x+2）＝323 C．x（x﹣2）＝323 D．（2x+1）（2x﹣1）＝323 7．（2024春•阜南县期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 8．（2024•河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．1 C．1 D．1或1 10．【新情境】（2024秋•昭通月考）某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，则依据题意可列方程（　　） A．137（1﹣x）2＝368 B．137（1+x）2＝368 C．180（1﹣x）2＝461 D．180（1+x）2＝461 10．【新考法】（2021春•越城区期中）伊斯兰数学家塔比•伊本•库拉（Thabit ibn Qurra，830﹣890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解决关于x的方程x2+mx＝n，其中ABFE为长方形，ABCD为正方形，且DE＝m，BF×CD＝n，则方程x2+mx＝n的其中一个正根为（　　） A．DE的长 B．AB的长 C．AE的长 D．BE的长 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•梁溪区期中）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 12．【开放性问题】（2024•南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　 　 ． 13．（2024秋•浑南区期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2024﹣a﹣b的值是 　 　 ． 14．（2024秋•夷陵区月考）已知k、b是方程（2x+1）（3x﹣1）＝0的两个实根，且k＜b，则函数y＝kx+b的图象不经过 　 象限． 15．【跨学科问题】（2024•浙江模拟）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为 　 　 ． 16．（2023秋•永年区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 （填序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）（2024•宝安区开学）解下列方程． （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）． 18．（10分）（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 19．（10分）【传统文化】（2020•秦淮区一模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值． 20．（12分）（2024秋•中山市期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）若方程的一个根是x＝﹣1，求m的值； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边，两直角边的长a，b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4＝0的两根，求m的值． 21．（12分）（2025•建昌县二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 90 80 70 … 日销售量y/件 … 10 20 30 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 22．（14分）【探究性问题】（2024秋•城中区月考）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0，可以通过因式分解把它转化为：x（x2+2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2+2x﹣3＝0，可得方程x3+2x2﹣3x＝0的解为x1＝0，x2＝﹣3，x3＝1． （1）解方程2x3+10x2﹣12x＝0； （2）拓展：解方程组． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$