精品解析：2025年宁夏回族自治区银川市灵武市中考二模数学试题

2025年中考第二次模拟考试 数学试卷 本卷120分，时间120分钟 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 下列各数中，最小数是（ ） A B. C. 1 D. 0 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐玩具之一．如图，这是一个木制的陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 4. 如图，在中考体育模拟测试中，某中学10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 极差是10 B. 众数是90分 C. 平均数是90分 D. 中位数是92.5分 5. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有A，B，C三个地点，且，从A地测得B地的方位角是北偏东，那么从C地测B地的方位角是（　　） A. 北偏西 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 南偏东 7. 如图，在中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为（ 　） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的序号是（　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 二、填空题(每小题3分，共24分) 9. －6的相反数是____________． 10. 已知，则___________． 11. 某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 射中9环以上次数 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是____．（精确到） 12. 计算：________． 13. 《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转，则重物“甲”上升了_____（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）． 14. 将边长相等的正八边形和正方形按如图位置摆放，为正八边形和正方形的一条公共边，点A、E分别为正八边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为 _________． 15. 已知：，，，根据此规律______． 16. 如图，双曲线与正方形ABCD的边BC交于点E，与边CD交于点F，且，，，则___________． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23，24题每小题8分，25，26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组时，两位同学解法如下： 解法一：由，得；解法二：由②得 ③；把①代入③得． （1）上述两种解法的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 ； A．转化 B．分类讨论 C．演绎 D．数形结合 （2）上述两种解法是否正确？你的判定是 ；请直接写出此方程组的解 ； A．都正确 B．解法一错 C．解法二错 D．两种都错 （3）若，求k的取值范围． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： （1）在图中的上取点，使与面积相等； （2）在图中取格点，使得（不与重合）； （3）在图中作的高． 20. 如图，已知，点A，B分别在，上，用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形． （1）保留作图痕迹，并根据作图痕迹说明四边形是菱形的理由； （2）若菱形的周长为，，求该菱形的高． 21. 如图点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500． （1）直接写出y与x之间的函数表达式______； （2）若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间与速度之间的关系，则： ①老李家距离单位_____m； ②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到？ 22. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 23. 随着快递行业在农村深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 平均数（单位：分） 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 m 8 7 （1）补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________； （2）表格中的______，______（填“>”“=”或“<”）； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？ （4）从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 24. 如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． （1）写出图中一个与相等的角：______； （2）求证：； （3）若，，求的长． 25. 在平行四边形中，，，，点是上一点．，从点E出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，到停止．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接．设点的运动时间为秒． （1）用表示线段的长度； （2）连接，求的值； （3）当点在平行四边形的对角线上时，求的值． 26. 综合与探究 【定义】对于关于函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作． 【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）直接写出反比例函数的的值为______； （2）已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象； ③求该函数的的值． （3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学试卷 本卷120分，时间120分钟 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】正数大于一切负数；0大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：，，， ， 最小的数是． 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键． 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐玩具之一．如图，这是一个木制的陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看到的图形是 故选：D． 3. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可列不等式组，求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确列出关于不等式组是解题关键． 4. 如图，在中考体育模拟测试中，某中学10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 极差是10 B. 众数是90分 C. 平均数是90分 D. 中位数是92.5分 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差是解题的关键．根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案． 【详解】解：A、∵， ∴极差是，故不符合题意； B、∵90出现了5次，出现的次数最多， ∴众数是90，故符合题意； C、平均数是，故不符合题意； D、∵共有10个数， ∴中位数是第5、6个数的平均数， ∴中位数是，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，利用网格特定求得，进而利用数轴上点的距离公式求解即可． 【详解】解：如图，设直角顶点C与数轴上表示的点重合， 由题意，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C． 6. 如图，有A，B，C三个地点，且，从A地测得B地的方位角是北偏东，那么从C地测B地的方位角是（　　） A. 北偏西 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 南偏东 【答案】D 【解析】 【分析】如图，建立方位图，根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出，即为从C地测B地的方位角. 【详解】解：如图，由题意可得，， ∴， ∵， ∴， 即从C地测B地的方位角是南偏东； 故选：D. 【点睛】本题考查了方位角、平行线的性质和直角三角形的性质，属于基础题目，正确理解题意、求出的度数是解题的关键. 7. 如图，在中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，再由圆周角定理即可求得解． 【详解】如图，连接， 在中，，则， ∵， ∴， 由圆周角定理得到：． 故选：A． 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的序号是（　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据抛物线与y轴的交点的位置可判断①，根据抛物线的对称轴可判断②，根据当时的函数值可判断③；根据抛物线在的位置可判断④． 【详解】解：∵由图象可知，抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故②正确； ∵由图象可得，当时，， ∴，故③正确； ∵由图象可得，当时，抛物线部分在x轴上方，部分在x轴下方， ∴当时，的结论错误，即④错误． 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C 二、填空题(每小题3分，共24分) 9. －6的相反数是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号． 【详解】解：根据相反数的概念，得 -6的相反数是-（-6）=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相关的定义． 10. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键．由比例的基本性质得：，把代入代数式代入即可求得值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 射中9环以上次数 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是____．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，先计算射中九环以上的频率，根据大量的试验结果稳定在左右即可得出结论． 【详解】解： 射击次数 射中9环以上次数 射中九环以上的频率 ∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， ∴估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是． 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】x 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先运算分式的乘法，再运算分式的加法，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：x 13. 《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转，则重物“甲”上升了_____（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式即可直接得出答案． 【详解】解：绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动， 重物“甲”上升了：（）， 故答案为：． 14. 将边长相等的正八边形和正方形按如图位置摆放，为正八边形和正方形的一条公共边，点A、E分别为正八边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角与外角，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据角的和差求出的度数，再根据等腰三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵正八边形的每个内角的度数为， 正方形的每个内角的度数为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 已知：，，，根据此规律______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的化简，根据已知的式子得到规律是解题的关键．根据前边的三个式子可以得到，所得结果的整数部分是1，后边的部分的分子为1，分母是两个相邻的整数的乘积，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得． 故答案为：． 16. 如图，双曲线与正方形ABCD的边BC交于点E，与边CD交于点F，且，，，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据可设，，进而得出C、E的坐标，根据E点坐标得出表示出k的值，再根据C点坐标求得F点纵坐标，代入反比例表达式求出横坐标，进而求得CF的长． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∵点E在上， ∴， ∴双曲线表达式为：， 由点C坐标得出F点的纵坐标为， ∵点F也在上，将纵坐标代入求得， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，它们的横纵坐标的积等于k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23，24题每小题8分，25，26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数计算，根据绝对值，有理数的乘方，求一个数的立方根进行计算即可求解． 【详解】解： 18. 解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由，得；解法二：由②得 ③；把①代入③得． （1）上述两种解法的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 ； A．转化 B．分类讨论 C．演绎 D．数形结合 （2）上述两种解法是否正确？你的判定是 ；请直接写出此方程组的解 ； A．都正确 B．解法一错 C．解法二错 D．两种都错 （3）若，求k的取值范围． 【答案】（1）A （2）B； （3） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握消元思想是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的转化思想即可解答； （2）根据解二元一次方程组的解题步骤作出判断即可； （3）将（2）中求出的方程组的解代入不等式，求关于k的不等式即可解答． 【小问1详解】 解：此过程中体现的数学思想是转化思想． 故选：A 【小问2详解】 解：解法一：由，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 解法二：由②得 ③； 把①代入③得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 综上所述，上述两种解法中解法一错． 故答案为：B； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∵， ∴， 解得． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： （1）在图中的上取点，使与面积相等； （2）在图中取格点，使得（不与重合）； （3）在图中作的高． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（）取格点，连接，由三角形中线的性质可得与面积相等，故点即为所求； （）取格点，连接，由勾股定理可得，，进而由可证，故点即为所求； （）取格点，连接并延长与相交，交点即为点，可根据证明，再根据全等三角形的对应角相等结合 网格特征即可得到； 本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，线段即为所求． 20. 如图，已知，点A，B分别在，上，用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形． （1）保留作图痕迹，并根据作图痕迹说明四边形是菱形的理由； （2）若菱形的周长为，，求该菱形的高． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形判定和性质，解三角形等． （1）在上取点C，使，在上取点D，使，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）作高，根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图；在上取点C，使，在上取点D，使，则四边形是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵过点作，垂足为， ∵菱形的周长为， ∴， 又∵， ∴， 即菱形的高为． 21. 如图点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500． （1）直接写出y与x之间的函数表达式______； （2）若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间与速度之间的关系，则： ①老李家距离单位_____m； ②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到？ 【答案】（1） （2）①3000；②75 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可求解； （2）①根据路程=速度×时间即可求解；②将y=40代入函数解析式，求出x，再根据反比例函数的性质得出结论． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， ∵点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500． ∴，解得：k=±3000， ∵图象位于第三象限， ∴k＞0， ∴k=3000， ∴y与x之间的函数表达式为； 故答案为： 【小问2详解】 解：①根据题意得：， ∴xy=3000， ∴老李家距离单位3000m； 故答案为：3000 ②∵， ∴当y=60-15-5=40时，， 解得：x=75， ∴老李步行速度至少为多少才能不迟到． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求出y与x之间的函数表达式是解题的关键． 22. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】（1）无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 （2）无人机的速度至少提高到70千米/时 【解析】 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【小问1详解】 解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． 【小问2详解】 设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 23. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 平均数（单位：分） 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 m 8 7 （1）补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________； （2）表格中的______，______（填“>”“=”或“<”）； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？ （4）从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 【答案】（1）见解析， （2）8；< （3）甲 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）列表展示所有6种等可能的结果数，找出选中的两人均是男的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得9分的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示． 扇形统计图中圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：乙公司7分的占比为， 所以平均数为， ， ， ， 故答案为：8，； 【小问3详解】 解：该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由如下： 配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定， 应选择甲公司； 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：列表如下： 男1 男2 女 男1 男1男2 男1女 男2 男2男1 男2女 女 女男1 女男2 ∵一共有6种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有2种等可能的结果， ∴Р（选中的两人都是男生）． 24. 如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． （1）写出图中一个与相等的角：______； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角可得出，即可求解； （2）连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证； （3）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案：（答案不唯一）； 【小问2详解】 证明：连接， ， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 25. 在平行四边形中，，，，点是上一点．，从点E出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，到停止．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接．设点的运动时间为秒． （1）用表示线段的长度； （2）连接，求的值； （3）当点在平行四边形的对角线上时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）分点在线段上和在线段上两种情况，分别列出代数式即可； （）过点作的延长线于点，由平行四边形的性质得，即得，得到，设，，利用勾股定理可得，得到，，进而得到，最后根据正切的定义计算即可求解； （）分时，点落在上和时，点落在上两种情况，分别画出图形，利用旋转的性质和锐角三角函数的定义解答即可求解． 【小问1详解】 解：当点在线段上时，即时，； 当点在线段上时，即时，； 综上，； 【小问2详解】 解：如图，过点作的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在，∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴在中，； 【小问3详解】 解： 当时，点落在上，如图， 由旋转得，，， ∵， ∴， 解得； 当时，点落在上，如图，过点分别作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 解得； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了列代数式，平行四边形性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 综合与探究 【定义】对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作． 【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）直接写出反比例函数的的值为______； （2）已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象； ③求该函数的的值． （3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 【答案】（1）4 （2）①；②见解析；③16 （3）或3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的增减性，画二次函数图象，待定系数法求解析式，正确理解新定义是解题的关键． （1）先判断出反比例函数的增减性，再分别求出自变量为1和3时的函数值，从而得到当时，，据此根据极差值的定义求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②根据①所求利用描点法画函数图象即可；③根据解析式判断出函数的增减性，进而求出当时函数值的取值范围即可得到答案； （3）先判断出的增减性，进而求出的最大值和最小值，则可得到的值，再利用待定系数法求出的解析式，根据的等于的求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； ②如图所示函数图象即为所求； ③∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，函数值在时取得最大值，最大值为， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大， ∴当时，当时，有最小值，最小为，时，有最大值，最大值为 ∴函数的极差值为：； ∵函数的图象经过点， ∴， 解得，， 当时，， ∴函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小， ∴当中，当时，有最大值，最大为，时有最小值，最小值为， ∴函数的极差值为， ∵两个函数的相等， ∴， 解得，； 当时，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，当时，随的增大而增大， 当时，函数的最小值为， ∵函数极差值，两个函数的相等， ∴的最大值为， ∴ 当， 解得，，（舍去） ∴， ∴， 解得，， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$