精品解析： 2023年宁夏银川市灵武市中考二模数学试题

2023年中考第二次模拟考试 数 学 试 卷 本卷120分，时间120分钟 一、选择题( 每小题3分，共24分 ) 1. 下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 新型冠状病毒直径约为米到米之间，将用科学记数法表示为的形式，则n为（ ） A. B. ﹣7 C. 7 D. 8 3. 每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ） A 平移 B. 对称 C. 位似 D. 旋转 4. 如图，在中，，点D在边上，，若，则的度数为（　　） A. 125° B. 135° C. 145° D. 155° 5. 如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为化学反应的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由元降为196元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A B. C. D. 7. 函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，是的中点，将绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点旋转至处，则点在旋转过程中形成的、线段、点在旋转过程中形成的与线段所围成的阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题( 每小题3分，共24分 ) 9. 因式分解：______． 10. 已知有理数a在数轴上的位置如图，则a+|a﹣1|=_____． 11. ，则______． 12. 如图，为的直径，，为上两点，，，则的长度为______． 13. 若函数的图像与轴有交点，则的取值范围是_______． 14. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是___________． 15. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将沿直线翻折，得．若，则点B的坐标为_____________． 16. 数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，） 根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米． 三、解答题（每小题6分，共36分） 17. 如图是边长为1的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点的坐标为． （1）画出该平面直角坐标系； （2）画出线段关于轴对称的线段； （3）画出一个以线段为边的四边形，使其是中心对称图形且面积为9． 18. 下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得． 第一步 解得． 第二步 由不等式②，得．  第三步 移项，得．  第四步 合并同类项，得 第五步 解得  第六步 所以，原不等式组的解集是． 第七步 任务一： （1）小明的解答过程中，第三步的依据是_______________________； （2）第______步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 19. 先化简，再求值：，在0，1，2中选择一个适当的x的值代入求值． 20. 某校为丰富同学们的课余生活，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下： 收集整理数据： 七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． 分析数据： 七、八年级抽取学生的初赛成绩统计分析： 年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 七年级 8.5 a 八年级 b 7 应用数据： （1）填空：_______， _______，_______； （2）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人； （3）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 21. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 22. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15000元，学校需要最少购买多少个足球？ 四、解答题（共36分） 23. 如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，当时，求线段的长． 24. 某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图像，线段BD是一次函数：的一段图像，点，沙发腿轴．请你根据图形解决以下问题： （1）请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）； （2）过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别多少？ 25. 如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与重叠部分的面积为S． （1）当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ； （2）当点H在线段上时，求t的值； （3）求S与t的函数关系式． 26. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． （1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_______； （2）如图1，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，过点A作轴于点C，点B在x轴上，连接、，若的面积为4，则k的值为________； （3）①如图2，点是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_________；（结果用含的式子表示） ②如图3，点是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，） （4）如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年中考第二次模拟考试 数 学 试 卷 本卷120分，时间120分钟 一、选择题( 每小题3分，共24分 ) 1. 下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较和绝对值，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 新型冠状病毒的直径约为米到米之间，将用科学记数法表示为的形式，则n为（ ） A. B. ﹣7 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 即n的值为， 故选A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ） A. 平移 B. 对称 C. 位似 D. 旋转 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移、对称、位似、旋转的特点进行判断，即可求解． 【详解】解：选项，平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意； 选项，对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意； 选项，位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意； 选项，旋转特点是不改变大小，故旋转不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形平移、对称、位似、旋转的特点是解题的关键． 4. 如图，在中，，点D在边上，，若，则的度数为（　　） A. 125° B. 135° C. 145° D. 155° 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数，再结合平角等于，即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，利用三角形内角和定理及平行线的性质，求出的度数是解题的关键． 5. 如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为化学反应的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：“冰雪消融”，“食物发霉”，“火柴燃烧”和“灯泡发光”分别用a、b、c、d表示，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“食物发霉”和“火柴燃烧”的结果有2种， 则恰好抽到的生活现象均为化学反应的概率是． 故选：C． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 6. 某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由元降为196元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程． 7. 函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答． 【详解】根据可得：函数的对称轴为：， 当时， 二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴左侧， 一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限； 当时， 二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴右侧， 一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限； 根据上述结果：可知A、C、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等． 8. 如图，在菱形中，，，是的中点，将绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点旋转至处，则点在旋转过程中形成的、线段、点在旋转过程中形成的与线段所围成的阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得AD=AB=4，∠DAB=180°－，AE=，然后根据旋转的性质可得：S△ABE=S△ADF，∠FAE=∠DAB=60°，最后根据S阴影=S扇形DAB＋S△ADF―S△ABE―S扇形FAE即可求出阴影部分的面积. 【详解】解：∵在菱形中，，，是的中点， ∴AD=AB=4，∠DAB=180°－，AE=， ∵绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点旋转至处， ∴S△ABE=S△ADF，∠FAE=∠DAB=60° ∴S阴影=S扇形DAB＋S△ADF―S△ABE―S扇形FAE = S扇形DAB―S扇形FAE = = 故选：C. 【点睛】此题考查的是菱形的性质、旋转的性质和扇形的面积公式，掌握菱形的性质定理、旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键. 二、填空题( 每小题3分，共24分 ) 9. 因式分解：______． 【答案】y（x+2）（x-2） 【解析】 【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可 【详解】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）． 故答案为：y（x﹣2）（x+2）． 【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 10. 已知有理数a在数轴上的位置如图，则a+|a﹣1|=_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由数轴可得a＜0，则a-1＜0，然后再去绝对值，最后计算即可． 【详解】解：由数轴可得a＜0，则a-1＜0 则：a+|a﹣1|=a+[-(a-1)]=a+1-a=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了用数轴比较有理数的大小和去绝对值，掌握去绝对值的方法是解答本题的关键． 11. ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知和比值，用未知量分别表示出和．代入原式中即可得出结果． 【详解】解：根据题意，设，， 则原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，掌握表示出x，y是解题关键． 12. 如图，为的直径，，为上两点，，，则的长度为______． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理得，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 13. 若函数的图像与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当函数是一次函数，即时，与x轴有交点；当函数是二次函数，即时，令，当时，与x轴有交点；综上确定的取值范围． 【详解】解：当时，函数是一次函数，与x轴有交点， 解得：； 当时，令，与x轴有交点，满足， 解得：且； 综上所述，与x轴有交点时，； 故答案为：． 【点睛】本题考查函数图像与x轴有交点时，求参数的取值范围，解题的关键是判断函数类型，一次函数在实数范围内与x轴恒有交点，二次函数与x轴有交点时满足根的判别式． 14. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由主视图、俯视图得到三棱柱的左视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果． 【详解】解：由题意得，左视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形， 其中底面高为一边长为，以棱柱高为另一边长为2， 所以左视图的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响． 15. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将沿直线翻折，得．若，则点B的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系和待定系数法求一次函数解析式等知识，得出，点坐标是解题关键．利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出，的长，进而得出，点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，再求解即可． 【详解】解：连接，过点作轴于点， 将沿直线翻折，得，，， ，，，， 则，故，， 是等边三角形，且， 则，即， 故， ， 则，故，点坐标：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 即直线的解析式为：． 令，得， ， 故答案为：． 16. 数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，） 根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米． 【答案】33792 【解析】 【分析】根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D， 根据题意， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴由垂径定理可知：， ∴以为直径的圆的周长为， 故答案为：33792． 【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法． 三、解答题（每小题6分，共36分） 17. 如图是边长为1的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点的坐标为． （1）画出该平面直角坐标系； （2）画出线段关于轴对称的线段； （3）画出一个以线段为边的四边形，使其是中心对称图形且面积为9． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，轴对称及中心对称的性质-，熟练掌握各性质是解题的关键． （1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置； （2）根据轴对称的性质，即可画出线段； （3）根据中心对称的性质，画出一个以线段为边的四边形，且面积为9． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 如图，即为所求： 【小问3详解】 如图，四边形即为所求． 18. 下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得． 第一步 解得． 第二步 由不等式②，得．  第三步 移项，得．  第四步 合并同类项，得 第五步 解得  第六步 所以，原不等式组的解集是． 第七步 任务一： （1）小明的解答过程中，第三步的依据是_______________________； （2）第______步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 【答案】（1）不等式的基本性质2；（2）六，化系数为1时没有变号；（3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；依据：不等式的基本性质． 任务一： （1）第三步变形的依据是不等式的基本性质2；； （2）根据等式的性质可判断第五步错误 任务二： 通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集． 【详解】解：任务一： （1）第三步变形的依据是不等式的基本性质2； （2）明的解答过程中，第六步开始出现了错误，产生错误的原因是化系数为1时没有变号； 故答案为：（1）不等式的基本性质2；（2）六；化系数为1时没有变号； 任务二： 不等式组正确的解集是． 故答案为：． 19. 先化简，再求值：，在0，1，2中选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定的值，继而代入计算即可得出答案． 【详解】解原式 ， 且， ， 则原式． 20. 某校为丰富同学们的课余生活，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下： 收集整理数据： 七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． 分析数据： 七、八年级抽取学生的初赛成绩统计分析： 年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 七年级 8.5 a 八年级 b 7 应用数据： （1）填空：_______， _______，_______； （2）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人； （3）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）9；8；45 （2）225人 （3）七年级的学生初赛成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数定义，中位数，优秀率的定义求解即可； （2）用900乘以满分的百分比即可求解； （3）根据优秀率进行评价即可． 【小问1详解】 ∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． ∴9分的人数最多，七年级成绩的众数为， ∵八年级一共随机抽取了20名学生的初赛成绩， ∴第10名和11名的成绩都为8 ∴八年级抽取学生的初赛成绩的中位数为； 八年级的优秀率是， ∴； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计八年级进入复赛的学生为225人； 【小问3详解】 解：根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：、． 故七年级的学生初赛成绩更好． 【点睛】本题考查众数、中位数的定义、优秀率的定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合优秀率、众数进行作答． 21. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握两项的判定定理及勾股定理是解题的关键． （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）根据“邻边相等平行四边形是菱形”进行证明． 【小问1详解】 如图：即为所求； 【小问2详解】 平分， ， 的垂直平分线， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 为菱形． 22. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15000元，学校需要最少购买多少个足球？ 【答案】（1）足球的单价是60元，篮球的单价是90元 ； （2）100 【解析】 【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买m足球，则可以购买（200﹣m）个篮球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元， 依题意得： ， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴2x﹣30＝90． 答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元． 【小问2详解】 解：设学校可以购买m个足球，则可以购买（200﹣m）个篮球， 依题意得：60m+90（200﹣m）≤15000， 解得：m≥100， 答：学校最少可以购买100个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 四、解答题（共36分） 23. 如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用三角函数得到，再求出，即可求解 【小问1详解】 证明：连接， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵，设，则， 而，为的直径， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：（负根舍去） ∴，，， ∵， ∴， 解得：．经检验符合题意 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解题的根据． 24. 某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图像，线段BD是一次函数：的一段图像，点，沙发腿轴．请你根据图形解决以下问题： （1）请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）； （2）过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）长方体箱子的长、宽、高至少应该是60、52、80 【解析】 【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，进而求出反比例函数表达式，将B点坐标代入一次函数表达式求出b的值，进而求出一次函数表达式； （2）作轴于M，先根据三角函数求出的值，进而求出高的值，将代入一次函数表达式即可求出长和宽． 【小问1详解】 将B点坐标代入反比例函数表达式： ∴反比例函数表达式为 代入一次函数表达式得：，解得， ∴一次函数表达式为 【小问2详解】 如图，作轴于M， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ ∵ ∴把代入一次函数表达式得 ∴，即长为60 ∴ 根据三视图可得：长方体箱子的长、宽、高至少应该是60、52、80． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用三角函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． 25. 如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与重叠部分的面积为S． （1）当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ； （2）当点H在线段上时，求t的值； （3）求S与t的函数关系式． 【答案】（1）3；9 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，动点问题的函数关系式．恰当分类并正确表示动点运动的线段的长是解题的关键． （1）根据，分别求出当时，时，，的值，再求出的值即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，证明，得出，解关于t的方程即可； （3）当点H在线段上时，可求出，可分两种情况讨论：当时，，只需用t的代数式表示出即可解决问题；当时，，只需用t的代数式分别表示出即可解决问题． 【小问1详解】 解：当时，， ， ∴， 即此时正方形的边长是3； 当时，， ， ∴， 即此时正方形的边长是9； 【小问2详解】 解：当点H在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：当时，如图1所示： ， ∴此时； 当时，如图2所示： ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 综上所述：S与t的函数关系式为： ． 26. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． （1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_______； （2）如图1，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，过点A作轴于点C，点B在x轴上，连接、，若的面积为4，则k的值为________； （3）①如图2，点是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_________；（结果用含的式子表示） ②如图3，点是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，） （4）如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由． 【答案】（1） （2）8 （3）①； （4）连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长即可； （2）如图，连接，由轴，可得，可得，再进一步解答即可； （3）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题； （4）连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题． 【小问1详解】 解：直角三角形的面积为：， 直角三角形斜边为：， 设直角三角形斜边上的高为，则 ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵轴，则轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①边长为的正底边的高为， 面积为： ， ②类比①中方法可知， 设点为正五边形中心，连接，， 由①得， 过作于，， 故，， 故，从而得到： ． 【小问4详解】 解：如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求， 连接，∵， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 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