专题02 一定是直角三角形吗（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题02 一定是直角三角形吗 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点02：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型1 勾股树（数）的判定】 例题：（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ）． A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，13 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15 【题型2 判断三边能否构成直角三角形】 例题：（辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题　）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．5，6，10 D．12，13，14 【变式训练】 1．（24-25八年级下·吉林松原·期中）下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·云南玉溪·期中）在中，，，的对边分别为a，b，c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 3．（24-25八年级下·北京密云·期中）在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型3 在网格中判断直角三角形】 例题：（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是直角三角形 D．的面积是 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．    2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的“”的网格中，线段，的端点都在格点上，两线所夹锐角的度数为 ． 3．（2025·江苏盐城·一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点是网格线的交点，则 ． 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：如图，四边形中，，，，，， (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，且． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求四边形的面积． 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：（24-25八年级下·吉林松原·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． (1)小溪流的长为________千米． (2)求四边形的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 2．（24-25八年级下·天津河北·期中）校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 3．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】 例题：（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 2．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列数组中，是勾股数的是（   ） A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，， 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·一模）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·新疆和田·阶段练习）如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为 ． 7．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）欲检验画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 填“合格”或“不合格”． 9．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是 ． 10．（2025·陕西渭南·二模）《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 三、解答题 11．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明． 12．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，点在边上，且，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 13．（24-25八年级下·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 14．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证： (2)求四边形的面积． 15．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直． (1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？ (2)求这片绿化区的面积． 16．（24-25八年级下·广西贺州·期中）【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null 专题02 一定是直角三角形吗 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点02：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型1 勾股树（数）的判定】 例题：（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ）． A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股定理问题，若三个正整数满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴3，4，5这组数是勾股数，符合题意； B、∵， ∴4，5，6这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴7，8，9这组数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，9，10这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A．∵，∴不是勾股数，不符合题意；     B．∵，∴不是勾股数，不符合题意； C．∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D．∵，∴5，12，13是勾股数，符合题意 故选D． 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴9，40，41是勾股数，故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴5，12，15不是勾股数，故本选项不符合题意； C、∵1.5与2.5不是正整数， ∴1.5，2，2.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴13，14，15不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【题型2 判断三边能否构成直角三角形】 例题：（辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题　）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．5，6，10 D．12，13，14 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条边的长能否构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，故可以构成直角三角形，符合题意； C、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； D、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·吉林松原·期中）下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·云南玉溪·期中）在中，，，的对边分别为a，b，c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定．根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题． 【详解】解：A、，， ， ， 此时，是直角三角形； B、由题意，设，，， ∵， ∴， 是直角三角形； C、， ， 是直角三角形； D．∵，，， ， 不是直角三角形． 故选：D． 3．（24-25八年级下·北京密云·期中）在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，，， ， 是直角三角形，且， 故A选项不符合题意； B、，，， ， ， 故B选项不符合题意； C、，，， ， 是直角三角形，且， 故C选项符合题意； D、，，， ， 是直角三角形，且， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【题型3 在网格中判断直角三角形】 例题：（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是直角三角形 D．的面积是 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据勾股定理求出各边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形． 【详解】解：A选项：根据网格可知，故A选项正确； B选项：根据网格可知，故B选项正确； C选项：由网格可知， ， 是直角三角形， 故C选项正确； D选项：．故D选择错误。 故选：D． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．    【答案】/45度 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接，    根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的“”的网格中，线段，的端点都在格点上，两线所夹锐角的度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】算术平方根的实际应用、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了格点中的直角三角形的构造和勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题关键． 建立格点三角形，利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可解答． 【详解】解：如图所示： 平移到，连接， ∴， ∴， 有图可知：，，， ，， ∴且， ∴为等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． 3．（2025·江苏盐城·一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点是网格线的交点，则 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、利用邻补角互补求角度、在网格中判断直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】延长交格点于，连接，在网格中求出相关线段长度，再根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且，由等腰直角三角形性质求出，由邻补角求解即可得到答案． 【详解】解：延长交格点于，连接，如图所示： ，， 则， 即是等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查求角度，涉及勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、邻补角等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质 【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可； （2）直接根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：，，，， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：由（1）知，， ， ，， ． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：如图，四边形中，，，，，， (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形. (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可． 【详解】（1）是直角三角形， 理由：在中，，，， ． ，，， ，， ， 是直角三角形，； （2）解：； ， ， 四边形的面积为84． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，且． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】实数运算的实际应用、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 又， ， ； （3）解：． 【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：（24-25八年级下·吉林松原·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． (1)小溪流的长为________千米． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)16平方千米 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，千米， ∴（千米）； （2）解：∵（千米），千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、二次根式的乘法 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 2．（24-25八年级下·天津河北·期中）校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【答案】(1)蔬菜区边的长为 (2)花卉区的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴      ； 答：蔬菜区边的长为； （2）∵， ∴， ∴花卉区的面积， 答：花卉区的面积为． 3．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)元． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． （1）先在中，利用勾股定理可求，在中，易求，再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且； （2）分别利用三角形的面积公式求出，即是四边形的面积，再乘以80，即可求总花费． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，在中，，，， ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，； （2）∵，， ∴， 费用（元）． 答：铺满这块空地共需花费元． 【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】 例题：（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【答案】(1)锐角； (2)或 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可． 根据题意，三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，计算出和的大小，从而可以判断三角形的形状； 当是最长边时，可得方程，解方程求出即可，当是最长边时，可得方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是， ， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 2．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列数组中，是勾股数的是（   ） A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，， 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、是勾股数，故本选项符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，， ， 能判定是直角三角形，故A选项不符合题意； B、，即， 根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故B选项不符合题意； C、，设， ， 根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故C选项不符合题意； D、 ， ， 不能判定是直角三角形，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·河北邯郸·一模）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 4．（24-25八年级下·新疆和田·阶段练习）如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，由勾股定理求出，，即可判定①；由勾股定理的逆定理可判定②；根据三角形的面积公式求出的面积可判定③，据此即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：，故①正确； ，， ∵， ∴是直角三角形，故②正确； ，故③错误； 故选：A． 5．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 故答案为：6． 7．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质等知识点，掌握运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）欲检验画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 填“合格”或“不合格”． 【答案】合格 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直． 【详解】解：∵， ∴画框两边与对角线构成直角三角形， ∴画框的两边垂直； 故答案为：合格． 9．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用；先计算，，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： 10．（2025·陕西渭南·二模）《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可得出结论，如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：，，， ， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角． 三、解答题 11．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明． 【答案】是，理由见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 12．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，点在边上，且，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理得，进而求得，在中，勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． ∴ 在中， （2）是直角三角形，理由如下： ∵，， ， 是直角三角形，是直角． 13．（24-25八年级下·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 14．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证： (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是： （1）根据勾股定理求出，然后计算得出，最后根据勾股定理的逆定理即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解： ． 15．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直． (1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？ (2)求这片绿化区的面积． 【答案】(1)居民从点到点将少走 (2)这片绿地的面积是 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，利用勾股定理求出的长，再求出的结果即可得到答案； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即，再根据列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走； （2）解：∵，，， ∴， ∴ 是直角三角形，即， ∵，， ， 答：这片绿地的面积是． 16．（24-25八年级下·广西贺州·期中）【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个零件符合要求，理由见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、勾股定理逆定理的应用等知识点，掌握勾股定理逆定理的作用是解题的关键． （1）①根据图2用两种方法表示出大正方形的面积，然后进行整理即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理验证和是否为直角即可判断这个零件是否符合要求． 【详解】（1）解：∵根据图2：大正方形面积可表示为：或， ∴，即， ∴． （2）解：这个零件符合要求，理由如下：         在中，根据勾股定理，可得： ，     在中， ∴．                     ∴是直角三角形，是直角．且 ∴这个零件符合要求． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$