专题 1.2 一定是直角三角形吗（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦“一定是直角三角形吗”核心内容，系统梳理勾股定理逆定理，衔接勾股定理形成互逆关系，延伸至勾股数识别、三角形形状判定拓展及双重判定方法，构建从数量关系到图形性质的知识支架。 资料通过分层题型设计（基础夯实含网格图形判定等，巩固提升涵盖动点与折叠问题）和同步检测，培养学生抽象能力、推理意识与几何直观，课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习查漏补缺。

专题 1.2 一定是直角三角形吗（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】勾股定理逆定理 1 【知识点二】勾股数（教材必考概念） 2 【知识点三】三角形形状判定拓展（拔高考点） 2 【知识点四】直角三角形双重判定方法 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】基础判定型——根据三边长判断直角三角形 3 【题型 2】勾股数的识别与判断（教材P10随堂练习题型） 5 【题型 3】网格图形中判定直角三角形 7 【题型 4】几何图形综合判定（四边形拆分题型·教材重点变式） 11 二.题型精析（巩固提升） 14 【题型 5】勾股定理逆定理与动点问题 14 【题型 6】勾股定理逆定理与折叠问题 18 三.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 31 一.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c，满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 文字语言 图形 符号语言 如果三角形的三边长a、b、c，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 在△ABC中，三边长为a、b、c，若，则△ABC为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 【要点提示】（1）定理作用：利用三边长数量关系判定直角三角形，无需测量角度，是数形结合的核心定理；（2）判定步骤：先排序找最长边，再验证较短两边平方和是否等于最长边的平方；（3）与勾股定理的区别：勾股定理（直角三角形→边长关系），逆定理（边长关系→直角三角形），二者互为逆定理。 【知识点二】勾股数（教材必考概念） 定义：满足 的三个正整数，叫做一组勾股数。 常用基础勾股数（必背）：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41 核心要点提示： 1. 必备条件：正整数+满足平方关系，小数、分数、负数组合均不是勾股数； 2. 勾股数性质：一组勾股数的所有正整数倍，仍然是勾股数； 3. 解题技巧：遇到整数边长三角形，优先用常见勾股数快速判定，节省计算时间。 【知识点三】三角形形状判定拓展（拔高考点） 设三角形最长边为c，根据三边平方关系可直接判定三角形形状： 1. → 直角三角形（c对直角）； 2. → 锐角三角形； 3. → 钝角三角形。 要点提示：该拓展结论为选择、填空题秒杀技巧，解答题需用逆定理规范证明直角。 【知识点四】直角三角形双重判定方法 1. 角度判定法：三角形中有一个角为90°，即为直角三角形； 2. 边长判定法（勾股逆定理）：三边满足平方关系，即为直角三角形（本节课核心方法）。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】基础判定型——根据三边长判断直角三角形 题型场景：教材引入核心题型，给出三角形三边长度，利用勾股逆定理判定是否为直角三角形，是本节课基础必考题型。 【例题1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，E是上的一点，，，． （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即． （2） 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即可得出． （2）由（1）得出，设，则，在中，利用勾股定理即可得． 解：（1）略； （2）解：∵， ∴是直角三角形． 设， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即． 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，4 D．4，5，6 【答案】B 解：选项A，最长边为，，不能构成三角形，不符合题意． 选项B，最长边为，计算得，，，能作为直角三角形三边长，符合题意． 选项C，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 选项D，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·广西崇左·阶段检测）若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 【答案】84 【分析】根据非负数的性质求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后计算直角三角形的面积即可． 解：∵，且， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为和， ∴的面积． 【变式3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求证：为直角三角形； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】（1），， ， 是直角三角形；（2）米． 【分析】（1）先计算三角形三边的平方，因为已知的三边长，所以用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形． （2）设的长度为，那么，，因为（1）已证是直角，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程求解． 解：（1）略； （2）解：设米，则米，米， 在中，， ， 解得． 答：这架无人机向下飞行的距离（的长）为米． 解题通用步骤：① 排序找出最长边；② 计算短边平方和与最长边平方；③ 对比是否相等，得出结论。 【题型 2】勾股数的识别与判断（教材P10随堂练习题型） 题型场景：区分合法勾股数与伪勾股数，重点考查勾股数的定义两大核心条件。 【例题2】（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． （1）根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； （2）请再举一例证明猜想成立． 【答案】（1）24，26；（2）证明：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 【分析】本题考查勾股定理的证明． （1）依据材料所给公式，代入计算即可； （2）再任意举例计算即可证明． （1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）略 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 【变式2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五．”有一组勾股数，已知其中的两个数分别是5和13，则第三个数是__________． 【答案】12 【分析】需分两种情况讨论，即第三个数为直角边和第三个数为斜边，结合勾股定理计算，再根据勾股数为正整数的条件筛选得到正确结果． 解：设第三个数为， 分两种情况讨论： 当为斜边时，为直角边，由勾股定理得：， 变形得， 因为是正整数，所以，符合勾股数的定义； 当为直角边时，为斜边，由勾股定理得：， 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合题意，舍去； 综上，第三个数是． 【变式3】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． （2）任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】（1）①6；②12；③17；（2）见分析 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． 解：（1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 方法总结：先看是否为正整数，再验证平方关系，缺一不可。 【题型 3】网格图形中判定直角三角形 题型场景：方格网格中，无具体边长，利用网格特点求边长平方，判定三角形形状，是期末高频题型。 【例题3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上． （1）直接判断的形状， （2）画出关于直线的对称图形． （3）在直线上作一点P，使得最小 【答案】（1）是直角三角形；（2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理，即可求解； （2）根据题意得到点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接，即可； （3）连接交直线于点P，此时最小，即可． （1）解：根据题意得：， ∴， ∴，即是直角三角形； （2）略 （3）解：连接交直线于点P，则点P即为所求． 【点拨】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 【变式2】（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 【变式3】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，在边长为1的正方形网格图中有一个． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）． （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）不是直角三角形．理由如下： 由勾股定理得，，， ， ， 不是直角三角形． 【分析】本题考查作轴对称图形，勾股定理的逆定理． （1）分别找出A，B，C关于直线的对应点D，E，F，顺次连接即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行判断． 解：（1）略 （2）略 解题技巧：网格中无需开方求边长，直接利用勾股定理求各边平方值，再用逆定理判定，简化计算。 【题型 4】几何图形综合判定（四边形拆分题型·教材重点变式） 题型场景：依托四边形、组合图形，连接对角线拆分出三角形，结合勾股定理与逆定理综合解题。 【例题4】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】先利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理说明为直角三角形，然后利用求解即可． 解：， 为直角三角形， 又，， ， 又，， ，， ， 为直角三角形，， ∴． ∴四边形的面积是． 【变式1】（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是________． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连接，先利用勾股定理可得的值，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据四边形的面积等于求解即可得． 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于 ； 故答案为：234． 【变式3】（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可． 解：连接， ∵，， ∴，（舍负） ∵， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 核心思路：不规则图形→拆分直角三角形→先求边长→再用逆定理判定。 二.题型精析（巩固提升） 【题型 5】勾股定理逆定理与动点问题 【例题5】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【答案】线段的最小值为 【分析】先运用勾股定理的逆定理得出，再结合垂线段最短，得出当时，的值最小，最后运用等面积法列式计算，即可作答． 解：∵，， ∴， ∴ ∴是直角三角形且 当时，的值最小 则 ∴ ∴线段的最小值为． 【变式1】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知在中，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则的最小值是_________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理的逆定理可得，再作点关于的对称点，连接，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，最后利用三角形的面积公式即可得． 解：在中，， ， 是直角三角形，且， 如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 又， ， 解得， 即的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的逆定理是解题关键． 【变式3】（23-24八年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在中，，，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D分别作，，垂足分别是E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）直接写出的最小值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，则是直角三角形，，进而可证四边形是矩形； （2）如图，连接，由四边形是矩形，可得，即最小时，最小，由题意知，当时，最小，根据，计算求解，进而可得的最小值． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，， 又∵，， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴最小时，最小， 由题意知，当时，最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 【题型 6】勾股定理逆定理与折叠问题 【例题6】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）如图，在中，，现将沿折叠，使顶点A恰好与顶点B重合． （1）求证是一个直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，翻折的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质和定理． （1）利用勾股定理的逆定理即可判定直角三角形； （2）根据翻折的性质得，，假设，然后根据勾股定理列出方程进行求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴是一个直角三角形； （2）解：根据翻折的性质得，，假设，则， 由勾股定理得，， 即 解得， ∴的长为． 【变式1】（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】先证明为直角三角形，且，由折叠的性质可得，，则，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵把沿折叠，使落在直线上， ∴，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，把沿着直线折叠，点恰好与点重合，点在上，点在上．则的长为__________．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质等知识，首先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，再根据折叠的性质可得，设，则，在中利用勾股定理列式求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 根据题意，把沿着直线折叠，点恰好与点重合， ∴， 设，则， 在中，可有， 即， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，，，，把沿折叠，使落在直线上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）直角三角形，证明见分析；（2）阴影部分的面积为． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）首先根据对称的性质得到，然后求出的长度，在中根据勾股定理列方程求出的长度，最后根据三角形的面积公式求解即可． （1）解：是直角三角形 理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，； （2）∵把折叠，使落在直线上， ∴，， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，即， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点拨】此题考查了三角形折叠的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握三角形折叠的性质，勾股定理的逆定理． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 2．（24-25八年级下·新疆塔城·期末）以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：对选项A，∵，，，∴不能组成直角三角形． 对选项B，∵，，，∴不能组成直角三角形． 对选项C，∵，，，∴不能组成直角三角形． 对选项D，∵，，，∴能组成直角三角形． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 解：∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 5．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 6．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）在中，的对边分别是a，b，c，且 则（   ） A． B． C． D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的逆定理的计算是关键． 将给定等式变形后，应用勾股定理的逆定理判断直角． 解：∵ ， ∴ ， 由勾股定理的逆定理， 表示边所对的角为直角，即 ， 故选：A． 7．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 8．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 解：如图， 由题意得，， ． 10．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入，求出b、c的值，进而可得答案． 解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 12．（23-24八年级下·青海海东·阶段检测）已知的三边，，满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 13．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 解：已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 14．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 16．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是______． 【答案】2027 【分析】根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 解：设直角三角形的两条直角边为：、，斜边为， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 由图可知，“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图可知，“生长”次后，所有正方形的面积和为：， …… 按此规律，“生长”次后，所有正方形的面积和为：． 18．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，，中线，则的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；延长到点，使，连接，可证明，则，所以，则，然后问题可求解． 解：如图，延长到点，使，连接，则， 是的中线，， ， ∵， ∴， ∴，， ， 是直角三角形，且， ； 故答案为：6． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 【答案】24 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出是直角三角形．根据三角形面积求出，推出、的平方和等于的平方，求出，根据三角形面积公式求出即可． 解：的面积为， 20．（本小题满分8分）（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1） 直角三角形（选填：A．是；B．不是；C．不能确定）． （2）在图中画出与关于直线l成轴对称的． （3）在直线l上找一点P，使的长最短，并直接写出的最小值． 【答案】（1），不是；（2）解：如图，即为所求； （3）如图，点即为所求，的最小值为5． 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，作图轴对称变换． （1）利用勾股定理求出，，，由于，则不是直角三角形； （2）根据轴对称的性质即可画出； （3）连接，交直线于点，此时的长最短，利用勾股定理即可求解． （1）解：由勾股定理得，，，， ， 不是直角三角形， 故答案为：，不是； （2）略 （3）解：连接，交直线于点，此时的长最短． ∴最短值为 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知．根据规划要求． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）计算图中阴影部分的面积． 【答案】（1）是直角三角形，理由见分析；（2）24 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理可得出结论； （2）根据图中阴影部分的面积=三角形的面积−三角形的面积，进行列式求解即可． （1）解：∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积 ． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． （1）求证：； （2）求修建的桥梁的长． 【答案】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2） 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． （1）判断的形状，并证明； （2）记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】（1）是直角三角形． 证明：∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， 在中，， ∵， 根据勾股定理的逆定理得，， ∴是直角三角形； （2）66 【分析】（1）根据勾股定理可知，进而根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）根据面积公式即可求解，，进而表示出即可求解． 解：（1）略 （2）在中， ， 在中， ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． （1）使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． （2）若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键． （1）当，时，代入勾股数生成公式计算即可得解； （2）由题意求出，从而可得，或，，再结合题意验证即可得解． （1）解：当，时，代入勾股数生成公式， 得，，． 对应的勾股数是． （2）解：根据题意得，，． ． 又，m，n都是正整数， ，或，． 当，时，，不符合题意； 当，时，，，符合题意． ∴，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.2 一定是直角三角形吗（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】勾股定理逆定理 1 【知识点二】勾股数（教材必考概念） 2 【知识点三】三角形形状判定拓展（拔高考点） 2 【知识点四】直角三角形双重判定方法 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】基础判定型——根据三边长判断直角三角形 3 【题型 2】勾股数的识别与判断（教材P10随堂练习题型） 3 【题型 3】网格图形中判定直角三角形 4 【题型 4】几何图形综合判定（四边形拆分题型·教材重点变式） 5 二.题型精析（巩固提升） 6 【题型 5】勾股定理逆定理与动点问题 7 【题型 6】勾股定理逆定理与折叠问题 8 三.同步检测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c，满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 文字语言 图形 符号语言 如果三角形的三边长a、b、c，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 在△ABC中，三边长为a、b、c，若，则△ABC为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 【要点提示】（1）定理作用：利用三边长数量关系判定直角三角形，无需测量角度，是数形结合的核心定理；（2）判定步骤：先排序找最长边，再验证较短两边平方和是否等于最长边的平方；（3）与勾股定理的区别：勾股定理（直角三角形→边长关系），逆定理（边长关系→直角三角形），二者互为逆定理。 【知识点二】勾股数（教材必考概念） 定义：满足 的三个正整数，叫做一组勾股数。 常用基础勾股数（必背）：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41 核心要点提示： 1. 必备条件：正整数+满足平方关系，小数、分数、负数组合均不是勾股数； 2. 勾股数性质：一组勾股数的所有正整数倍，仍然是勾股数； 3. 解题技巧：遇到整数边长三角形，优先用常见勾股数快速判定，节省计算时间。 【知识点三】三角形形状判定拓展（拔高考点） 设三角形最长边为c，根据三边平方关系可直接判定三角形形状： 1. → 直角三角形（c对直角）； 2. → 锐角三角形； 3. → 钝角三角形。 要点提示：该拓展结论为选择、填空题秒杀技巧，解答题需用逆定理规范证明直角。 【知识点四】直角三角形双重判定方法 1. 角度判定法：三角形中有一个角为90°，即为直角三角形； 2. 边长判定法（勾股逆定理）：三边满足平方关系，即为直角三角形（本节课核心方法）。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】基础判定型——根据三边长判断直角三角形 题型场景：教材引入核心题型，给出三角形三边长度，利用勾股逆定理判定是否为直角三角形，是本节课基础必考题型。 【例题1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，E是上的一点，，，． （1）求证：； （2）求线段的长． 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，4 D．4，5，6 【变式2】（25-26八年级下·广西崇左·阶段检测）若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 【变式3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求证：为直角三角形； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 解题通用步骤：① 排序找出最长边；② 计算短边平方和与最长边平方；③ 对比是否相等，得出结论。 【题型 2】勾股数的识别与判断（教材P10随堂练习题型） 题型场景：区分合法勾股数与伪勾股数，重点考查勾股数的定义两大核心条件。 【例题2】（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． （1）根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； （2）请再举一例证明猜想成立． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五．”有一组勾股数，已知其中的两个数分别是5和13，则第三个数是__________． 【变式3】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． （2）任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 方法总结：先看是否为正整数，再验证平方关系，缺一不可。 【题型 3】网格图形中判定直角三角形 题型场景：方格网格中，无具体边长，利用网格特点求边长平方，判定三角形形状，是期末高频题型。 【例题3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上． （1）直接判断的形状， （2）画出关于直线的对称图形． （3）在直线上作一点P，使得最小 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式2】（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【变式3】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，在边长为1的正方形网格图中有一个． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）． （2）是直角三角形吗？请说明理由． 解题技巧：网格中无需开方求边长，直接利用勾股定理求各边平方值，再用逆定理判定，简化计算。 【题型 4】几何图形综合判定（四边形拆分题型·教材重点变式） 题型场景：依托四边形、组合图形，连接对角线拆分出三角形，结合勾股定理与逆定理综合解题。 【例题4】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是________． 【变式3】（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 核心思路：不规则图形→拆分直角三角形→先求边长→再用逆定理判定。 二.题型精析（巩固提升） 【题型 5】勾股定理逆定理与动点问题 【例题5】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【变式1】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知在中，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则的最小值是_________． 【变式3】（23-24八年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在中，，，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D分别作，，垂足分别是E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形；（2）直接写出的最小值． 【题型 6】勾股定理逆定理与折叠问题 【例题6】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）如图，在中，，现将沿折叠，使顶点A恰好与顶点B重合． （1）求证是一个直角三角形； （2）求的长． 【变式1】（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，把沿着直线折叠，点恰好与点重合，点在上，点在上．则的长为__________．    【变式3】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，，，，把沿折叠，使落在直线上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求阴影部分的面积． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·新疆塔城·期末）以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 6．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）在中，的对边分别是a，b，c，且 则（   ） A． B． C． D．不是直角三角形 7．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 8．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 10．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 12．（23-24八年级下·青海海东·阶段检测）已知的三边，，满足，则的形状为________． 13．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，则的面积为______． 14．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 16．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 17．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是______． 18．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，，中线，则的面积为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1） 直角三角形（选填：A．是；B．不是；C．不能确定）． （2）在图中画出与关于直线l成轴对称的． （3）在直线l上找一点P，使的长最短，并直接写出的最小值． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知．根据规划要求． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）计算图中阴影部分的面积． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． （1）求证：； （2）求修建的桥梁的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． （1）判断的形状，并证明； （2）记的面积为，的面积为，求的值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． （1）使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． （2）若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $