专题01 探索勾股定理（2知识点+8大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题01 探索勾股定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 【题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A． B．6 C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．40 C．16 D．8 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长】 例题：（24-25八年级下·广西来宾·期中）在中，，，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若直角三角形的两直角边长分别为，，则该直角三角形的斜边的长为 ． 2．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积为 ． 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）若一个直角三角形的两条边的长分别为、，则第三条边的长是 ． 【题型3 等面积法求直接斜边上的高问题】 例题：（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 3．（2025·安徽宿州·三模）睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为 ． 【题型4 勾股定理与网格问题】 例题：（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，的顶点都在由边长为1的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【题型5 勾股定理与折叠问题】 例题：（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，．求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【题型7 利用勾股定理证明线段平方关系】 例题：（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点， 求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 3．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【题型8 勾股定理的证明方法】 例题：（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【变式训练】 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 一、单选题 1．（2025·贵州毕节·三模）在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 2．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）三个正方形按如图所示的方式摆放，围成了一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（   ） A．120 B．100 C．64 D．10 3．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（   ） A． B．` C． D． 4．（2025·安徽宿州·二模）如图，在中，于点D，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是 ． 7．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ． 8．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 9．（24-25八年级下·湖南常德·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系为 10．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知是的边上的高，若，，，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在中，，于D．若，，求的长． 12．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好组合得到如图2所示的四边形．若，．求的长； 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）在Rt中，，、、的边分别为、、． (1)若，求 (2)若，求的值． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在边长为1的正方形网格中，均为格点， (1)___________，___________ (2)求中边上的高 15．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，某广场有一块三角形空地，管理部门计划将这块空地分割成四边形和，分别摆放不同的花卉．经测量，，米，米． (1)求的长； (2)若米，米，求三角形空地的面积． 16．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． (1)求的长； (2)求的周长． 17．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形” (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．若，探究a，b，c，d的数量关系． (2)如图2，在长方形中，，P是边上一点，且，求的长 18．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 探索勾股定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 【题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算．根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．40 C．16 D．8 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 利用勾股定理，这两个正方形的面积和等于即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴正方形和正方形的面积和为， 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∵A、B、F都是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴最大正方形E的边长是25， 故选：B． 【题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长】 例题：（24-25八年级下·广西来宾·期中）在中，，，，则 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：4． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若直角三角形的两直角边长分别为，，则该直角三角形的斜边的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12， ∴斜边长为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．设另一直角边为x,根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设另一直角边为x， ∵斜边的长为13，一条直角边长为5， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）若一个直角三角形的两条边的长分别为、，则第三条边的长是 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当为斜边，为直角边时；当、都为直角边时，分别利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当为斜边，为直角边时， 由勾股定理得第三边的长为：； 当、都为直角边时， 由勾股定理得第三边的长为：； 故答案为：或． 【题型3 等面积法求直接斜边上的高问题】 例题：（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为再由等面积法计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为 由题意得， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求斜边长，然后根据直角三角形的面积列式计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长为， 设斜边上的高为， 则 解得 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ， ∵是斜边上的高， ∴， ∴． 故答案为：1． 3．（2025·安徽宿州·三模）睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为 ． 【答案】84 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 【题型4 勾股定理与网格问题】 例题：（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理．连接，则，在中，由勾股定理得求出即可得出答案． 【详解】连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，的顶点都在由边长为1的小正方形组成的方格纸的格点上，且，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：5 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 【题型5 勾股定理与折叠问题】 例题：（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，．求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理在翻折中的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答．首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理列式求出的长即可解决问题． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， 由折叠得：，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 【答案】(1)； (2)点B到斜边的距离为． 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质． （1）根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：点B到斜边的距离为， ∵， ∴， 答：点B到斜边的距离为． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 【题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【题型7 利用勾股定理证明线段平方关系】 例题：（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点， 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明即可； （2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出． 3．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 【题型8 勾股定理的证明方法】 例题：（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【知识点】勾股定理的证明方法、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【变式训练】 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 【答案】(1) (2)①28  ②14 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）证明，利用两种方法求出梯形的面积，可得结论； （2）①利用（1）中结论求出b可得结论； ②想办法求出可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的面积， ∴； （2）解：①当，时，， 长方形的面积是； 故答案为：28； ②当，时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴面积． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】方法应用：①；；；②见解析；方法迁移：（1）；（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据可证； 方法迁移： （1）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】解：【方法运用】： ①由题意得，，，； 故答案为：①；；； ②∵， ∴， ∴， ∴； 【方法迁移】： （1）设边上的高为h， ， ， ， ∴， 即边上的高是； 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2025·贵州毕节·三模）在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）三个正方形按如图所示的方式摆放，围成了一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（   ） A．120 B．100 C．64 D．10 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式可得两个小正方形的边长，再利用勾股定理求出正方形A的边长即可得到答案． 【详解】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为64和36的正方形的边长是8和6；解图中直角三角形得A正方形的边长为， 故正方形的面积为， 故选：B ． 3．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（   ） A． B．` C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 首先得到，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示， 由题意得， ∴ ∴． 故选：A． 4．（2025·安徽宿州·二模）如图，在中，于点D，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，设，利用是两个直角三角形的公共边，结合勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴； 故选：A． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设尺，根据题意得出尺，尺，再结合勾股定理列方程，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设尺， 则尺，尺，尺． 在中，，即， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是 ． 【答案】25或7/7或25 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是， ②当是斜边时，则第三边的平方是． 故答案为：25或7． 7．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·湖南常德·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系为 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为，所以构成了个直角三角形，根据勾股定理把直角三角形中三边的关系表示出来，然后再利用等量代换求解即可． 【详解】解：， ， ，，，， ∴，， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知是的边上的高，若，，，则的长为 ． 【答案】或． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．由勾股定理，得出，，分两种情况讨论：是锐角三角形和是钝角三角形，分别求解即可． 【详解】解：是的边上的高， ， ∵，，， ， ①当是锐角三角形时， ； ②当是钝角三角形时， ． 综上可知，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在中，，于D．若，，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，先在中，利用勾股定理求出长，然后再在中根据＝列方程，求出长解题即可． 【详解】解：在中，，   设，则，                                  ∵在中，， ∴，                                           解得，     ∴． 12．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好组合得到如图2所示的四边形．若，．求的长； 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出答案即可. 【详解】解：在中，， 在中，. 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）在Rt中，，、、的边分别为、、． (1)若，求 (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，. 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理. （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理可得，，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：中，，、、的对边分别为、、，且， 设，则． ，即， 解得（负值舍去）， ，. 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在边长为1的正方形网格中，均为格点， (1)___________，___________ (2)求中边上的高 【答案】(1)， (2) 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理解三角形是解题的关键． （1）对和直接运用勾股定理即可求解； （2）先由割补法求出的面积，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：，； （2）解：由图可得：， ∵，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，某广场有一块三角形空地，管理部门计划将这块空地分割成四边形和，分别摆放不同的花卉．经测量，，米，米． (1)求的长； (2)若米，米，求三角形空地的面积． 【答案】(1)的长为8米 (2)三角形空地的面积为96平方米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理、三角形面积公式等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）直接在中运用勾股定理求解即可； （2）I先根据线段的和差可得、，再运用勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴的长为8米． （2）解：∵，， ∴，． 在中，由勾股定理得， ∴（平方米）． 答：三角形空地的面积为96平方米． 16．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出线段，根据轴对称的性质，最后求得的长； （2）由翻折知，在中，利用勾股定理求出，在中，求出，即可求得的周长． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 由折叠得： ， 的长为4； （2）由翻折得， ， 在中，， 设，则， ， 解得， ， 在中，， 的周长． 17．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形” (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．若，探究a，b，c，d的数量关系． (2)如图2，在长方形中，，P是边上一点，且，求的长 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，理解新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键． （1）根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理即可得出结论； （2）连接，先证明四边形是垂美四边形，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是“垂美四边形”， ∴， ∴ 由勾股定理得，， ∴，即； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴四边形是“垂美四边形”， ∴ ∵四边形是长方形， ∴ ∴， 解得：(负值舍去)， ∴． 18．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)风车的面积为393 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，通过证明即可判断得出，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴. ∴； 由题意，第一种方法： ； 第二种方法： ， ， ， ； （3）由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于， ∴风车的面积为：． 11 / 11 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