精品解析：2025届广东省广州市第六中学高三三模数学试题

2025年广州市第六中学高三三模试题（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则集合 A. B. C. D. 2. 已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）条件 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知向量的夹角为60°，，则（    ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（    ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 已知都是锐角，，则的值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（ ） A. B. C. D. 7. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 62岁3个月 B. 62岁4个月 C. 62岁5个月 D. 63岁 8. 已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据的方差，则（    ） A. 这组样本数据的总和等于100 B. 这组样本数据的中位数一定为2 C. 数据，，…，的标准差为3s D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 10. 已知函数，则下列结论一定正确的是（    ） A. 的图象关于轴对称 B. 的值域是 C. 的最小正周期为 D. 不是中心对称函数 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 椭圆可以看做是由圆经过“压缩”或“拉伸”而来.若将圆O：上各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C1．则C1的离心率为__________. 13. 若的展开式中的系数为28，则的值为________. 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则__________，的值为___________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 16. 如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直. （1）画出直线说明作法和理由； （2）当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 18. 已知直线与抛物线交于A，B两点，且. （1）求p； （2）M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若，求面积的最小值. （3）若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点Q、R两点，且点到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广州市第六中学高三三模试题（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则集合 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A＝{x|x＝kπ，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜4}， ∴A∩B＝{π}．故选B． 【点睛】本题主要考查交集的运算，涉及三角方程的解法以及对数函数的单调性的应用． 2. 已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）条件 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的几何意义，即可判断和选择. 【详解】，则在复平面内对应的点为； 点位于第四象限的充要条件是，即； 故“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件. 故选：A 3. 已知向量的夹角为60°，，则（    ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，展开运算可求解. 【详解】. 故选：D. 4. 若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（    ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，不等式恒成立，故只需考虑，分类参数构造函数，求导可得. 【详解】依题，，则时，不等式恒成立，故只需考虑，此时有， 令，则， 易知在单调递减，在上单调递增， 所以，∴实数的最大值为. 故选：C. 5. 已知都是锐角，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可.法二：，可得，进而利用可求值. 【详解】法一：由是锐角，得. 因为是锐角，所以. 又因为，所以， 所以. 法二：由已知可得，所以， ∴. 故选：C. 6. 已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质可得到渐近线距离为b，结合几何性质可得，从而，最后由的关系可得焦距. 【详解】如图所示，∵到渐近线距离为b，故为等腰三角形，， 故，，∴焦距为12. 故选：D. 7. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 62岁3个月 B. 62岁4个月 C. 62岁5个月 D. 63岁 【答案】C 【解析】 【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可. 【详解】设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁， 所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为,公差为的等差数列， 1974年5月出生的男职工退休年龄为. 故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月. 故选：C. 8. 已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意球与每条棱都有公共点，然后利用临界分析，当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，故球的半径满足，最后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】依题意，平面与以为球心的球相切，因正方体每个顶点发出了三条棱， 要使与该正方体的截面始终为三角形，就必须使球与每条棱都有公共点， 当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球， 当球半径继续增大到外接球半径之前，都能确保截面始终为三角形， 而当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在， 因此必须使球的半径满足. 又棱长为2的正方体的棱切球的半径为面对角线的一半即， 外接球的半径为体对角线的一半即，所以， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据的方差，则（    ） A. 这组样本数据的总和等于100 B. 这组样本数据的中位数一定为2 C. 数据，，…，的标准差为3s D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方差的意义计算可求样本均值，从而可判断A；根据中位数计算方法可判断B的正误；根据方差的性质可判断C的正误，由，可知数据更集中. 【详解】对于A，因为方差 ， ， 所以，解得，所以这组样本数据的总和等于，故A正确. 对于B，根据方差、均值无法求出中位数，故B错误. 对于C，数据，，，的方差为，故其标准差为，故C正确. 对于D，原数据的平均数记为， 新数据的平均数为， 由A可得 ， ，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列结论一定正确的是（    ） A. 的图象关于轴对称 B. 的值域是 C. 的最小正周期为 D. 不是中心对称函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇函数、周期函数的定义判断AC；利用周期性、单调性分析判断BD. 【详解】对于A，函数的定义域为R， ，A正确； 对于C，，是函数的周期，C错误； 对于B，由选项C知，当时，，，值域为，B正确； 对于D，由选项B知，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上的图象关于直线对称，无对称中心，又的周期是， 因此函数的图象无对称中心，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D. 【详解】因为， 令，，可得， 所以， 令，，可得， 所以， 所以，A正确； 由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确； 因为， 所以若，则， 任取，且， 则， 因为，所以，，, 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设， 当时，， 因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递减. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 椭圆可以看做是由圆经过“压缩”或“拉伸”而来.若将圆O：上各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C1．则C1的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合离心率的定义可得. 【详解】易知圆C的半径为1，横向“拉伸”后，可知椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，故半焦距为，所以离心率为. 故答案为：. 13. 若的展开式中的系数为28，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理可得的展开式的通项公式，进而求得的系数，结合已知可求得的值. 【详解】的展开式通项公式. 所以含的项由两部分组成. 第一部分：与展开式中项的乘积. 第二部分：与展开式中项的乘积. 因此 解得. 故答案为：. 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则__________，的值为___________. 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】在中根据余弦定理计算可得，在中利用正弦定理求. 【详解】如图， 由于，设， 由余弦定理知， 设，， 设AD，CE，BF为三角形的三条高，由于 ， 故 中，由正弦定理得 所以， 所以， 故答案为：；3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 【答案】（1）； （2）3，9，81，243； 【解析】 【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质，及等比数列和等差数列的通项公式可得结果； （2）由分组求和法计算. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，，解得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得， 去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243， ， 综上，. 16. 如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直. （1）画出直线说明作法和理由； （2）当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）如图所示，连接，在上底面过点作直线即可， 因为面，所以， 根据作法知， 又因为在平面上， 所以平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件找出直线与平面内两条相交直线垂直，从而判定直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质得到直线与平面内其他直线的垂直关系. （2）先根据已知点的坐标求出相关向量的坐标，再通过向量垂直的性质求出平面的法向量，最后利用向量夹角公式求出直线与平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题两两垂直 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， ∴，∴， ∴直线l的一个方向向量为， 设为平面的法向量， ，即，可取， 从而， 所以直线l与平面夹角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，由题意可得，可求切点坐标，进而可求切线方程； （2）求导得，分和两种情况讨论其单调性，进而根据题意可得，求解即可. 【小问1详解】 当时，，求导可得， 因为直线的斜率为，所以切线斜率为3， 令，解得，此时切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， ①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，；时， 所以要函数有两个零点，当且仅当. 设，知函数在单调递增. 因为，则的解集为. 综上所述，的取值范围是. 18. 已知直线与抛物线交于A，B两点，且. （1）求p； （2）M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若，求面积的最小值. （3）若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点Q、R两点，且点到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点 【解析】 【分析】（1）联立给定的直线与抛物线方程，利用弦长公式求出. （2）由（1）求出，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理、数量积的坐标表示，并求出三角形面积的函数关系求解. （3）假定存在，设出直线方程，重心抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式求解. 【小问1详解】 设，由，得， 方程的判别式， 则，， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）得抛物线，焦点，直线不垂直于轴， 设直线：，，， 由，得 由方程的判别式， 得，，， 由，得，即， 整理得，即， 整理得，而，则， 由，解得或，或， 设点到直线的距离为，则， ， 因此的面积， 当且仅当时取等号，所以的面积最小值为. 【小问3详解】 假设存在这样的点满足条件，设， 由点到直线PQ、PR的距离相等，得为的角平分线，即， 于是得直线的斜率互为相反数，而直线QR的斜率不能为零， 设直线QR的方程为，由得， 则，， ，整理得， 即，则，而不恒为0，因此，此时， 所以存在点到直线的距离相等. 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞， 这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞， 另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率 ， 得， ， 其中，. 令，， 记，，令，得. 当，，单调递增； 当，，单调递减， 故， 即. 【解析】 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再借助导数求出其最值即可得证. 【小问1详解】 的可能取值为， 其中， ， ， ， 所以分布列为 ； 【小问2详解】 个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $