压轴题18 圆锥曲线压轴大题归类（12大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题18 圆锥曲线压轴大题归类 综述 解析几何大题，主要体现在“韦达定理化”转化处理计算上。 一、常见韦达化处理 倘若定点，在椭圆上的动点，那么： （1），此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解. （2）,这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得： （*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作. （3）. （4）面积计算 ①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离） =（直线为斜截式y=kx+m） = ②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 注：注意直线代换中直线反设法的应用，即设 非韦达定理化处理常见思维： 1、在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构。 2、但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”． 压轴题型一：韦达定理基础 √满分技法 基本模板实战模板 1、设点， 2、方程1：设直线：-----此处还有千言万语，在后边分类细说。 3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去分母 4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立后方程 的二次项能否为零-----这就是实战经验。 5、（1）； （2）二次项系数是否为0；------这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须考虑。 6、方程4、5：韦达定理 7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一个条件 1． 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 2．已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 3．已知动点到两定点，的距离之和为定值，且过点． (1)求动点的轨迹方程C； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程． 4．已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点.若，求点的坐标. 压轴题型二：直线各种形式“设法” √满分技法 横截式设法： （1）直线AB方程为，联立曲线方程， 结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况； （2） 设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式. （3） 双变量设法 当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论k是否存在情况 当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 （1） （2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 （3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。 （4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律： 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 1．已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1. (1)求的方程； (2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值. 2．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与C交于不同两点，且满足为坐标原点，则： ①的面积是否为定值？ ②椭圆C上是否存在点M（异于点），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由． 3．已知椭圆：，点在椭圆上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点重合的点、和点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)若一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线.定点到直线的距离记为，求的最大值并求出对应的直线的方程. 4．已知双曲线的右焦点为且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，不过点的直线与双曲线交于，两点，且，，的斜率依次成等比数列，求点到直线距离的取值范围． 压轴题型三：面积范围最值型 √满分技法 求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意 1. 注意变量的范围。 2. 式子转化为求值域或者求最值的专题复习 一些常见的思维： 1.可以借助均值不等式求最值。 2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。 分式型：以下几种求最值的基本方法 （1） （2）与型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。 （3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解 1．已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，直线与直线交于点. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求面积的最小值. 2．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围． 3．已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)当=1时，求弦长； (3)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 4．已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围. 压轴题型四：定值型 √满分技法 求定值问题常见的思路和方法技巧： （1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题 1．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值. 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，过点且垂直于轴的直线交所得的弦长为6，的周长为20． (1)求的方程； (2)设的上、下顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，试问的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 4．已知圆，圆过点且与圆内切，若圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），且曲线与轴交于两点（在点左侧），记直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是请求出定值；如果不是，请说明理由． 压轴题型五：斜率型 √满分技法 给定椭圆，与椭圆上定点P，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有 1．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是的右顶点，且，. (1)求的方程； (2)是上一点，且，求的面积； (3)已知，是上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. 2．已知椭圆的离心率是，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记圆的方程是． ①若与圆相切的直线经过的右焦点，且与交于，两点，求； ②斜率为的直线经过坐标原点，与交于，两点，若是的上顶点，直线交圆于点，直线交圆于点，记直线的斜率为，求值：． 3．知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足． (1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程； (2)设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点． （i）当且时，求面积的最小值； （ⅱ）若 （为常数），证明：直线ST过定点． 4．设椭圆的离心率等于，、、分别是椭圆的三个不同的顶点，的面积为2． (1)求椭圆的方程； (2)若、是椭圆的左、右顶点，动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，且，求证：直线经过定点． 压轴题型六：定直线型 √满分技法 求定直线是圆锥曲线求定点定值定直线的一个较难的题型。一般有两种思维： 1. 利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 2.相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。 1．已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 2．已知点是圆O：上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设分别是与轴的交点，（点在轴正半轴上），过点的直线与分别交于点（异于点），直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 3．已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 4．椭圆中，离心率是，右顶点到上顶点的距离为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左顶点为，经过点的直线与椭圆交于，过点作的平行线，与交于点．判断是否在定直线上？若在，求出该直线；若不在，请说明理由． 压轴题型七：韦达定理综合型 1．已知曲线的左右焦点为为其左支上的一个动点．当时，有，且曲线的离心率为． (1)求曲线的方程； (2)以点为切点作曲线的切线，过点、作切线的垂线，垂足为、． （ⅰ）试用表示与，并证明和面积相等； （ⅱ）求点的轨迹方程． 2．已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为 (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q 均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q 在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值. 3．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2. (1)求C的方程. (2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点. (3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值. 4．双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． (1)求点的轨迹方程及的最小值； (2)直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 压轴题型八：点带入型 √满分技法 椭圆与双曲线也满足点带入转化。 1．已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 2．对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 3．已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线l交C于P，Q两点． (1)若C的一条渐近线方程为，求C的方程； (2)连接并延长交C于点R． ①设点P在第一象限，若，求点P的坐标； ②若，求b的取值范围， 4．在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 压轴题型九：非对称型韦达：定比分点型 √满分技法 若有 1.利用公式，可消去参数 2.可以直接借助韦达定理反解消去两根 定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足） 可以利用公式，可消去 1．已知椭圆C：，，且椭圆C右焦点为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程. 2．已知椭圆的左焦点，点在上，过的直线与交于，两点.（1）求的标准方程； （2）当时，求直线的方程； （3）已知点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切. 3．已知直线的方程为：，直线与轴的交点为，圆的方程为： ，、在圆上， ，设线段的中点为． （1）如果为平行四边形，求动点的轨迹； （2）已知椭圆的中心在原点，右焦点为，直线交椭圆于、两点，又，求椭圆的方程． 4．已知椭圆：的离心率为，且过点．右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）设过右焦点为的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程． 压轴题型十：非对称型韦达：构造韦达“和” √满分技法 非对称型韦达定理“和与积互化”型思维： 1、在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构。 2、但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”。 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，且． (1)求的渐近线方程． (2)点为的左支上一点，且．分别为的左、右顶点，过点的直线交的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点． ①求直线的方程； ②证明：点到直线的距离为定值． 2．已知动点P到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．其中，，且，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明轨迹的形状； (2)当时，记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于D，E两点，直线与交于点Q，求证：点Q在定直线上； (3)当时，设，若C上两动点M，N均在x轴上方，，且与相交于点R，求证：的周长为定值． 3．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 4．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 压轴题型十一：非对称型韦达：韦达“积与和线性”代换 1．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 2．已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值. (3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直. 3．设双曲线，点，为双曲线的左､右顶点，点为双曲线上异于顶点的一点，设直线，的斜率分别为，. (1)证明：； (2)若过点作不与轴重合的直线与双曲线交于不同两点，，设直线，的斜率分别为，.是否存在常数使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 4．如果一条双曲线的实轴和虚轴分别为一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆为“共轴”曲线，且椭圆，（，分别为曲线的离心率）．已知O为坐标原点，点，点P为双曲线右支上不同于顶点的一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段PO到点Q，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)点A，B分别为双曲线的左、右顶点，直线PM交双曲线的左支于点R，直线AP，BR的斜率分别为，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 压轴题型十二：极点与极线 √满分技法 已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 1．如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.   (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 2.已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 3．对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.根据上述材料回答下面问题：已知椭圆，右焦点，点在椭圆上，已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与椭圆交于点. (1)若，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，极线交椭圆于两点，点在轴上方，点分别是椭圆的左､右顶点，直线､直线分别交轴于两点，点为坐标原点，求的值. 4．“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线，点，直线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．已知为圆上一点，点，动点满足：，且三点共线，动点的轨迹为． (1)若为上一点． （i）对于曲线，与极点对应的极线与直线和分别交于两点，求证：点为线段的中点； （ii）过分别作斜率为的直线，与直线和分别交于两点，求四边形（为坐标原点）的面积． (2)对于曲线，与极点对应的极线与相交于（在第一象限），，直线在轴上的截距分别为，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题18 圆锥曲线压轴大题归类 综述 解析几何大题，主要体现在“韦达定理化”转化处理计算上。 一、常见韦达化处理 倘若定点，在椭圆上的动点，那么： （1），此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解. （2）,这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得： （*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作. （3）. （4）面积计算 ①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离） =（直线为斜截式y=kx+m） = ②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 注：注意直线代换中直线反设法的应用，即设 非韦达定理化处理常见思维： 1、在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构。 2、但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”． 压轴题型一：韦达定理基础 √满分技法 基本模板实战模板 1、设点， 2、方程1：设直线：-----此处还有千言万语，在后边分类细说。 3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去分母 4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立后方程 的二次项能否为零-----这就是实战经验。 5、（1）； （2）二次项系数是否为0；------这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须考虑。 6、方程4、5：韦达定理 7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一个条件 1． 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析(2) 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上，所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且，因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得，所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，    所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l，综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:，将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 2．已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）根据斜率乘积得，再代入即可得其曲线方程； （2）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到的表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以，故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且，故， 故．即， 则，即，解得或，即或： 故的方程为：或． 3．已知动点到两定点，的距离之和为定值，且过点． (1)求动点的轨迹方程C； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程． 【答案】(1)(2)为或. 【分析】（1）根据给定条件，利用两点间距离公式求出定值并确定轨迹图形，进而求出方程. （2）设出直线的方程，与的方程联立，结合韦达定理及三角形面积求出参数即可. 【详解】（1）依题意，点到点的距离和为， 因此动点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为4的椭圆，短半轴长为， 所以动点的轨迹方程C：. （2）直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， 的面积 ，解得，所以直线的方程为或. 4．已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点.若，求点的坐标. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据点在椭圆上及三角形面积公式求椭圆参数，即可得方程； （2）设，联立椭圆方程，并写出对应韦达公式，由三角形面积相等有，进而得到三角形相似，再确定为线段的中垂线与椭圆的交点，即可求的坐标. 【详解】（1）由的面积为，得，解得，所以①， 又因为点在椭圆上，所以②，联立①②解得，所以椭圆的标准方程为 （2）设，联立方程， 消得：，直线与线段交于点，则， 所以，所以， 由得：，即，又. 所以，所以，则，所以，又， 所以，所以，所以为线段的中垂线与椭圆的交点， 由，解得：或，因此，的坐标为 压轴题型二：直线各种形式“设法” √满分技法 横截式设法： （1）直线AB方程为，联立曲线方程， 结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况； （2） 设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式. （3） 双变量设法 当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论k是否存在情况 当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 （1） （2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 （3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。 （4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律： 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 1．已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1. (1)求的方程； (2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据抛物线可得的值，从而得抛物线方程； （2）在点处的切线，联立直线与双曲线可得关系，设直线的倾斜角分别为，则，，从而结合正切两角差公式化简，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）设，则由题意，得，解得， 所以的方程为； （2）在点处的切线，设直线的倾斜角分别为，联立则，得，则， 且，则，故， 设直线的倾斜角分别为，则， 又，所以， 当且时等号成立，即的最大值为. 2．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与C交于不同两点，且满足为坐标原点，则： ①的面积是否为定值？ ②椭圆C上是否存在点M（异于点），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①答案见解析；②不存在，理由见解析 【分析】（1）根据点在椭圆上及椭圆的离心率即可得椭圆方程； （2）直线的斜率存在时，设直线的方程为：，且，联立直线与椭圆得交点坐标关系，根据关系；①确定原点到直线的距离，根据面积公式求解即可判断是否为定值；②若，则为的重心，且，由重心坐标公式判断即可. 【详解】（1）由题可得，解得，所以椭圆C的方程为； （2）① 当直线的斜率不存在时，则，，由于 所以，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，且， 联立，得， 由得，则，则， 整理得，则或； 当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时，点到直线的距离为， 则的面积 ， 若，则不是定值； 若，为定值.②设，则， 由于，则点到三边的距离等于对应边上的高长的，故为的重心，则，由（2）已得：， 则，， ，代入，可得，又，联立后无解， 故椭圆C上不存在点M，满足. 3．已知椭圆：，点在椭圆上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点重合的点、和点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)若一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线.定点到直线的距离记为，求的最大值并求出对应的直线的方程. 【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）设且，根据，及点在椭圆上求椭圆参数值，即可得方程； （2）设，，点差法得，进而得到，则，最后由求参数，直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，应用点线距离公式求的最大值. 【详解】（1）设且，则， 所以，又在椭圆上，即，可得， 所以，由在椭圆上，即，即，故，可得， 综上，椭圆方程为； （2）由题意，直线的斜率存在，设，，由，，作差得，整理有，因为线段的中点，则且， 所以，可得，故，所以直线，即，过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，由，而，可得，经检验满足题设， 所以的最大值为，直线. 4．已知双曲线的右焦点为且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，不过点的直线与双曲线交于，两点，且，，的斜率依次成等比数列，求点到直线距离的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消得，结合条件和韦达定理得到，且，利用点到直线的距离公式得，令，得，再利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，又，所以双曲线方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，， 联立，消得，所以， 又因为，即，所以， 整理得到，又，∴ ∴，则，所以点到直线的距离， 令，则，又因为，整理得， 将代入得到，解得，∴，，则，当时，， 令，当，，，，又， 所以当时，恒成立， ∴在区间单调递增，又当时，，当，，∴，即点到直线的距离的取值范围为. 压轴题型三：面积范围最值型 √满分技法 求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意 1. 注意变量的范围。 2. 式子转化为求值域或者求最值的专题复习 一些常见的思维： 1.可以借助均值不等式求最值。 2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。 分式型：以下几种求最值的基本方法 （1） （2）与型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。 （3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解 1．已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，直线与直线交于点. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）. 【分析】（1）先根据点与渐近线的位置关系确定双曲线的焦点在x轴上，再利用待定系数法求解双曲线的方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，，写出直线PM的方程，令得点A的坐标，写出直线的方程，令即可求出定点；（ⅱ）先说明直线BP也过定点，即，根据题意判断出参数的取值范围，表达出面积，利用换元法求最小值即可. 【详解】（1）因为点在渐近线上方，所以双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的方程为（，）.由题知，解得，， 故双曲线的方程为； （2）（ⅰ）证明：因为两点P，Q在双曲线C的右支，所以直线与x轴不重合，设直线的方程为，，.联立方程得， 则，，， 直线PM的方程为，令，得点A的坐标为， 所以直线的方程为，令，得直线与x轴交点的横坐标 . 故直线恒过定点. （ⅱ）由（ⅰ）同理可得，直线BP也过定点，因为直线与直线BP交于点D，所以. 因为过点N的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点， 所以或或，即. . 令，则，， 因为函数在上单调递增，故， 故的面积的最小值为. 2．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由离心率的定义，三角形的面积，椭圆中，解方程可得； （2）分直线的斜率存在与否，当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立表示出韦达定理，再利用图形化简面积表达式，然后利用非对称韦达定理表示出面积表达式，再设，构造函数，利用单调性求取值范围可得. 【详解】（1）由题意可得，又，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则四点共线，不存在面积比，不符合题意； 若直线的斜率存在，如图，设直线的方程为， 联立，消去得，，所以，即，所以，因为，，又，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，所以， 设，由于在之间，所以，即，设，在上单调递增， 令，解得，令，解得（舍）或，故， 所以. 3．已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)当=1时，求弦长； (3)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆方程. （2）利用弦长公式 （3）结合椭圆定义由三角形面积表示其内切圆半径，再联立直线与椭圆方程，求出三角形面积的函数关系，然后探讨最值即得. 【详解】（1）依题意，椭圆右焦点，即半焦距，又离心率，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由，消去x得：， 根据韦达定理可知，根据弦长公式. （3）设的内切圆半径为，而的周长为，由，得，因此的面积最大时，其内切圆半径最大，设，直线为， 由消去x得：，则， 于是， 令，则，， 当且仅当，即时等号成立，此时，所以的内切圆的半径最大时. 4．已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围. 【答案】(1)(2)的大小为定值(3) 【分析】（1）根据椭圆的性质， 可求出的值，进而得到两焦点坐标.再利用椭圆的定义求出的值，最后根据求出的值，从而得到椭圆方程. （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论.当斜率不存在时，求出直线的方程，进而求出，的坐标，判断的大小；当斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，的表达式，再通过向量的数量积判断与是否垂直，从而确定的大小.   （3）同样分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论.当斜率不存在时，直接求出，进而求出面积；当斜率存在时，先求出的表达式，再根据三角形面积公式求出的表达式，最后结合基本不等式求出的取值范围. 【详解】（1）已知椭圆的，则，两焦点为，. 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得 即，即. 又因为，根据，可得，所以.所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时：直线的方程为，由对称性，不妨令直线的方程为. 联立，将代入得：   即，此时OM与ON垂直，易知.当直线的斜率存在时：设直线的方程为，，.由点到直线的距离公式，可得，两边平方得. 联立，消去得. 则，即. 由韦达定理可得，. 所以 将代入上式得： 所以，即.综上，的大小为定值，该定值为. （3）当直线的斜率不存在时：，则. 当直线的斜率存在时： 将代入上式得： 所以三角形的面积.当时，； 当时，.由基本不等式（当且仅当，即时取等号）.则，，，，，即. 综上，. 压轴题型四：定值型 √满分技法 求定值问题常见的思路和方法技巧： （1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题 1．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析，定值为 【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径，根据抛物线的准线与圆相切求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据轴可求出的值，由此可得出直线的斜率； （3）利用抛物线的焦点弦长公式以及平面内两点间的距离公式可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切， 则，因为，解得，故抛物线的方程为. （2）设点、、，显然直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立可得，则，由韦达定理可得，， 则，，即点， 因为轴，则，解得，因此，直线的斜率为. （3）由抛物线焦点弦长公式可得， 由（2）可得， 所以. 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值. 【答案】(1)(2)12 【分析】（1）由双曲线渐近线方程的性质结合解方程可得； （2）设出直线方程，直曲联立，由韦达定理表示出弦长，求出，再由同角的三角函数关系结合点到直线的距离公式和三角形的面积公式可得. 【详解】（1）由可得，即，又，即，且， 联立可得，所以双曲线的标准方程为. （2）由题意可得当时，，显然不合题意，所以， 设直线方程为，，联立，消去可得，因为直线经过与的右支交于不同的两点，， 所以，， ，即 两边取平方后化简可得， 进一步化简可得，因为直线经过与的右支交于不同的两点，所以，解得，又，原点到直线的距离，所以. 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，过点且垂直于轴的直线交所得的弦长为6，的周长为20． (1)求的方程； (2)设的上、下顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，试问的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)(2)是， 【分析】（1）根据通径以及焦点三角形的周长即可联立求解， （2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理得，直线与直线的方程得出，然后根据面积公式求解即可 【详解】（1）因为的周长为20，，所以， 所以，得，即， 所以，解得．设双曲线的半焦距为．联立方程解得或所以，则，即，所以，所以，故的方程为． （2）的面积是定值．依题意可设直线的方程为， 如图，设． 联立得整理得，， 则，所以则． 直线的方程为，直线的方程为，因为是直线与直线的交点， 所以整理得，所以，解得． 故点在定直线上．设中边上的高为， 则． 4．已知圆，圆过点且与圆内切，若圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），且曲线与轴交于两点（在点左侧），记直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)是定值，该定值为 【分析】（1）因为内切，故到点和距离之和为，曲线为椭圆. （2）根据题干设出直线方程，再与椭圆联立，结合韦达定理把表示出来化简求值即可. 【详解】（1）设，则，则在圆内部， 则，即为， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆，设曲线的方程为：， 则，解得，故，则的方程为； （2）如图,令，则， 易知直线斜率不为0，设直线， 则化简得，则， ，同理，且，则，，所以是定值，该定值为． 压轴题型五：斜率型 √满分技法 给定椭圆，与椭圆上定点P，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有 1．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是的右顶点，且，. (1)求的方程； (2)是上一点，且，求的面积； (3)已知，是上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）结合题意建立方程组，求解出基本量，进而得到双曲线方程即可. （2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式求解面积即可. （3）结合题意先排除特殊情况，进而设出的方程，再联立并使用韦达定理得到，，最后结合求出定点即可. 【详解】（1）由题意得，，解得，，得到，故的方程为. （2）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理得， 解得，则的面积为. （3）易知，如图，设，， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得，所以，， 因为，所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 2．已知椭圆的离心率是，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记圆的方程是． ①若与圆相切的直线经过的右焦点，且与交于，两点，求； ②斜率为的直线经过坐标原点，与交于，两点，若是的上顶点，直线交圆于点，直线交圆于点，记直线的斜率为，求值：． 【答案】(1)；(2)①2；②. 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上求椭圆参数值，即可得方程； （2）①令，与圆的相切关系求得，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式求；②设，则，则，，联立圆的方程求得，，应用两点式求斜率，即可得. 【详解】（1）由题设，可得，即椭圆方程为； （2）①由题设，令，与圆相切，知，可得， 所以，联立整理得， 所以，则，，所以； ②设，则，而，则，，与联立得，整理得， 所以或，显然，同理可得， 所以，而，则. 3．知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足． (1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程； (2)设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点． （i）当且时，求面积的最小值； （ⅱ）若 （为常数），证明：直线ST过定点． 【答案】(1)；(2)（i）4；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）设，利用向量的坐标运算列式求出轨迹方程. （2）（i）设出直线方程，与的方程联立求出点的坐标，进而求得的坐标，再则已知求出三角形面积的关系，借助基本不等式求出最小值；（ⅱ）由（i）中信息，求出直线的方程，结合已知求得直线所过定点即得. 【详解】（1）设，，， 由，得，解得，由，得，则，即，所以点M的轨迹的方程为. （2）（i）设直线方程为，设，由消去得，则，，， 直线方程为，同理， 当时，，由，得，因此的面积， 当且仅当且时取等号，所以面积的最小值为4.   （ⅱ）由（i）得直线的斜率， 直线的方程，即， 又，则，则有， 即，由，得，所以直线ST过定点. 4．设椭圆的离心率等于，、、分别是椭圆的三个不同的顶点，的面积为2． (1)求椭圆的方程； (2)若、是椭圆的左、右顶点，动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，且，求证：直线经过定点． 【答案】(1)(2)证明见详解 【分析】（1）根据椭圆的离心率的值和面积，可得a、b、c的值，即可求出椭圆的方程 （2）设直线AP的方程，与椭圆的方程联立，可得P的坐标，同理可得Q的坐标，进而求出直线PQ的方程，可证得直线经过定点. 【详解】（1）由题意可知：，解得，所以椭圆的方程. （2）由（1）可知：，由题意可知：直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率，直线的方程为，联立消去得，因为直线过点，则，即， 代入，得，即.同理：直线的方程为， 联立，消去得. 因为直线过点，则，即，代入，得，即，若，则，即直线的斜率，直线的方程为，令，解得， 可得直线过定点.若，此时，直线也过点. 所以直线过定点. 压轴题型六：定直线型 √满分技法 求定直线是圆锥曲线求定点定值定直线的一个较难的题型。一般有两种思维： 1. 利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 2.相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。 1．已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1)(2)①；②是，直线方程为，理由见解析 【分析】（1）由已知得到关于的方程，解得，然后求解，即可得椭圆方程； （2）①由已知可得，根据两点间距离公式可得，代入，由基本不等式即可求解；②设直线：，，与椭圆方程联立由韦达定理可得，由已知可得，的方程，联立可得，将直线的方程与直线联立即可求解. 【详解】（1）由已知，解得，所以，所以椭圆方程为； （2）①因为切线交轴于点，所以，， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 因为，所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； ②由已知设直线：，，由消元得， 则，，所以，因为，，所以，因为，，所以， 所以， 即点，所以直线的方程为， 与直线联立，得，因为，所以，代入上式可得 ， 即，解得，即点在直线上. 2．已知点是圆O：上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设分别是与轴的交点，（点在轴正半轴上），过点的直线与分别交于点（异于点），直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设出点坐标并根据向量线性坐标运算，利用坐标代换可求得的方程； （2）联立直线与的方程并利用韦达定理得出直线与直线的方程并求出交点的坐标，可求得点在定直线上． 【详解】（1）设，因为为在轴上的射影，所以．如下图： 已知，则，可得， 即．又因为在圆O：上，将代入圆方程得， 即，所以的方程为． （2）由（1）易知，由题意知，直线不垂直于轴， 故设直线：，由点在内，则直线与恒有两个交点，设为，． 联立，得， 由韦达定理得，，则（*）． 又直线的方程为，直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 则联立方程，解得， 将（*）式代入化简得，故点在定直线：上． 3．已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【详解】（1）由题意：，解得，所以双曲线的方程为：. （2）（i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 4．椭圆中，离心率是，右顶点到上顶点的距离为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左顶点为，经过点的直线与椭圆交于，过点作的平行线，与交于点．判断是否在定直线上？若在，求出该直线；若不在，请说明理由． 【答案】(1)(2)在定直线上， 理由见解析. 【分析】（1）由条件结合离心率定义，关系列关于的方程，解方程求，由此可得椭圆方程； （2）设直线，，，联立直线与椭圆的方程，利用设而不求法证明，求直线与直线的方程，由直线与直线的方程消并证明，由此可得结论. 【详解】（1）由题意可得， 解得，，所以椭圆的标准方程为； （2）在定直线上，证明如下：     由题可得，，，由已知可得，所以三点不共线，所以直线斜率不为， 故可设直线的方程为，设，，直线与椭圆联立， 消可得，，该方程的判别式， 则，，易得 直线①，直线②由①②联立，消去可得即 即 即即故点在定直线上. 压轴题型七：韦达定理综合型 1．已知曲线的左右焦点为为其左支上的一个动点．当时，有，且曲线的离心率为． (1)求曲线的方程； (2)以点为切点作曲线的切线，过点、作切线的垂线，垂足为、． （ⅰ）试用表示与，并证明和面积相等； （ⅱ）求点的轨迹方程． 【答案】(1)(2)（ⅰ），，证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由题意写出焦半径，利用勾股定理以及离心率的计算，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出切线方程，联立双曲线方程，由判别式为零，可证切线方程的表示，利用点到直线距离以及两点距离，根据锐角三角函数，可得正弦值，根据三角形的面积公式，可得答案；（ii）根据中位线定理，结合双曲线定义，可得轨迹方程，根据线段长度的取值范围，求得方程中变量的范围，可得答案. 【详解】（1）由于点在左支，则有， 由，有，又，联立解得（舍负）． 则，，曲线的方程为． （2）（ⅰ）首先是表示经过点的直线， 下面证明其恰是以点为切点曲线的切线．联立与可得，所以有，这说明是以点为切点曲线的切线． 其次，由于，则有， 同理有，注意到，且， 则有，同理有． 所以，这说明与相等或互补（舍去）． 所以有，记．则有，，因此有． （ⅱ）延长与交于点，易知，则， 则三角形为等腰三角形．连接，由于分别是的中点， 则有，所以点的轨迹为以圆心，以为半径的圆，其轨迹方程为，注意到， 其中，所以有，设，则有，联立，解得，所以点的轨迹方程为． 2．已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为 (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q 均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q 在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值. 【答案】(1)(2)是定值，2(3) 【分析】（1）利用线段的中点在直线上列式计算求解； （2）设直线PQ的方程为，且，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算定值即可； （3）设，先求出，可得直线的方程为，再应用点到直线距离结合韦达定理及基本不等式计算求解. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 该中点在直线上，所以，解得，所以C的方程为 （2）设直线PQ的方程为，且，联立方程组，整理得， 可得，且，则 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标，所以 ，所以为定值2. （3）设，与联立，得， 所以用代替k可得， ，因此直线的方程为，点到直线GH的距离为，因为 ， 所以 ，令，由得， 所以当且仅当，即时取等号. 所以的最大值为 3．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2. (1)求C的方程. (2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点. (3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)8 【分析】（1）设，根据的面积列式求得的面积，根据焦半径公式得，代入抛物线方程求得，即可得解； （2）设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，利用两点式斜率公式结合列式化简得，即可求解直线AB过定点； （3）利用判别式法求出直线GM的方程为，直线，且，设直线，与抛物线方程联立韦达定理求得，即可得直线，与直线联立求得，从而利用两点距离公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离为，进而求得，最后利用二次函数性质求得最值即可. 【详解】（1）设，则的面积为，所以， 根据抛物线的定义，得，所以，所以，解得，即C的方程为. （2）由（1）知，设，，直线AB的方程为， 则且，联立可得，， 由韦达定理可得，，，同理， 又因为，所以，整理得，所以，即，所以，即直线AB过定点； （3）因为，所以，设直线GM的方程为， 由可得，则，解得， 所以直线GM的方程为，且，同理可得直线， 设，因为，所以即， 由得，设直线，由可得，由，可得或， 当时，直线，与直线GM的方程一样，舍去，故，所以直线，即，与直线联立求得， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为， 因为，所以当时，面积取到最大值为8. 4．双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． (1)求点的轨迹方程及的最小值； (2)直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 【答案】(1)，5(2)（i）；（ii） 【分析】（1）设，根据题意列方程化简即可求解点的轨迹方程，根据双曲线的第二定得，然后利用三点共线求得最小距离； （2）（i）设直线方程，与双曲线方程联立韦达定理，利用弦长公式求出，分别求出点，的坐标，进而求出的表达式，然后利用二次函数性质求解范围即可； （ii）设直线方程，与双曲线方程联立韦达定理，利用弦长公式求出，分别求出点，的坐标，进而求出，，从而，根据正切函数单调性得，再由求解范围即可. 【详解】（1）设，由题意，所以， 平方化简得，即点的轨迹方程为．由双曲线的第二定义可知，又的最小值为到准线的水平距离， 所以的最小值为． （2）（i）如图：双曲线的渐近线为，显然直线过焦点的直线斜率不为0，故可设其方程为：．由， 整理得：．设，则， 所以． 于是．又由，即； 同理：，所以． 所以，因为直线与轨迹的右支交于两点，，所以， 所以，所以．（ii）设，， 联立，则，所以，即， 且，，则，则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点，则，整理得．则，，，由，，则，，则，解得， 又 ，则， 又，则，即， 又，则的取值范围为. 压轴题型八：点带入型 √满分技法 椭圆与双曲线也满足点带入转化。 1．已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）讨论与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【详解】（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时， 若与双曲线交于右支两点，则，解得，综上可知： （2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直，易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设，代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为，所以，若的斜率存在， 设直线AB的方程为，联立方程得， 整理为： ①故 ② ③由，平方得 将式②、③代入得 ④设，于是， ⑤ . ⑥因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积，于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为，所以且， 所以综上四边形的面积的最大值为. 2．对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用A，B关于点P“-共轭”的定义计算得解. （2）利用A，B为点P的“-共轭点对”的定义列出方程组，再判断方程组有解即可. （3）利用（2）的信息求出直线方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理、结合三角形面积公式求出函数关系，借助对勾函数单调性求出最大值. 【详解】（1）依题意，， 则，，而， 因此，，所以点. （2）设，，，并记， 则，因此，即，于是，即， 因此只要证明方程组有解即可，令，，，， 则只要证明方程组有解即可，而点P在椭圆外，则，即， 圆的圆心到直线的距离， 因此直线和圆相交，即方程组有解， 所以存在点A，B使得它们关于点P构成“-共轭点对”. （3）设，，，由（2）知直线的方程为， 由消去得，， 又，则 ，令，函数在上单调递增， 当时，，即当时，，所以面积的最大值为. 3．已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线l交C于P，Q两点． (1)若C的一条渐近线方程为，求C的方程； (2)连接并延长交C于点R． ①设点P在第一象限，若，求点P的坐标； ②若，求b的取值范围， 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，可得，求得，即可求解； （2）①根据双曲线的对称，可得，所以，得到，设，则，联立方程组，进而求得的坐标； ②设直线，设点，由双曲线的对称性，得到，联立方程组，得到，且，根据，化简得到，结合，，即可求解. 【详解】（1）解：由双曲线，可得， 因为双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）解：①当时，双曲线的方程为，根据双曲线的对称，可得， 所以，所以，所以， 设，则，又由方程组，解得， 所以，可得，②由双曲线，可得， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 设直线的方程为，设点，由的延长线交双曲线与点， 根据双曲线的对称性，可得，联立方程组，整理得， 显然二次项系数，其中， 所以，则， 所以，因为在直线上，则， 即，即， 将代入， 即，可得， 所以，代入，可得，所以， 且，解得，又因为，则，所以， 所以实数的取值范围为. 4．在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 【答案】(1)(2)（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）的取值范围为 【分析】（1）由题意可得动点Q到点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可求轨迹方程； （2）（ⅰ）设，利用点在曲线上，可得，同理求得，结合已知可得，进而结合已知可得，结合直线的方程可求定点；（ⅱ）设，且，由题意可得，利用换元法可求得的取值的范围. 【详解】（1）依题意可知动点Q到点的距离等于到直线的距离， 所以动点Q的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以C的方程为； （2）（ⅰ）设，因为在曲线上，所以，两式相减得：， 则理可得，，因为为直角三角形，所以， 所以，即，则， 又因为的重心G在x轴上，则有，即， 所以，直线的方程为， 所以直线的方程为，所以直线过定点； （ⅱ）设，且，因为是的重心，所以，不妨设，所以，， 所以，又因为，所以，令，所以， 又因为在的下方，所以，即，即， 令，即，设，则在为增函数， 所以，即. 压轴题型九：非对称型韦达：定比分点型 √满分技法 若有 1.利用公式，可消去参数 2.可以直接借助韦达定理反解消去两根 定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足） 可以利用公式，可消去 1．已知椭圆C：，，且椭圆C右焦点为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）结合，，求解即可得答案； （2）根据题意设直线l的方程为，进而与椭圆联立方程得，再结合得，进一步求解得即可得答案. 【详解】（1）解：∵ ，，∴ 解得，.∴椭圆C的方程为： （2）解：易知直线l的斜率存在且不为零.设，，直线l的方程为：. 联立：，可得.其中 由韦达定理有：又∵，可得代入韦达定理有，可得解得，.∴直线l的方程为：或. 2．已知椭圆的左焦点，点在上，过的直线与交于，两点.（1）求的标准方程； （2）当时，求直线的方程； （3）已知点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）由，再把已知点坐标代入方程可求得，得椭圆方程； （2）验证斜率为0的直线不合题意，直线的斜率不为0，设直线， 设点，，直线方程代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得，由向量的数乘运算得与的关系，结合可求得参数，得直线方程． （3）记直线，的斜率分别为，，计算，代入（2）中的，得为0，得是的平分线，从而可得结论． 【详解】解：（1）根据椭圆的左焦点，得.由点在上，得. 又，所以，，故的标准方程为. （2）当直线的斜率为0时，易知或，不符合题意， 故直线的斜率不为0，设直线，把代入，得， 设点，，则，.因为，所以，即， 所以，，所以，解得， 所以直线的方程为，即.（3）由题意得直线的斜率不为0. 由（2）知，，，记直线，的斜率分别为，， 则.由，，得. 而，故， 所以是的平分线，故点到直线，的距离相等所以以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切. 【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的位置关系问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元､化简，然后利用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，本题第（3）问求解的难点是考生能否将要证的问题转化为证明是的平分线，进而想到利用直线，的斜率之和为0来求解问题. 3．已知直线的方程为：，直线与轴的交点为，圆的方程为： ，、在圆上， ，设线段的中点为． （1）如果为平行四边形，求动点的轨迹； （2）已知椭圆的中心在原点，右焦点为，直线交椭圆于、两点，又，求椭圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出点的坐标，几何法算出的轨迹方程，再利用相关点代入法求的轨迹方程； （2）利用余弦定理解三角形即可获解 【详解】(1)直线与轴的交点为 设线段CD的中点的坐标为,由题意可得 所以,化简得(*) 因为四边形CFDG为平行四边形,则点为线段FG的中点. 设点的坐标为,则代入(*)式得,化简得 所以点的轨迹方程为 (2)设直线的倾斜角为,则,所以.设椭圆方程为,其中 设,在中,由余弦定理得 即,即 所以,即 设,在中,由余弦定理得 即,即。所以,即 因为,所以即因为,所以，又,所以 所以椭圆的方程为 4．已知椭圆：的离心率为，且过点．右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）设过右焦点为的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由题意可知，再将点代入椭圆方程，结合可得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，代入向量的坐标表示可得，建立关于的方程，求得直线的方程. 【详解】（1）解：因为，所以，，设椭圆的方程为．将点的坐标代入得：，所以，椭圆的方程为． （2）因为右焦点为，设直线的方程为：， 代入椭圆中并化简得：， 设，，因为，所以， 即，所以，， 即，解得，所以， 所以直线的方程为：或． 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，主要考查转化与化归和计算能力，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具. 压轴题型十：非对称型韦达：构造韦达“和” √满分技法 非对称型韦达定理“和与积互化”型思维： 1、在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构。 2、但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”。 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，且． (1)求的渐近线方程． (2)点为的左支上一点，且．分别为的左、右顶点，过点的直线交的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点． ①求直线的方程； ②证明：点到直线的距离为定值． 【答案】(1)(2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据焦距求出，即可求出渐近线方程； （2）①设，则，利用余弦定理可求出，再利用勾股定理证明，即可得出结论；②可设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出直线的方程，再联立方程，从而可求出动点所在的位置，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，解得，则， 所以双曲线，所以的渐近线方程为； （2）①设，则，由余弦定理得， 即，解得（负根舍去），所以， 所以，则，所以直线的方程为； ②易知直线的斜率不为零，则可设直线的方程为， 设，联立，得， 恒成立，则， 由题意得且，所以，则直线，直线，联立可得 ，解得，故动点在直线上， 所以点到直线的距离为，所以点到直线的距离为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．已知动点P到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．其中，，且，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明轨迹的形状； (2)当时，记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于D，E两点，直线与交于点Q，求证：点Q在定直线上； (3)当时，设，若C上两动点M，N均在x轴上方，，且与相交于点R，求证：的周长为定值． 【答案】(1),形状见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）设点，由题意得到方程，分和，得到轨迹形状； （2）设过点的直线为：，与双曲线方程联立，得，由韦达定理得，直线：，直线：，联立得：，即可求解； （3），设，根据题干结论表达出，，所以，由椭圆定义和平行关系计算出，则的周长为定值． 【详解】（1）依题意，设点，则，化简得，， 当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，当时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线． （2）当时，曲线C的方程为：，则， 设过点的直线为：，由，消去x得，设，得，，则，直线：，直线：， 联立得：，解得， 直线与交于点Q在定直线上． （3）当时，曲线C的方程为：，， 设点，其中，由对称性可知， 因为，所以，因此，三点共线， 且，由题干条件可得， 动点P到定点的距离与它到定直线的距离的比为常数， 设（不妨记为锐角），过点N作⊥轴于点，作⊥直线于点T， 直线与x轴交点为W，则，，故， 所以，解得， 同理由，解得，所以， 所以为定值；由椭圆定义，得，，解得，同理可得，所以 ,因为，所以的周长为定值. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【详解】（1）由题意可知，因为，所以.设，则，所以，又，所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾，所以直线的斜率不能为0， 设的方程为.联立，化简得 所以，所以，， 直线AD的方程为，直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得，所以， 所以，所以.所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 4．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1)(2)（i）或；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足,从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. 【详解】（1）由题意可知，因为，所以. 设，则，所以，又， 所以.所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得，因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：，所以或； （ii），直线AD的方程为 直线BE的方程为.联立直线AD与BE的方程，得， 所以，所以， 所以. 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 压轴题型十一：非对称型韦达：韦达“积与和线性”代换 1．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标和离心率公式求出的值，从而得到双曲线方程和渐近线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值.【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， 可得，解得，，所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为． （2）由（1）知，，．显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，，由，消去，得， 显然，，则，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 2．已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值. (3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直. 【答案】(1)；(2)；(3)存在. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求解即得. （3）设出双曲线的两条切线方程，与双曲线方程联立，结合判别式求出两条切线交点的轨迹方程，再判断与圆的位置关系即可得解. 【详解】（1）由对称性知，双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，设，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，由消去x得，显然，，则，即， 所以. （3）圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直. 若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0，设双曲线的两条切线分别为，将代入消去得：， 由得，解得， 因此，设两条切线的交点坐标为， 则，即有，且， 即， 于是是方程的两根， 而，则，即，从而两条切线们交点的轨迹为圆， 而的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为3， 显然，满足，即圆与圆相交， 所以圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直. 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 3．设双曲线，点，为双曲线的左､右顶点，点为双曲线上异于顶点的一点，设直线，的斜率分别为，. (1)证明：； (2)若过点作不与轴重合的直线与双曲线交于不同两点，，设直线，的斜率分别为，.是否存在常数使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在常数使 【分析】（1）由双曲线方程可确定顶点坐标，从而表示出，，利用点在双曲线上进行化简即可证明； （2）假设存在，则可设出直线l方程，和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式并进行变形，表示出，并将变形后的关系式代入化简，进而可解得t的值，则可说明存在常数使. 【详解】（1）证明：由双曲线，点A，为双曲线的左､右顶点，可知： , 设 ，则 ，所以 ； （2）假设存在常数使，由题意设直线l的方程为 ， 联立 ，整理得： ，设 ，则 ，所以 ，则，故， 而 ，所以 = = = ， 令，解得 ，故存在常数，使. 4．如果一条双曲线的实轴和虚轴分别为一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆为“共轴”曲线，且椭圆，（，分别为曲线的离心率）．已知O为坐标原点，点，点P为双曲线右支上不同于顶点的一点． (1)求双曲线的方程； (2)延长线段PO到点Q，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； (3)点A，B分别为双曲线的左、右顶点，直线PM交双曲线的左支于点R，直线AP，BR的斜率分别为，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或．(3)存在， 【分析】（1）由题意，设双曲线方程为：，利用求出的值，即得双曲线方程； （2）设，由得到，由题意建立方程组，解之即得； （3）设直线的方程为，，，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，计算并化简，利用韦达定理和积互化，即得定值，从而得解. 【详解】（1）由题意，可设双曲线方程为：，因为，解得，则双曲线的方程为. （2）设，因为，所以，， 因为点在椭圆上，则得，① 因为点P为双曲线上任意一点，所以，② 联立①②，解得，由于，所以点P的坐标为或． （3）由已知得，直线PR的斜率必存在且不为0， 设直线PR的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 因为双曲线的渐近线方程为，直线PM交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，，可得到关系式：， 所以． 综上所述存在实数，使得． 【点睛】关键点点睛：关键在于将直线与圆锥曲线方程联立，写出韦达定理后，要建立两根和与积的数量关系，为下一步处理非对称式时和积互化奠定基础. 压轴题型十二：极点与极线 √满分技法 已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 1．如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.   (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)，(2)①证明过程见解析②证明过程见解析，定点坐标为 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上面，列出不等式组即可得的范围，由的关系以及短轴长列出方程组即可得，由此即可得椭圆方程. （2）为了说明结论的验证性，首先证明一下题述引理（用解析几何方法），即联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理以及斜率公式证明即可，从而对于①由结论法说明Q是和的交点，且，结合由此即可进一步得证；对于②由结论法可表示出的方程，由此整理即可得解. 【详解】（1）由题意焦点在轴上，所以，解得，即的范围为， 且，解得，所以椭圆方程为. （2）我们首先给出题目给出的引理的证明：设，则Q在P的极线上， 现在如果经过P的直线交椭圆于： 那么，代入椭圆就得到， 所以 ，由韦达定理有， 此时要证明的是：，也就是， 也就是，也就是，     也就是， 也就是，     也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 这显然成立，所以结论得证.接下来我们回到原题，   ①首先由于Q在P的极线上，故由引理有，， 而，所以，这表明Q是和的交点，又由于，故， 设，而，，， 所以，也就是E是的中点； ②设，那么，所以， 这表明的方程是，即， 所以恒过点. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是用解析几何证明题述引理的正确性，由此即可利用结论法进一步求解. 2.已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【详解】（1）右顶点为，，双曲线的一条渐近线方程为：， 由，，双曲线的标准方程点在直线上， 设，根据阅读材料可得极线为：， 整理有：，则由，，定点为. （2）若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得：又因为：，，所以解得：，所以极线方程为：. （3）  ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即，由 设，由韦达定理可得，， 直线，得，直线，得， ，、满足，，， 且，，所以原式化为： . 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值. 3．对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.根据上述材料回答下面问题：已知椭圆，右焦点，点在椭圆上，已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与椭圆交于点. (1)若，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，极线交椭圆于两点，点在轴上方，点分别是椭圆的左､右顶点，直线､直线分别交轴于两点，点为坐标原点，求的值. 【答案】(1)证明见详解(2)(3)3 【分析】（1）根据已知条件，确定椭圆的方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，可确定极线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有，化简整理即可求解. 【详解】（1）由椭圆的右焦点为，点在椭圆上， 则，解得，椭圆的方程为， 因为点在直线上，则设， 所以极线的方程为，整理得， 则，解得，所以极线过定点. （2）若定点是的中点，设，则，两式相减得， 整理得，又，，所以， 所以此时极线的方程为，即.（3），直线方程为， 由题意，设，则极线的方程为，即，由，消去得，设，，，， 直线，令，可得，即， 直线，令，可得，即， ，又，， . 4．“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线，点，直线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．已知为圆上一点，点，动点满足：，且三点共线，动点的轨迹为． (1)若为上一点． （i）对于曲线，与极点对应的极线与直线和分别交于两点，求证：点为线段的中点； （ii）过分别作斜率为的直线，与直线和分别交于两点，求四边形（为坐标原点）的面积． (2)对于曲线，与极点对应的极线与相交于（在第一象限），，直线在轴上的截距分别为，求的值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)【分析】（1）由数量积运算可得，则由可知点的轨迹是双曲线，再根据焦距和实轴长求出其方程； （i）根据条件写出点对应的极线方程，再将其与双曲线的渐近线方程联立，得出点的坐标，最后利用中点坐标公式即可； （ii）利用点为线段的中点将四边形的面积转化为面积的一半，再求以及到直线的距离即可； （2）联立极线方程和双曲线方程，得到，再分别求出直线的方程，进一步求出的值，再化简即可. 【详解】（1）依题意，因为，则，即， 又三点共线，则， 即动点的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线，所以的方程为；   （i）因为为上一点，则，即， 且极点对应的极线方程为，联立可得， 联立可得，因为， ， 所以线段的中点坐标为，即为线段的中点． （ii）由（i）可知，为线段的中点，则平行四边形的面积为面积的一半， ，又直线的方程为， 则坐标原点到直线的距离，所以的面积，所以平行四边形的面积．   （2）与点对应的极线为，即， 设，联立，整理得， 则且，则，直线的方程为，令，解得，即，直线的方程为，令，解得，即， 所以 .   2 学科网（北京）股份有限公司 $$